第03讲 向量的基本定理
课程标准 学习目标
理解两个平面向量共线的含义． 2．理解平面向量基本定理及其意义． 1．理解并掌握两个向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题． 2．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义． 3．会用基底来表示其他向量． 4．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点01 共线向量基本定理
（1）定义：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得bλa．
（2）几点说明
①bλa时，通常称为b能用a表示．
②其中的“唯一”指的是，如果还有bμa，则有λμ．
作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得λ．
A，B，C三点共线 存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足λ＋μ(λ＋μ1)．
【即学即练1】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a2e1－e2，与向量be1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
知识点02 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxa＋yb．
2.基底与向量的分解
平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果cxa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．
【解读】①当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv．
②当x≠0或y≠0时，必定有xa＋yb≠0．也就是说，当a与b不共线时，xa＋yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0．
的差向量，可以简记为“共起点，连终点，指被减”
【即学即练2】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，则x________，y________．
题型01 共线向量定理的应用
【典例1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）．
A．3 B． C． D．2
【变式2】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
【变式3】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）已知向量不共线，且，若与反共线，则实数λ的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
题型02 基底的判断
【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【变式2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
题型03 用基底表示向量
【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知在中， ，分别为，的中点， ， ，则可以用含，的式子表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一下·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（ ）
A． B．
C． D．
题型04 根据向量基本定理求参数
【典例4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，点在边上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值是9
【变式3】（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）如图中，，，，若，则 .
题型05 平面向量基本定理的综合问题
【典例5】（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）（多选）已知图中，，，为图中的阴影中（含边界）任意一点，并且，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在无数个点，使得
【变式1】（23-24高一下·河南漯河·期中）（多选）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列正确的是（ ）
A． λ使得||>||
B．△PCD的面积为定值
C．∠CPD的取值范围是[，]
D．||的取值范围是[，]
【变式2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值
【变式3】已知为所在平面内的一点，且，若点在的内部（不含边界），则实数的取值可以是_____
一、单选题
1．（2024高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（ ）
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
3．（22-23高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形
4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
5．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B．. C．1 D．2
6．（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
7．（23-24高一下·河北·期中）在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高一下·全国·课堂例题）若，是平面内两个不共线的向量，，是实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，满足，则
B．对于平面内任意一个向量，使得不成立的实数，有无数对
C．可以表示平面内的所有向量
D．当，取不同的值时，向量可能表示同一向量
10．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·四川达州·期末）如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（ ）．
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果O为的重心，那么
D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么
三、填空题
12．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 .
13．（23-24高一下·江苏连云港·期中）设是平面内两个不共线的向量，， ，，．若三点共线，则的最小值是 ．
14．（23-24高一下·北京·期中）四边形ABCD中，，且，若，则 ．
四、解答题
15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，．
(1)若向量与共线，求实数的值；
(2)若，用，的线性组合表示．
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．
17．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 .
(1)请用 与 表示 ;
(2)用向量方法证明：四边形是平行四边形.
18．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图,已知点是的重心,过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合）,设.
(1)求的值；
(2)求的最小值,并求此时的值.
19．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.
(1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；
(2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围.
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课程标准 学习目标
理解两个平面向量共线的含义． 2．理解平面向量基本定理及其意义． 1．理解并掌握两个向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题． 2．理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义． 3．会用基底来表示其他向量． 4．会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点01 共线向量基本定理
（1）定义：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得bλa．
（2）几点说明
①bλa时，通常称为b能用a表示．
②其中的“唯一”指的是，如果还有bμa，则有λμ．
作用：如果A，B，C是三个不同的点，则它们共线的充要条件是：存在实数λ，使得λ．
A，B，C三点共线 存在实数λ，μ对平面内任意一点O(O不在直线BC上)满足λ＋μ(λ＋μ1)．
【即学即练1】设e1，e2是两个不共线的向量，若向量a2e1－e2，与向量be1＋λe2(λ∈R)共线，则λ的值为________．
【答案】－
【解析】因为向量a与b共线，所以存在唯一实数μ，使bμa不成立．
即e1＋λe2μ(2e1－e2)2μe1－μe2，
所以(2μ－1)e1(λ＋μ)e2，
又因为e1与e2不共线．
所以解得λ－.
知识点02 平面向量基本定理
1.平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得cxa＋yb．
2.基底与向量的分解
平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}，此时如果cxa＋yb，则称xa＋yb为c在基底{a，b}下的分解式．
【解读】①当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果cxa＋ybua＋vb，那么xu且yv．
②当x≠0或y≠0时，必定有xa＋yb≠0．也就是说，当a与b不共线时，xa＋yb≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0．
的差向量，可以简记为“共起点，连终点，指被减”
【即学即练2】已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e26e1＋3e2，则x________，y________．
【答案】－15 －12
【解析】根据平面向量基本定理可知向量e1，e2不共线可以作为一组基底，则表示是唯一的，从而，解的x= －15,y=－12.
题型01 共线向量定理的应用
【典例1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【分析】根据向量共线定理一一分析即可.
【详解】对A，，
则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确；
对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误；
对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误；
对D，，因为，
故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误.
.
【变式1】（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）．
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】由由A，B，D三点共线，得存在实数，使，再用表示后，由向量相等可得．
【详解】由已知，由A，B，D三点共线，
故存在实数，使，即，
即，解得．
．
【变式2】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用共线向量定理列式求解即得.
【详解】由是两个不共线的向量，得是非零向量，又与共线，
则，即，于是，所以.
【变式3】（23-24高一下·四川广安·阶段练习）已知向量不共线，且，若与反共线，则实数λ的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】C
【分析】根据题意设，然后将，代入化简，可得，从而可求出实数λ的值.
【详解】解：由于与反向共线，则存在实数k使，
于是，
整理得．
由于不共线，所以有，整理得，
解得或．
又因为，故．
．
题型02 基底的判断
【典例2】（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平面向量共线定理以及基底的概念逐一判断即可.
【详解】对于A选项，，所以共线，不能作为基底；
对于B选项，，所以共线，不能作为基底；
对于C选项，，所以共线，不能作为基底；
对于D选项，易知不共线，可以作为基底.
.
【变式1】（23-24高一下·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】由不共线的两个非零向量才可以作为基底，结合共线定理对各项逐一判断.
【详解】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；
对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底；
对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；
对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底；
.
【变式2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】A
【分析】根据基底的定义，结合共线向量的性质逐一判断即可.
【详解】A：假设和是共线向量，因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，因此不不成立，
因此假设不不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；
B：假设和是共线向量，因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，因此不不成立，
因此假设不不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底；
C：假设和是共线向量，因此有，
因为，为平面向量的一组基底，
所以，不是共线向量，且，因此要想不成立，
一定有，显然无实数解，因此假设不不成立，
因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底；
D：因为，
所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底，
【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）设点O是两条对角线的交点，下列组合中：①与；②与；③与；④与，其中可作为表示平行四边形所在平面所有向量的基的是（ ）
A．①② B．①③ C．①④ D．③④
【答案】C
【分析】根据基底的定义判断即可.
【详解】①不共线可以做基底，②不可以做基底；
③不共线可以做基底，④不可以做基底；
故所在平面所有向量的基的是①③.
.
题型03 用基底表示向量
【典例3】（24-25高三上·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用向量加法及数乘向量运算求解即得.
【详解】依题意，，而，
所以
【变式1】（24-25高二上·河南·阶段练习）已知在中， ，分别为，的中点， ， ，则可以用含，的式子表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由向量的加减法则，，分别与相应的关系，再消元构建三者的关系，得出结果.
【详解】由题意得，，，故，
故.
.
【变式2】（24-25高三上·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.
【详解】因为四边形为平行四边形，且，，
所以，即①，
又，即②，
由①②得到，又，，所以.
.
【变式3】（23-24高一下·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】，故，
则.
题型04 根据向量基本定理求参数
【典例4】（24-25高三上·江苏南通·期中）在中，，，，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以为基底表示向量，因为，则，建立与的等量关系，求解即可.
【详解】因为，，所以，
又，所以，
则，解得：，.
【变式1】（24-25高三上·福建南平·期中）在中，点在边上，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的线性运算把用表示后可得，从而得结论．
【详解】由已知，
所以，，，
．
【变式2】（24-25高三上·江西·期中）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值是9
【答案】ACD
【分析】由平面向量的基本定理及共线的推论得，再应用基本不等式、二次函数性质判断各项正误.
【详解】
因为，则，又，，共线，所以，A正确；
由，则，则，当且仅当时取等号，B错误；
由，当时有最小值，C正确；
因为，
当且仅当，即时，等号不成立，D正确.
CD
【变式3】（23-24高三上·安徽淮南·阶段练习）如图中，，，，若，则 .
【答案】
【分析】先设得到，再设得到，再结合平面向量基本定理求得，即可求解.
【详解】设，
则，
设，
则，
所以，解得，则，结合题设有
所以，
故答案为：
题型05 平面向量基本定理的综合问题
【典例5】（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）（多选）已知图中，，，为图中的阴影中（含边界）任意一点，并且，下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．存在无数个点，使得
【答案】ACD
【分析】按点的位置分类，结合向量线性运算探讨的取值及关系，再逐项分析判断得解.
【详解】由，得，又，则，
于是，，连接，则四边形为平行四边形，
有，当点在线段上时，，
而，不共线，则，，
当点在线段上时，，当点在线段上时，，
当点在内时，过点作交于，则，
其中，，
则，，，，因此，
对于A，，A正确；
对于B，取，则，B错误；
对于C，由，得，C正确；
对于D，点为线段上任意一点时，均有，D正确．
CD
【变式1】（23-24高一下·河南漯河·期中）（多选）已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且=+λ，λ∈R，则下列正确的是（ ）
A． λ使得||>||
B．△PCD的面积为定值
C．∠CPD的取值范围是[，]
D．||的取值范围是[，]
【答案】CCD
【分析】对于A，根据正六边形的对称性判断即可；对于B，根据可得，从而确定在正六边形的对角线上运动，进而根据到的距离为定值判断即可；对于C，根据正六边形的对称性分析最值即可；对于D，根据当时，有最小值，点与点重合时，有最大值，判断即可.
【详解】
由可得，
即，可得，
对于A，因为正六边形关于对角线对称，故，故A错误；
对于B，在正六边形的对角线上运动，
所以到的距离为定值，所以的面积为定值，故B正确；
对于C，根据图形的对称性，当为中点时，取得最大值，
当与重合时取得最小值，即的取值范围是，故C正确；
对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线的距离，
又当时，有最小值，当点与点重合时，有最大值，故D正确.
CD
【变式2】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）欧拉线是由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出的一个几何定理，指出在一个三角形中，其外心、重心和垂心共线.这条直线被称为欧拉线.在三角形ABC中，O为三角形的外心，P为三角形垂心（O点与P点不重合），且，动点M在直线OP上，且，则的最大值
【答案】
【分析】首先利用欧拉线的性质以及已知的平行关系得到一些向量关系，再根据向量的线性表示求出与的关系，最后求的最大值.
【详解】设为重心，则由欧拉线定理可知在上，
连接交于点，
所以为的中线，所以，
点在直线上，设，
所以，
所以，所以，
所以，当时取最大值.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出和的代数关系.
【变式3】已知为所在平面内的一点，且，若点在的内部（不含边界），则实数的取值可以是_____
【答案】
【解析】
如图，
由得，,
所以,所以,
所以解得，故实数的取值范围是故答案为：.
一、单选题
1．（2024高一下·全国·专题练习）下列关于基底的说法正确的序号是（ ）
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
【答案】C
【分析】由基底的定义可逐项判断.
【详解】对于①，平面内任意两个不共线的向量都可以作为基底（只要不共线就行），正确；
对于②，零向量和任何一个向量都平行，不能作为基底，错误；
对于③，由平面向量基本定理知，基底确定，分解形式也唯一确定，正确,
所以①③正确.
2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若已知、是平面上的一组基，则下列各组向量中不能作为基的一组是（ ）
A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】A
【分析】由基的定义可判断选项正误.
【详解】因、是平面上的一组基，则、不共线，据此可得ABC选项所对应向量组均不共线，可作为基，
D选项，与共线，则不可以作为一组基.
3．（22-23高一下·浙江温州·阶段练习）在四边形中，对角线与交于点，若，则四边形一定是（ ）
A．矩形 B．梯形 C．平行四边形 D．菱形
【答案】C
【分析】利用向量判断四边形形状首先考虑判断对边的位置与大小关系，根据变形可得，可得四边形为梯形.
【详解】由，得，
所以，
可得且.
所以四边形一定是梯形．
4．（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】A
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
．
5．（24-25高三上·山东·期中）已知向量，不共线，，，若，，三点共线，则（ ）
A． B．. C．1 D．2
【答案】A
【分析】因为，，三点共线，则与共线，由此可以根据向量共线的性质列出等式，进而求出与的关系，最后得出的值.
【详解】由于，，三点共线，所以与共线.
存在实数，使得，即.
因为，不共线，根据向量相等的性质，若，则.
由，将其代入可得.
.
6．（23-24高一下·北京通州·期中）如图，在中，是的中点，是延长线上一点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据平面向量的线性运算可得结果.
【详解】因为，所以为的中点，又D是AB的中点，
所以，
则，.
.
7．（23-24高一下·河北·期中）在中，为边上的中点，是上靠近的四等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据几何关系，转化向量，用基底表示.
【详解】因为，
由已知可得，，所以，
所以．
8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，I是的平分线上一点，且，若内（不包含边界）的一点D满足，则实数x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将向量 归一化可得，结合向量的线性运算可得，结合题意列式求解即可.
【详解】设，则，且，
可得，
则，可得，
即，可得，
则，
因为，则，可得，
所以，
因为，解得，
所以实数x的取值范围是.
.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是以为基底表示出.本题的难点在于用表示出向量.
二、多选题
9．（24-25高一下·全国·课堂例题）若，是平面内两个不共线的向量，，是实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，满足，则
B．对于平面内任意一个向量，使得不成立的实数，有无数对
C．可以表示平面内的所有向量
D．当，取不同的值时，向量可能表示同一向量
【答案】AC
【分析】根据平面向量的线性运算、平面向量基本定理等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】若，则，从而向量，共线，这与，不共线相矛盾，则，同理可得，故A正确；
由平面向量基本定理可知，唯一确定，故B不正确；
平面内的每个向量可表示成的形式，反之也不成立，故C正确；
结合向量加法的平行四边形法则易知，当和确定后，其和向量便唯一确定，故D不正确.
C
10．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）在中，在边上，，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【分析】根据向量的线性运算判断各选项的准确性.
【详解】如图：
对A：，故A错误；
对B：，故B错误；
对C：，故C正确；
对D：，故D正确.
D
11．（23-24高一下·四川达州·期末）如图，已知O是内部任意一点，，，的面积分别为，，，．根据上述结论，则（ ）．
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果O为的重心，那么
D．如果O为直角的内心，且两直角边，，那么
【答案】CCD
【分析】依题意易判断A错误，利用平面向量线性运算计算，平面向量基本定理可知B正确，由重心性质可得C正确，根据三角形内心性质并利用勾股定理可判断D正确.
【详解】对于A：由题意,结合，
可得,即A错误.
对于B：由,
可得;
整理得,
即得，即B正确；
对于C：如果O为的重心，
则可知，
可知，即C正确；
对于D：如果O为的内心，设内切圆半径为r,
则,
又,,则,所以，
可知，即D正确.
CD.
【点睛】本题关键在于将重心、内心性质转化为向量OA,OB,OC之间得关系式，进而实现问题求解.
三、填空题
12．（23-24高一下·四川内江·阶段练习）若，是两个不共线的向量，且与共线，则实数的值为 .
【答案】
【分析】由题意结合共线向量定理可得存在实数，使，化简后可求得结果.
【详解】因为与共线，
所以存在实数，使，
因为，是两个不共线的向量，
所以，所以，
解得或，所以
故答案为：
13．（23-24高一下·江苏连云港·期中）设是平面内两个不共线的向量，， ，，．若三点共线，则的最小值是 ．
【答案】8
【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【详解】， ,若三点共线，
设，即，是平面内两个不共线的向量，，解得，，
则，
当且仅当，即时，取等号，故最小值为8.
故答案为：8.
14．（23-24高一下·北京·期中）四边形ABCD中，，且，若，则 ．
【答案】2
【分析】由题设可得且，利用相似三角形和向量的线性运算将用与的另式表达，根据平面向量基本定理列出方程求解即得.
【详解】如图，由可得且，
易得,则有
于是, 因，
故得由，解得：.
故答案为：2.
四、解答题
15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，．
(1)若向量与共线，求实数的值；
(2)若，用，的线性组合表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量共线的定理计算可得；
（2）由向量的线性运算和共线定理计算可得；
【详解】（1）因为向量与共线，所以设，
即，
所以，
（2）设，
又因为，
由向量基本定理，得，解得
所以．
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到；
（2）计算出，结合（1）可得，证明出结论.
【详解】（1）由题可知，
，
（2）
，且有公共点M
，，三点共线.
17．（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 .
(1)请用 与 表示 ;
(2)用向量方法证明：四边形是平行四边形.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可.
【详解】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点，
所以，
于是有，
即；
（2）因为、依次是对角线上的两个三等分点，
所以，
于是有，
即，因此，
显然有，不共线，
因此且，
所以四边形是平行四边形.
18．（23-24高一下·江苏徐州·阶段练习）如图,已知点是的重心,过点作直线分别与边交于两点（点与点不重合）,设.
(1)求的值；
(2)求的最小值,并求此时的值.
【答案】(1)
(2)最小值为,
【分析】（1）是的重心,所以，结合性质得解.
（2）“乘1法”，再将1进行代换，用基本不等式解决.
【详解】（1）因为是的重心,
所以,
因为,所以,因为三点共线,
所以,则.
（2）由⑴得,,则,
所以,当且仅当且,即,
所以的最小值为,此时.
19．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，已知，，且点是的重心.过点的直线与线段、分别交于点、.设，（，）.
(1)求的值，并判断是否为定值，若是则求出定值，若不是请说明理由；
(2)若的周长为，的周长为.设，记，求的取值范围.
【答案】(1)，是定值，理由见详解
(2)
【分析】（1）根据题意可得，变形可得，根据三点共线，即可得的值；
（2）根据题意可得，，故得的表达式，根据的范围，利用函数性质，即可得答案.
【详解】（1）已知，，所以，
所以，
因为，，则，，
因为点是的重心，所以，
因为在直线上，所以.
（2），
所以，
设，由（1）得，所以
所以
因为，，又因为，则，
因为，所以，
因为，所以当时，的最小值为：，当或时，的最大值为：，所以，
因为的对称轴为，所以在上单调递增，又因为在上也是单调递增，所以在上单调递增，
所以当时，，当时，，
所以的取值范围为
【点睛】本题的关键在于利用小问（1）所得的结论，结合根据三点共线确定，将双变量函数化为单变量函数，结合函数的定义域求函数的值域.
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