1.1.2 空间向量基本定理
课程标准 学习目标
1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义; 2.通过选取适当的基底将空间向量进行分解，从而使用“基底法”解决空间中的线线垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而展现出空间向量基本定理的重要作用; 1.理解空间向量基本定理的概念和原理 2.掌握空间向量基本定理的运用方法 3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能力。
知识点01 空间向量的基本定理
空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
【即学即练1】（2023高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理，只要判断三个向量是否共面即可，由此逐项判断．
【详解】因为，，
又，
显然A，B，C三个选项中的向量都与共面，
而D选项中多了个，无论如何，是无法用线性表示的．
．
【即学即练2】（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用表达出三个向量，设，得到方程组，无解，得到不共面，能作为空间中的一组基底.
【详解】A选项，共面，不能作为空间中的一组基底，A正确；
B选项，不共面，能作为空间中的一组基底，B错误；
C选项，不共面，能作为空间中的一组基底，C错误；
D选项，因为，，
设，
即，
，无解，
故不共面，能作为空间中的一组基底，D错误.
难点：空间向量基本定理与外接球结合问题
示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为一组单位正交基底
B．
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为
【答案】ACD
【分析】如图，将三棱锥补形为正方体，结合单位正交基底、向量的线性运算、三棱锥的体积公式、球的表面积公式依次求解即可．
【详解】A：将三棱锥补形为正方体，则三棱锥内接于直径为的球，
如图所示，则两两垂直，故A正确；
B：，故B错误；
C：由题意知平面，又，，
所以，故C正确；
D：由选项A知，该正方体的对角线长为，三棱锥外接球即为正方体得外接球，
所以该球的表面积，故D正确.
CD．
【题型1：空间向量的基本定理及辨析】
例1．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，由向量共面列式求解即得.
【详解】依题意，共面，则存在实数，使得，
于是，
因此，解得.
变式1．（23-24高二上·贵州安顺·期末） ，，是三个不共面的单位向量， 可为空间的一个基底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据基底的定义，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】根据基底的定义，可知，若 ，，是三个不共面的单位向量，则可为空间的一个基底，
反过来，若为空间的一个基底，则，，是三个不共面的向量，不一定是单位向量，
所以是的充分不必要条件.
变式2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】A
【分析】
由题意可知不共面，由此分别判断各选项中的向量是否共面，即得答案.
【详解】由于构成空间的一个基底，故不共面，
对于A，与共面，不共面，故，，不共面，
否则，若，，共面，则共面，不符题意，A错误；
对于B，假设，，共面，则存在实数，使得，
即，则，方程组无解，
假设不不成立，故，，不共面，B错误；
对于C，，与共面，由于不共面，
故，与不共面，C错误；
对于D，，故，，共面，
变式3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的共面充要条件与空间基底的性质逐项判断即可.
【详解】不存在实数，，使得，所以，，不共面，可以构成空间的另一组基；
因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基；
因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基；
因为，所以，，共面，不能构成空间的另一组基.
.
变式4．（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】C
【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值.
【详解】由于，，所以不共线，
由于不能构成空间的一个基底，
所以存在使得，即
，
所以，解得.
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断.
【详解】对于选项A：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于选项B：因为，
则，方程无解，即不存在实数使得该式不成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：因为，
则，方程无解，即不存在实数使得该式不成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；
对于选项D：因为，
则，方程无解，即不存在实数使得该式不成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故D正确；
CD.
变式6．（多选）（23-24高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的基底的含义，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】对于A，能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的3个向量，
由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，A正确；
对于B，空间的基底不唯一，不共面的3个向量，均可作为空间的一组基底，B错误；
对于C，由于两两垂直的三个非零向量不共面，故可以构成空间的一个基底，C正确；
对于D，由于是空间的一个基底，故不共面，
而与共面，故与不共面，且不共线，
故也是空间的一个基底，D正确，
CD
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【题型2：用基底表示向量】
例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】连，，根据空间向量的线性运算分析求解.
【详解】连，，
可得
.
.
变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合条件用表示，即可得出结果.
【详解】因为，，，
所以，，
所以，
所以，.
变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】以，，作为一组基底表示出，再根据数量积的运算律求出，即可得解.
【详解】依题意
，
所以
，
所以，即.
变式3．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ．
【答案】
【分析】根据空间向量基本定理结合题意求解即可.
【详解】因为E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，
所以
.
故答案为：
变式4．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ．
【答案】
【分析】取中点N，连接，，利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】取中点N，连接，
又
，.
故答案为：.
变式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体的所有棱长均为1， ，则= ．
【答案】
【分析】利用空间向量基本定理，选取为基底表示向量，再通过平方的方法求出其模长.
【详解】因为平行六面体的所有棱长均为1，
，
所以
．
故答案为：.
变式6.（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．
【答案】
【分析】运用空间向量的加减法和题设条件，将所求向量用空间的基向量表示即得.
【详解】连接，因为点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，
所以
，
所以.
故答案为：.
变式7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 .
【答案】
【分析】由是的中点，可得，再由向量的线性运算可得,即可得答案.
【详解】解：连接，如图所示：
因为是的中点，分别是，的中点，
所以
,
又因为，
所以，
所以.
故答案为：
【方法技巧与总结】
1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示.
2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点：
①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；
②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；
③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.
【题型3：空间向量基本定理及其应用】
例3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得.
【详解】在四面体中，由分别为线段的中点，
得，
而，由空间向量基本定理得：，
所以.
变式1．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】由空间向量的线性运算和空间向量基本定理求解即可.
【详解】结合图形可知：
是的中点，,,
，
是的中点，,
,
即,
，，.
.
变式2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【分析】根据图形，结合向量的线性运算，即可求解.
【详解】，
，
，
，
即，，，
所以.
变式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（ ）
A．- B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量基本定理以及空间向量线性运算，即可求解．
【详解】因为点在线段上满足，
由向量的运算法则，可得，
因为，所以，
所以.
.
变式4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ．
【答案】/
【分析】根据给定的几何体，利用空间向量的基底表示，再借助空间向量基本定理求解即得.
【详解】在四面体中，由分别为线段的中点，
得，
而，由空间向量基本定理得：，
所以.
故答案为：.
变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 .
【答案】/
【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以为基底，用基向量表示，再空间向量基本定理待定系数即可.
【详解】在平行六面体中,
因为点M是的中点，点是上的点,
所以
.
又，
由空间向量基本定理得，，
则.
故答案为：.
变式6．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 ．
【答案】1
【分析】将转化成以为基底的向量，与联立，即可求出的值．
【详解】因为，且，
．
故答案为：1．
变式7．（2019高三·浙江·专题练习）在平行六面体中，设，，，分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）利用平行六面体的性质，利用空间向量的线性运算求解即得.
（2）用表示，再利用空间向量基本定理求解即得.
【详解】（1）在平行六面体中，
，
由分别是的中点，
得.
.
（2），
而，且不共面，
所以.
一、单选题
1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则向量在上的投影为（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．4
【答案】C
【分析】由空间向量基本定理即可得出结论.
【详解】由空间向量基本定理可知在上的投影即为的系数2.
2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.
【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则，
∴．
故选:B．
3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【分析】直接利向量的线性运算求出结果．
【详解】在四面体中，由于点，满足，，
如图所示：
故，
故．
4．（23-24高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量的运算，用基向量表示即可.
【详解】因为,
所以.
.
5．（23-24高二上·山东·阶段练习）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据共面定理逐一判断即可.
【详解】因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，A错误．
因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，B错误．
假设存在m，n，使得，
则，显然无解，所以，，不共面，
所以是空间的另一个基底，C正确．
因为，所以，，共面，
所以不是空间的另一个基底，D错误．
6．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量，下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若非零且共面，则它们所在的直线共面
C．若不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得
D．若不共线，向量（且），则可以构成空间的一个基底
【答案】D
【分析】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.
【详解】A选项，若与共线，与共线，当为零向量时，
与不一定共线，所以A选项错误.
B选项，若非零且共面，则它们所在的直线不一定共面，
比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，
对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误.
C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.
D选项，若不共线，向量（且），
则共面，所以不能构成基底，D选项错误.
7．（23-24高二上·全国·课后作业）当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
【答案】A
【分析】
利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断.
【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为，
所以与共面.
.
8．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解.
【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得，
即，
则，
则x=2，，，解得.
.
二、多选题
9．（23-24高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两异面直线所成角的取值范围是
B．若直线l与平面相交，则该直线l与平面所成角的取值范围是
C．二面角的平面角的取值范围是
D．若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得
【答案】AB
【分析】ABC选项，根据异面直线，线面角和二面角的概念进行判断；D选项，根据空间基底的概念得到，，不共面，故结论不不成立.
【详解】A选项，根据异面直线的定义可知，两异面直线所成角的取值范围是，A正确；
B选项，直线与平面的夹角范围为，但直线l与平面相交，夹角不为0，
则该直线l与平面所成角的取值范围是，B正确；
C选项，二面角的平面角可以是钝角，C错误；
D选项，若，，是空间向量的一组基底，则，，不共面，
不存在非零实数x，y，z，使得，，D错误.
B
10．（22-23高二上·江西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的，，，满足，则，，三点共线
B．空间中三个向量，，，若，则，，共面
C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D．设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底
【答案】ABC
【分析】根据向量的线性运算可判断A，根据向量的共面定理可判断B、C、D．
【详解】对于A，根据向量的线性运算，若空间中的，，，满足，则，即，则，，三点共线，故A正确；
对于B，因为，则共线，则根据共面向量的定义可得，，，共面，故B正确；
对于C，对空间任意一点和不共线的三点，，，若，又，则，，，四点共面，故C正确；
对于D，若，，共面，则，则共面，与是空间的一组基底矛盾，所以，，不共面，所以能为空间的一组基底，故D错误，
BC．
11．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．，，不能构成空间的一个基底
B．，，不能构成空间的一个基底
C．，，不能构成空间的一个基底
D．，，能构成空间的一个基底
【答案】ABC
【分析】由，，与，，均不能构成空间的一个基底，可得空间五点，，，，共面，从而可作判断
【详解】解：因为，，与，，均不能构成空间的一个基底，且，，，，是空间五点，且任何三点不共线
所以空间五点，，，，共面，
所以这五点，，，，中，任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底，所以ABC正确，D错误.
BC
【点睛】此题考查空间向量基本定理，属于基础题
三、填空题
12．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 .
【答案】
【分析】根据几何图形，应用向量加法、数乘的几何意义用，，表示出即可.
【详解】.
故答案为：
13．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ．
【答案】
【分析】由空间向量基本定理得到，从而求出，，，得到答案.
【详解】∵，，
∴
，
又，
∴，，，故.
故答案为：
14．（23-24高二上·贵州·开学考试）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 .
【答案】3
【分析】将转化成以为基底的向量，与联立，即可求出的值.
【详解】 ，且
.
故答案为：3
四、解答题
15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根据空间向量加减运算法则，将各向量表示成以为基底即可．
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
（4）．
16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，．
(1)试用基底表示向量，，；
(2)求和的值．
【答案】(1)，，
(2)，
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）根据数量积的定义及运算律计算可得.
【详解】（1）因为，分别是，的中点，
所以，
，
，
又，所以，
则.
（2）因为，，，，，
所以，
又，
所以
.
17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于80°，是的中点，设，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的长.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据空间向量的加减运算以及数乘运算，即可求得答案；
（2）结合（1）的结论，利用，结合数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得
;
（2）由已知，得，，
，,
，,
所以
,
所以的长为.
18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， .
(1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量；
(2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；
（2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可.
【详解】（1） .
（2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形，
则，，， ，
所以 ，
又因为，所以
19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；
（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【详解】（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
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课程标准 学习目标
1.类比平面向量基本定理，理解空间向量基本定理及其意义; 2.通过选取适当的基底将空间向量进行分解，从而使用“基底法”解决空间中的线线垂直线线平行及异面直线所成角的问题.从而展现出空间向量基本定理的重要作用; 1.理解空间向量基本定理的概念和原理 2.掌握空间向量基本定理的运用方法 3.培养学生运用空间向量基本定理解决实际问题的能力。
知识点01 空间向量的基本定理
空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe1+ye2+ze3
基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，e1，e2，e3叫作基向量.
【即学即练1】（2023高二上·全国·专题练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（23-24高二上·重庆·期末）正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（ ）
A． B． C． D．
难点：空间向量基本定理与外接球结合问题
示例1：（多选）（2024·全国·模拟预测）已知三棱锥中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为一组单位正交基底
B．
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为
【题型1：空间向量的基本定理及辨析】
例1．（22-23高二上·广东佛山·阶段练习）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则k=（ ）
A． B．5 C． D．
变式1．（23-24高二上·贵州安顺·期末） ，，是三个不共面的单位向量， 可为空间的一个基底，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式2．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
变式3．（23-24高二上·江西·阶段练习）已知空间的一组基，则可以与向量，构成空间的另一组基的向量是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（23-24高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·期中）已知向量能构成空间的一组基底，则能与向量构成空间另一组基底的向量是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（多选）（23-24高二上·四川乐山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底
D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
【方法技巧与总结】
基底的判断思路
（1）判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底.
（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
【题型2：用基底表示向量】
例2．（23-24高二上·西藏山南·期末）在四棱锥中，底面为平行四边形，E为的中点，F为的中点，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）如图所示的三棱锥A-BCD中，令，，，且M，G分别是BC，CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在所有棱长均为的平行六面体中，为与交点，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25高二上·上海·课后作业）如图，已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用，，表示，则 ．
变式4．（24-25高二上·上海·课后作业）在正三棱锥中，点O为三角形BCD的中心，，则 ．
变式5．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知平行六面体的所有棱长均为1， ，则= ．
变式6.（24-25高二上·上海·单元测试）如图，在三棱锥中，点E、F分别是SA、BC的中点，点G在EF上，且满足，若，，，则 ．
变式7．（23-24高二下·上海浦东新·期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是，的中点，是的中点，若，则 .
【方法技巧与总结】
1.若p=xa+yb+zc，则xa+yb+zc叫做向量a，b，c的线性表达式或线性组合，或者说p可以由a，b，c线性表示.
2.对于基底{a，b，c}，除了应知道a，b，c不共面外，还应明确以下三点：
①基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，选用不同的基底，同一向量的表达式也可能不同；
②由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0；
③空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成的，一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念.
【题型3：空间向量基本定理及其应用】
例3．（23-24高二上·贵州毕节·期末）如图1，在四面体中，点分别为线段的中点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．1
变式1．（23-24高二上·广东·期末）如图，在三棱台中，，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A． B．1 C． D．
变式2．（23-24高二上·贵州安顺·期末）如图，空间四边形OABC中，点M是OA的中点，点N在BC上，设，则（ ）
A． B． C． D．1
变式3．（22-23高二上·湖南郴州·期末）已知四棱柱的底面是平行四边形，点E在线段DC上，满足，，则（ ）
A．- B． C． D．
变式4．（23-24高二上·陕西渭南·期末）如图，在四面体OABC中，点M、N分别为线段OA、BC的中点，若，则 ．
变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期末）如图所示，在平行六面体中，，，，点M是的中点，点是上的点，且，若，则 .
变式6．（23-24高二上·广东揭阳·阶段练习）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 ．
变式7．（2019高三·浙江·专题练习）在平行六面体中，设，，，分别是的中点.
(1)用向量表示；
(2)若，求实数x，y，z的值.
一、单选题
1．（23-24高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，则向量在上的投影为（ ）
A．3 B．2 C．-1 D．4
2．（21-22高二下·全国·期末）如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）在四面体ABCD中，点M，N满足，，若，则（ ）
A． B． C． D．1
4．（23-24高二上·北京丰台·期中）如图，在平行六面体中，设，，，则与向量相等的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·山东·阶段练习）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
6．（22-23高二下·甘肃天水·期中）已知空间向量，下列命题正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．若非零且共面，则它们所在的直线共面
C．若不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得
D．若不共线，向量（且），则可以构成空间的一个基底
7．（23-24高二上·全国·课后作业）当，且不共线时，与的关系是（ ）
A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定
8．（22-23高二下·安徽池州·阶段练习）已知是空间的一组基底，其中，，.若A，B，C，D四点共面，则λ=（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高二上·浙江·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．两异面直线所成角的取值范围是
B．若直线l与平面相交，则该直线l与平面所成角的取值范围是
C．二面角的平面角的取值范围是
D．若，，是空间向量的一组基底，则存在非零实数x，y，z，使得
10．（22-23高二上·江西·期中）下列说法正确的是（ ）
A．若空间中的，，，满足，则，，三点共线
B．空间中三个向量，，，若，则，，共面
C．对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D．设是空间的一组基底，若，，则不能为空间的一组基底
11．（19-20高二·全国·课后作业）（多选）已知，，，，是空间五点，且任何三点不共线.若，，与，，均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（ ）
A．，，不能构成空间的一个基底
B．，，不能构成空间的一个基底
C．，，不能构成空间的一个基底
D．，，能构成空间的一个基底
三、填空题
12．（23-24高二上·天津西青·期末）如图，在三棱柱中，D，E分别是线段，的中点，设，，.用，，表示 .
13．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知是平行六面体．设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设， ．
14．（23-24高二上·贵州·开学考试）是空间的一个基底，向量，是空间的另一个基底，向量，则 .
四、解答题
15．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，给定长方体，点在棱的延长线上，且．设，，，试用、、的线性组合表示下列向量：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
16．（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在三棱锥中，，，，，，，分别是，的中点，点在上，且，记，，．
(1)试用基底表示向量，，；
(2)求和的值．
17．（23-24高二上·福建福州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长为4，且与的夹角都等于80°，是的中点，设，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的长.
18．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， .
(1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量；
(2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长.
19．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图所示，平行六面体中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
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