(共15张PPT)
6.2.1向量的加法运算
高中数学 人教A版 必修第二册 第六章
整体构建，明确思路
问题1：什么是向量？和以前学的数量有什么异同？
问题2：数的研究路径是什么？
你能类比数的研究，给出向量的研究路径么？
运算律
背景
数的运算法则
数
应用
运算律
物理背景
向量的运算法则
向量
应用
向量是既有大小又有方向的量，数量只有大小没有方向.
创设情境，构建定义
问题3：向量在具有了方向这个维度后，两个向量相加应遵循什么原则呢？物理矢量中有没有与向量加法有关的背景呢？
追问：如下图，某质点从点A经过点B到点C,这个质点的位移如何表示？
A
B
C
创设情境，构建定义
问题4：由位移的合成，你认为可以如何进行两个向量的加法运算？
求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知非零向量a和b，在平面内任取一点A,作=a，=b,则叫作a和b的和，记作a+b，即a+b=+=.这种向量求和的方法称为向量加法的三角形法则.
A
C
B
a
b
注意：（1）非零向量a和b共线时，符合三角形法则.
A
B
a
C
b
（2）对于任意的向量a和零向量，我们规定a+0=0+a=a
a+b
a+b
a
b
a
b
A
B
C
a+b
创设情境，构建定义
问题5：若两个向量a和b不共线，则向量a和b以及它们的和向量就构成一个三角形，试回忆三角形三边有什么不等关系？受此启发你可以得到|a+b|，|a|，|b|
之间的关系么？
|a+b|<|a|+|b|
追问：若向量a和b共线呢？
当向量a和b方向相反时有|a+b|<|a|+|b|
故我们可以得到：|a+b||a|+|b|，当且仅当a，b方向相同时取等号.
a
b
A
B
C
a+b
A
B
C
a
b
a+b
当向量a和b方向相同时有|a+b|=|a|+|b|
A
B
C
a+b
a
b
多角度思考，优化认知
问题6：在物理学中对矢量的合成还有其他方法吗
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1和F2的作用，你能作出这两个外力的合力F吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
如图，以同一点O为起点的两个已知向量a,b，以OA,OB为邻边作 OACB，则以O为起点的向量（OC是 OACB的对角线）就是向量a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
A
O
B
a
b
C
a+b
问题7：向量加法的三角形法则和平行四边形法则一致么 为什么
b
多角度思考，优化认知
例1: 如图，已知向量a,b，求作向量a+b
a
b
a
b
O
A
B
a+b
a
b
O
A
B
C
a+b
多角度思考，优化认知
追问：在向量加法的作图中，你认为用三角形法则作图应注意什么？用平行四边形作图呢？
三角形法则 平行四边形法则
适用条件
作法
图形
联系 首尾相连的两个向量
共起点的两个向量
在平面内任取一点A，作=a，=b，则a+b==
作a，b，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，连接OC，则=a+b
平行四边形法则与三角形法则是可以相互转化的，本质是一致的.
a
b
A
B
C
a+b
A
O
B
a
b
C
a+b
联系对比，研究运算律
问题8：根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算.向量的加法有哪些运算律？
数的加法运算律
加法交换律
加法结合律
向量的加法运算律
加法交换律
加法结合律
追问：你能证明向量加法的交换律和结合律吗？
联系对比，研究运算律
a
A
B
a+b
C
b
a+b=b+a
A
B
C
D
a
b
c
a+b
a+b+c
b+c
a+b+c=a+(b+c)
b
a
b+a
a+(b+c）
学以致用，实例应用
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h.
（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角来表示，精确到1）
A
B
C
D
学以致用，实例应用
解：（1）如图，表示船速，表示江水速度，以AD，AB为邻边作 ABCD，则表示船实际航行速度.
（2）在RtABC中，=6,=15,于是=
因为，利用计算工具可得∠CAB.
因此，船实际航行速度的大小约为16.2km/h，方向与江水速度间的夹角约为68.
反思小结，构建网络
问题9：请带着以下问题回顾本节课的学习内容，并画出学习结构图
（1）向量加法的研究路径是什么？
（2）向量加法的运算法则是什么？
（3）向量加法有哪些运算性质？如何发现这些运算性质？
（4）向量的加法运算的学习用到了哪些数学思想方法？
反思小结，构建网络
向量的加法
三角形法则
平行四边形法则
性质
三角
不等式
运算性质
运算律
加法
交换律
加法
结合律
物理背景
应用
特殊
一般
特殊
类比、数形结合
作业布置
1.基础巩固：教科书第10页练习第1-5题.
2.素养提升：
下列结论一定正确的是（ ）
(A)在△ABC中，++=0
(B)向量a的大小为2，向量b的大小为3，则向量a+b的大小为5
(C)++=0
(D)|a+b|=|a|+|b|
3.拓展探究：
在长江某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h，渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？(共14张PPT)
6.2.2向量的减法运算
高中数学 人教A版 必修第二册 第六章
整体构建，明确思路
问题1：上节课我们类比数的运算，学习了向量的加法，向量加法的研究路径是什么？
运算律
物理背景
运算法则
向量加法的定义
应用
问题2：接下来我们研究向量的减法运算，你能类比向量的加法运算研究路径，给出向量减法运算的研究路径吗？
运算性质
背景
运算法则
向量减法的定义
应用
创设情境，构建定义
问题3：你能类比数的减法运算研究过程，探索向量的减法运算吗？
寻找x使得b+x=a
可变为
沪科版七年级上
若a-b=x
创设情境，构建定义
b
a
可变为
若a-b=x
O .
B
A
寻找x使得b+x=a
+x=
即
=
即
由向量加法的三角形法则
易知：+=
于是有+=
x=
即
创设情境，构建定义
追问1：与有什么关系？（大小和方向两个方面）
与大小相等，方向相反.
与数x的相反数是-x类似，我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作-a.
注意：（1）-（-a）=a
（2）我们规定，零向量的相反向量仍是零向量.
（3）a+(-a)=(-a)+a=0，即任意向量与其相反向量的和是零向量.
即：如果a，b互为相反向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.
创设情境，构建定义
追问2：如何定义向量的减法法则呢？
求两个向量的差的运算叫做向量的减法.
减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量，即a-b=a+(-b).
创设情境，构建定义
问题4：和向量的加法研究类似，我们已经从代数角度研究了向量的减法.从几何的角度看，如果已知向量a和b，如何作图表示a-b？
O
B
A
a
b
-b
-b
a
a+（-b）
a-b
创设情境，构建定义
追问：通过作图你发现向量减法的几何意义了么？
如图已知向量a,b，在平面内任取一点O，作a,b,则=a-b.即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义.
a
b
a
b
O
A
B
a-b
简记为：共起点，连终点，指被减.
巩固新知，练习例题
例1：如图已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.
a
c
b
d
a
b
O
B
A
a-b
c
C
d
D
c-d
例2：如图在 ABCD中，=a，=b，你能用a,b表示向量,吗？
巩固新知，练习例题
A
B
C
D
a
b
解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道=a+b.
同样由向量的减法，=-=a-b.
作业布置
例3：已知点O是四边形ABCD所在平面内的任意一点，且满足+=+，判断四边形ABCD的形状.
解：由+=+
可得
由向量的减法可得：
故四边形ABCD为平行四边形.
类比推理，发现性质
问题5：类比向量加法得到的三角不等式，你能发现|a-b|，|a|，|b|之间的关系么？
有：|a-b||a|+|b|
a
b
O
A
B
a-b
（一）当a与b不共线时
（二）当a与b共线时
A
B
C
a
b
a-b
有：|a-b||a|+|b|
1、a与b同向时
A
B
C
a
b
a-b
有：|a-b|=|a|+|b|
综上我们有：|a-b||a|+|b|，当且仅当a与b方向相反时等号成立.
2、a与b反向时
反思小结，构建网络
问题6：向量减法的和向量加法运算的研究路径一致吗？请画出本节课内容的网络结构图.
数的减法
向量的加法
向量的减法
性质
运算性质
应用
代数
意义
几何
意义
三角
不等式
运算律
类比、数形结合
直观想象、逻辑推理、数学运算
作业布置
1.基础巩固：教科书第13页练习第1-3题.
2.素养提升：已知|a|=5，|b|=2，则|a-b|的取值范围是 ．
3.拓展探究：已知非零向量a，b满足：|a|=|b|=|a-b|,作=a，=a+b，则∠AOB= ．
