(共14张PPT)
6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
高中数学 人教A版 必修第二册 第六章
01
02
04
05
03
06
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平面向量数量积
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平面向量的运算
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平面向量线性运算
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平面向量数乘运算
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平面向量减法运算
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回顾
目 录
C
ONTENTS
引入
例1 已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求a+b的坐标.
追问：3a+4b的坐标是什么？
解： a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5)
新知
问题1：已知a=(x，y)，类比平面向量加、减运算的坐标表示，你能得出
λa的坐标吗？
λa=λ(xi+yj)=λxi+λyj
即 λa=(λx，λy)
即：实数与向量积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
追问：已知a=(2,1)，b=(-3,4)，求3a+4b的坐标.
解： 3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19)
新知
问题2：a与λa有什么关系？
设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a=λb.如何用坐标表示两个向量共线的条件？
(x1，y1) =λ(x2，y2)
即
x1=λx2
y1=λy2
消去λ，得 x1y2-x2y1=0
所以，a，b共线的充要条件是:x1y2-x2y1=0
例2 已知a=(4,2)，b=(6,y)，且a∥b，求y.
解：因为 a∥b， 所以4y-2×6=0.
解得 y=3.
例3 已知A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，判断A，B，C三点之间的关系.
解：因为
又
所以
例题
还有其他方法吗？
直线AB,直线AC有公共点A，所以A,B,C三点共线.
例4 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1),(x2，y2).
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例题
方法一：
设P点坐标为（x，y）
方法二：
例题
方法一：
解：设P点坐标为（x，y）
方法二：
例4 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1),(x2，y2).
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例题
例4 设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是(x1，y1),(x2，y2).
(1)当P是线段P1P2的中点时，求点P的坐标；
(2)当P是线段P1P2的一个三等分点时，求点P的坐标.
例题
探究：如图，设P是线段P1P2上的一点，点P1，P2的坐标分别是（x1，y1）,
（x2，y2）. 当 时，点P的坐标是什么？
称为定比分点坐标公式.
方法一：
解：设P点坐标为（x，y）
方法二：
练习
1.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0,0)，B(4,1)，C(6,8).
(1)求顶点D的坐标
(2)若 ，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标.
A
F
E
D
C
B
y
x
I
练习
A
F
E
D
C
B
y
x
I
(2)解：设点I(x，y)，因为F为中点，则F(1，3.5)
1.如图，已知平行四边形ABCD的顶点A(0,0)，B(4,1)，C(6,8).
(1)求顶点D的坐标
(2)若 ，F为AD的中点，求AE与BF的交点I的坐标.
课堂小结
通过本节课的学习，大家谈一谈自己有哪些收获吧？
平面向量数乘运算
平面向量数乘运算的坐标表示
概念的坐标表示
平面向量共线的坐标表示
三点共线判定的坐标运算
概念
平面向量共线定理
三点共线的判定
形
数
课后作业
1.完成教材第33页1-5题
2.课后思考：向量线性运算有坐标表示，那数量积有坐标表示吗？(共14张PPT)
6.3.5平面向量数量积的坐标表示
高中数学 人教A版 必修第二册 第六章
01
02
04
05
03
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平面向量数量积
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平面向量的运算
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平面向量线性运算
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平面向量数乘运算
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平面向量减法运算
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目 录
C
ONTENTS
引入
若点A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，请你判断△ABC的形状，并说明理由.
新知
问1：已知a=(x1，y1)，b=(x2,y2),怎样用a与b的坐标表示a·b呢？
因为 a=x1i+y1j，b=x2i+y2j
所以 a·b=(x1i+y1j)·(x2i+y2j)=x1x2i2+x1y2i·j+y1x2j·i+y1y2j2
又 i2=j2=1，i·j=j·i=0
所以 a·b=x1x2+y1y2.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
追问：怎样用坐标表示a⊥b？
新知
例1：若点A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，请你判断△ABC的形状，并说
明理由.
新知
追问：若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何计算向量 的模？
问2：向量的模长可以用坐标表示吗？
若a＝(x，y)，如何计算向量的模|a|？
新知
问3：已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，是a，b的夹角，如
何表示呢？
例题
例2：已知a=(-3，4)，b=(5，2)，求|a|，|b|，a·b，cos
.
解：
例题
例3：用向量方法证明两角差的余弦公式cos()=coscos+sinsin.
证明：如图，在平面直角坐标系Oxy内作单位圆O，以x轴的非负半轴为始边作角，
它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.则
例题
两角差的余弦公式我们在必修一就已经学过了，还记得必修一中如何推导公式的吗？
例题
问：比较两角差的余弦公式的两种证明方法，你有何体会？
例题
例3：已知正方形ABCD的边长为2，点P满足
A
D
C
B
y
x
P
方法一：建立平面直角坐标系，运用向量的坐标运算求解
方法二：几何法，运用勾股定理、投影向量求解
-1
课堂小结
通过本节课的学习，大家谈一谈自己有哪些收获吧？
平面向量数量积
平面向量数乘运算的坐标表示
概念的坐标表示
平面向量模长公式的坐标表示
平面向量夹角公式的坐标表示
概念
平面向量的模长公式
平面向量夹角公式
形
数
两点的距离公式
课后作业
1.完成教材第36页练习1-3题
2.完成教材第36页习题6.3 1-10题
3.尝试画出6.1—6.3节的思维导图