第六章 平面向量初步章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（ ）
A．体积 B．距离
C．拉力 D．质量
2．（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
4．（23-24高一下·山东聊城·期中）对于任意两个向量，，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若与共线，则存在唯一的实数，使得
D．若，满足，且与同向，则
5．（24-25高三上·山东德州·期中）已知向量，，若与平行，则（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三上·河北邢台·开学考试）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·宁夏固原·开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．若向量共线，则必在同一条直线上
B．若为平面内任意三点，则
C．若点为的重心，则
D．已知向量，若，则
10．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 .
13．（23-24高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 .
14．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，．
(1)若向量与共线，求实数的值；
(2)若，用，的线性组合表示．
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．
17．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四边形中，，，和交于点P．
(1)若，求x的值；
(2)求的值．
18．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.
(1)试用和表示，
(2)若，，求的最小值.
19．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，．
(1)若三角形ABD为等边三角形，求四边形ABCD的面积
(2)求筝形ABCD的面积的最大值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第六章 平面向量初步章末测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：170分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共80分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高二上·黑龙江佳木斯·阶段练习）下列量中是向量的为（ ）
A．体积 B．距离
C．拉力 D．质量
【答案】D
【分析】由向量的定义即可判断
【详解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向
故选:C
2．（21-22高一下·天津·阶段练习）向量，化简后等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的加法与减法可化简所得向量式.
【详解】.
.
3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【分析】根据向量共线定理一一分析即可.
【详解】对A，，
则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确；
对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误；
对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误；
对D，，因为，
故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误.
.
4．（23-24高一下·山东聊城·期中）对于任意两个向量，，则下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若与共线，则存在唯一的实数，使得
D．若，满足，且与同向，则
【答案】C
【分析】根据向量的加法与减法法则，判断出A、B两项的正误；根据向量共线的条件，判断出C项的正误；根据向量的定义得到两个向量不能比较大小，从而得出D项的正误．
【详解】A．根据平面向量的加法法则，可知，故错误，不符合题意；
B．根据平面向量的减法法则，可知，故正确，符合题意；
C．若与共线，为零向量且不是零向量，则不存在实数，使得不成立，故错误，不符合题意；
D，因为向量是既有大小又有方向的量，所以两个向量不能比较大小，
因此“若，满足，且与同向，则”是假命题，故错误，不符合题意；．
．
5．（24-25高三上·山东德州·期中）已知向量，，若与平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平面向量的坐标表示以及平行关系，列方程即可得.
【详解】由，可得，
若若与平行可知，
解得.
6．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可.
【详解】由题可知，，,
所以有，所以，得.
7．（22-23高三上·河北邢台·开学考试）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用坐标法，设，可得，进而可得，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.
.
8．（23-24高一下·山东东营·期末）如图，已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】题中有90°，因此建立平面直角坐标系，用坐标表示向量进行运算即可．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
，
，
设，
，
，解得，
所以.
.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·宁夏固原·开学考试）下列命题正确的是（ ）
A．若向量共线，则必在同一条直线上
B．若为平面内任意三点，则
C．若点为的重心，则
D．已知向量，若，则
【答案】CC
【分析】由向量共线的定义判断A，由向量运算性质判断B，由向量运算性质结合三角形重心的性质可判断C，由向量共线的坐标运算判断D.
【详解】对于A，若向量，共线，只需两个向量方向相同或相反即可，
则A，B，C，D不必在同一直线上，故A错误；
对于B，由向量线性运算性质知，故B正确；
对于C，若点为的重心，设中点为，则，
由重心性质知，所以，故C正确；
对于D，因为向量，，所以，
化简得，故D错误.
C.
10．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知M为的重心（三角形三条中线的交点），D为BC的中点，则下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】利用三角形重心定理，结合向量线性运算，逐项分析判断作答.
【详解】如图，为的重心，D为BC的中点，
因三角形重心到三顶点的距离不一定相等，A不正确；
，则，B正确；
，C正确.
，D不正确；
C
11．（23-24高一下·福建漳州·期中）在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最小值为
C． D．的最小值为
【答案】CC
【分析】先利用向量的线性运算判断AC，再利用三点共线得到，进而利用基本不等式与“1”的妙用即可得解.
【详解】如图所示，因为，则，即，
所以，故A错误；
又因为，
所以，故C正确；
因为三点共线，则，
所以，则，
当且仅当，即时，等号不成立，
所以的最小值为，故D错误；
所以，
当且仅当，即时，等号不成立，
所以的最小值为，故C正确.
C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 .
【答案】3
【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值.
【详解】已知，根据向量的减法法则，
则.因为，又，所以，移项可得.
由于，那么，所以.
故答案为：.
13．（23-24高一下·山东淄博·阶段练习）已知梯形ABCD中，，三个顶点.则顶点的坐标 .
【答案】
【分析】在梯形中，，．得到，设点D的坐标为，根据向量相等得到方程组，可得答案.
【详解】解：∵在梯形中，，，，，．
∴．设点D的坐标为．
则，．
∴，即，
∴解得故点的坐标为．
故答案为：．
14．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知所在平面内一点满足，则 ．
【答案】5
【分析】取的中点，则，进而可得.
【详解】如图，取的中点，则，
故，故、、三点共线，
故，
故答案为：5
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）设，是不平行的向量，且，．
(1)若向量与共线，求实数的值；
(2)若，用，的线性组合表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量共线的定理计算可得；
（2）由向量的线性运算和共线定理计算可得；
【详解】（1）因为向量与共线，所以设，
即，
所以，
（2）设，
又因为，
由向量基本定理，得，解得
所以．
16．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到；
（2）计算出，结合（1）可得，证明出结论.
【详解】（1）由题可知，
，
（2）
，且有公共点M
，，三点共线.
17．（23-24高一下·江西吉安·期末）在平行四边形中，，，和交于点P．
(1)若，求x的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）以为基底表示出，再利用求解即可；
（2）由（1）得出和，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）依题意可得，
又，，
所以，解得．
（2）由（1）可得，则，即．
因为，即，
所以，即，所以，
所以．
18．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F.
(1)试用和表示，
(2)若，，求的最小值.
【答案】(1)，
(2)3
【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可；
（2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解.
【详解】（1）由题意，为的中点，所以，
又为的中点，所以；
，即，
；
故，.
（2）由，，，
得，，
所以 ，
因为E，F，G三点共线，则 ，
则，
当且仅当，即，时取等号所以的最小值3.
19．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）如图，四边形ABCD为筝形（有一条对角线所在直线为对称轴的四边形），满足，AD的中点为E，．
(1)若三角形ABD为等边三角形，求四边形ABCD的面积
(2)求筝形ABCD的面积的最大值
【答案】(1)；
(2)8.
【分析】（1）直接利用三角形的面积公式即可求得答案；
（2）建立坐标系，利用向量法结合基本不等式即可得出筝形ABCD的面积最大值.
【详解】（1）△ABD为正三角形，且中线，则，
又，，
.
（2）以点O为坐标原点，建立如右图所示的直角坐标系．
设，
则．
因为，所以，
即，当且仅当时，取等号．
筝形ABCD的面积为
即当时，筝形ABCD的面积最大为8.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
