第02讲 平面向量的线性运算
课程标准 学习目标
熟练运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及其几何意义进行向量的加法运算； 理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 1. 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算法则,理解其几何意义； 2. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 3.了解平面向量的线性运算率及其应用； 4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义．
知识点01 向量加法的定义及运算法则
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．向量的加法运算法则
（1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作a，b，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＋
图示：
（2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则＋a＋b，对角线就是a与b的和.
图示：
（3）对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋00＋aa.
【解读】（1）向量加法的三角形法则要注意三点：
①两个向量一定首尾相连；
②和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点；
③当多个向量相加时，可以使用三角形法则．
（2）向量加法的平行四边形法则注意两点：①两个非零向量一定要有相同的始点；
②平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向量；
3.三角不等式：向量a，b的模与a＋b，a-b的模之间的关系：|a|-|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【解读】①当a与b不共线时,a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。
②当a与b同向时,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。
③当a与b反向时,若|a|≥|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。
若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。
【即学即练1】下列判断错误的是 ( )
A ＋＋
B 任意两个向量的和仍然是一个向量．
C 两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．
D 任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．
2. (多选)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A． B．＋ C．＋ D．＋
知识点02 向量加法的运算律
（1）交换律：a＋bb＋a
（2）结合律：a＋(b＋c)(a＋b)＋c
【解读】用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算．如＋＋＋＋.
知识点03向量的减法及其几何意义
1.相反向量
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)a，a＋(－a)(－a)＋a0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0－0.
2．向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－ba＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
3．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作a，b，则a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(2)平行四边形法则
如图①，设向量b，a，则－b，由向量减法的定义，知a＋(－b)a－b.
又因为b＋a，所以a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在 ABCD中，a，b，则a＋b，a－b.
【解读】（1）两个向量的差仍是一个向量；
（2）向量的减法可以转化为向量的加法,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
（3）向量减法的三角形法则中，表示，强调了差向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量，的差向量，可以简记为“共起点，连终点，指被减”
【即学即练2】（1.（多选）下列判断正确的是( )
A相反向量一定是共线向量． B两个相反向量之差等于0.
C向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． D两个向量的差仍是一个向量．
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．0 B．
C． D．0
知识点04向量的数乘运算及运算律
1．向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．
(1)|λa||λ||a|．特别地，当λ0时，λa0．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
【解读】从两个角度理解向量数乘
(1)代数角度
实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；λa0 λ0或a0.
(2)几何角度
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸长到原来的λ倍
λ<－1 在反方向上伸长到原来的－λ倍
0<|λ|<1
0<λ<1 在原方向上缩短到原来的λ倍
－1<λ<0 在反方向上缩短到原来的－λ倍
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，a，b为向量，则满足如下运算律：
(1)λ(μa)(λμ)a；
(2)(λ＋μ)aλa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)λa＋λb；
(4)(－λ)a－(λa)λ(－a)，λ(a－b)λa－λb.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)λμ1a±λμ2b．
【解读】向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差．
(2)λ0或a0 λa0.
【即学即练3】（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （ ）
A． B．
C． D．
知识点05共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使bλa．
【解读】（1）判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定理，即向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使bλa.因此，在考虑问题时，不要忽略零向量．
（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s，则必有ts0.
【即学即练4】判断下列各小题的向量与是否共线。
。
题型01 平面向量的线性运算
【典例1】（多选）下列能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）化简等于（ ）
A． B． C． D．
【变式3】下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
题型02 线性运算的几何意义
【典例2】（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】 设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为 , 。
题型03 向量共线问题
【典例3】4．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或
【变式1】（2024·青海·一模）已知向量不平行，向量与平行，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
题型04 三点共线问题
【典例4】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【变式1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【变式2】（23-24高一下·四川·期末）点满足向量，则点与的位置关系是（ ）
A．点为线段的中点 B．点在线段延长线上
C．点在线段的延长线上 D．点不在直线上
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
题型05 线性运算在实际问题中的应用
【典例5】（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走了 km B．向西南走了 km
C．向东南走了 km D．向西南走了 km
【变式2】在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏东，
D．北偏东，
【变式3】（23-24高一下·云南·阶段练习）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走 B．向西南走
C．向东南走 D．向西南走
题型06 线性运算在几何问题中的应用
【典例6】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．
【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知，D、E分别是AB、AC的中点，求证；．
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形．
【变式3】（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 .
(1)请用 与 表示 ;
(2)用向量方法证明：四边形是平行四边形.
题型07 三角形重心、内心的向量表示
【典例7】O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【变式1】已知向量、（三点不共线），若，则点是（ ）
A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心
【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【变式3】（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
一、单选题
1．（24-25高一下·全国·随堂练习）等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（ ）
A． B．
C．与的方向相同 D．与的方向相反
3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知非零向量与同向，则（ ）
A．必与同向 B．必与同向
C．可能与同向、反向也可能是 D．不可能与同向
4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，点在边上，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
6．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）．
A．3 B． C． D．2
7．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形
8．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
二、多选题
9．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（ ）
A．当时，的方向与的方向一定相反
B．当时，的方向具有任意性
C．
D．当时，的方向与的方向一定相同
11．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
三、填空题
12．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ．
13．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 .
14．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ．
四、解答题
15．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．
16．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，，
(1)求证：；
(2)判断三点的位置关系.
17．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，，.
18．（23-24高一下·河北·期中）已知非零向量和不共线．
(1)如果，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若向量与平行，求实数k的值．
19．（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．
(1)当时，用向量表示，；
(2)证明：为定值．
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课程标准 学习目标
熟练运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则及其几何意义进行向量的加法运算； 理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件。 1. 借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算法则,理解其几何意义； 2. 通过实例，掌握向量减法的运算，并理解其几何意义； 3.了解平面向量的线性运算率及其应用； 4.通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解两个平面向量共线的含义．
知识点01 向量加法的定义及运算法则
1．向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法．
2．向量的加法运算法则
（1）三角形法则：已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作a，b，向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＋
图示：
（2）平行四边形法则：已知不共线的两个向量a，b，在平面内任取一点O，作a，b，以OA，OB为邻边作 OACB，连接OC，则＋a＋b，对角线就是a与b的和.
图示：
（3）对于零向量与任意向量a，我们规定：a＋00＋aa.
【解读】（1）向量加法的三角形法则要注意三点：
①两个向量一定首尾相连；
②和向量的始点是第一个向量的始点，终点是第二个向量的终点；
③当多个向量相加时，可以使用三角形法则．
（2）向量加法的平行四边形法则注意两点：①两个非零向量一定要有相同的始点；
②平行四边形中的一个对角线所对应的向量为和向量；
3.三角不等式：向量a，b的模与a＋b，a-b的模之间的关系：|a|-|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
【解读】①当a与b不共线时,a+b的方向与a,b都不相同,且|a+b|<|a|+|b|。
②当a与b同向时,a+b,a,b的方向相同,且|a+b|=|a|+|b|。
③当a与b反向时,若|a|≥|b|,则a+b与a的方向相同,且|a+b|=|a|-|b|。
若|a|<|b|,则a+b与b的方向相同,且|a+b|=|b|-|a|。
【即学即练1】下列判断错误的是 ( )
A ＋＋
B 任意两个向量的和仍然是一个向量．
C 两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．
D 任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．
【答案】D
2. (多选)在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是( )
A． B．＋ C．＋ D．＋
【答案】AB
知识点02 向量加法的运算律
（1）交换律：a＋bb＋a
（2）结合律：a＋(b＋c)(a＋b)＋c
【解读】用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式，实现简化运算．如＋＋＋＋.
知识点03向量的减法及其几何意义
1.相反向量
(1)我们规定，与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.
(2)－(－a)a，a＋(－a)(－a)＋a0.
(3)零向量的相反向量仍是零向量，即0－0.
2．向量减法的定义
求两个向量差的运算叫做向量的减法．
我们定义，a－ba＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量
3．向量减法的几何意义
(1)三角形法则
如图，已知a、b，在平面内任取一点O，作a，b，则a－b，即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．
(2)平行四边形法则
如图①，设向量b，a，则－b，由向量减法的定义，知a＋(－b)a－b.
又因为b＋a，所以a－b.
如图②，理解向量加、减法的平行四边形法则：
在 ABCD中，a，b，则a＋b，a－b.
【解读】（1）两个向量的差仍是一个向量；
（2）向量的减法可以转化为向量的加法,减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。
（3）向量减法的三角形法则中，表示，强调了差向量的“箭头”指向被减向量.即作非零向量，的差向量，可以简记为“共起点，连终点，指被减”
【即学即练2】（1.（多选）下列判断正确的是( )
A相反向量一定是共线向量． B两个相反向量之差等于0.
C向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． D两个向量的差仍是一个向量．
【答案】ACD
2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
A．0 B．
C． D．0
【答案】D
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，所以，
∴0，，0.
∴只有C错误．
知识点04向量的数乘运算及运算律
1．向量数乘的定义
一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．
(1)|λa||λ||a|．特别地，当λ0时，λa0．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．
【解读】从两个角度理解向量数乘
(1)代数角度
实数与向量的乘积λa仍然是一个向量；λa0 λ0或a0.
(2)几何角度
|λ|>1
λ>1 在原方向上伸长到原来的λ倍
λ<－1 在反方向上伸长到原来的－λ倍
0<|λ|<1
0<λ<1 在原方向上缩短到原来的λ倍
－1<λ<0 在反方向上缩短到原来的－λ倍
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，a，b为向量，则满足如下运算律：
(1)λ(μa)(λμ)a；
(2)(λ＋μ)aλa＋μ_a；
(3)λ(a＋b)λa＋λb；
(4)(－λ)a－(λa)λ(－a)，λ(a－b)λa－λb.
3．向量的线性运算
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是向量．
对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)λμ1a±λμ2b．
【解读】向量的线性运算类似于多项式的运算，具有实数与多个向量和的乘积形式，计算时应先去括号．共线向量可以“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．
(1)实数和向量可以求积，但不能求和或求差．
(2)λ0或a0 λa0.
【即学即练3】（24-25高二上·北京朝阳·阶段练习） （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的加减法即可得到答案.
【详解】.
.
知识点05共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使bλa．
【解读】（1）判断两个向量是否共线的关键是看两个向量是否满足向量共线定理，即向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使bλa.因此，在考虑问题时，不要忽略零向量．
（2）这个定理可以用一般形式给出：若存在不全为0的一对实数t，s，使t＋s，则与共线；若两个非零向量与不共线，且t＋s，则必有ts0.
【即学即练4】判断下列各小题的向量与是否共线。
。
【答案】（1）共线 （2）共线 （3） 不共线
题型01 平面向量的线性运算
【典例1】（多选）下列能化简为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】根据向量的线性运算分别判断即可．
【详解】解：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不合题意；
BC．
【变式1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量加减法则计算即得.
【详解】.
.
【变式2】（23-24高一下·天津南开·阶段练习）化简等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量线性运算计算即可．
【详解】，
．
【变式3】下列各式中，化简后不是零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加法、减法运算化简即可得解.
【详解】因为，故A错误；
因为，故B正确；
因为，故C错误；
因为，故D错误.
题型02 线性运算的几何意义
【典例2】（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可.
【详解】，
.
【变式1】（23-24高一下·河南郑州·期末）在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则求解即得.
【详解】在中，，则.
【变式2】（23-24高一下·浙江·期中）如图所示，D，E为边BC上的三等分点，且则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三等分点得出向量相等结合向量的方向即可判断选项.
【详解】D，E为边上的三等分点，所以，
所以D选项正确；
若，则不不成立，C选项错误；
方向不同不能相等，A选项错误；
方向相反不能相等，B选项错误.
.
【变式3】 设|a|=8,|b|=12,则|a+b|的最大值与最小值分别为 , 。
【答案】 20 4
【解析】 当a,b共线同向时,|a+b|=|a|+|b|=8+12=20,当a,b共线反向时,|a+b|=||a|-|b||=4。当a,b不共线时,||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|,即4<|a+b|<20,综上知,4≤|a+b|≤20,所以最大值为20,最小值为4。
题型03 向量共线问题
【典例3】4．（24-25高三上·山东日照·阶段练习）已知向量，不共线，且，，若与同向共线，则实数的值为（ ）
A．1 B．
C．1或 D．或
【答案】C
【分析】先根据向量平行求参数，再根据向量同向进行取舍.
【详解】因为与共线，所以，解得或.
若，则，，所以，所以与方向相反，故舍去；
若，则，，所以，所以与方向相同，故为所求.
【变式1】（2024·青海·一模）已知向量不平行，向量与平行，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量共线定理、平面向量基本定理即可求解.
【详解】因为向量与平行，
所以．
因为向量不平行，
所以解得．
故选：.
【变式2】（24-25高三上·浙江·期中）已知，是不共线的单位向量，若，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量共线，得到，再结合条件，得到，即可求解.
【详解】因为，设，则，
即，解得，
.
【变式3】（23-24高一下·贵州安顺·期末）已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用共线向量定理列式求解即得.
【详解】由是两个不共线的向量，得是非零向量，又与共线，
则，即，于是，所以.
题型04 三点共线问题
【典例4】（23-24高一下·广东佛山·阶段练习）已知平面向量，不共线，，，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【答案】A
【分析】运用向量共线的判定先证明向量共线，再得到三点共线.
【详解】对于A，，与不共线，A不正确；
对于B，，，则与不共线，B不正确；
对于C，，，则与不共线，C不正确；
对于D，，
即，又线段AC与CD有公共点C，所以三点共线，D正确．
．
【变式1】（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）若，，且向量，不共线，则一定共线的三点是（ ）
A．A、B、D B．A、B、C C．B、C、D D．A、C、D
【答案】A
【分析】根据向量共线定理一一分析即可.
【详解】对A，，
则共线，又因为有公共点，则A、B、D三点共线，故A正确；
对B，因为，故不共线，则A、B、C三点不共线，故B错误；
对C，因为，故不共线，则B、C、D三点不共线，故C错误；
对D，，因为，
故不共线，则A、C、D三点不共线，故D错误.
.
【变式2】（23-24高一下·四川·期末）点满足向量，则点与的位置关系是（ ）
A．点为线段的中点 B．点在线段延长线上
C．点在线段的延长线上 D．点不在直线上
【答案】D
【分析】分析可得，进而可得结果.
【详解】因为，即，可得，
所以点在线段的延长线上.
.
【变式3】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根据向量共线定理和基本不等式即可求解.
【详解】因为三点共线，
所以存在实数k，使，即，
又向量不共线，所以，
由，所以，
当且仅当时，取“=”号，
题型05 线性运算在实际问题中的应用
【典例5】（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间.
【详解】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度，
要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，
如图指：，
所以.
.
【变式1】（23-24高三上·广东汕头·期末）设表示向东走了10 km，表示向南走了5 km，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走了 km B．向西南走了 km
C．向东南走了 km D．向西南走了 km
【答案】A
【分析】由向量加法的几何意义以及勾股定理即可求解.
【详解】可以表示向东走了10 km，再向南走了10km，由勾股定理可知，
所表示的意义为向东南走了 km.
.
【变式2】在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（ ）
A．北偏西，
B．北偏西，
C．北偏东，
D．北偏东，
【答案】A
【分析】根据题意，作出图形，借助于直角三角形求出的模和即得.
【详解】
如图，船从点O出发，沿方向行驶才能使船垂直到达对岸，
依题意，，，
则，则，
因为为锐角，故，
故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.
故选:A.
【变式3】（23-24高一下·云南·阶段练习）设表示“向东走”，表示“向南走”，则所表示的意义为（ ）
A．向东南走 B．向西南走
C．向东南走 D．向西南走
【答案】A
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，结合具体实际意义可得.
【详解】表示“向东走8km”，表示“向南走4km”，即表示向南走8km，
根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向东南走km.
．
题型06 线性运算在几何问题中的应用
【典例6】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知是平行四边形的对角线上的两点，且，求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明见解
【分析】设，，根据平面向量共线定理证明即可．
【详解】证明：设，则，设，
所以，
所以，
，
，
所以，
所以四边形是平行四边形．
【变式1】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，已知，D、E分别是AB、AC的中点，求证；．
【答案】证明见解析
【分析】用表示，然后由共线向量定理即可证明.
【详解】，
因为D、E分别是AB、AC的中点，所以，,
所以,
所以，因为不在一条线上，所以.
【变式2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知四边形ABCD和点O在同一平面上，设向量，，，，且．求证：ABCD是平行四边形．
【答案】证明见解析
【分析】根据得出，进而得出，然后即可得出ABCD是平行四边形.
【详解】因为，
所以，
因为向量，，，，
所以，
即，
所以，且，
所以四边形ABCD是平行四边形.
【变式3】（23-24高一下·河北邯郸·阶段练习）如图，在平行四边形中，、依次是对角线上的两个三等分点，设 .
(1)请用 与 表示 ;
(2)用向量方法证明：四边形是平行四边形.
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质进行求解即可；
（2）根据平面向量基本定理，结合平面向量线性运算的性质、相等向量的定义进行证明即可.
【详解】（1）因为、依次是对角线上的两个三等分点，
所以，
于是有，
即；
（2）因为、依次是对角线上的两个三等分点，
所以，
于是有，
即，因此，
显然有，不共线，
因此且，
所以四边形是平行四边形.
题型07 三角形重心、内心的向量表示
【典例7】O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：，则直线AP一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
【答案】D
【分析】根据平面向量的线性运算结合三角形四心的定义即可得解.
【详解】取线段BC的中点E，则，
动点P满足：，
则，则，所以，
又为两向量的公共起点，所以三点共线，
所以直线一定通过的重心．
．
【变式1】已知向量、（三点不共线），若，则点是（ ）
A．的中点 B．的中点 C．的中点 D．的重心
【答案】A
【分析】根据平面向量的线性运算计算即可得出结论.
【详解】因为，所以，
即，所以点是的中点.
．
【变式2】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】C
【分析】先根据单位向量的加法得出点在角平分线上进而得出轨迹过内心即可.
【详解】指向角A的平分线方向，
而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向，
所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上，
所以点P的轨迹会经过内心.
.
【变式3】（2024·全国·二模）点是所在平面内两个不同的点，满足，则直线经过的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【分析】根据向量的运算，并结合数形结合分析，即可判断.
【详解】设的中点为点，所以，
则，
若四点共线时，即点都在中线上，所以经过三角形的重心，
若四点不共线时，，且，连结，交于点，
如图，
，即点是三角形的重心，即经过的重心，
综上可知，经过的重心.
一、单选题
1．（24-25高一下·全国·随堂练习）等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量减法原则，以及相反向量的定义，即可得出结果.
【详解】,
2．（24-25高一下·全国·随堂练习）已知非零向量，满足，则（ ）
A． B．
C．与的方向相同 D．与的方向相反
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用共线向量的定义判断即得.
【详解】非零向量，满足，则与的方向相同，且，ABD错误，C正确.
3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知非零向量与同向，则（ ）
A．必与同向 B．必与同向
C．可能与同向、反向也可能是 D．不可能与同向
【答案】D
【分析】比较的大小关系即可逐一判断.
【详解】向量与同向，
当时，与同向；
当时，与反向；
当时，．
.
4．（23-24高一下·福建福州·期中）在中，点在边上，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根已知条件和向量的减法法则即可直接计算得解.
【详解】由题.
.
5．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（ ）
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线
【答案】C
【分析】先得到，，然后得到即可判断B正确；对于ACD，说明对应的向量不共线即可排除.
【详解】因为，
所以，，
因为，所以A，B，D三点共线，故B符合题意；
因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，B，C三点不共线，故A不符合题意；
因为是不共线的向量，，所以不共线，即B，C，D三点不共线，故C不符合题意；
因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，C，D三点不共线，故D不符合题意；
.
6．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）是平面内不共线两向量，已知，，，若A，B，D三点共线，则k的值是（ ）．
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【分析】由由A，B，D三点共线，得存在实数，使，再用表示后，由向量相等可得．
【详解】由已知，由A，B，D三点共线，
故存在实数，使，即，
即，解得．
．
7．（24-25高一下·全国·课后作业）在四边形中，，则一定有（ ）
A．四边形是矩形 B．四边形是菱形
C．四边形是梯形 D．四边形是平行四边形
【答案】A
【分析】由得到且，根据平行四边形的判定得到四边形是平行四边形.
【详解】因为，所以，即且，
所以四边形的一组对边平行且相等，所以四边形是平行四边形，
．
8．（23-24高一下·云南昭通·期中）已知为内一点，且满足，若的面积与的面积的比值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】如图，根据平面向量的线性运算可得，则在线段上，且，设，结合和计算即可求解.
【详解】由，得，
如图，分别是的中点，
则，
所以在线段上，且，
得，设，则，所以，
因为，，，
所以，则，解得.
二、多选题
9．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，是不共线的向量，下列向量，共线的为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】CC
【分析】根据向量间关系判断向量平行关系判断A,B,C,假设向量共线求参法判断D.
【详解】因为，是不共线的向量，所以，都不是零向量．
A中，若与共线，则，共线，这与已知矛盾，所以与不共线；
B中，因为，所以与共线；
C中，因为，所以与共线；
D中，若与共线，则存在实数，使，
即，所以．
因为，是不共线向量，
所以，方程组无解，
所以与不共线.
C.
10．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（ ）
A．当时，的方向与的方向一定相反
B．当时，的方向具有任意性
C．
D．当时，的方向与的方向一定相同
【答案】ABD
【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C.
【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确；
对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确；
对于D，由可得，同为正或同为负，
所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确；
对于C，，故C错误．
BD.
11．（23-24高一下·福建泉州·期中）已知向量，不共线，若，，且，，三点共线，则关于实数，的值可以是（ ）
A．2， B．， C．2， D．，
【答案】AB
【分析】根据，，三点共线，可得出存在，使得，从而可得出，根据不共线可得出，从而得出，从而可得出正确的选项．
【详解】因为，，三点共线，则存在实数，使得，
即，即，所以，
又因为向量，不共线，所以，解得，
所以实数，的值互为倒数即可求解．
B．
三、填空题
12．（24-25高二上·山东潍坊·开学考试）化简： ．
【答案】
【分析】利用向量的线性运算求解即可.
【详解】.
故答案为：
13．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知平面内四个不同的点A，B，C，D满足，则 .
【答案】3
【分析】先对等式进行变形，将其转化为与和有关的形式，然后再求的值.
【详解】已知，根据向量的减法法则，
则.因为，又，所以，移项可得.
由于，那么，所以.
故答案为：.
14．（23-24高一下·广东广州·期末）如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ．
【答案】
【分析】当实际速度垂直于河岸航程最短，根据向量加法的平行四边形法则求解即可.
【详解】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短．
设实际速度、船速、水流速度分别为、、，
如图，，已知，
则，河宽，
所以，船的航行时间．
所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要．
故答案为：.
四、解答题
15．（24-25高一上·河北保定·期中）如图，在中，，．设，．
(1)用，表示，；
(2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线．
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平面向量线性运算法则，计算出，进而得到；
（2）计算出，结合（1）可得，证明出结论.
【详解】（1）由题可知，
，
（2）
，且有公共点M
，，三点共线.
16．（23-24高一下·全国·课堂例题）已知、是两个不平行的向量，向量，，，
(1)求证：；
(2)判断三点的位置关系.
【答案】(1)证明见解析；
(2)三点共线
【分析】（1）求出，找到使不成立的即可证明；
（2）根据可知三点共线.
【详解】（1）证明：，
因此，
（2）由（1）知，又有公共点C，故三点共线.
17．（24-25高一下·全国·课堂例题）如图所示，四边形是以向量，为邻边的平行四边形.又，，试用，表示，，.
【答案】，，
【分析】应用向量的线性运算数形结合，用已知向量表示得出
【详解】因为，
所以.
因为，
所以.
.
18．（23-24高一下·河北·期中）已知非零向量和不共线．
(1)如果，，，求证：A，B，D三点共线；
(2)若向量与平行，求实数k的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据两向量的线性关系得出向量共线，再结合公共点B，即可证明.
（2）因为两个向量平行得出向量关系结合平面向量基本定理列式求参.
【详解】（1）因为，又，
故，又与有公共点B，
所以A，B，D三点共线．
（2）因为与共线，即，
因为与是不共线的两个非零向量，
所以，故综上，k的值为．
19．（23-24高一下·北京大兴·期中）如图，在中，点是的中点，，过点的直线分别交边于（不同于）两点，且，．
(1)当时，用向量表示，；
(2)证明：为定值．
【答案】(1)，；
(2)证明见解析
【分析】（1）由是的中线和向量加法的平行四边形法则得到，再由表示出；
（2）由得到，又由、、三点共线，得到，从而表示出，因为，不共线，所以系数相等，得到的关系.
【详解】（1）因为点是的中点，所以是的中线，所以，
当时，；
（2）由（1）知，所以，
因为、、三点共线，所以，
所以，
由已知，，所以，
所以，
因为，不共线，所以，即，消去整理可得，
所以为定值.
【点睛】方法点睛：两直线交点在向量中的应用
本题中，点为直线和的交点，
所以、、三点共线，；、、三点共线，.
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