第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习
题型一 空间向量的有关概念理解
1．（23-24高二上·贵州黔西·月考）（多选）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是与重合，与重合
2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若空间向量，，满足，则
B．若空间向量，，满足，则
C．若空间向量，满足，，则
D．若空间向量，满足，，则
3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空).
4．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量．
(2)试写出的相反向量．
题型二 空间向量的线性运算
1．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·山西运城·月考）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于 （ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·天津·期中）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
题型三 空间向量的线性表示
1．（23-24高二上·四川德阳·期中）在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（ ）
A． B． C． D．
题型四 空间向量基本定理及应用
1．（23-24高二上·重庆·月考）在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·山东临沂·月考）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面
D．已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
题型五 空间向量的共线问题
1．（23-24高二上·江西·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．13
2．（23-24高二上·辽宁·月考）已知向量，，且，那么实数（ ）
A．3 B． C．9 D．
3．（23-24高二上·福建泉州·月考）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（22-23高二上·安徽阜阳·月考）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
题型六 空间向量的共面问题
1．（23-24高二上·贵州遵义·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（ ）
A．共面 B．不一定共面
C．无法判断是否共面 D．不共面
3．（23-24高二下·上海·月考）已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（23-24高二上·湖北·开学考试）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．设，，是三个空间向量，则
D．若与共面，与共面，则任意，与共面
题型七 空间向量的数量积问题
1．（23-24高二下·江苏连云港·月考）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知向量，向量，
(1)求向量，，的坐标；
(2)求与所成角的余弦值.
4．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求：
(1)的长；
(2)与夹角的余弦值．
题型八 空间向量的对称问题
1．（23-24高二上·广东东莞·月考）点关于点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·宁夏银川·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ）
A．点P关于坐标原点对称点的坐标为
B．点P在x轴上的射影点的坐标为
C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为
D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为
题型九 利用空间向量证明平行垂直
1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点．
(1)设，请以向量表示；
(2)求证：平面平面．
2．（23-24高二上·山东·月考）如图，在长方体中，，，分别的中点．
(1)求证：平面；
(2)判断与平面是否垂直，并说明理由．
3．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E F分别为棱 的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.
(1)证明：直线∥平面；
(2)证明：.
4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.
求证：
(1)平面；
(2)平面⊥平面.
题型十 利用空间向量计算空间角
1．（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
3．（23-24高二下·江苏盐城·月考）（多选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．点A到平面的距离为1
B．与平面所成角的正弦值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
4．（23-24高二下·江苏徐州·月考）已知，分别是正方体的棱和的中点，求：
(1)与所成角的大小；
(2)与平面所成角的正弦值；
(3)二面角的余弦值．
题型十一 利用空间向量计算空间距离
1．（23-24高二上·河北·月考）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·湖北·月考）如图，在平行六面体中，，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二上·广西玉林·月考）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．
(1)证明：平面PAB；
(2)求直线CE与平面PAB间的距离．
题型十二 利用空间向量探究动点存在
1．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．
2．（23-24高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点
(1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由；
(2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值.
3．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）如图，在长方体中，E，M分别是，的中点，，.
(1)若在线段上存在一点，使∥平面，试确定N的位置；
(2)在（1）的条件下，试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长.
4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点．
(1)求证：上存在一点，使得与总垂直；
(2)当平面时，求的值；
(3)当时，求平面与平面所成角的大小．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第一章：空间向量与立体几何章末重点题型复习
题型一 空间向量的有关概念理解
1．（23-24高二上·贵州黔西·月考）（多选）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是与重合，与重合
【答案】ABD
【解析】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，
故相等向量的起点和终点不必相同，
对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误；
向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误；
由相反向量的定义可知C正确.BD.
2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·月考）（多选）以下关于向量的说法正确的有（ ）
A．若空间向量，，满足，则
B．若空间向量，，满足，则
C．若空间向量，满足，，则
D．若空间向量，满足，，则
【答案】CD
【解析】A：若，显然满足，但是不满足，因此本选项不正确；
B：两个空间向量相等，它们的模显然相等，因此本选项正确；
C：若，且三向量不共面时，不一定不成立，因此本选项不正确；
D：由相等向量的定义可知，如果，，一定有，因此本选项正确，D
3．（23-24高二上·河南漯河·月考）如图所示，在三棱柱中，与是 向量，与是 向量(用“相等”“相反”填空).
【答案】相等；相反
【解析】在三棱柱中，四边形是平行四边形，
则，即与是相等向量；
四边形是平行四边形，，即与是互为相反向量.
故答案为：相等；相反
4．（23-24高二上·山西临汾·月考）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量．
(2)试写出的相反向量．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题意，与相等有；
（2）由题意，的相反向量有.
题型二 空间向量的线性运算
1．（23-24高二上·山东德州·期中）四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，
因为E为棱BC的中点，
所以,
2．（23-24高二上·湖北十堰·月考）在三棱锥中，若为正三角形，且E为其中心，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长交于，如图，则是中点，，
，．
3．（23-24高二上·山西运城·月考）空间四边形ABCD，连接AC，BD．M，G分别是BC，CD的中点，则等于 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵M，G分别是BC，CD的中点，∴，．
∴．
4．（23-24高二上·天津·期中）若为空间不同的四点，则下列各式不一定为零向量的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，；
对于B，；
对于C，；
对于D，..
题型三 空间向量的线性表示
1．（23-24高二上·四川德阳·期中）在长方体中，设为棱的中点，则向量可用向量表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
，故选:D.
2．（23-24高二上·重庆·月考）如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且，为BC中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】连接，是的中点，，
，
.
3．（22-23高二上·北京·期中）在三棱柱中，D是四边形的中心，且，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
..
4．（23-24高二上·福建福州·期中）如图：在平行六面体中，为的交点．若，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,
所以.
.
题型四 空间向量基本定理及应用
1．（23-24高二上·重庆·月考）在正方体中，可以作为空间向量的一组基的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【解析】因为向量，，不共面，
所以可以作为空间向量的一组基，而其它三组向量都共面，.
2．（23-24高二上·河北邢台·月考）（多选）若构成空间的一个基底，则空间的另一个基底可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】不存在，使得，所以不共面，
是空间的另一个基底，A正确．
因为，所以共面，
不是空间的另一个基底，B错误．
不存在，使得，所以不共面，
是空间的另一个基底，C正确．
因为，所以共面，
不是空间的另一个基底，D错误．C.
3．（23-24高二上·山东临沂·月考）若是空间的一个基底，且向量不能构成空间的一个基底，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为向量，，不能构成空间的一个基底，
所以、、共面，故存在实数、使得，
即，
因为是空间的一个基底，则，解得..
4．（23-24高三上·江苏盐城·月考）（多选）给出下列命题，其中正确命题有（ ）
A．空间任意三个不共面的向量都可以作为一组基底
B．已知向量，则与任何向量都不能构成空间的一组基底
C．A，B，M，N是空间四点，若不能构成空间的一组基底，那么点A，B，M，N共面
D．已知向量是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
【答案】ABCD
【解析】选项A中，根据空间向量的基底的概念，
可得任意三个不共面的向量都可以构成空间的一组基，所以A正确；
选项B中，根据空间的基底的概念，可得B正确；
选项C中，由不能构成空间的一组基底，可得共面，
又由过相同点B，可得A，B，M，N四点共面，所以C正确；
选项D中，由是空间的一组基底，则基向量与向量一定不共面，
所以可以构成空间的另一组基底，所以D正确.BCD
题型五 空间向量的共线问题
1．（23-24高二上·江西·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则的值为（ ）
A． B． C．10 D．13
【答案】C
【解析】因为，且三点共线，
所以存在实数，使得，解得．.
2．（23-24高二上·辽宁·月考）已知向量，，且，那么实数（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】A
【解析】，则，即，解得，故.
3．（23-24高二上·福建泉州·月考）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由，，得，
因为A，C，D三点共线，所以，
则存在唯一实数，使得，
则，解得..
4．（22-23高二上·安徽阜阳·月考）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．
【答案】证明见解析
【解析】连接，，
∵
，
，
∴，∴，
又，∴，，三点共线．
题型六 空间向量的共面问题
1．（23-24高二上·贵州遵义·月考）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】对于因为，故三个向量共面；
对于 假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不不成立，
即，，不共面；
对于,，故三个向量共面；
对于，故三个向量共面，故选：
2．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知，，三点不共线，对空间任意一点，若，则可以得到结论是四点（ ）
A．共面 B．不一定共面
C．无法判断是否共面 D．不共面
【答案】A
【解析】,
则，
所以，则，故四点共面.
3．（23-24高二下·上海·月考）已知，若三向量共面，则实数等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】因为三向量共面，设，
所以，即，解得，.
4．（23-24高二上·湖北·开学考试）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．非零向量，，，若与共面，与共面，与共面，则向量，，共面
B．向量，，共面，即它们所在的直线共面
C．设，，是三个空间向量，则
D．若与共面，与共面，则任意，与共面
【答案】DD
【解析】对于选项A：例如非零向量，，是三棱锥三条侧棱所在的向量，
显然满足与共面，与共面，与共面，但向量，，不共面，故A错误；
对于选项B：因为向量可以平移，但直线不能平移，
可知：若向量，，共面，但它们所在的直线不一定共面，故B错误；
对于选项C：根据数量积的分配律可知：，故C正确；
对于选项D：对任意，可知与、共面，
若、与共面，所以与共面，故D正确；D.
题型七 空间向量的数量积问题
1．（23-24高二下·江苏连云港·月考）有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在中，，，，所以，
所以，．
2．（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知，二面角等于，即，
所以，，
所以，
，
因此，..
3．（23-24高二下·甘肃庆阳·期中）已知向量，向量，
(1)求向量，，的坐标；
(2)求与所成角的余弦值.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为向量，所以，解得：，，
则，，
又因为，则，解得，所以
（2）由（1）知，
所以，，
则，，，
即与所成角的余弦值
4．（23-24高二上·广东江门·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为．求：
(1)的长；
(2)与夹角的余弦值．
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设，，，由题意知：，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即的长为，
（2）∵，
∴，
∴，
，
∴，
即与夹角的余弦值为．
题型八 空间向量的对称问题
1．（23-24高二上·广东东莞·月考）点关于点的对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点关于点的对称点的坐标为，
则可得解得,
所以对称点得坐标为..
2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）在空间直角坐标系中，点关于z轴的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】点关于z轴对称时，z不变，x与y变为相反数，
所以点关于z轴的对称点的坐标为..
3．（23-24高二上·安徽合肥·月考）在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由空间直角坐标系中任一点关于平面的对称点为，
可得点关于平面的对称点的坐标为.故选： B．
4．（23-24高二上·宁夏银川·月考）在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ）
A．点P关于坐标原点对称点的坐标为
B．点P在x轴上的射影点的坐标为
C．点P关于Oyz平面对称点的坐标为
D．点P在Oyz平面上的射影点的坐标为
【答案】D
【解析】点关于原点的对称点为.故选项A正确；
点在x轴上的射影即为过点作x轴的垂线所得垂足，其坐标为.故选项B正确；
点关于Oyz平面的对称点与点横标互为相反数，
纵坐标与竖坐标保持不变.故选项C错误；
点在平面Oyz上的射影即为过点作平面Oyz的垂线所得垂足，
其坐标为.故选项D正确..
题型九 利用空间向量证明平行垂直
1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）如图所示，在棱长均相等的平行六面体中分别为线段的中点．
(1)设，请以向量表示；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)；(2)证明见解析
【解析】（1）.
（2）∵
∴，
又∵，
∴，即，
∵底面菱形中，，且，平面.
所以平面．
又平面．
∴平面平面．
2．（23-24高二上·山东·月考）如图，在长方体中，，，分别的中点．
(1)求证：平面；
(2)判断与平面是否垂直，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)不垂直，理由见解析.
【解析】（1）在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，分别的中点，得，
，显然平面的一个法向量，
则，于是，有平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，则有，而，
于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面，
所以与平面不垂直.
3．（23-24高二上·江苏镇江·开学考试）如图，在正方体中，点E F分别为棱 的中点，点P为底面对角线AC与BD的交点，点Q是棱上一动点.
(1)证明：直线∥平面；
(2)证明：.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）如图，以为坐标原点，分别为轴所在的直线，建立空间直角坐标系，
不妨设，则，
可得，可知，
则∥，且平面，平面，所以∥平面.
（2）设，则，可得，
由（1）可知：，
因为，所以.
4．（23-24高二上·新疆喀什·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，⊥底面，E，F分别是的中点，，.
求证：
(1)平面；
(2)平面⊥平面.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，,，，，
∴，，，
，，，.
，，
即，又 平面，平面，
∴平面.
（2），
，
∴，即
又平面，平面，
∴平面.
∵平面，
∴平面⊥平面.
题型十 利用空间向量计算空间角
1．（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，E为上一点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，
，
则异面直线与所成角的余弦值为..
2．（23-24高二下·甘肃兰州·月考）已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面的射影为中点H，则直线与平面所成角的正弦值为 ．
【答案】
【解析】因为点在底面的射影为中点H，则平面，
又因为四边形为正方形，
以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y、z轴的正方向
建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为平面，平面，则，
因为，，则，
则、、、，
所以，
易知平面的一个法向量为，
，
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
故答案为：.
3．（23-24高二下·江苏盐城·月考）（多选）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，底面，则（ ）
A．点A到平面的距离为1
B．与平面所成角的正弦值为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．二面角的余弦值为
【答案】AC
【解析】首先由题目条件知，，故
，
同时注意到，故，.
由于，而在平面内，所以，
而，和都在平面内且相交于，故垂直于平面，
从而点到平面的距离为，故A正确；
由于垂直于平面，平行于，故垂直于平面，
而和在平面内，所以，.
而和都在平面内，故与平面的夹角等于与的夹角，
又由于，而在平面内，
所以，从而有，故B错误；
由于平行于，故直线与所成角等于直线与所成角.
又因为，而在平面内，
所以，这就说明，故C正确；
已证两两垂直. 如图，以为原点，分别以为轴正方向，建立空间直角坐标系：
则有，而，，，故.
从而，，，
设，分别为平面和的法向量，
则，，
令，解得，
故可取，.
注意到和分别是平面和向二面角内部朝向的法向量，
故钝二面角的余弦值为
，故D错误.C.
4．（23-24高二下·江苏徐州·月考）已知，分别是正方体的棱和的中点，求：
(1)与所成角的大小；
(2)与平面所成角的正弦值；
(3)二面角的余弦值．
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，，，
因为，，所以，，，
由，又因为，
故向量与夹角为，因此与所成角的大小为．
（2）由（1）知，，，
易知是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，故，
故与平面所成角的正弦值为.
（3）设平面的一个法向量为，则，
即，取，则，，故.
易知平面，故平面的一个法向量为，
则，
又因为二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
题型十一 利用空间向量计算空间距离
1．（23-24高二上·河北·月考）在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，
，
所以到直线的距离为．
2．（23-24高二上·湖北·月考）如图，在平行六面体中，，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
因为，
所以，
，，
因为，
所以，
因此，
所以点到直线的距离为，
3．（23-24高二上·广东东莞·月考）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意易知直线面，
所以到面的距离即为直线到平面的距离.
建立如图所示坐标系，则：
，，，，,
所以
设面的法向量，则：
，即
取，则，所以
所以到面的距离.
4．（23-24高二上·广西玉林·月考）如图，在四棱锥中，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，平面平面ABCD，，底面ABCD的面积为，E为PD的中点．
(1)证明：平面PAB；
(2)求直线CE与平面PAB间的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【解析】（1）记的中点为，连接，
因为，所以底面ABCD为直角梯形，
又底面ABCD的面积为，，
所以，得，所以，
所以且，所以为平行四边形，故，
因为平面，平面，所以平面，
因为O，E分别为AD，PD的中点，所以，
又平面，平面，，所以平面，
又平面，
所以平面平面，
又平面，所以平面PAB.
（2）因为是以AD为斜边的等腰直角三角形，，
所以，，
由（1）可知，，所以
又因为平面平面ABCD，所以，故两两垂直，
以所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系，
则，
则，
设为平面的法向量，
则，令得，
所以点C到平面的距离为，
由（1）知，平面PAB，所以直线CE与平面PAB间的距离即为.
题型十二 利用空间向量探究动点存在
1．（23-24高二下·黑龙江大庆·开学考试）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)存在，
【解析】（1）依题意，所以，
所以、是等边三角形，
所以，所以四边形是菱形，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于是的中点，是的中点，所以，
由于平面，平面，所以平面.
由于，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面.
（2）设的中点为，连接，则，
由于四边形是菱形，所以，则，
由于平面平面且交线为，平面，
所以平面，又平面，则，
以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
因为，则，
则，
故，
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
易知圆的方程为，设，
则，
设直线与平面所成角为，
则，
则，则，所以，，
故在弧上存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
此时点到平面的距离为.
2．（23-24高二下·浙江·期中）如图，在四棱锥中，侧面是正三角形且垂直于底面，底面是矩形，，，，分别是线段，上的动点
(1)是否存在点，使得平面？若存在，试求；若不存在，请说明理由；
(2)若直线与直线所成角的余弦值为，试求二面角的平面角的余弦值.
【答案】(1)存在，；(2)
【解析】（1）存在，，证明如下：
如题图，取的中点为，
由于侧面底面，且两平面交线为平面，,
所以平面，平面，所以，
由于三角形是正三角形，且是的中点，所以,
平面，故平面，得证.
（2）以为坐标原点，以为正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,
设则，故,
由于直线与直线所成角的余弦值为，
所以，而
所以，从而，,
平面的法向量为，
设平面的法向量为，则，取，则，
所以，
由于二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为
3．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）如图，在长方体中，E，M分别是，的中点，，.
(1)若在线段上存在一点，使∥平面，试确定N的位置；
(2)在（1）的条件下，试确定直线与平面的交点F的位置，并求的长.
【答案】(1)N为的中点；(2)F是棱上靠近点B的一个三等分点，
【解析】（1）如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，.
设，
则，
，
由题意知是平面的一个法向量，所以，即，解得.
因为平面，所以当N为的中点时，∥平面.
（2）由已知，得点F在直线上，因为直线与z轴平行，可设，，
又点F在平面内，所以存在实数，，使得，
即，整理得，
所以，解得，
所以，故F是棱上靠近点B的一个三等分点，.
4．（23-24高二下·湖北武汉·月考）四棱锥中，，侧面底面，且是棱上一动点．
(1)求证：上存在一点，使得与总垂直；
(2)当平面时，求的值；
(3)当时，求平面与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解答；(2)；(3)
【解析】（1）取的中点，连接，因为为正三角形，所以，
又因为侧面底面，且侧面底面，，
所以侧面，又侧面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
所以上存在一点，使得与总垂直；
（2）连接交于点，连接，
因为当平面，平面，平面平面，
所以，所以，
在梯形中，，所以；
（3），所以，
所以，所以是的中点，
取的中点，连接，则，
又侧面底面，侧面底面，
所以底面，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，令，
则
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
则平面的一个法向量为，
取平面的一个法向量，
所以，
所以平面与平面所成角的大小为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
