2024-2025学年上海市普陀区七年级（上）期末数学试卷致远初级中学

2024-2025学年上海市普陀区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分）
1．（3分）单项式的次数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（3分）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．8x2y＝2x 4xy
B．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
C．2a2b﹣4ab＝2ab（a﹣2）
D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）﹣12
3．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．（﹣a5）﹣4＝﹣a﹣20 B．3a3﹣2a2＝a
C． D．（a+b）2＝a2+b2
4．（3分）下列方程中，不是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（3分）如果分式无意义，那么x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣3
6．（3分）下列关于图中所给的图形的说法中，正确的是（　　）
A．该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形
D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形
7．（3分）现有一杯浓度为30%的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到40%，需要加入多少克食盐？如果设要加入x克食盐，那么根据题意可列出的方程是（　　）
A．40% B．
C． D．
8．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转n°后得到△A1BC1，其中点A、C分别与点A1、C1对应，AC与A1B交于点O，那么下列说法中错误的是（　　）
A．AB＝A1B
B．∠ABA1＝∠CBC1
C．阴影部分的面积与△ABA1的面积相等
D．△AA1O与△BCO的面积相等
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
9．（2分）计算：a2 2a3＝ 　 　．
10．（2分）计算：（3y﹣2x）（3y+2x）＝ 　 　．
11．（2分）计算：（6a4﹣2a3）÷a3＝ 　 　．
12．（2分）因式分解：2y2﹣18＝　 　．
13．（2分）将整式3x7y﹣4xm+1y4+2xmy2+x3y6按y降幂排列后，第二项的系数为 　 　．
14．（2分）将分式表示成不含分母的形式为 　 　．
15．（2分）计算： 　 　．
16．（2分）已知关于x的分式方程有增根，那么a的值是 　 　．
17．（2分）已知整式x2+mx﹣3可以因式分解为（x+p）（x+q），如果m、p，q都为整数，那么m的值为 　 　．
18．（2分）如图，将△ABC沿AB边向右平移3个单位得到△A'B'C'，其中点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′，如果△ABC的周长是14，那么四边形AB′C′C的周长为 　 　．
19．（2分）定义：如果一个关于x的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于x的分式方程是和解方程，那么n的值是 　 　．
20．（2分）如图，点P在长方形纸片ABCD的边AD上，点E，F分别在射线DC、AB上．将△DEP沿PE翻折，点D的对应点为点D'，将△AFP沿PF翻折，点A的对应点是点A′．如果点D′在∠EPF内部，且∠A'PD'＝α°，那么∠EPF＝ 　 　°．（用含α的代数式表示）
三、解答题（本大题共6题，满分20分）
21．（15分）（1）计算：7a2 a4+（﹣2a2）3+a9÷a3；
（2）计算：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣3）．
22．（5分）（1）因式分解：a+b﹣ab﹣1；
（2）因式分解：（x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）﹣6．
23．解方程：．
24．如图，已知正方形ABCD的边长为a，点E是边AB上的一个动点，连接DE，将△ADE绕点D顺时针旋转90°得到△DCF．
（1）当点E与点B重合时，线段EF的长度为 　 　；（直接写出答案）
（2）设AE＝x，用含a和x的代数式表示△DEF的面积．
25．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工．
（1）若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？
26．小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：
① ＝（a﹣b）2② ＝a2﹣b2③
（1）小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第 　 　步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可）
（2）小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当a＝﹣2，b＝1时，按照上述错误的化简方法所求得a2﹣b2的值与的值相等，他将满足这一情况的数对a、b称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：a＝ 　 　，b＝ 　 　．
（3）小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由．
2024-2025学年上海市普陀区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B． C C A C B D D
一、选择题（本大题共8题，每题3分，满分24分）
1．（3分）单项式的次数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解答】解：根据单项式定义得：的次数为：3+1+2＝6．
故选：B．
2．（3分）下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．8x2y＝2x 4xy
B．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2
C．2a2b﹣4ab＝2ab（a﹣2）
D．a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）﹣12
【解答】解：8x2y＝2x 4xy中等号左边是单项式，则A不符合题意；
（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2是乘法运算，则B不符合题意；
2a2b﹣4ab＝2ab（a﹣2）符合因式分解的定义，则C符合题意；
a2﹣5a﹣6＝（a﹣2）（a﹣3）﹣12中等号右边不是积的形式，则D不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A．（﹣a5）﹣4＝﹣a﹣20 B．3a3﹣2a2＝a
C． D．（a+b）2＝a2+b2
【解答】解：对于A，，故A错误；
对于B，3a3﹣2a2不能再合并同类项，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，（a+b）2＝a2+2ab+b2，故D错误．
故选：C．
4．（3分）下列方程中，不是分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A中方程分母中不含未知数，它不是分式方程；
B，C，D中方程符合分式方程的定义，它们是分式方程；
故选：A．
5．（3分）如果分式无意义，那么x的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．﹣3
【解答】解：由题意得：（x+1）（x﹣1）＝0，
则x＝±1，
故选：C．
6．（3分）下列关于图中所给的图形的说法中，正确的是（　　）
A．该图形是中心对称图形，但不是轴对称图形
B．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形
C．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形
D．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形
【解答】解：该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，
故选：B．
7．（3分）现有一杯浓度为30%的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到40%，需要加入多少克食盐？如果设要加入x克食盐，那么根据题意可列出的方程是（　　）
A．40% B．
C． D．
【解答】解：由题意得：40%，
故选：D．
8．（3分）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转n°后得到△A1BC1，其中点A、C分别与点A1、C1对应，AC与A1B交于点O，那么下列说法中错误的是（　　）
A．AB＝A1B
B．∠ABA1＝∠CBC1
C．阴影部分的面积与△ABA1的面积相等
D．△AA1O与△BCO的面积相等
【解答】解：根据旋转的性质，AB＝A1B，∠ABA1＝∠CBC1＝n°，
∴AB正确，不符合题意；
设△A1BC1中阴影部分的面积为S1，
∵S△AOB+S△BOC＝S△BOC+S1，
∴S△AOB＝S1，
∴S阴影S1S△AOB，
∴C正确，不符合题意；
S△AOB，S△BCO+S△AOB＝S△ABC，
∵S△ABC不一定成立，
∴S△BCO不一定成立，
∴D错误，符合题意．
故选：D．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
9．（2分）计算：a2 2a3＝ 　2a5　．
【解答】解：a2 2a3＝2a5，
故答案为：2a5．
10．（2分）计算：（3y﹣2x）（3y+2x）＝ 　9y2﹣4x2　．
【解答】解：（3y﹣2x）（3y+2x）
＝（3y）2﹣（2x）2
＝9y2﹣4x2，
故答案为：9y2﹣4x2．
11．（2分）计算：（6a4﹣2a3）÷a3＝ 　6a﹣2　．
【解答】解：原式＝6a4÷a3﹣2a3÷a3
＝6a﹣2，
故答案为：6a﹣2．
12．（2分）因式分解：2y2﹣18＝　2（y+3）（y﹣3）　．
【解答】解：原式＝2（y2﹣9）＝2（y+3）（y﹣3），
故答案为：2（y+3）（y﹣3）
13．（2分）将整式3x7y﹣4xm+1y4+2xmy2+x3y6按y降幂排列后，第二项的系数为 　﹣4　．
【解答】解：整式3x7y﹣4xm+1y4+2xmy2+x3y6按y降幂排列为：x3y6﹣4xm+1y4+2xmy2+3x7y，
∵第二项是﹣4xm+1y4，
∴第二项的系数是﹣4，
故答案为：﹣4．
14．（2分）将分式表示成不含分母的形式为 　4xy﹣1（x+y）﹣2　．
【解答】解：原式＝4xy﹣1（x+y）﹣2，
故答案为：4xy﹣1（x+y）﹣2．
15．（2分）计算： 　　．
【解答】解：原式，
故答案为：．
16．（2分）已知关于x的分式方程有增根，那么a的值是 　3　．
【解答】解：，
即，
∴x+a＝4（x+3），
∴x+a＝4x+12，
解得：，
∵分式方程有增根，
∴x+3＝0，
∴x＝﹣3，
∴，
解得：a＝3．
故答案为：3．
17．（2分）已知整式x2+mx﹣3可以因式分解为（x+p）（x+q），如果m、p，q都为整数，那么m的值为 　±2　．
【解答】解：由题意可得x2+mx﹣3＝（x+p）（x+q），
则pq＝﹣3，m＝p+q，
∵m、p，q都为整数，
∴p＝1，q＝﹣3或p＝﹣1，q＝3，
则m＝1﹣3＝﹣2或﹣1+3＝2，
故答案为：±2．
18．（2分）如图，将△ABC沿AB边向右平移3个单位得到△A'B'C'，其中点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′，如果△ABC的周长是14，那么四边形AB′C′C的周长为 　20　．
【解答】解：∵平移距离是3个单位，
∴CC′＝BB′＝3，
∵AB+AC+BC＝14，
∵四边形AB′C′C的周长＝3+3+14＝20．
故答案为：20．
19．（2分）定义：如果一个关于x的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于x的分式方程是和解方程，那么n的值是 　　．
【解答】解：由题意可得关于x的分式方程的解是x，
则2024n＝2024﹣n，
解得：n，
故答案为：．
20．（2分）如图，点P在长方形纸片ABCD的边AD上，点E，F分别在射线DC、AB上．将△DEP沿PE翻折，点D的对应点为点D'，将△AFP沿PF翻折，点A的对应点是点A′．如果点D′在∠EPF内部，且∠A'PD'＝α°，那么∠EPF＝ 　或　°．（用含α的代数式表示）
【解答】解：①当D′在∠APF外部时，如图，
∴∠EPF＝∠EPD+∠DPA+∠APF，
由折叠得∠EPD＝∠EPD，∠FPA＝∠FPA，
∵∠DPD'+∠APA'+α＝180°，
∴2∠EPD'+2∠FPA'+α ＝180°，
∴∠EPD'+∠FPA'，
∴∠EPD'+∠FPA'+αα，
∴∠EPF；
②当D'在∠APF内部时，如图，
∴∠EPF＝∠EPD'+∠A'PF﹣∠D'PA'，
∵∠DPD'+∠APA'﹣α＝180°，
∴2∠EPD'+2∠FPA'﹣α＝180°，
∴∠EPD'+∠FPA'，
∴，
∴；
综上，或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共6题，满分20分）
21．（15分）（1）计算：7a2 a4+（﹣2a2）3+a9÷a3；
（2）计算：（a+1）2﹣（a+1）（a﹣3）．
【解答】解（1）7a2 a4+（﹣2a2）3+a9÷a3
＝7a6﹣8a6+a6
＝0；
（2）（a+1）2﹣（a+1）（a﹣3）
＝a2+2a+1﹣（a2﹣3a+a﹣3）
＝a2+2a+1﹣a2+2a+3
＝4a+4．
22．（5分）（1）因式分解：a+b﹣ab﹣1；
（2）因式分解：（x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）﹣6．
【解答】解：（1）a+b﹣ab﹣1
＝（a﹣ab）+（b﹣1）
＝a（1﹣b）﹣（1﹣b）
＝（1﹣b）（a﹣1）；
（2）（x2﹣2x）2﹣5（x2﹣2x）﹣6
＝（x2﹣2x﹣6）（x2﹣2x+1）
＝（x2﹣2x﹣6）（x﹣1）2．
23．解方程：．
【解答】解：原方程去分母得：5（x+2）﹣3＝x﹣2，
整理得：5x+7＝x﹣2，
解得：x＝﹣2.25，
经检验，x＝﹣2.25是分式方程的解．
24．如图，已知正方形ABCD的边长为a，点E是边AB上的一个动点，连接DE，将△ADE绕点D顺时针旋转90°得到△DCF．
（1）当点E与点B重合时，线段EF的长度为 　2a　；（直接写出答案）
（2）设AE＝x，用含a和x的代数式表示△DEF的面积．
【解答】解：（1）∵将△ADE绕点D顺时针旋转90°得到△DCF，
∴AE＝CF，
∵点E与点B重合，
∴AE＝a＝CF，
∴EF＝2a，
故答案为：2a；
（2）∵将△ADE绕点D顺时针旋转90°得到△DCF，
∴DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴△DEF的面积DE DFDE2（a2+x2）．
25．某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工．
（1）若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？
（2）若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？
【解答】解：（1）设乙施工队单独施工，完成整个工程需要x天，
根据题意得：1，
解得：x＝90，
经检验，x＝90是所列方程的解，且符合题意．
答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天；
（2）若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程，理由如下：
设单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，需y天完成工程，
根据题意得：1，
解得：y＝30，
∵30＞25，
∴若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程．
26．小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：
① ＝（a﹣b）2② ＝a2﹣b2③
（1）小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第 　①　步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可）
（2）小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当a＝﹣2，b＝1时，按照上述错误的化简方法所求得a2﹣b2的值与的值相等，他将满足这一情况的数对a、b称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：a＝ 　﹣4　，b＝ 　2　．
（3）小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由．
【解答】解：（1）因为，
所以小普从第 ①步开始出现错误．
故答案为：①．
（2）将a＝﹣4，b＝2代入可得：，
a2﹣b2＝16﹣4＝12，
即，
所以a＝﹣4，b＝2．
故答案为：﹣4，2．（答案不唯一）
（3），
即，
即a2+ab+b2＝a2﹣b2，
得ab+2b2＝0，
b（a+2b）＝0，
即b＝0，或a+2b＝0，
得b＝0或a＝﹣2b．
即当b＝0，a≠0时，或a＝﹣2b时，可以找到“巧数对”．
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