(共17张PPT)
高中数学 人教A版 必修第二册 第六章
6.2.4 向量的数量积
（ 第一课时 ）
力的合成
位移的合成
向量的线性运算
向量的加法
向量的减法
向量的数乘
问题：回顾我们研究了向量的哪些运算？运算的结果是什么？我们是如何研
究这些运算的？
向量的运算
向量的“乘法”？
牛顿第二定律
应用
性质和运算律
概念
物理模型
复习引入：
问题1：物理中功是如何定义的？
s
F
s
F
F1
F
新知探究：
F
s
功的概念:
如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力所
做的功为
其中 是 与 的夹角.
如何定义两向量的夹角？
向量的模
标量
问题2：你能通过力和位移的夹角抽象向量的夹角吗？
力与位移的夹角
O
S
向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，
作 ＝a， ＝b，则∠AOB＝θ 叫做向
量a与b的夹角．
a
b
b1
b2
b6
b3
b5
b4
a,b的夹角记作< a,b >
问题3：你能通过功的计算公式，抽象出向量的一种运算吗？
功的计算
向量的运算
向量的数量积（内积）
已知两个非零向量a，b，它们的夹角是θ，我们把数量
叫做向量的数量积（或内积（inner product）），记作
即
平面向量数量积的定义:
规定：零向量与任一向量的数量积为0．
注意：“ ”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ×”代替．
两个向量的数量积是数量，不是向量.．
例题讲解
我们在研究力F所做的功W时， 是力F在位移方向上的分力的大小，
F1
同起点原则
投影向量
如图，设与b方向相同的单位向量为e ，a与b的夹角为θ，那么 与e , a , θ之间有怎样的关系？
问题3：
当θ为锐角时，
当θ为直角时，
当θ为钝角时，
当θ=0时，
当θ=π时，
从上面的讨论可知，对于任意的θ∈[0,π]，都有
数量积的几何意义
向量 与 的数量积可以转化为向量 在向量 上的投影向量 与 的数量积
问题4: 当两个向量位置特殊时，他们的数量积又有怎样的特殊性呢？
向量a，b垂直
向量a ，b共线
向量a，b同向
向量a，b反向
.
特别的：
或
向量数量积的性质
判断向量垂直
求向量模长
求向量的夹角
课堂小结
物理模型
性质
应用
概念
1．习题6.2第10、21题；
2．预习向量数量积运算的运算律.
作业布置(共13张PPT)
（ 第二课时 ）
6.2.4 向量的数量积
高中数学 人教A版 必修第二册 第六章
数的乘法运算律
问题：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的
哪些运算律？你能证明吗？
复习引入：
分配律：
结合律： .
向量线性运算的运算律
交换律：
探究1：交换律
新知探究：
数的乘法的交换律：
类比
所以
．
因为
探究2：结合律
类比
|λa|·|b|
探究3：结合律？
数的乘法的结合律：
类比
分析
数量
与 共线
数量
与 共线
(a＋b)·c＝a·c＋b·c
探究4：分配律
类比
O
A
B
C
D
向量数量积的运算律
探究5：公式
？
同理：
例题讲解：
例题讲解：
课堂小结
数的乘法运算律
应用
数量积的运算律
1.课本第23页的第15题，第24页的第18题，思考拓广探索的第24题。
2.课时作业第七课时。
作业布置
67
o
艇
