第8章 三角形
提优测评卷
一、单选题
1．已知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．32cm
【答案】C
【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义
【分析】本题要分情况讨论.当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况.
【详解】等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.根据等腰三角形的性质，
2．如图，，，，，垂足分别为点D、E、F中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】画三角形的高
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【详解】根据图形，是中边上的高．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
3．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部 B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
【答案】C
【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、高的性质，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键．
根据三角形的中线、角平分线、高的性质判断即可．
【详解】A．三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确；
B．三角形的三条中线都在三角形内部，正确；
C．三角形的三条高可在三角形内部，也可在外部，原说法错误；
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；
故选：C．
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=65°，∠C=35°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义得到∠DAC，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝180° ∠B ∠C＝180° 65° 35°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝40°＋35°＝75°，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
5．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（ ）
A． B．1 C．2 D．7
【答案】C
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟练掌握三角形的中线是解题的关键．
由三角形中线的定义可知，然后根据三角形的周长的定义知与的周长之差为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，．
∵的周长，的周长，
∴与的周长之差为：．
故选：C．
6．有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．若商店出售下列形状地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】C
【知识点】平面镶嵌
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能，理解题意是解决问题的关键．
【详解】解：①正方形的每个内角是，4个能组成镶嵌；
②长方形的每个内角是，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺；
④正六边形的每个内角是，能整除，3个能组成镶嵌；
综上所述，若只选购题中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种，
故选：C．
7．如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，垂线段最短的含义， 先求解，如图，过作于，再求解，结合垂线段最短可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，为的中点，
∴，
∴，
∴，
当重合时，最小，最小值为；
故选C
8．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
根据三角形的外角的性质，角平分线的定义可得，可判定①；根据平行线的性质，角平分线的定义可判定②；根据三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义可得，可判定③；由此即可求解．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②错误；
在中，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故选：C ．
二、填空题
9．西双版纳大桥是云南省境内一座桥梁，位于西双版纳州府景洪市，跨越澜沧江，是西双版纳十大标志性建筑之一，如图，西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是 ．
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
10．一个正多边形的内角和为，则这个多边形的外角的度数为 ．
【答案】60°
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720，继而可求得答案．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
11．若，，为的三边长，化简： ．
【答案】/
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】根据三角形的三边关系求出绝对值后再相减即可求解．
【详解】解：∵，，为的三边长，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和绝对值化简，解题关键是牢记三角形任意两边之和大于第三边．
12．如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
【答案】20°或60°．
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义
【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
【详解】如图所示，当∠BFD=90°时，
∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如图，当∠BDF=90°时，
同理可得∠BAD=30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，
∴∠BFD=∠BCE=50°，
∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，
综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
三、解答题
13．如图，点D在上，点E在上，相交于点，，，求的度数．
【答案】10°
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】根据三角形外角的性质可得∠BDC=70°，再由三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴∠BDC=∠A+∠C=70°，
∵，
∴∠B=180°-∠BDC-∠BOD=10°．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
14．已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为
(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）
(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值
【答案】(1)
(2)
【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、求一元一次不等式组的整数解、确定第三边的取值范围
【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；
（1）根据绝对值和平方的非负性可确定，的值，从而得出的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为，第二条边长为，
∴第三条边长的取值范围是，
即，
∴第三条边长的取值范围是；
（2）∵，满足，第三条边长为整数，
∴，
∴，
∴，即，
则三角形的周长为：，
∵为整数，
∴可取最大值为，
此时这个三角形周长的最大值为，
∴这个三角形周长的最大值为．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
15．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
【答案】（1）小明一共走了180米；（2）这个多边形的内角和是2880度．
【知识点】多边形外角和的实际应用、多边形内角和与外角和综合
【分析】（1）根据题意易得小明第一次回到出发点A需要向右转：360°÷20°=18（次），继而求得答案；
（2）根据多边形内角和公式进行求解即可得.
【详解】（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20=18，18×10=180（米），
答：小明一共走了180米；
（2）根据题意得：
（18﹣2）×180°=2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，理解题意，掌握多边形的外角和等于360°以及多边形的内角和公式是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D．若∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，E为线段BD上任一点．
（1）试求∠ABD的度数；
（2）求证：∠BEC＞∠A．
【答案】（1）45°；（2）证明见解析.
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的证明
【分析】（1）依据三角形的内角和是180°，可求∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°．又BD⊥AC，所以∠ABD=45°．
（2）依据三角形的外角大于与它不相邻的任一内角，可证∠BEC＞∠BDC＞∠A，即∠BEC＞∠A．
【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠A=45°；
（2）∵∠BEC是△CDE的外角，
∴∠BEC＞∠BDC，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＞∠A，
∴∠BEC＞∠A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；三角形的外角大于与它不相邻的任一内角．
17．已知是的平分线，是的平分线，且与相交于点E．请你利用所学知识成下列问题：
(1)如图①，若，，求的大小：
(2)如图②，求证： ；
(3)如图③，请直接写出与、之间等量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质：
（1）先利用外角说明、、、、、、之间关系，再利用等式的性质求出的度数；
（2）先利用外角说明，，再代入即可求解；
（3）仿（2）的过程即可求解；
熟练掌握：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”是解题的关键．
【详解】（1）解：是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，
即，
．
（2）证明：延长交于点，如图：
，，
，
即：，
，
即：，
把代入,得：，
，
即：．
（3）与之间等量关系：，
延长交于点，如图：
，，
，
即，
，
即：，
把代入, 得：，
，
即：．
18．小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．
(1)图1中，的度数是______．
(2)①求图1中的度数；
②图2中，，求的度数．
【答案】(1)
(2)①；②
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可；
②由三角板可知，然后根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
19．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”．
解决问题：
(1)观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ．
Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数．
【答案】(1)，理由见解析
(2)Ⅰ．50；Ⅱ．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义得运用．
根据题意连接并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案．
Ⅰ．由（1）可知，因为，，所以；
Ⅱ．由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此．
【详解】（1）解：如图
连接并延长至点 F， 根据外角的性质，可得
，
，
又∵，
∴；
（2）解：Ⅰ． 由（1）可得，；
又∵，
∴，
故答案为：50；
Ⅱ．由（1），可得，
∴，
又∵平分平分，
∴，
∴．
20．【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，，，是的“三分线”，则 ______ ；
（2）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 ______ ；
（3）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
【延伸推广】
（4）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点若，，直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示）
【答案】（1）；（2）或；（3）；（4）或或或或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角三等分线的定义：
（1）是“邻三分线”时，是“邻三分线”时，根据三角形的三分线求出即可；
（2）分情况讨论如图当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，即可得答案；
（3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可；
（4）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：（1），，是的“三分线”，
，
，
故答案为：；
（2）如图，
当是“邻三分线”时，
，，
；
当是“邻三分线”时，
，，
；
综上所述，或，
故答案为：或；
（3）∵，
∴，
，
、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
；
（4）分为四种情况：
情况一：如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由三角形外角的性质可得：，
；
情况二：如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由三角形外角的性质可得：，
；
情况三、
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
当时，如图，
由三角形外角的性质可得：，
；
当时，如图，
由外角及对顶角可得：，
；
情况四、如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由三角形外角的性质可得；
综合上述：的度数是或或或或．
21．【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系．
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值：
/度 10 30 30 20 20
/度 70 70 60 60 80
/度 30 a 15 20 30
上表中＿＿＿＿，于是得到与、的数量关系为＿＿＿＿．
【变式应用】
(2)小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”，求的度数，并写出与、的数量关系：
【思维发散】
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 上”改为“点F是延长线上一点”，其余条件不变，当，时，∠F度数为＿＿＿＿°．
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在 的延长线上，于D，，，其余条件不变，从别作出 和的角平分线，交于点P，试用 x、y表示＿＿＿＿．
【答案】(1)20，；
(2)，；
(3)32；
(4)．
【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）求出和的大小即可得到的值，再分别用和表示出和，再由即可得出答案，，
（2）如图，过点A作于G，证明，再分别求解，，再结合（1）可得出三者的关系，
（3）如图，过作于，而，证明，由（1）同理可得：，从而可得答案；
（4）如图，记，的交点为，证明，再分别利用含，的代数式表示，，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴中，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
，
∴
（2）如图，过点A作于G，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
由（1）同理可得：，，
∴，
由（1）同理可得：
∴．
（3）如图，过作于，而，
∴，
∴，
由（1）同理可得：，
∴，
∵，，
∴．
（4）如图，记，的交点为，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
由可得：
，
整理得：．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的角平分线的定义，熟练的利用三角形的内角和定理进行计算与推理是解本题的关键．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页第8章 三角形
提优测评卷
一、单选题
1．已知等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．12cm B．16cm C．20cm D．32cm
2．如图，，，，，垂足分别为点D、E、F中边上的高是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．三角形的三条角平分线都在三角形内部 B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．三角形的三条高都在三角形内部 D．三角形的中线、角平分线、高都是线段
4．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=65°，∠C=35°，则∠ADB的度数为（ ）
A．55° B．65° C．75° D．85°
5．如图所示，在中，，，是的中线，则与的周长之差为（ ）
A． B．1 C．2 D．7
6．有些地板的拼合图案如图所示，它是用正方形的地砖铺成的．用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题．若商店出售下列形状地砖：①正方形；②长方形；③正五边形；④正六边形．若只选购其中某种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
7．如图，在中，，，是边上的中线，点P是上的动点，则的最小值为（ ）
A．5 B． C． D．6
8．如图，，、、分别平分的外角、内角、外角，以下结论：①；②；③，其中正确的结论有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
9．西双版纳大桥是云南省境内一座桥梁，位于西双版纳州府景洪市，跨越澜沧江，是西双版纳十大标志性建筑之一，如图，西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是 ．
10．一个正多边形的内角和为，则这个多边形的外角的度数为 ．
11．若，，为的三边长，化简： ．
12．如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．
三、解答题
13．如图，点D在上，点E在上，相交于点，，，求的度数．
14．已知一个三角形的第一条边长为，第二条边长为
(1)求第三条边长的取值范围；（用含，的式子表示）
(2)若，满足，第三条边长为整数，求这个三角形周长的最大值
15．如图，小明从点A出发，前进10m后向右转20°，再前进10m后又向右转20°，这样一直下去，直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形．
（1）小明一共走了多少米？
（2）这个多边形的内角和是多少度？
16．如图，在△ABC中，BD⊥AC于D．若∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，E为线段BD上任一点．
（1）试求∠ABD的度数；
（2）求证：∠BEC＞∠A．
17．已知是的平分线，是的平分线，且与相交于点E．请你利用所学知识成下列问题：
(1)如图①，若，，求的大小：
(2)如图②，求证： ；
(3)如图③，请直接写出与、之间等量关系．
18．小明善于用数学的眼光观察生活，从中找到数学研究的乐趣．他用一副三角板拼成了如下两幅图．
(1)图1中，的度数是______．
(2)①求图1中的度数；
②图2中，，求的度数．
19．材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品—— 圆规．我们不妨把这样图形叫做 “规形图 ”．
解决问题：
(1)观察“规形图 ”，试探究与之间的数量关系，并说明理由；
(2)请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：
Ⅰ．如图② ，把一块三角尺 放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点若，则 ° ．
Ⅱ．如图③ ，平分平分，若，求的度数．
20．【概念认识】
如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．
【问题解决】
（1）如图①，，，是的“三分线”，则 ______ ；
（2）如图②，在中，，，若的三分线交于点，则 ______ ；
（3）如图③，在中，、分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
【延伸推广】
（4）在中，是的外角，的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点若，，直接写出的度数．（用含m、n的代数式表示）
21．【问题呈现】
小明在学习中遇到这样一个问题：
如图1，在中，，平分，于D，猜想、、的数量关系．
(1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路．于是尝试代入、的值求值，得到下面几组对应值：
/度 10 30 30 20 20
/度 70 70 60 60 80
/度 30 a 15 20 30
上表中＿＿＿＿，于是得到与、的数量关系为＿＿＿＿．
【变式应用】
(2)小明继续研究，在图2中，，，其他条件不变，若把“于D”改为“F是线段上一点，于D”，求的度数，并写出与、的数量关系：
【思维发散】
(3)小明突发奇想，交换B、C两个字母位置，在图3中，若把（2）中的“点F在线段 上”改为“点F是延长线上一点”，其余条件不变，当，时，∠F度数为＿＿＿＿°．
【能力提升】
(4)在图4中，若点F在 的延长线上，于D，，，其余条件不变，从别作出 和的角平分线，交于点P，试用 x、y表示＿＿＿＿．
试卷第1页，共3页
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C C C C C C
1．C
【知识点】等腰三角形的定义、构成三角形的条件
【分析】本题要分情况讨论.当腰长为4cm或是腰长为8cm两种情况.
【详解】等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，
当腰长是4cm时，则三角形的三边是4cm，4cm，8cm，4cm+4cm=8cm不满足三角形的三边关系；
当腰长是8cm时，三角形的三边是8cm，8cm，4cm，三角形的周长是20cm．
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，进行分类讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.根据等腰三角形的性质，
2．D
【知识点】画三角形的高
【分析】根据三角形的高线的定义解答．
【详解】根据图形，是中边上的高．
故选D．
【点睛】本题考查了三角形的高线的定义，是基础题，准确识图并熟记高线的定义是解题的关键．
3．C
【知识点】画三角形的高、根据三角形中线求长度、三角形角平分线的定义
【分析】本题考查了三角形的中线、角平分线、高的性质，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键．
根据三角形的中线、角平分线、高的性质判断即可．
【详解】A．三角形的三条角平分线都在三角形内部，正确；
B．三角形的三条中线都在三角形内部，正确；
C．三角形的三条高可在三角形内部，也可在外部，原说法错误；
D．三角形的中线、角平分线、高都是线段，正确；
故选：C．
4．C
【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角的定义及性质
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义得到∠DAC，然后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝65°，∠C＝35°，
∴∠BAC＝180° ∠B ∠C＝180° 65° 35°＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝∠DAC＋∠C＝40°＋35°＝75°，
故选：C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．
5．C
【知识点】根据三角形中线求长度
【分析】本题考查了三角形的中线的定义．熟练掌握三角形的中线是解题的关键．
由三角形中线的定义可知，然后根据三角形的周长的定义知与的周长之差为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，．
∵的周长，的周长，
∴与的周长之差为：．
故选：C．
6．C
【知识点】平面镶嵌
【分析】本题主要考查了平面镶嵌，用一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，任意多边形能进行镶嵌，说明它的内角和应能整除，由镶嵌的条件知，判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看正多边形的内角度数是否能整除，能整除的可以平面镶嵌，反之则不能，理解题意是解决问题的关键．
【详解】解：①正方形的每个内角是，4个能组成镶嵌；
②长方形的每个内角是，4个能组成镶嵌；
③正五边形每个内角是，不能整除，不能密铺；
④正六边形的每个内角是，能整除，3个能组成镶嵌；
综上所述，若只选购题中某一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有3种，
故选：C．
7．C
【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积
【分析】本题考查的是三角形的中线的性质，垂线段最短的含义， 先求解，如图，过作于，再求解，结合垂线段最短可得答案．
【详解】解：如图，过作于，
∵，，为的中点，
∴，
∴，
∴，
当重合时，最小，最小值为；
故选C
8．C
【知识点】根据平行线判定与性质证明、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．
根据三角形的外角的性质，角平分线的定义可得，可判定①；根据平行线的性质，角平分线的定义可判定②；根据三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义可得，可判定③；由此即可求解．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，即，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵平分，
∴，
∴，故②错误；
在中，，
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
综上所述，正确的有①③，共2个，
故选：C ．
9．三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性及应用
【分析】根据三角形具有稳定性解答即可．
【详解】解：西双版纳大桥中的斜拉索、索塔和桥面构成了一个三角形，这样使其更稳固，其中运用的数学原理是三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【点睛】本题考查的是三角形的性质的应用，熟记三角形具有稳定性是解题的关键．
10．60°
【知识点】多边形内角和与外角和综合
【分析】首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720，继而可求得答案．
【详解】解：设这个正多边形的边数为n，
∵一个正多边形的内角和为720°，
∴180（n-2）=720，
解得：n=6，
∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．
故答案为：60°．
【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
11．/
【知识点】化简绝对值、整式的加减运算、三角形三边关系的应用
【分析】根据三角形的三边关系求出绝对值后再相减即可求解．
【详解】解：∵，，为的三边长，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系和绝对值化简，解题关键是牢记三角形任意两边之和大于第三边．
12．20°或60°．
【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义
【分析】分情况讨论：①当∠BFD=90°时，②当∠BDF=90°时，根据角平分线和三角形高线的定义分别求解即可．
【详解】如图所示，当∠BFD=90°时，
∵AD是△ABC的角分平线，∠BAC=60°，
∴∠BAD=30°，
∴Rt△ADF中，∠ADF=60°；
如图，当∠BDF=90°时，
同理可得∠BAD=30°．
∵CE是△ABC的高，∠BCE=50°，
∴∠BFD=∠BCE=50°，
∴∠ADF=∠BFD﹣∠BAD=20°，
综上所述：∠ADF的度数为20°或60°．
故答案为：20°或60°．
【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
13．10°
【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形的外角的定义及性质
【分析】根据三角形外角的性质可得∠BDC=70°，再由三角形内角和定理，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴∠BDC=∠A+∠C=70°，
∵，
∴∠B=180°-∠BDC-∠BOD=10°．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
14．(1)
(2)
【知识点】绝对值非负性、已知字母的值 ，求代数式的值、求一元一次不等式组的整数解、确定第三边的取值范围
【分析】（1）根据三角形三边关系定理即可得出结论；
（1）根据绝对值和平方的非负性可确定，的值，从而得出的最大值，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵三角形的第一条边长为，第二条边长为，
∴第三条边长的取值范围是，
即，
∴第三条边长的取值范围是；
（2）∵，满足，第三条边长为整数，
∴，
∴，
∴，即，
则三角形的周长为：，
∵为整数，
∴可取最大值为，
此时这个三角形周长的最大值为，
∴这个三角形周长的最大值为．
【点睛】本题考查三角形三边关系定理，绝对值和平方的非负性，不等式组的整数解，三角形的周长．掌握三角形三边关系定理是解题的关键．
15．（1）小明一共走了180米；（2）这个多边形的内角和是2880度．
【知识点】多边形内角和与外角和综合、多边形外角和的实际应用
【分析】（1）根据题意易得小明第一次回到出发点A需要向右转：360°÷20°=18（次），继而求得答案；
（2）根据多边形内角和公式进行求解即可得.
【详解】（1）∵所经过的路线正好构成一个外角是20度的正多边形，
∴360÷20=18，18×10=180（米），
答：小明一共走了180米；
（2）根据题意得：
（18﹣2）×180°=2880°，
答：这个多边形的内角和是2880度．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角，理解题意，掌握多边形的外角和等于360°以及多边形的内角和公式是解题的关键．
16．（1）45°；（2）证明见解析.
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的证明
【分析】（1）依据三角形的内角和是180°，可求∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°．又BD⊥AC，所以∠ABD=45°．
（2）依据三角形的外角大于与它不相邻的任一内角，可证∠BEC＞∠BDC＞∠A，即∠BEC＞∠A．
【详解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，
∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°-∠A=45°；
（2）∵∠BEC是△CDE的外角，
∴∠BEC＞∠BDC，
∵∠BDC是△ABD的外角，
∴∠BDC＞∠A，
∴∠BEC＞∠A．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°这一隐含的条件；三角形的外角大于与它不相邻的任一内角．
17．(1)
(2)见解析
(3)
【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质：
（1）先利用外角说明、、、、、、之间关系，再利用等式的性质求出的度数；
（2）先利用外角说明，，再代入即可求解；
（3）仿（2）的过程即可求解；
熟练掌握：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”是解题的关键．
【详解】（1）解：是的平分线，是的平分线，
，，
，，
，
即，
．
（2）证明：延长交于点，如图：
，，
，
即：，
，
即：，
把代入,得：，
，
即：．
（3）与之间等量关系：，
延长交于点，如图：
，，
，
即，
，
即：，
把代入, 得：，
，
即：．
18．(1)
(2)①；②
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质
【分析】（1）由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可；
（2）①由三角板可知，，然后利用三角形外角的性质求解即可；
②由三角板可知，然后根据平行线的性质得出的度数，再利用三角形外角的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
故答案为：；
（2）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
19．(1)，理由见解析
(2)Ⅰ．50；Ⅱ．
【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用
【分析】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质以及角平分线的定义得运用．
根据题意连接并延长至点 F，利用三角形外角性质即可得出答案．
Ⅰ．由（1）可知，因为，，所以；
Ⅱ．由（1）的已知条件，由于平分平分，即可得出，因此．
【详解】（1）解：如图
连接并延长至点 F， 根据外角的性质，可得
，
，
又∵，
∴；
（2）解：Ⅰ． 由（1）可得，；
又∵，
∴，
故答案为：50；
Ⅱ．由（1），可得，
∴，
又∵平分平分，
∴，
∴．
20．（1）；（2）或；（3）；（4）或或或或
【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角三等分线的定义：
（1）是“邻三分线”时，是“邻三分线”时，根据三角形的三分线求出即可；
（2）分情况讨论如图当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，即可得答案；
（3）求出，根据、分别是邻三分线和邻三分线求出，，求出，再求出即可；
（4）画出符合的所有情况，①当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，②当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，③当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，④当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．
【详解】解：（1），，是的“三分线”，
，
，
故答案为：；
（2）如图，
当是“邻三分线”时，
，，
；
当是“邻三分线”时，
，，
；
综上所述，或，
故答案为：或；
（3）∵，
∴，
，
、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
；
（4）分为四种情况：
情况一：如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由三角形外角的性质可得：，
；
情况二：如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由三角形外角的性质可得：，
；
情况三、
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
当时，如图，
由三角形外角的性质可得：，
；
当时，如图，
由外角及对顶角可得：，
；
情况四、如图，
当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，
由三角形外角的性质可得；
综合上述：的度数是或或或或．
21．(1)20，；
(2)，；
(3)32；
(4)．
【知识点】两直线平行同位角相等、三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题
【分析】（1）求出和的大小即可得到的值，再分别用和表示出和，再由即可得出答案，，
（2）如图，过点A作于G，证明，再分别求解，，再结合（1）可得出三者的关系，
（3）如图，过作于，而，证明，由（1）同理可得：，从而可得答案；
（4）如图，记，的交点为，证明，再分别利用含，的代数式表示，，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴中，，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
，
∴
（2）如图，过点A作于G，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
由（1）同理可得：，，
∴，
由（1）同理可得：
∴．
（3）如图，过作于，而，
∴，
∴，
由（1）同理可得：，
∴，
∵，，
∴．
（4）如图，记，的交点为，
∵，
∴，
∵，平分，
∴，
∵，，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
由可得：
，
整理得：．
【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，三角形的角平分线的定义，熟练的利用三角形的内角和定理进行计算与推理是解本题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
