(共20张PPT)
6.3.1平面向量基本定理
高中数学 人教A版 必修第二册 第六章
单元框架
向量共线定理:
向量b与非零向量a 共线,则有且只有一个实数 使得：
b= a
b
a
复习回顾
二维平面
该如何表示？
用一个向量可以吗？
一维直线
问题1：平面上也有无数个向量，我们该如何表示呢？用一个向量可以吗？
a
上升
由此可知，位于一条直线上的向量有无数个，这些都可以用某个非零向量a表示。
a
问题2：为什么要用有限个（两个）向量表示平面内任一向量？
A
B
C
D
E
F
如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2， = , E是BC中点，F是CD的中点，
求 的值.
提出问题
我们知道，物理中已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力分解为多组大小、方向不同的分力.
问题3：由力的分解得到启发，能否通过作平行四边形，向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢
问题4：设 e1，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，a是这一平面内与e1，e2 都不共线的向量.
e1
e2
a
新知探究
O
C
A
B
M
N
在平面内任取一点O，作 =e1, =e2, =a. 将a按 e1，e2的方向分解，你有什么发现？
e1
e2
e1
e2
+
e1
e2
+
a =
所以
e1
a
e2
a=λ1e1+0e2
a=0e1+λ2e2
思考1：若向量a是与e1或e2共线的非零向量，向量a还能用
表示吗？
e2
e1
+
e1
a
e2
e2
e1
a
追问：当a是零向量时， a可以表示成 的形式吗？为什么？
e2
e1
+
a=0e1+0e2
思考2:平面内,两个不共线的e1， e2 确定了，表示a的实数
对 ， 是否唯一？
e2
a
e1
演示
由此可知实数对 存在且唯一.
假设λ1－μ1，λ2－μ2不全为0，
不妨假设λ1－μ1≠0，则
所以对于给定的向量 a, e1， e2 ,
这样的 是唯一的.
思考3：若存在λ1，λ2∈R，μ1，μ2∈R，且a＝λ1e1＋λ2e2，
a＝μ1e1＋μ2e2，那么λ1与μ1，λ2与μ2有何关系？
由已知得λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，
∵e1与e2不共线，
∴λ1－μ1＝0，λ2－μ2＝0，
∴λ1＝μ1，λ2＝μ2．
由此可得e1与e2共线
这与e1与e2不共线矛盾
即(λ1－μ1)e1＋(λ2－μ2)e2＝0
如果 e1 ，e2 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量 a ， 一对实数 ，使
若e1 ，e2 不共线，我们把{e1 ，e2}叫做表示这一平面内
所有向量的一个基底.
e1
e2.
+
a =
问题5：基底有什么要求？同一平面内，基底唯一吗？
有且只有
不共线
不唯一
平面向量基本定理
A
B
C
D
E
F
如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2， = ,E是BC中点，F是CD的中点,求 的值.
解决问题
A
B
C
D
E
F
如图，已知平行四边形ABCD，AB=4，AD=2， = ,E是BC中点，F是CD的中点,求 的值.
解：
例1 如图， ， 不共线，且 ＝t （t∈R），用 、
表示
学以致用
例1 如图， ， 不共线，且 ＝t （t∈R），用 ，
表示 ．
解：因为 ，
所以
你有什么发现？
A，B，P三点共线
系数和等于1．
例2 如图，CD是△ABC的中线，且CD＝ AB，用向量方法证明△ABC 是直角三角形．
C
A
D
B
1.我们是如何探究得到结论：用平面内两个不共线的向量表示该平面内任意向量？
2.本节课我们学习了什么内容？
3.本节课的学习探究过程你有什么收获？
平移三个向量至同起点
作平行四边形
将向量按加法法则进行分解
得到表示
用反证法证明了唯一性
数学思想
数形结合
反证法
转化思想
核心素养
数学抽象
数学运算
逻辑推理
平面向量基本定理
课堂小结
单元框架
基础作业
提升作业
拓展思考
教科书练习 第1、2、3题.
教科书习题 第1、11题.
1.经过本节课的学习，我们从（一维）共线定理上升到（二维）平面向量基本定理，还能再上升到三维吗？
2.这节课如何体现了化繁为简，化无限为有限的转化思想？用基底表示了向量后，具备什么特征的基底能让运算更方便？
课后作业(共20张PPT)
6.3.3平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
高中数学 人教A版 必修第二册 第六章
单元框架
1.什么是平面向量基本定理？
如果e1，e2是同一平面内的两个_________向量，那么对于这一平面内的_______向量a，_______________实数λ1，λ2，使a＝___________.
不共线
任一
有且只有一对
λ1e1＋λ2e2
2.作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？
不共线
3.同一平面内，基底唯一吗？
不可以
不唯一
复习回顾
问题1：分别用给定的一组基底表示同一向量.你觉得哪个更实用？更简便？
a
a
e1
m
n
e2
a=e1+2e2
a= 3m+ n
选取两个互相垂直的向量作为基底的想法很特殊，也很简单
联想物理中的力的分解，常常按垂直的两个方向进行力的分解，一般称之为力的正交分解．
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解.
a
a
e1
m
n
e2
a= 3m+ n
问题2： m，n的长度为多少时更方便研究呢？
分解的两个系数由方向确定符号，由分向量与对应基向量的模之比确定绝对值
取基向量为单位向量
1.正交分解
概念形成
现在，取两个单位正交向量i ，j作为基底，则向量a，b 即可进行如图所示的分解．
i
j
a
b
这个图形能让你感觉或联想到什么？
平面直角坐标系
x
y
O
新知探究
思考1： 在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的每一个向量呢？
如图：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j ，取{i，j }作为基底．
y
x
O
i
j
a
对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj .
这样，平面内的任一向量a都可以由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a =（x，y）.其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标.
2.平面向量的坐标表示
a＝(x，y) 叫做向量a的坐标表示.
y
x
O
i
j
a
于是： a＝xi＋yj
a＝(x，y)
概念形成
y
x
O
i
j
a
追问3：以原点O为起点作
= a,
点A的坐标与向量a的坐标关系如何？
A
=（x，y）
A(x，y）
相同
（1，0）
追问2：
i=
j=
0=
(0，0）
(0，1）
a = b
追问1：
若向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)相等，它们的坐标是什么关系呢？
例1 如图，分别用基底{i，j}表示向量a，b，c，d，并求出它们的坐标
学以致用
问题3：有了向量的坐标表示，向量的运算有没有坐标表示呢？
思考2：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何求a+b,a-b的坐标？
a+b=(x1i+y1j)+(x2i+y2j)
=(x1+x2)i+(y1+y2)j
=(x1+x2，y1+y2)
同理 a-b =(x1-x2，y1-y2)
两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.
新知探究
例2 已知a，b，求 ab，ab的坐标.
学以致用
问题4：如图，已知A (x1，y1)，B (x2，y2)，你能得出 的坐标吗？
=(x2 ，y2)-(x1，y1)
=(x2-x1, y2-y1)
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去起点的坐标.
新知探究
练一练：（1）已知A ，B ，则 =
学以致用
（2）已知A ， =，则B的坐标是
符号表示
加法 a＋b＝_______________
减法 a－b＝_______________
重要结论 已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ＝______________
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(x2－x1，y2－y1)
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则有下表
例3 已知 的三个顶点的坐标分别是，，，试求顶点的坐标．
-2
-1
1
2
3
2
1
3
4
0
学以致用
解法1：设顶点D的坐标为（x，y），
=（-1-(-2),3-1)=(1,2),
=（3-x,4-y),
又
所以顶点D的坐标为（2,2）.
例3 已知 的三个顶点的坐标分别是，，，试求顶点的坐标．
-2
-1
1
2
3
2
1
3
4
0
解法2：
=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)
=(3,-1),
而
=(-1,3)+(3,-1)=(2,2)
所以顶点D的坐标为（2,2）.
1.我们是如何从平面向量基本定理到正交分解及坐标表示？
2.本节课我们学习了什么内容？
3.通过本节课的学习你有什么收获？
平面向量基本定理基底任意性
单位正交基底
坐标表示
加、减运算坐标表示
平面向量正交分解及坐标表示
平面向量加、减运算坐标表示
特殊
课堂小结
数形结合
方程思想
一般到特殊
单元框架
基础作业
提升作业
拓展思考
教科书练习 第1、2、3题.
教科书习题 第3、4题.
1.上节课思考平面向量基本定理能否从“二维”上升“三维”，那么本节课内容是否也可上升到“三维”？可以查阅相关资料了解.
2.课后谈谈你对这节课“求简”思维的理解.
课后作业
