第一章：空间向量与立体几何
（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二上·北京·月考）若，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·广东茂名·月考）设点，，，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·广东珠海·开学考试）设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·河南·月考）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·浙江金华·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高二上·山东济南·月考）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（ ）
A．点关于原点O的对称点的坐标为
B．点关于y轴的对称点的坐标为
C．点关于平面对称的点的坐标是
D．点到平面的距离为1
10．（23-24高二上·重庆黔江·月考）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
11．（23-24高二上·山东枣庄·月考）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A．当时，的最小值为
B．当时，有且仅有一个点P满足
C．当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等
D．当时，线段AP扫过的图形面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
13．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知点，，，则到的距离为 .
14．（23-24高二上·广东江门·月考）已知， ，则最大值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24二上·山西临汾·月考）已知，且.
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
16．（23-24高二上·四川泸县·月考）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
17．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．
(1)求证：；
(2)当，且时，求点P的坐标．
18．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面．
(1)求；
(2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（23-24高二上·北京顺义·月考）如图，平面，，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点E到平面的距离为，求三棱锥的体积.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章：空间向量与立体几何
（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高二上·北京·月考）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可知，
根据向量减法的坐标运算法则可得，
即.
2．（23-24高二下·广东茂名·月考）设点，，，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，且，
因为，可得，解得，即点..
3．（23-24高二下·广东珠海·开学考试）设向量不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知，
由向量共面定理，知共面，同时及共面，易
得选项A、B、D错误；
因为不共面，结合上面的结论，所以不共面，
故可作为空间的一个基底.．
4．（23-24高二上·河南·月考）如图，在圆锥中，点A，B在底面圆周上，点C，D分别是母线的中点，，记，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知,
由得,
因为点C，D分别是母线的中点，
所以，
则
.
5．（23-24高二上·浙江金华·月考）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于平面的方程为，所以平面的法向量，
在平面上任取一点，则，
点到平面距离.
6．（23-24高二上·山东菏泽·月考）已知三点不共线，对平面外的任一点O，下列条件中能确定点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】平面外的任一点O，点共面的充要条件是，且，
对于A，由，得，点不共面，A不是；
对于B，由，得，点不共面，B不是；
对于C，由，得，点不共面，C不是；
对于D，由，得，点共面，D是.
7．（23-24高二上·山东济南·月考）如图所示的四棱锥中，底面为正方形，且各棱长均相等，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】令四棱锥的各条棱长均为2，则，
由是的中点，得,
显然不共面，，
又，
，
因此，
所以则异面直线与所成角的余弦值为.
8．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）已知正方体的棱长为1，且满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
由空间向量的共面定理可知，点四点共面，即点在平面上，
所以的最小值为点到平面的距离，
由正方体棱长为，可得是边长为的等边三角形，
则，，
由等体积法得，，所以，
所以的最小值为.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高二上·河北石家庄·期中）在空间直角坐标系中，以下结论正确的是（ ）
A．点关于原点O的对称点的坐标为
B．点关于y轴的对称点的坐标为
C．点关于平面对称的点的坐标是
D．点到平面的距离为1
【答案】ABD
【解析】对于A，点关于原点O的对称点的坐标为，故A正确；
对于B，点关于y轴的对称点的坐标为，故B正确；
对于C，点关于平面对称的点的坐标是，故C错误；
对于D，点到平面的距离为，故D正确.BD.
10．（23-24高二上·重庆黔江·月考）下列命题是真命题的有（ ）
A．A，B，M，N是空间四点，若能构成空间的一个基底，那么A，B，M，N共面
B．直线l的方向向量为，直线m的方向向量为，则l与m垂直
C．直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α
D．平面α经过三点是平面α的法向量，则
【答案】CD
【解析】对于A选项，因能构成空间的一个基底，
故不能平移到同一个平面内，即 A，B，M，N不共面，A项错误；
对于B选项，因，即，故l与m垂直，B项正确；
对于C选项，要使l⊥α,须使与共线，不妨设，
则得：，显然该方程组无解，故C项错误；
对于D选项，因是平面内的两个向量，是平面α的法向量，
故解得：则有：，故D项正确.D.
11．（23-24高二上·山东枣庄·月考）在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则（ ）
A．当时，的最小值为
B．当时，有且仅有一个点P满足
C．当时，有且仅有一个点P满足到直线的距离与到平面的距离相等
D．当时，线段AP扫过的图形面积为
【答案】AC
【解析】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，，
则，，，，
则，∴.
选项A：当时，点为线段上的点，
将平面和平面沿展开为同一个平面，如图：
连接，则的最小值为，故A正确；
选项B：当时，，，，
则，即，即满足条件的P点有无数个，故B错误；
选项C：当时，，
则，，，，
则在上的投影为，
则点P到直线的距离；
平面的一个法向量为，，
则点P到平面的距离为，
当点P到直线的距离与到平面的距离相等时，
，∵，∴方程有一个解，
则，即仅存在一个点P满足条件，故C正确；
D选项：当时，，
可知点在以和为半径的上，线段是以为旋转轴的圆锥的母线，
所以线段扫过的图形面积为，故D错误．C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知空间向量，，向量在向量上的投影向量坐标为
【答案】
【解析】由投影向量的定义可知，，
13．（23-24高二上·山东潍坊·期中）已知点，，，则到的距离为 .
【答案】/
【解析】因为，，
所以
所以,
所以点到的距离.
14．（23-24高二上·广东江门·月考）已知， ，则最大值为
【答案】
【解析】，
当时，，
由，所以，当且仅当，即时等号不成立，
故，
当时，，故的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24二上·山西临汾·月考）已知，且.
(1)求；
(2)求向量与夹角的大小.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1），
，
；
（2）由（1）可得，
，
向量与垂直，
即向量与夹角的大小为.
16．（23-24高二上·四川泸县·月考）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且．
(1)设向量，，，用、、表示向量、；
(2)求证：、、 三点共线．
【答案】(1)，；(2)证明见解析
【解析】（1）因为，则，
所以，
又因为，则，
所以；
（2）因为
，且，
所以，即、、三点共线．
17．（23-24高二上·河北石家庄·月考）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，P是直线l上的任意一点，O为坐标原点．
(1)求证：；
(2)当，且时，求点P的坐标．
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】（1）由点，点，得，
由向量为直线l的方向向量，得，
于是，而，消去得，
所以.
（2）由（1）知，而，则，
又，显然，
由，得，解得，
所以点P的坐标是.
18．（23-24高二上·湖北襄阳·月考）如图，在四棱锥中，底面四边形满足，棱上的点满足直线平面．
(1)求；
(2)若，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)2；(2)
【解析】（1）由题意得：连接交于点，过做，交于点，
如图所示：由于平面，平面，
所以平面，又平面．平面，
所以平面平面，平面平面，
平面平面，所以，故，
由于，
所以，则，所以四边形为正方形，所以，
在中，，
所以，所以，；
（2）在和中，由可得：
，
满足，所以，又．
又有交于点，所以平面，满足两两垂直，
故以为原点，OC，OD，OP所在的直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
于是有．
设平面的法向量为，由，
取，又，
故所求角的正弦值为．
19．（23-24高二上·北京顺义·月考）如图，平面，，，，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值；
(3)若点E到平面的距离为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【解析】（1）因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面；
（2）以为坐标原点，方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
过点作轴，交轴于点，
因为，，
所以为等腰直角三角形，且，
又因为，所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
所以，
又因为，所以为等腰直角三角形，
所以，
由上可知：，
所以，
设平面的一个法向量为，
所以，所以，令，则，
取平面的一个法向量为，
所以，
由图可知平面与平面的夹角为钝角，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
（3）设，所以，
设平面的一个法向量为，
所以，所以，令，则，
又因为，
所以到平面的距离，
所以，解得，
又因为平面，，所以平面，
所以
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
