第8章 三角形
基础考点+重难点考点专练
基础考点1 认识三角形、三角形内角和与外角和
1．在中，若，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
2．如图，已知是的外角，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角
B．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于
D．如果三角形的两个内角之和小于，那么这个三角形是钝角三角形
4．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，中，、的三等分线交于点、．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为
7．将一副含，的三角板按图中的方式放置，则 度．
8．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时．我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
9．如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号）
10．如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ．
11．图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，图2，的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于， °．
12．根据要求解答下列问题：
(1)求图1中的值；
(2)求图2中的值．
13．如图，已知中，，，于D，平分交于F，求和的度数．
14．探究一：
（1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则_______度；
（2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则________度．
探究二：
（3）如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，请说明和之间的数量关系 并证明你的结论．
（4）如图，在四边形中，是内角的角平分线，是外角的角平分线，请直接写出与，之间的数量关系．（不用说明理由）
基础考点2 三角形的三边关系
15．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
16．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小欣在池塘的一侧选取点O，测得米，米，则点A、B间的距离不可能是（ ）
A．22米 B．18米 C．16米 D．12米
17．一个等腰三角形的一边长是，另一边长为，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
18．的三边长分别为、、，且满足，则的形状为（ ）
A．三边互不相等的三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
19．已知三角形的三边长分别为、、，化简得（ ）
A． B． C． D．
20．如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．
21．已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是 ．
22．已知a，b，c是的三边长，a，b满足，c为奇数，则c= ．
23．如图，由三角形两边的和大于第三边，得
_____，①
_____．②
将不等式①，②的左边、右边分别相加，得_____，③
不等式③两边都减，得．
24．某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．
（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
（2）选择哪一种规格木棒最省钱？
25．按要求完成下列各小题．
(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；
(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．
基础考点3 多边形的内角和与外角和
26．一块四边形玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
27．一个多边形的每一个内角都比外角多90°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
28．求出图形中的x值
29．在五边形ABCDE中，，，．
(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；
(2)如图②，若比小，求出的度数；
(3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数．
30．在四边形中，，．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，若的平分线交于点E，且．求的度数；
(3)若和的平分线交于点E，延长，交于点F（如图3）．将原来条件“，”改为“”，其他条件不变，求的度数．
基础考点4 用正多边形铺设地面
31．用边长相等的下列两种正多边形，不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．等边三角形和正六边形 B．正方形和正八边形
C．正五边形和正十边形 D．正六边形和正十二边形
32．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为( )
A．5 B．8 C．10 D．12
33．在体育公园新铺筑的人行道上，邓师傅正在利用边长相等的正方形和正八边形地砖铺地面，若每个顶点处用块正方形和块正八边形正好能铺满地面（，为正整数），则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．4
34．如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料，如果用这种相同的四边形木板进行镶嵌，则至少需要 块才能完成镶嵌．
35．大自然中许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，则 °．
36．我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌．如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则度数是 ．
37．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
38．两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍．
(1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数；
(2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值．
39．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）如图，请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数
（2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
40．阅读下列材料，并完成相应任务．
关于同一种多边形的平面密铺
平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．
任务一：探究同一种正多边形的密铺．
如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角．
问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺．
问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由．
任务二：探究同一种一般多边形的密铺
经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2．
问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺．
经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究．
目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图．
问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________．
重难点考点 探究三角形中角的关系
41．嘉嘉在测量的度数时，错误地将量角器摆放成如图所示的位置，则的度数（ ）
A．小于40° B．大于40° C．等干40° D．无法确定
42．已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
43．如图，若∠A＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，则∠BDC＝（ ）
A．102° B．160° C．150° D．140°
44．如图，在中，E为边上一点，延长到点F，延长到点D，连接．，，的大小关系为（ ）
A． B． C．D．
45．如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
46．已知四边形，求证：．在证明该结论时，需要添加辅助线，则添加辅助线不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
47．如图，六边形中，的外角都相等，即，分别作和的平分线交于点P，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
48．如图，一个六边形纸片上剪去一个四边形后，得到，则 ．
49．如图，，，、的五等分线分别交于点、、、，则 ．
50．四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空：
(1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；
(2)当点、、三点不共线时，
①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由；
②如图③，__________；
(3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____；
(4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 15 16 17 18 19
答案 B D B D D C A C B A
题号 26 27 31 32 33 41 42 43 44 45
答案 D C D C B B D D D D
题号 46 47
答案 D B
1．B
【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用
【分析】根据题意及三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
2．D
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：D．
3．B
【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念
【分析】根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形．
【详解】解：A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意；
B．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，选项说法错误，符合题意
C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，选项说法正确，不符合题意
D．如果三角形的两个内角之和小于，那么剩下的一个角肯定大于，所以为钝角三角形，选项说法正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角．
4．D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题
【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，
∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，
∴∠1-∠2=66°．
故选：D．
【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．D
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、角n等分线的有关计算、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三等分线有关的计算、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．设，，则，，先根据三角形的内角和定理可得，，从而可得，然后在中，利用三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵在中，、的三等分线交于点、，
∴可设，，
则，，
∵，
∴，即①，
∵，
∴，即②，
由①②得：，
∴．
故选：D．
6．100°，60°，20°
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】可以设这三个外角分别是2x、3x、4x，再利用三角形外角和为360°，可得关于x的一元一次方程，解出x，那么可求三个外角，从而可求三个内角．
【详解】解：设三角形三个外角的度数分别为2x，3x，4x．
∵三角形的外角和是360°，
∴2x+3x+4x=360°，
解得：x=40°，
∴∴2x=80°，3x=120°，4x=160°，
∴三个内角依次为180°-80°=100°；180°-120°=60°；180°-160°=20°．
故答案为：100°，60°，20°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的外角和是360°这一条件．
7．15
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角板中角度计算问题
【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键．
依题意得，，根据三角形的外角性质得，由此可得出的度数．
【详解】解：如图所示：
依题意得：，，
根据三角形的外角性质得：，
，
．
故答案为：15．
8．或
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键．根据三角形内角和等于，如果一个“梦想三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为，，得出答案即可．
【详解】解：当的角是另一个内角的3倍时，
最小角为，
当另外的两个角中其中一个角是另一个内角的3倍时，最小角为：
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或．
故答案为：或．
9．①②④
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理，三角形内外角性质，角的比较，是解答的关键.
根据三角形内角和定理判断①；根据，判断②；根据判断③；根据判断④．
【详解】解：①∵三角形内角和为，
∴在中，，
∴，∴①正确；
②∵，
∴，
∴②正确；
③∵，
∴③不正确；
④∵，
∴，
∴④正确；
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．
10．
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键．
延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解．
【详解】如图，延长交于点，设与交于点．
、的平分线交于点，
，．
，，
①
，，
②
①－②，得，
．
，，
．
11．10
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义
【分析】利用三角形的外角的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，，进而得出，，．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵的角平分线与的外角平分线交于，
∴，，
∵，
∴，
同理：，，
故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，通过求，发现规律是解题的关键．
12．(1)
(2)
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和以及解方程的知识，
（1）根据三角形内角和列方程，解方程即可求解；
（2）根据三角形外角性质列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由图知，，
解得，
即x的值为；
（2）解：由图知，，
解得，
即y的值为．
13．；
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，外角的性质，由三角形内角和定理得，又平分，则，然后根据外角性质和垂直的定义即可求解，熟悉相关性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵于，
∴，
∴．
14．探究一：（1）；（2）；探究二：（3），证明见解析；（4）
【知识点】角平分线的性质定理、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，补角的定义，三角形的内角和定理等，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解；
探究一:
(1 )根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得答案；
(2)根据角平分线的定义、平角定义以及三角形内角和定理即可求得答案；
探究二：
（3）根据在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，推出，，根据三角形外角性质求解即可；
（4）根据四边形的内角和定理表示出，再表示出，然后根据角平分线的定义可得，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得: ，然后整理即可得解；
【详解】解：探究一：（1）在中，，
，
，分别是两个内角，的角平分线，
，，
；
（2）在中，，
，
，
，分别是两个外角，的角平分线，
，
，
；
探究二：
（3），证明如下：
在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，
，，
，
，
，
，
（4）由四边形内角和定理得，
，
由三角形的外角性质得：，
是内角的角平分线，是外角的角平分线，
，，
15．C
【知识点】构成三角形的条件
【分析】三角形两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】A.，不能构成三角形，不符合题意；
B.，不能构成三角形，不符合题意；
C.，能构成三角形，符合题意；
D.，不能构成三角形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．
16．A
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】连接AB，根据三角形三边关系的性质，得点A、B间的距离的范围，即可得到答案．
【详解】连接AB，如下图：
∵OA=12米，OB=9米
∴，
∴，即，
∵，
∴点A、B间的距离不可能是22米，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质，从而完成求解．
17．C
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
根据等腰三角形的定义，分类讨论：腰长为，底边长为；腰长为，底边长为；由三角形三边数量关系确定是否符合等腰三角形的条件，再根据周长即可求解．
【详解】解：腰长为，底边长为，
∵，符合题意，
∴这个等腰三角形的周长为：；
腰长为，底边长为，
∵，符合题意，
∴这个等腰三角形的周长为：；
故选：C ．
18．B
【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定
【分析】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∴，
∴是等边三角形．
故选：B．
19．A
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题主要考查了三角形三边关系和绝对值的性质应，准确理解计算是解题的关键．根据三边关系得到a，b，c的关系，然后去绝对值即可；
【详解】解：的三边长分别是a，b，c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则：
，
，
故选：A．
20．2
【知识点】多边形对角线的条数问题、三角形的稳定性及应用
【分析】本题考查了三角形具有稳定性，以及多边形从一个顶点可画对角线的条数，根据n边形从一个顶点可画条对角线，即可解答．
【详解】解：（条），
故答案为：2．
21．6cm或7cm．
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，即6+6＞8，能构成三角形，
∴当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，即7+6＞7，能构成三角形，
∴腰长是6cm或7cm，
故答案为6cm或7cm．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．
22．5
【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、确定第三边的取值范围
【分析】根据非负数的性质，求出a，b的值，再根据三角形三边长的关系，求出c，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵a，b，c是的三边长，
∴，即：，
∵c为奇数，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三角形三边长关系，非负数的性质，掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．
23．；；
【知识点】不等式的性质、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、不等式的性质，熟练掌握三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系和不等式的性质即可解答．
【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得
，①
．②
将不等式①，②的左边、右边分别相加，得，③
不等式③两边都减，得．
故答案为：；；．
24．（1）4种；（2）3m
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、三角形三边关系的应用
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5-3＜x＜5+3，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
【详解】解：（1）设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5＋3，
解得2＜x＜8，
结合题干信息可得：x＝3，4，5，6．共4种选择．
（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
25．(1)的周长为
(2)
【知识点】化简绝对值、三角形三边关系的应用
【分析】（1）根据三角形的三边关系以及的长为偶数，即可求得的长，从而即可得解；
（2）根据三角形的三边关系可求得的取值范围，从而化简不等式计算即可．
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得：，即．
∵为偶数，
∴，
∴的周长为；
（2）解：∵的三边长分别为3，5，a，
∴，解得，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
26．D
【知识点】多边形内角和问题
【分析】根据四边形内角和求解即可．应该是
【详解】解：∵，，四边形内角和为360度，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了四边形内角和，熟记知识点是解题关键．
27．C
【知识点】多边形内角和与外角和综合、正多边形的外角问题、多边形内角和问题
【分析】一个多边形的每个内角都相等，每个内角都比外角大90°，又由于内角与外角的和是180度．设外角是x，则内角是180°-x，列方程求解即可．
【详解】解：设外角是x，则内角是180°﹣x，依题意有
180°﹣x＝x+90°，
解得x＝45°，
∴180°﹣x＝135°，
又∵任何多边形的外角是360°，
∴多边形中外角的个数是360÷45＝8，
即这个多边形的边数是8，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据多边形的内角与外角的关系转化为方程的问题，并利用多边形的外角和定理是解决问题的关键．
28．30
【知识点】多边形内角和问题、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据四边形的内角和等于360°，列方程即可得到结果．
【详解】解：∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴3x°+3x°+4x°+2x°=360°，
解得：x=30°．
【点睛】本题考查了四边形的内角和，熟记四边形的内角和是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形内角和问题、多边形对角线的条数问题、角平分线的有关计算
【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可；
（2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可；
（3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可．
【详解】（1）解：如图即为所求．
（2）解：五边形ABCDE的内角和为，
∵，，，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：五边形ABCDE的内角和为，
∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∵CP平分，DP平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键．
30．(1)
(2)
(3)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和问题
【分析】（1）根据四边形内角和等于求出的度数，再除以2即可求解；
（2）先根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线定义和四边形内角和即可求解；
（3）根据三角形内角和求出的度数，再根据角平分线定义得到的度数，最后根据三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵在四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴．
∵和的平分线交于点E，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线性质，四边形内角和定理，解决此题的关键是综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、平行线性质、角平分线的定义．
31．D
【知识点】平面镶嵌
【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】A、正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°=360°，能密铺；
B、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密铺，；
C、正五形的每个内角是108°，正十边形的每个内角是144°，∵2×108°+144°=360°，能密铺，；
D、正六边形的每个内角是120°和正十二边形的每个内角是150°，120m+150n=360°，m=3﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选D．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是掌握平面镶嵌（密铺）的条件.
32．C
【知识点】平面镶嵌
【详解】分析：先求出正五边形的每个内角的度数，再根据镶嵌的条件即可求出答案．
详解：
正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，顶点处已经有2个内角，度数之和为：108×2=216°，
那么另一个多边形的内角度数为：360°-216°=144°，
相邻的外角为：180°-144°=36°，
∴边数为：360°÷36°=10．
故选C.
点睛：两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
33．B
【知识点】平面镶嵌
【分析】一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成360°，若能，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，
∵90°+135°×2＝360°，
∴a＝1，b＝2，
∴a﹣b＝1﹣2＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查平面图形的镶嵌，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌的条件是解题的关键．
34．4
【知识点】平面镶嵌
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为时，就能镶嵌．根据任意四边形的内角和是，只要放在同一顶点的4个内角和为，即可得出答案．
【详解】解：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为时，就能镶嵌．而任意四边形的内角和是，只要放在同一顶点的个内角和为，则至少需要块才能完成镶嵌．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．因为三角形内角和为，用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌，而四边形的内角和为，用4个同一种四边形就可以在同一顶点处镶嵌．
35．120
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角和以及正多边形的性质，先算出正六边形的内角和，再结合每个内角都相等，即可作答．
【详解】解：∵多边形是正六边形
∴
∴
故答案为：120
36．36°/36度
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】先求出正五边形的每个内角的度数，根据在∠1顶点处各角之和为360°即可得出∠1的度数．
【详解】解：∵正五边形的每个内角=（5-2） 180°÷5=108°，
∴∠1=360°-108°×3=36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握多边形的内角和=（n-2） 180°是解题的关键．
37．（答案不唯一）
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可．
【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：，
∵，
∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角，
∴用记号表示为：；
故答案为：．
38．(1)多边形A的边数是8，多边形B的边数是4
(2)3或4或5
【知识点】多边形内角和问题、平面镶嵌
【分析】本题考查了多边形内角和公式，正多边形的镶嵌，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
（1）设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，根据多边形内角和公式即可列方程求解；
（2）根据平面图形能够密铺应具备的条件：如果正多边形的内角度数的整数倍是即可解答．
【详解】（1）解：设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，
则，
解得：，．
则多边形A的边数是8，多边形B的边数是4．
（2）多边形A的边数是多边形B的边数的2倍，
能够镶嵌的正多边形A和正多边形B只能是正六边形和正三角形组合，
或正八边形和正方形组合．
若是正六边形和正三角形组合，则，或，，则或5；
若是正八边形和正方形组合，则，，则．
所以，的值为3或4或5．
39．（1）60°，90°，108°，120°，…（n-2） 180°÷n；（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）答案见详解．
【知识点】平面镶嵌
【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°-° 求解；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．
【详解】解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n-2） 180°÷n，
故答案为60°，90°，108°，120°，…， ；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；
（3）正方形和正八边形（如下图所示），
理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m·90＋n·135＝360的正整数解，
即2m＋3n＝8的正整数解，只有 一组，
∴符合条件的图形只有一种．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和的知识点，求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
40．任务一：问题①360；问题②不能，理由见解析
任务二：问题③三角形，四边形；问题④
【知识点】正多边形的内角问题、平面镶嵌
【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案；
任务二：问题③：结合图形即可得出答案；问题④：由图形并结合题意计算可得答案．
【详解】解：任务一：
问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺；
问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下：
∵正五边形的每一个内角度数为，，
∴正五边形不以进行密铺；
任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺；
问题④：由图形并结合题意可得：的度数为．
41．B
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】连接，运用三角形的外角大于任何一个与它不相邻的外角解题即可．
【详解】连接，则
又∵是的外角，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查三角形的外角，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
42．D
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形的内角和是，即可求解．
【详解】，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
43．D
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】如图，延长AD，利用三角形的外角性质分别求得∠1、∠2的值即可．
【详解】解：如图，延长AD，
∵∠1＝∠B+∠BAD，∠2＝∠C+∠CAD，∠A＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C+∠BAC＝48°+32°+60°＝140°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.
44．D
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
45．D
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、多边形内角和问题
【分析】利用四边形内角和为和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解．
46．D
【知识点】多边形内角和问题、三角形内角和定理的证明
【分析】根据三角形的内角和定理，在四边形中添加辅助线构成三角形即可求解．
【详解】解：、根据图示可得，的内角和为，的内角和为，由此可得，故原选项正确，不符合题意；
、的内角和为，然后减去平角，可得，故原选项正确，不符合题意；
、的内角和为，然减去以点为圆心的周角，可得，故原选项正确，不符合题意；
、不能证明，故原选项不正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要多边形的内角和的计算方法，掌握添加辅助线构成三角形，运用三角形的内角和定理即可求解．
47．B
【知识点】多边形内角和与外角和综合、三角形内角和定理的应用、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的有关计算
【分析】根据多边形外角和求出∠5+∠6=112°，根据角平分线定义进而求出∠FEP+∠EFP=124°，再根据三角形的内角和求出∠P的度数．
【详解】解：∵，多边形的外角和为360°，
∴∠5+∠6=360°-62°×4=112°，
∴∠DEF+∠AFE=248°，
∵EP，FP分别平分∠DEF和∠AFE，
∴∠FEP=∠DEF ，∠EFP=∠AFE，
∴∠FEP+∠EFP=（∠DEF+∠AFE）=124°，
∴∠P=56°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定义，角平分线的定义以及三角形的内角和，掌握以上基础知识是解决问题的关键．
48．/80度
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和公式．由多边形的内角和公式，即可求得六边形的内角和，又由，即可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵六边形的内角和为：，且，
∴，
∴．
故答案为：．
49．
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据题意，得到，，进而求出，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：、的五等分线分别交于点、、、，
，．
，
，
．
故答案为：．
50．(1)180
(2)①，理由见解析；②360
(3)
(4)
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用；
（1）由三角形的内角和定理可得答案；
（2）①如图，作射线，利用三角形的内角和与平角的含义可得：，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，连接，利用三角形的内角和定理可得答案；
（3）利用三角形的内角和定理与平角的含义可得答案；
（4）利用三角形的内角和定理可得，，再进一步可得结论．
【详解】（1）解：当点、、三点共线时，如图①，；
（2）解：①如图，作射线，
∵，，
∴，，
∴；
②如图，连接，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴；
（4）解：如图，记的交点为，
∵，，，
∴
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页第8章 三角形
基础考点+重难点考点专练
基础考点1 认识三角形、三角形内角和与外角和
1．在中，若，，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用
【分析】根据题意及三角形内角和可进行求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴是直角三角形；
故选B．
【点睛】本题主要考查三角形内角和，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．
2．如图，已知是的外角，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】本题考查三角形的外角性质，直接利用三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之进行求解即可．
【详解】解：由题意得：，
故选：D．
3．下列说法中错误的是（ ）
A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角
B．有一个角是锐角的三角形是锐角三角形
C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于
D．如果三角形的两个内角之和小于，那么这个三角形是钝角三角形
【答案】B
【知识点】三角形的分类、三角形的识别与有关概念
【分析】根据三角形的分类及定义，三角形分为锐角．直角和钝角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角其余两角是锐角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角其余两角是锐角的三角形是钝角三角形．
【详解】解：A．三角形的三个内角中至少有两个角是锐角，选项说法正确，不符合题意；
B．三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，选项说法错误，符合题意
C．一个三角形的三个内角中至少有一个内角不大于，选项说法正确，不符合题意
D．如果三角形的两个内角之和小于，那么剩下的一个角肯定大于，所以为钝角三角形，选项说法正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的分类及定义，关键是确定锐角的个数及特殊角．
4．如图，在中，，将沿直线翻折，点落在点的位置，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形折叠中的角度问题
【分析】由折叠的性质得到∠D=∠B，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，
根据外角性质得：∠1=∠3+∠B，∠3=∠2+∠D，
∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，
∴∠1-∠2=66°．
故选：D．
【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
5．如图，中，、的三等分线交于点、．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用)、角n等分线的有关计算、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三等分线有关的计算、三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．设，，则，，先根据三角形的内角和定理可得，，从而可得，然后在中，利用三角形的内角和定理求解即可得．
【详解】解：∵在中，、的三等分线交于点、，
∴可设，，
则，，
∵，
∴，即①，
∵，
∴，即②，
由①②得：，
∴．
故选：D．
6．若三角形三个外角的度数比为2∶3∶4，则此三角形内角分别为
【答案】100°，60°，20°
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】可以设这三个外角分别是2x、3x、4x，再利用三角形外角和为360°，可得关于x的一元一次方程，解出x，那么可求三个外角，从而可求三个内角．
【详解】解：设三角形三个外角的度数分别为2x，3x，4x．
∵三角形的外角和是360°，
∴2x+3x+4x=360°，
解得：x=40°，
∴∴2x=80°，3x=120°，4x=160°，
∴三个内角依次为180°-80°=100°；180°-120°=60°；180°-160°=20°．
故答案为：100°，60°，20°．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，解题的关键是掌握三角形的外角和是360°这一条件．
7．将一副含，的三角板按图中的方式放置，则 度．
【答案】15
【知识点】三角板中角度计算问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】此题主要考查了三角形的外角性质，准确识图，理解三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解决问题的关键．
依题意得，，根据三角形的外角性质得，由此可得出的度数．
【详解】解：如图所示：
依题意得：，，
根据三角形的外角性质得：，
，
．
故答案为：15．
8．当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时．我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为 ．
【答案】或
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形内角和定理，掌握三角形的内角和为，是解决问题的关键．根据三角形内角和等于，如果一个“梦想三角形”有一个角为，可得另两个角的和为，由三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，可以分别求得最小角为，，得出答案即可．
【详解】解：当的角是另一个内角的3倍时，
最小角为，
当另外的两个角中其中一个角是另一个内角的3倍时，最小角为：
因此，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为或．
故答案为：或．
9．如图，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是 ．（请填写序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理．熟练掌握三角形内角和定理，三角形内外角性质，角的比较，是解答的关键.
根据三角形内角和定理判断①；根据，判断②；根据判断③；根据判断④．
【详解】解：①∵三角形内角和为，
∴在中，，
∴，∴①正确；
②∵，
∴，
∴②正确；
③∵，
∴③不正确；
④∵，
∴，
∴④正确；
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．
10．如图，、的平分线交于点，若，，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形的内角和定理、三角形的外角的性质，熟记性质并作辅助线然后整理出、、三者之间的关系式是解题的关键．
延长交于，根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出，整理可得，即可得解．
【详解】如图，延长交于点，设与交于点．
、的平分线交于点，
，．
，，
①
，，
②
①－②，得，
．
，，
．
11．图1，在中，的角平分线与的外角平分线交于．当为时，图2，的角平分线与的角平分线交于，与的平分线交于， °．
【答案】10
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形角平分线的定义
【分析】利用三角形的外角的性质得出，，再根据角平分线的定义得出，，进而得出，，．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵的角平分线与的外角平分线交于，
∴，，
∵，
∴，
同理：，，
故答案为：10．
【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，通过求，发现规律是解题的关键．
12．根据要求解答下列问题：
(1)求图1中的值；
(2)求图2中的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形外角的性质、三角形内角和以及解方程的知识，
（1）根据三角形内角和列方程，解方程即可求解；
（2）根据三角形外角性质列方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由图知，，
解得，
即x的值为；
（2）解：由图知，，
解得，
即y的值为．
13．如图，已知中，，，于D，平分交于F，求和的度数．
【答案】；
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，外角的性质，由三角形内角和定理得，又平分，则，然后根据外角性质和垂直的定义即可求解，熟悉相关性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵于，
∴，
∴．
14．探究一：
（1）如图1，在中，，，分别是两个内角，的角平分线，则_______度；
（2）如图2，在中，，，分别是两个外角，的角平分线，则________度．
探究二：
（3）如图3，在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，请说明和之间的数量关系 并证明你的结论．
（4）如图，在四边形中，是内角的角平分线，是外角的角平分线，请直接写出与，之间的数量关系．（不用说明理由）
【答案】探究一：（1）；（2）；探究二：（3），证明见解析；（4）
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质定理
【分析】本题考查了三角形外角的性质，角平分线的定义,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，补角的定义，三角形的内角和定理等，此类题解题的关键是找出角平分线平分的两个角的和的度数，从而利用三角形内角和定理求解；
探究一:
(1 )根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求得答案；
(2)根据角平分线的定义、平角定义以及三角形内角和定理即可求得答案；
探究二：
（3）根据在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，推出，，根据三角形外角性质求解即可；
（4）根据四边形的内角和定理表示出，再表示出，然后根据角平分线的定义可得，，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得: ，然后整理即可得解；
【详解】解：探究一：（1）在中，，
，
，分别是两个内角，的角平分线，
，，
；
（2）在中，，
，
，
，分别是两个外角，的角平分线，
，
，
；
探究二：
（3），证明如下：
在中，是三角形内角的角平分线，是外角的角平分线，
，，
，
，
，
，
（4）由四边形内角和定理得，
，
由三角形的外角性质得：，
是内角的角平分线，是外角的角平分线，
，，
基础考点2 三角形的三边关系
15．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】构成三角形的条件
【分析】三角形两边之和大于第三边，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
【详解】A.，不能构成三角形，不符合题意；
B.，不能构成三角形，不符合题意；
C.，能构成三角形，符合题意；
D.，不能构成三角形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．
16．如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小欣在池塘的一侧选取点O，测得米，米，则点A、B间的距离不可能是（ ）
A．22米 B．18米 C．16米 D．12米
【答案】A
【知识点】三角形三边关系的应用
【分析】连接AB，根据三角形三边关系的性质，得点A、B间的距离的范围，即可得到答案．
【详解】连接AB，如下图：
∵OA=12米，OB=9米
∴，
∴，即，
∵，
∴点A、B间的距离不可能是22米，
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形三边关系的性质，从而完成求解．
17．一个等腰三角形的一边长是，另一边长为，那么这个等腰三角形的周长是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边数量关系，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．
根据等腰三角形的定义，分类讨论：腰长为，底边长为；腰长为，底边长为；由三角形三边数量关系确定是否符合等腰三角形的条件，再根据周长即可求解．
【详解】解：腰长为，底边长为，
∵，符合题意，
∴这个等腰三角形的周长为：；
腰长为，底边长为，
∵，符合题意，
∴这个等腰三角形的周长为：；
故选：C ．
18．的三边长分别为、、，且满足，则的形状为（ ）
A．三边互不相等的三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定
【分析】本题主要考查了平方和绝对值的非负性，三角形的分类，解题的关键是掌握平方和绝对值的非负性，以及三角形的分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形．根据平方和绝对值的非负性，得出，即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴，
即，
∴，
∴是等边三角形．
故选：B．
19．已知三角形的三边长分别为、、，化简得（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】本题主要考查了三角形三边关系和绝对值的性质应，准确理解计算是解题的关键．根据三边关系得到a，b，c的关系，然后去绝对值即可；
【详解】解：的三边长分别是a，b，c，
∴必须满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，则：
，
，
故选：A．
20．如图，有一个正五边形木框，要使五边形木架不变形，至少要钉 根木条．
【答案】2
【知识点】三角形的稳定性及应用、多边形对角线的条数问题
【分析】本题考查了三角形具有稳定性，以及多边形从一个顶点可画对角线的条数，根据n边形从一个顶点可画条对角线，即可解答．
【详解】解：（条），
故答案为：2．
21．已知△ABC是等腰三角形，它的周长为20cm，一条边长6cm，那么腰长是 ．
【答案】6cm或7cm．
【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义
【分析】当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，根据三角形的三边关系，即可推出腰长．
【详解】解：∵等腰三角形的周长为20cm，
∴当腰长＝6cm时，底边＝20﹣6﹣6＝8cm，即6+6＞8，能构成三角形，
∴当底边＝6cm时，腰长＝＝7cm，即7+6＞7，能构成三角形，
∴腰长是6cm或7cm，
故答案为6cm或7cm．
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形的三边关系，关键在于分析讨论6cm为腰长还是底边长．
22．已知a，b，c是的三边长，a，b满足，c为奇数，则c= ．
【答案】5
【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算、确定第三边的取值范围
【分析】根据非负数的性质，求出a，b的值，再根据三角形三边长的关系，求出c，即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵a，b，c是的三边长，
∴，即：，
∵c为奇数，
∴，
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查三角形三边长关系，非负数的性质，掌握三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是关键．
23．如图，由三角形两边的和大于第三边，得
_____，①
_____．②
将不等式①，②的左边、右边分别相加，得_____，③
不等式③两边都减，得．
【答案】；；
【知识点】不等式的性质、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系的应用、不等式的性质，熟练掌握三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形三边关系和不等式的性质即可解答．
【详解】解：如图，由三角形两边的和大于第三边，得
，①
．②
将不等式①，②的左边、右边分别相加，得，③
不等式③两边都减，得．
故答案为：；；．
24．某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到某木材市场上购买一根．
（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
（2）选择哪一种规格木棒最省钱？
【答案】（1）4种；（2）3m
【知识点】一元一次不等式组的其他应用、三角形三边关系的应用
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5-3＜x＜5+3，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
【详解】解：（1）设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5＋3，
解得2＜x＜8，
结合题干信息可得：x＝3，4，5，6．共4种选择．
（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
25．按要求完成下列各小题．
(1)在中，，，的长为偶数，求的周长；
(2)已知的三边长分别为3，5，a，化简．
【答案】(1)的周长为
(2)
【知识点】化简绝对值、三角形三边关系的应用
【分析】（1）根据三角形的三边关系以及的长为偶数，即可求得的长，从而即可得解；
（2）根据三角形的三边关系可求得的取值范围，从而化简不等式计算即可．
【详解】（1）解：根据三角形的三边关系得：，即．
∵为偶数，
∴，
∴的周长为；
（2）解：∵的三边长分别为3，5，a，
∴，解得，
∴
．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边间的关系，熟记三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
基础考点3 多边形的内角和与外角和
26．一块四边形玻璃被打破，如图所示．小红想制做一模一样的玻璃，经测量，，则的度数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】多边形内角和问题
【分析】根据四边形内角和求解即可．应该是
【详解】解：∵，，四边形内角和为360度，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了四边形内角和，熟记知识点是解题关键．
27．一个多边形的每一个内角都比外角多90°，那么这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【知识点】多边形内角和问题、正多边形的外角问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】一个多边形的每个内角都相等，每个内角都比外角大90°，又由于内角与外角的和是180度．设外角是x，则内角是180°-x，列方程求解即可．
【详解】解：设外角是x，则内角是180°﹣x，依题意有
180°﹣x＝x+90°，
解得x＝45°，
∴180°﹣x＝135°，
又∵任何多边形的外角是360°，
∴多边形中外角的个数是360÷45＝8，
即这个多边形的边数是8，
故选：C．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，根据多边形的内角与外角的关系转化为方程的问题，并利用多边形的外角和定理是解决问题的关键．
28．求出图形中的x值
【答案】30
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、多边形内角和问题
【分析】根据四边形的内角和等于360°，列方程即可得到结果．
【详解】解：∵四边形的内角和为（4-2）×180°=360°，
∴3x°+3x°+4x°+2x°=360°，
解得：x=30°．
【点睛】本题考查了四边形的内角和，熟记四边形的内角和是解题的关键．
29．在五边形ABCDE中，，，．
(1)如图①，画出五边形ABCDE的所有对角线；
(2)如图②，若比小，求出的度数；
(3)如图③，若CP，DP分别平分与的外角，试求出的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【知识点】角平分线的有关计算、多边形对角线的条数问题、多边形内角和问题、多边形内角和与外角和综合
【分析】（1）根据对角线的定义作出所有对角线即可；
（2）先根据多边形的内角和公式求得内角和，再求出∠C+∠D的度数，最后求得∠D即可；
（3）先根据多边形内角结合外角的定义求得，然后根据角平分线的定义、等量代换、角的和差解答即可．
【详解】（1）解：如图即为所求．
（2）解：五边形ABCDE的内角和为，
∵，，，
∴，
又∵，
∴．
（3）解：五边形ABCDE的内角和为，
∵，，，
∴，
又∵，，
∴，
∵CP平分，DP平分，
∴，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和、多边形的外角、对角线以及角平分线的定义等知识点，灵活运用多边形的内角和定理成为解答本题的关键．
30．在四边形中，，．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，若的平分线交于点E，且．求的度数；
(3)若和的平分线交于点E，延长，交于点F（如图3）．将原来条件“，”改为“”，其他条件不变，求的度数．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、多边形内角和问题
【分析】（1）根据四边形内角和等于求出的度数，再除以2即可求解；
（2）先根据平行线的性质得到的度数，再根据角平分线定义和四边形内角和即可求解；
（3）根据三角形内角和求出的度数，再根据角平分线定义得到的度数，最后根据三角形内角和即可求解．
【详解】（1）解：∵在四边形中，，，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴．
∵和的平分线交于点E，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线性质，四边形内角和定理，解决此题的关键是综合运用四边形的内角和以及三角形的内角和、平行线性质、角平分线的定义．
基础考点4 用正多边形铺设地面
31．用边长相等的下列两种正多边形，不能进行平面镶嵌的是（ ）
A．等边三角形和正六边形 B．正方形和正八边形
C．正五边形和正十边形 D．正六边形和正十二边形
【答案】D
【知识点】平面镶嵌
【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件即可作出判断．
【详解】A、正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，∵2×60°+2×120°=360°，能密铺；
B、正八边形的每个内角是135°，正方形的每个内角是90°，∵2×135°+90°=360°，能密铺，；
C、正五形的每个内角是108°，正十边形的每个内角是144°，∵2×108°+144°=360°，能密铺，；
D、正六边形的每个内角是120°和正十二边形的每个内角是150°，120m+150n=360°，m=3﹣n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满．
故选D．
【点睛】本题考查平面镶嵌（密铺），关键是掌握平面镶嵌（密铺）的条件.
32．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合若其中两块木板的边数均为5，则第三块木板的边数为( )
A．5 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【知识点】平面镶嵌
【详解】分析：先求出正五边形的每个内角的度数，再根据镶嵌的条件即可求出答案．
详解：
正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，顶点处已经有2个内角，度数之和为：108×2=216°，
那么另一个多边形的内角度数为：360°-216°=144°，
相邻的外角为：180°-144°=36°，
∴边数为：360°÷36°=10．
故选C.
点睛：两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
33．在体育公园新铺筑的人行道上，邓师傅正在利用边长相等的正方形和正八边形地砖铺地面，若每个顶点处用块正方形和块正八边形正好能铺满地面（，为正整数），则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】平面镶嵌
【分析】一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成360°，若能，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能求出a，b的值，代入代数式求值即可．
【详解】解：正方形的每个内角是90°，正八边形的每个内角是135°，
∵90°+135°×2＝360°，
∴a＝1，b＝2，
∴a﹣b＝1﹣2＝﹣1．
故选：B．
【点睛】本题考查平面图形的镶嵌，掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌的条件是解题的关键．
34．如图的四边形是某地板厂加工地板时剩下的边角余料，如果用这种相同的四边形木板进行镶嵌，则至少需要 块才能完成镶嵌．
【答案】4
【知识点】平面镶嵌
【分析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为时，就能镶嵌．根据任意四边形的内角和是，只要放在同一顶点的4个内角和为，即可得出答案．
【详解】解：由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角的和为时，就能镶嵌．而任意四边形的内角和是，只要放在同一顶点的个内角和为，则至少需要块才能完成镶嵌．
故答案为：
【点睛】此题主要考查了平面镶嵌，用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．因为三角形内角和为，用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌，而四边形的内角和为，用4个同一种四边形就可以在同一顶点处镶嵌．
35．大自然中许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形，则 °．
【答案】120
【知识点】正多边形的内角问题
【分析】本题考查了正多边形的内角和以及正多边形的性质，先算出正六边形的内角和，再结合每个内角都相等，即可作答．
【详解】解：∵多边形是正六边形
∴
∴
故答案为：120
36．我们知道，正五边形不能进行平面镶嵌．如图，将三个全等的正五边形拼接在一起，则度数是 ．
【答案】36°/36度
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】先求出正五边形的每个内角的度数，根据在∠1顶点处各角之和为360°即可得出∠1的度数．
【详解】解：∵正五边形的每个内角=（5-2） 180°÷5=108°，
∴∠1=360°-108°×3=36°，
故答案为：36°．
【点睛】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握多边形的内角和=（n-2） 180°是解题的关键．
37．用两种或两种以上的正多边形没有重叠、没有缝隙地填充一个平面（即每个顶点上的各个角度数的和为）并且每个顶点周围的多边形排列是相同的，所得到的图案叫做“半正密铺”图案．如图所示的“半正密铺”图案，每个顶点上和为的三个角依次为正方形、正八边形、正八边形的各一个内角，可以用记号表示．请尝试用正三角形和正六边形组成一个“半正密铺”图案，并类比上述方法用记号表示 ．（写出一种即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查正多边形的镶嵌，根据“半正密铺”图案的定义结合正三角形和正六边形的一个内角度数，进行求解即可．
【详解】解：∵正三角形的一个内角的度数为：，正六边形的一个度数为：，
∵，
∴每个顶点上和为的四个角依次为正三角形，正三角形，正六边形，正六边形的各一个内角，
∴用记号表示为：；
故答案为：．
38．两个多边形，一个多边形记为A，另一个多边形记为B，多边形A的边数是多边形B的边数的2倍．
(1)若多边形A的内角和是多边形B的内角和的3倍，求多边形A和多边形B的边数；
(2)利用边长相等的正多边形A型瓷砖和正多边形B型瓷砖能够镶嵌（不重叠、无缝隙地密铺）地面，在一个顶点的周围有a块正多边形A型和b块正多边形B型瓷砖，求的值．
【答案】(1)多边形A的边数是8，多边形B的边数是4
(2)3或4或5
【知识点】平面镶嵌、多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形内角和公式，正多边形的镶嵌，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键；
（1）设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，根据多边形内角和公式即可列方程求解；
（2）根据平面图形能够密铺应具备的条件：如果正多边形的内角度数的整数倍是即可解答．
【详解】（1）解：设多边形B的边数为n，多边形A的边数为，
则，
解得：，．
则多边形A的边数是8，多边形B的边数是4．
（2）多边形A的边数是多边形B的边数的2倍，
能够镶嵌的正多边形A和正多边形B只能是正六边形和正三角形组合，
或正八边形和正方形组合．
若是正六边形和正三角形组合，则，或，，则或5；
若是正八边形和正方形组合，则，，则．
所以，的值为3或4或5．
39．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．
（1）如图，请根据下列图形，填写表中空格：
正多边形边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数
（2）如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？
（3）从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由．
【答案】（1）60°，90°，108°，120°，…（n-2） 180°÷n；（2）正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；（3）答案见详解．
【知识点】平面镶嵌
【分析】（1）利用正多边形一个内角=180°-° 求解；
（2）进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应为360°，因此我们只需验证360°是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍；
（3）常见的两种正多边形的密铺组合有：正三角形和正四边形能密铺，正六边形只能和正三角形密铺．所以要从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，只能选择正四边形．
【详解】解：（1）由正n边形的内角的性质可分别求得正三角形、正方形、正五边形、正六边形…正n边形的每一个内角为：60°，90°，108°，120°，…（n-2） 180°÷n，
故答案为60°，90°，108°，120°，…， ；
（2）如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于360°得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形；
（3）正方形和正八边形（如下图所示），
理由：设在一个顶点周围有m个正方形的角，n个正八边形的角，那么m，n应是方程m·90＋n·135＝360的正整数解，
即2m＋3n＝8的正整数解，只有 一组，
∴符合条件的图形只有一种．
【点睛】本题主要考查了多边形内角和的知识点，求正多边形一个内角度数，可先求出这个外角度数，让180减去即可．一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°；两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
40．阅读下列材料，并完成相应任务．
关于同一种多边形的平面密铺
平面密铺的定义：平面密铺是指用一些形状大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌．
任务一：探究同一种正多边形的密铺．
如图1，通过拼图发现正方形、正六边形都可以进行密铺，此时公共顶点处的几个角正好拼成了一个周角．
问题① 铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为___________，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺．
问题② 认为正五边形可以进行密铺吗？并说明理由．
任务二：探究同一种一般多边形的密铺
经过同学们动手实验，每小组画出自己小组的拼接图，如图2．
问题③ 观察图2，可以发现任意__________和任意__________都可以单独密铺．
经过研究发现三对对边平行的六边形可以单独密铺，人们借助六边形的密铺，发现虽然正五边形不能进行密铺，但有些特殊五边形可以进行密铺，从此展开了对一般五边形的密铺探究．
目前可以密铺的凸五边形共有15种，如图3为其中一种五边形的密铺图．
问题④ 图4为图3中抽象出的一个五边形，其中，，则的度数为__________．
【答案】任务一：问题①360；问题②不能，理由见解析
任务二：问题③三角形，四边形；问题④
【知识点】平面镶嵌、正多边形的内角问题
【分析】本题考查了多边形内角和、平面镶嵌，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
任务一：问题①：根据题意即可得出答案；问题②：求出正五边形的内角度数，结合①的结论即可得出答案；
任务二：问题③：结合图形即可得出答案；问题④：由图形并结合题意计算可得答案．
【详解】解：任务一：
问题①密铺的条件为：当公共顶点处所有角的和为，并使相等的边重合时，该图形就可以进行密铺；
问题②：正五边形不可以进行密铺，理由如下：
∵正五边形的每一个内角度数为，，
∴正五边形不以进行密铺；
任务二：问题③：观察图2，可以发现任意三角形和任意四边形都可以单独密铺；
问题④：由图形并结合题意可得：的度数为．
重难点考点 探究三角形中角的关系
41．嘉嘉在测量的度数时，错误地将量角器摆放成如图所示的位置，则的度数（ ）
A．小于40° B．大于40° C．等干40° D．无法确定
【答案】B
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】连接，运用三角形的外角大于任何一个与它不相邻的外角解题即可．
【详解】连接，则
又∵是的外角，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查三角形的外角，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
42．已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形的内角和是，即可求解．
【详解】，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直的性质和三角形的内角和，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
43．如图，若∠A＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，则∠BDC＝（ ）
A．102° B．160° C．150° D．140°
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】如图，延长AD，利用三角形的外角性质分别求得∠1、∠2的值即可．
【详解】解：如图，延长AD，
∵∠1＝∠B+∠BAD，∠2＝∠C+∠CAD，∠A＝60°，∠B＝48°，∠C＝32°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C+∠BAC＝48°+32°+60°＝140°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的外角通常情况下是转化为内角来解决.
44．如图，在中，E为边上一点，延长到点F，延长到点D，连接．，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形的外角性质解答即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，熟知三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．
45．如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形的两个锐角互余、多边形内角和问题
【分析】利用四边形内角和为和直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴
故选：D．
【点睛】此题考查了直角三角形的性质和四边形的内角和，解题关键在于根据四边形内角和为和直角三角形的性质求解．
46．已知四边形，求证：．在证明该结论时，需要添加辅助线，则添加辅助线不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理的证明、多边形内角和问题
【分析】根据三角形的内角和定理，在四边形中添加辅助线构成三角形即可求解．
【详解】解：、根据图示可得，的内角和为，的内角和为，由此可得，故原选项正确，不符合题意；
、的内角和为，然后减去平角，可得，故原选项正确，不符合题意；
、的内角和为，然减去以点为圆心的周角，可得，故原选项正确，不符合题意；
、不能证明，故原选项不正确，符合题意；
故选：．
【点睛】本题主要多边形的内角和的计算方法，掌握添加辅助线构成三角形，运用三角形的内角和定理即可求解．
47．如图，六边形中，的外角都相等，即，分别作和的平分线交于点P，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形内角和定理的应用、多边形内角和与外角和综合
【分析】根据多边形外角和求出∠5+∠6=112°，根据角平分线定义进而求出∠FEP+∠EFP=124°，再根据三角形的内角和求出∠P的度数．
【详解】解：∵，多边形的外角和为360°，
∴∠5+∠6=360°-62°×4=112°，
∴∠DEF+∠AFE=248°，
∵EP，FP分别平分∠DEF和∠AFE，
∴∠FEP=∠DEF ，∠EFP=∠AFE，
∴∠FEP+∠EFP=（∠DEF+∠AFE）=124°，
∴∠P=56°．
故选：B．
【点睛】本题考查了多边形的外角和定义，角平分线的定义以及三角形的内角和，掌握以上基础知识是解决问题的关键．
48．如图，一个六边形纸片上剪去一个四边形后，得到，则 ．
【答案】/80度
【知识点】多边形内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和公式．由多边形的内角和公式，即可求得六边形的内角和，又由，即可求得的度数，继而求得答案．
【详解】解：∵六边形的内角和为：，且，
∴，
∴．
故答案为：．
49．如图，，，、的五等分线分别交于点、、、，则 ．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据题意，得到，，进而求出，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可．
【详解】解：、的五等分线分别交于点、、、，
，．
，
，
．
故答案为：．
50．四条线段、、、首尾顺次相接，组成以下图形，填空：
(1)当点、、三点共线时，如图①，__________°；
(2)当点、、三点不共线时，
①如图②（“飞镖”形），与、、之间的数量关系是__________，并说明理由；
②如图③，__________；
(3)当点在线段上时，如图④，与、之间的数量关系是_____；
(4)当线段与相交时，如图⑤（“8字”形），、与、之间的数量关系是__________．
【答案】(1)180
(2)①，理由见解析；②360
(3)
(4)
【知识点】三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用；
（1）由三角形的内角和定理可得答案；
（2）①如图，作射线，利用三角形的内角和与平角的含义可得：，，再利用角的和差运算可得结论；②如图，连接，利用三角形的内角和定理可得答案；
（3）利用三角形的内角和定理与平角的含义可得答案；
（4）利用三角形的内角和定理可得，，再进一步可得结论．
【详解】（1）解：当点、、三点共线时，如图①，；
（2）解：①如图，作射线，
∵，，
∴，，
∴；
②如图，连接，
∵，，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴；
（4）解：如图，记的交点为，
∵，，，
∴
试卷第1页，共3页
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