1.1.1空间向量及其运算
课程标准 学习目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念. 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及远算律， 3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法 4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量的共线与垂直。 1.理解空间向量的观点，掌握其表示方法: 2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律: 3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
知识点01 空间向量
1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
2.模(或长度)：向量的大小．
3.表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
【即学即练1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
知识点02几类特殊的向量
1.零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
2.单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
3.相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
4.相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
5.平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
【即学即练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
知识点03 空间向量的加法、减法与数乘
名称 运算法则 特点 图示
加法运算 三角形法则 首尾相接首尾连（通过平移）
平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移）
减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。
数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比
【即学即练5】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
知识点04 空间向量的加法和数乘运算律
1.加法交换律：
2.加法结合律：
3.数乘运算律：①λ(μ)(λμ)；②(λ＋μ)λ＋μv；③λ(＋)λ＋λ；
【即学即练7】（21-22高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【即学即练8】（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式：
(1)；
(2).
知识点05 向量共线及共线定理
1.共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.
【即学即练9】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（ ）
A．16 B．-13 C．3 D．-3
【即学即练10】（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 .
知识点06 空间向量线性运算的理解
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
图1 图2
(1)如图1，＋a＋b，－a－b．
(2)如图2，＋＋．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ0或a0时，λa0．
【即学即练11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练12】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
知识点07 空间两个向量的夹角
夹角
定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。
图示
表示 〈a,b〉.
范围 [0,π]
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 相反;
（3）若〈a,b〉=,则向量a,b 互相垂直，记作a⊥b
【即学即练13】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ）
A．30° B．80° C．170° D．120°
【即学即练14】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．
知识点08 空间两个向量的数量积
空间向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作 a·b .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
规定 零向量与任意向量的数量积为 0
2.空间向量数量积的运算律
交换律 a·b= b·a
结合律 (λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R
分配律 a·(b+c)= a·b+a·c
3.空间向量数量积的性质
①若a,b为非零向量,则a⊥b a·b=0 ;
②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=
③若为a,b的夹角，则
④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不不成立.
【即学即练15】（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（ ）
A． B． C． D．
【即学即练16】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ．
知识点09 向量的投影
1.向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.
②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b
2．向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n
【即学即练17】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 .
【即学即练18】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．
知识点1O 共面向量
1.共面向量
一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
2.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。
3.空间四点共面的条件
已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面.
注意：
共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
【即学即练19】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
【即学即练20】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
难点：空间向量的线性运算
示例1：（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则
难点：向量共面问题
示例2：（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 .
【题型1：空间向量的基本概念】
例1．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．任意两个空间向量总是共面的
C．零向量没有方向
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
变式1．（多选）（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．设，是两个空间向量，则
B．若空间向量，满足，则
C．若空间向量，，满足，，则
D．在正方体中，必有
变式2．（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是与重合，与重合
变式3．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量．
(2)试写出的相反向量．
变式4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：
(1)的相等向量，的相反向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示．
【方法技巧与总结】
1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
2.注意点：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
【题型2：空间向量的加减数乘运算】
例2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（ ）
A． B．3 C． D．2
变式4．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（ ）
A． B． C． D．
变式5．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
【题型3：空间向量共线问题】
例3.（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
变式1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式2．（20-21高二上·全国·课后作业）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n1，则（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
变式3．（多选）（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量，，满足，则∥
D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
变式4．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ）
A．若，则点的轨迹为线段
B．若，则点的轨迹为线段
C．存在，使得
D．存在，使得 平面
变式5．（21-22高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
变式6．（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb不成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
（2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使.
【题型4：向量的数量积】
例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（ ）
A． B． C．2 D．4
变式1．（19-20高二上·广东广州·期末）在空间四边形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
变式2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ．
变式3．（2023高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ．
变式4．（21-22高二上·陕西西安·期末）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则的值为 .
变式5．（22-23高二上·全国·期中）在正方体中，，则 ．
变式6．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.
(1)试用表示向量;
(2)求.
变式7．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
【方法技巧与总结】
1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.
2.两个向量的数量积写成；今后要学到两个向量的外积x，而ab是两个数的积，书写时要严区分.
3.在数量积中，若 ，且，不能推出（），因为其中cosθ有可能为0
4.在实数中，有，但是（）=（
【题型5：利用空间向量求夹角】
例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知是两个空间向量，若，，则 .
变式1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 .
变式2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．
变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是异面直线，，，且，则与所成的角为 ．
变式4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
变式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空间四边形中，，求的值.
变式6．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，长方体的棱长，，．
(1)求；
(2)求与所夹角的余弦值．
变式7．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值
(3)判断与是否垂直．
【方法技巧与总结】
1.两异面直线所成角的范围是（0，]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化；
2.利用数量积求直线夹角或余弦值的方法
①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量
②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小
④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小
【题型6：利用空间向量求长度】
例6．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
变式1．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
变式2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．
变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ．
变式4．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ．
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 .
变式6．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．
(1)试用 表示向量；
(2)若，，，求线段的长．
【方法技巧与总结】
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小.
【题型7：投影向量】
例7．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．
变式1．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（多选）（2023·湖北十堰·二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
变式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为 ．
变式5．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 .
变式6．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ．
变式7．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.
变式8．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【方法技巧与总结】
类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上投影（空间称为射影）的过程.
已知图形向量，l为轴，向量是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则称为向量在轴l上或在的方向上的正射影；可以证明A’B’=||cos<,>。
注意：轴l上的正射影对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量
与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度.
【题型8：共面问题】
例8．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足 ，则x的值为（ ）
A．0 B． C． D．
变式2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．（22-23高二上·江西·阶段练习）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，不共面，，则（ ）
A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面
C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面
变式7．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
利用向量法证明向量共面的策略
（1）若已知点P在平面ABC内，则有=x＋y或=x＋yz（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
【题型9：最值取值范围问题】
例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（多选）（23-24高三下·全国·强基计划）正四面体中，棱长为．点满足，则的（ ）
A．最小值为．
B．最大值为
C．最小值为
D．最大值为
变式4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 .
变式5．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 .
变式6.（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为80°．若，则k的取值范围为 ．
变式7．（22-23高二·浙江温州·阶段练习）正四面体的棱长为，空间动点满足，则的取值范围是 .
一、单选题
1．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正三棱台中，，为中点，为中点，设，，，则可用，，表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·北京西城·期中）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二上·甘肃陇南·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
6．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
8．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（ ）
A．1 B．0 C． D．2
二、多选题
9．（23-24高一下·吉林·期末）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
10．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．在正方体中，
11．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹长度为；
B．异面直线与所成角的正切值为2；
C．的最大值为2；
D．三棱锥的外接球表面积为.
三、填空题
12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夹角的余弦值为，则
13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体 中，分别为的中点，则
14．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 .
四、解答题
15．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求：
(1)；
(2)的长.
16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，.
(1)求；
(2)求CD的长.
17．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足.
(1)用向量表示；
(2)求.
18．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．
(1)求的长．
(2)求异面直线与所成的角的余弦值．
19．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．
(1)求；
(2)求的长．
20．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
21．(多选) （23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．正方体的体积为
22.（多选）（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ．
23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.
(1)用向量，，表示向量；
(2)求线段的长度．
24．（20-21高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)1.1.1空间向量及其运算
课程标准 学习目标
1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等概念. 2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，掌握数乘向量运算的意义及远算律， 3.掌握空间向量夹角概念及衣示方法 4.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算律;掌握两个向量数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断的量的共线与垂直。 1.理解空间向量的观点，掌握其表示方法: 2.会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律: 3.能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题.
知识点01 空间向量
1.定义：空间中既有大小又有方向的量称为空间向量．
2.模(或长度)：向量的大小．
3.表示方法：
①几何表示法：可以用有向线段来直观的表示向量，如始点为A终点为B的向量，记为，模为||．
②字母表示法：可以用字母a，b，c，…表示，模为|a|，|b|，|c|，…．
【即学即练1】（22-23高二上·安徽阜阳·阶段练习）下列命题中是假命题的是（ ）
A．任意向量与它的相反向量不相等
B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小
C．如果，则
D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
【答案】A
【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD.
【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误；
对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确；
对于C，如果，则，C正确；
对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确.
.
【即学即练2】（21-22高二·全国·课后作业）下列命题中，正确的是（ ）.
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据向量模长的定义以及向量的定义即可逐一判断.
【详解】对于A;比如,不相等，但，故A错误；
对于B;向量的模长可以有大小之分，但是向量不可以比较大小，所以B错误；
对于C;向量相等，则其模长相等，方向相同，故C正确；
对于D；若，，但不相等，故D错误；
知识点02几类特殊的向量
1.零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
2.单位向量：模等于1的向量称为单位向量．
3.相等向量：大小相等、方向相同的向量称为相等向量．
4.相反向量：方向相反，大小相等的向量称为相反向量．
5.平行向量：方向相同或者相反的两个非零向量互相平行，此时表示这两个非零向量的有向线段所在的直线平行或重合．通常规定零向量与任意向量平行．
【即学即练3】（23-24高二上·福建泉州·期中）在正方体中，与向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正方体的特征及相反向量的概念判定即可.
【详解】
如图所示，可知是的相反向量.
【即学即练4】（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出与相等的所有向量．
(3)试写出的相反向量．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据单位向量的定义写出即可；
（2）根据相等向量的定义写出即可；
（3）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，单位向量有共个；
（2）由题意，与相等有；
（3）由题意，的相反向量有.
知识点03 空间向量的加法、减法与数乘
名称 运算法则 特点 图示
加法运算 三角形法则 首尾相接首尾连（通过平移）
平行四边形法则 起点相同（共起点）（通过平移）
减法运算 平行四边形法则 起点相同连终点，被减向量定指向。
数乘运算 实数的作用：正负定方向，数值定模比
【即学即练5】（23-24高二下·甘肃·期中）在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得.
【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则，
所以.
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课后作业）在空间四边形中，点分别是和的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知可得，代入即可得出答案.
【详解】
因为点G是CD的中点，
所以，
所以.
故选:C.
知识点04 空间向量的加法和数乘运算律
1.加法交换律：
2.加法结合律：
3.数乘运算律：①λ(μ)(λμ)；②(λ＋μ)λ＋μv；③λ(＋)λ＋λ；
【即学即练7】（21-22高二上·全国·课后作业）下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算求解即可判断各选项．
【详解】对于A，，故A不正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C不正确；
对于D，，故D正确．
．
【即学即练8】（23-24高二上·全国·阶段练习）化简下列算式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案；
（2）根据向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】（1）.
（2）.
知识点05 向量共线及共线定理
1.共线向量或平行向量
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.
向量a与b平行，记作a//b.规定，零向量与任意向量共线.
2.共线向量定理
对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.
【即学即练9】（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（ ）
A．16 B．-13 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可.
【详解】因为是不共面的空间向量且，
故，则，
解得，所以.
.
【即学即练10】（22-23高二下·江苏·课后作业）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 .
【答案】－/
【分析】根据空间共线向量可得，建立方程组，解之即可求解.
【详解】由题意知，存在实数λ使得，
即，解得.
故答案为：
知识点06 空间向量线性运算的理解
类似于平面向量，可以定义空间向量的加法、减法及数乘运算．
图1 图2
(1)如图1，＋a＋b，－a－b．
(2)如图2，＋＋．
即三个不共面向量的和，等于以这三个向量为邻边的平行六面体中，与这三个向量有共同始点的对角线所表示的向量．
(3)给定一个实数λ与任意一个空间向量a，则实数λ与空间向量a相乘的运算称为数乘向量，记作λa．其中：
①当λ≠0且a≠0时，λa的模为|λ||a|，而且λa的方向：
(ⅰ)当λ＞0时，与a的方向相同；
(ⅱ)当λ＜0时，与a的方向相反．
②当λ0或a0时，λa0．
【即学即练11】（23-24高二下·湖北孝感·期中）在三棱柱中，是的中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得，再根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】因为，所以，
所以
.
【即学即练12】（23-24高二下·江苏·课前预习）如图所示，在平行六面体中，设，分别是的中点，试用表示以下各向量：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
根据空间向量的线性运算，结合图形依次求解即可.
【详解】（1）
∵是的中点，
∴；
（2）
∵是的中点，
∴；
（3）
∵是的中点，
∴.
知识点07 空间两个向量的夹角
夹角
定义 a,b是空间两个向量，过空间任意一点O，作a，b,∠AOB=（0≤π）叫做向量a,b的夹角。
图示
表示 〈a,b〉.
范围 [0,π]
2.空间两个向量的关系
（1）若〈a,b〉=0,则向量a,b方向相同;
（2）若〈a,b〉=π,则向量a,b方向 相反;
（3）若〈a,b〉=,则向量a,b 互相垂直，记作a⊥b
【即学即练13】（22-23高二下·江苏·课后作业）在正四面体ABCD中，与的夹角等于（ ）
A．30° B．80° C．170° D．120°
【答案】A
【分析】
根据正三角内角为求解.
【详解】
由正四面体每个面都是正三角形可知，
【即学即练14】（22-23高二下·江苏·课后作业）如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．
【答案】45°；135°；80°；120°；90°
【分析】
由图形特征求向量夹角.
【详解】
连接BD，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC45°，ACAD′CD′，
所以，
，
，
，
.
知识点08 空间两个向量的数量积
空间向量的数量积的定义
定义 已知两个非零向量a,b,则 |a||b|cos〈a,b〉 叫做a,b的数量积,记作 a·b .即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
规定 零向量与任意向量的数量积为 0
2.空间向量数量积的运算律
交换律 a·b= b·a
结合律 (λa)·b=⑩ λ(a·b) ,λ∈R
分配律 a·(b+c)= a·b+a·c
3.空间向量数量积的性质
①若a,b为非零向量,则a⊥b a·b=0 ;
②若a,b同向，a·b=|a||b|；若a,b反向，a·b=-|a||b|；特别的，a·a=|a|2，或|a|=
③若为a,b的夹角，则
④|a·b|≤|a||b|
4.与数量积有关的2个易错点
①两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零.
②向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即ab=acb=c，（a·b）·c=a·（b·c）都不不成立.
【即学即练15】（22-23高二上·湖南怀化·期末）如图，各棱长都为的四面体中 ， ，则向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量的运算可得，，由向量数量积的定义即可得到答案.
【详解】由题得夹角，夹角，夹角均为，
，
，
，
.
【即学即练16】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知正四面体的棱长为1，点是的中点，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据空间向量线性运算，得，，再计算.
【详解】
正四面体的棱长为1，
，
又点是的中点，，
又，
.
故答案为：.
知识点09 向量的投影
1.向量在向量上的投影向量
①定义：对于空间任意两个非零向量a，b，设向量=a，=b，如图，过点A作AA1⊥0B，垂足为A1.上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量.
②几何意义：向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积，即a·b=b
2．向量在平面上的投影向量
①定义：设向量m=，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.我们将上述由向量m得到向量的变换称为向量m向平面α投影，向量称为向量 m 在平面α上的投影向量.
②几何意义：空间向量m，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积，即mn=n
【即学即练17】（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 .
【答案】
【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量.
【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即，
且，由底面，底面，则，
由，面，则面，
又面，则，故向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
【即学即练18】（2023高二·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．
【答案】 ； .
【分析】空（1），法一：应用向量投影的定义求投影向量；法二：根据投影向量的几何求法，结合正方体性质确定投影向量；空（2），连接AC，交BD于点O，应用线面垂直的判定证平面，再由投影向量的几何法确定投影向量.
【详解】空（1）法一：在正方体中，易知，，
向量与向量夹角为45°，，，
所以向量在向量上的投影向量是．
法二：设，如图，由正方体的性质得，，，
向量在向量上的投影向量是．
空（2）如图，连接AC，交BD于点O，易知，线面垂直性质有，
由，平面，则平面，
所以在平面上的投影向量就是，易知．
故答案为：；
知识点1O 共面向量
1.共面向量
一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.
2.共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb,即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示。
3.空间四点共面的条件
已知，，不共面，若=x+y +z，且x+y+z =1，则P，A，B，C四点共面.
注意：
共面向量不仅包括在同一个平面内的向量，还包括平行于同一平面的向量.
（2）空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了.
【即学即练19】（22-23高二上·河北石家庄·阶段练习）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（ ）
A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面
C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面
【答案】C
【分析】利用向量加减法，根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案.
【详解】由，得，
即，故共面.
又因为三个向量有同一公共点，所以共面.
.
【即学即练20】（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】
根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可.
【详解】
A：，如下图，，
由的关系不定，则不一定在面上，满足；
B：，如下图，此时满足上式，
此时，M与A，B，C不共面，满足；
C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足.
D：，如下图，
此时，M与A，B，C不共面，满足；
BD
难点：空间向量的线性运算
示例1：（23-24高二上·湖北荆州·期末）如图，三棱锥O－ABC中，M是BC的中点，，设用表示向量则
【答案】
【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.
【详解】，
故答案为：.
难点：向量共面问题
示例2：（22-23高二上·上海普陀·阶段练习）如图，在正方体中，、分别是棱、的中点，是棱上靠近的四等分点，过、、三点的平面交棱于，设，则 .
【答案】/
【分析】设，，，用基底表示向量、、，设，可出关于、、的方程组，即可得解.
【详解】设，，，则，
，
，
由题意可知，、、共面，设，
即，
所以，，解得.
故答案为：.
【题型1：空间向量的基本概念】
例1．（23-24高二上·贵州·开学考试）关于空间向量，下列四个结论正确的是（ ）
A．方向相反的两个向量是相反向量
B．任意两个空间向量总是共面的
C．零向量没有方向
D．不相等的两个空间向量的模必不相等
【答案】C
【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，方向相反长度相等的向量是相反向量，故A错误，
对于B，空间中，任意两个向量是共面的，故B正确，
对于C，零向量的方向是任意的，故C错误，
对于D，两个不相等的向量模长可以相等，此时方向不相同，即为不相等的向量.故D错误，
变式1．（多选）（23-24高二上·重庆·期中）下列命题中，是真命题的为（ ）
A．设，是两个空间向量，则
B．若空间向量，满足，则
C．若空间向量，，满足，，则
D．在正方体中，必有
【答案】ACD
【分析】根据空间向量的相关概念和运算逐项分析判断.
【详解】对于选项A：根据数量积的定义可知：，故A为真命题；
对于选项B：根据向量的定义可知，，但向量的方向无法确定，
所以不一定不成立，故B为假命题；
对于选项C：根据向量相等的定义可知：若，，则，故C真命题；
对于选项D：在正方体中，，且方向相同，
所以，故D为真命题.
CD.
变式2．（多选）（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）下列说法，错误的为（ ）
A．若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同
B．若向量满足，且与同向，则
C．若两个非零向量与满足，则为相反向量
D．的充要条件是与重合，与重合
【答案】ABD
【分析】利用向量与有向线段的区别可判定A、D，利用向量的概念可判定B，利用相反向量的定义可判定C.
【详解】向量是具有方向和大小的量，向量可自由平移，
而表示向量的有向线段是起点、方向、终点都确定的，
故相等向量的起点和终点不必相同，
对应表示它们的有向线段也不必起点相同，终点也相同，即A、D错误；
向量的模长可比大小，但向量不可以，故B错误；
由相反向量的定义可知C正确.
BD.
变式3．（23-24高二上·山西临汾·阶段练习）如图，在长方体中，，，，以长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的向量中．
(1)试写出与相等的所有向量．
(2)试写出的相反向量．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可；
（2）根据相反向量的定义写出即可.
【详解】（1）由题意，与相等有；
（2）由题意，的相反向量有.
变式4．（23-24高二上·上海·课后作业）如图，在正方体中，点为棱上任意一点．只考虑图上已画出线段所对应的向量，写出：
(1)的相等向量，的相反向量；
(2)用另外两个向量的和或差表示；
(3)用三个或三个以上向量的和表示．
【答案】(1)、、；，
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据相等向量以及相反向量的概念即可得答案.
（2）根据向量的加减运算即可得答案.
（3）利用向量首尾依次相接的规则，即可求得答案.
【详解】（1）根据正方体棱与棱之间的关系，的相等向量有、、，
的相反向量有：、．
（2）用“首尾规则”求解，如果只在含的三角形中考虑，有，
，，．（答案不唯一）
（3）用“首尾规则”求解，则，．
（答案不唯一）
【方法技巧与总结】
1.关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.
2.注意点：注意一些特殊向量的特性.
①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性.
②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.
③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．
【题型2：空间向量的加减数乘运算】
例2．（23-24高二下·北京·阶段练习）在四面体中，记，，，若点M、N分别为棱OA、BC的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算，即可求得答案.
【详解】由题意得：，
.
变式1．（23-24高二下·北京·开学考试）已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平行六面体的性质及空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：因为，所以，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：因为，所以，
故D错误.
变式2．（23-24高二上·河南·期中）如图所示，在三棱锥中，分别是棱的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简式子，即可得出结论.
【详解】由题意，
在三棱锥中，分别是棱的中点，
,
∴
.
变式3．（23-24高二上·河北·阶段练习）在四面体中，，，，，为的中点，若，则（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】C
【分析】根据空间向量的线性运算即可得解.
【详解】如图，
因为，为的中点，所以，
又因为，
所以，
又，所以，解得：．
.
变式4．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，设向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出的表达式即可求出的值.
【详解】由题意，
在四面体中，
是四面体 的棱的中点,
∴,
∴
∵，
∴，
∴，
.
变式5．（多选）（23-24高二下·甘肃白银·期中）如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算逐项计算判断得解.
【详解】在四棱锥中，为的中点，四边形是平行四边形，
，A正确，B错误；
，D正确，C错误.
D
变式6．（多选）（23-24高二上·山西长治·期末）在三棱锥中，，，，点在直线上，且，是的中点，则下列结论可能不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】根据题意，结合点的位置，利用空间向量的线性运算，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A，因为是的中点，可得，所以A不正确；
对于B，当点在线段上时，因为，此时，
则，所以B正确；
对于C，当点在线段的延长线上时，因为，此时为的中点，
可得，所以C正确；
对于D，当点在线段上时，可得；
当点在线段的延长线上时，，
当点在线段的延长线上时，不可能不成立，所以D不正确.
综上可得，可能正确的结论为BC.
C.
【方法技巧与总结】
空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示。
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.
【题型3：空间向量共线问题】
例3.（24-25高二上·上海·课后作业）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A、B、D三点共线，则实数k的值为（ ）
A．-8 B．-4 C．-2 D．8
【答案】A
【分析】利用空间向量共线定理求解即可.
【详解】因为A、B、D三点共线，所以使得
又，，，
所以
则
则 解得：
.
变式1．（2023·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案.
【详解】因为三点共线，所以，
即，故，解得，
所以.
变式2．（20-21高二上·全国·课后作业）若空间中任意四点O，A，B，P满足，其中m＋n1，则（ ）
A．P∈AB B．P AB
C．点P可能在直线AB上 D．以上都不对
【答案】A
【分析】由已知化简可得，即可判断.
【详解】因为m＋n1，所以m1－n，
所以，即，
即，所以与共线．
又，有公共起点A，
所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.
.
变式3．（多选）（21-22高二上·广东佛山·阶段练习）（多选题）下列命题中不正确的是（ ）
A．若与共线，与共线，则与共线
B．向量，， 共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量，，满足，则∥
D．若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ
【答案】ABD
【分析】举反例判断AD，根据共面向量的定义判断B，根据向量共线定理判断C
【详解】对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误，
对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，
对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确，
对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误，
BD
变式4．（多选）（23-24高二下·山西长治·阶段练习）如图，在正三棱柱中，为空间一动点，若，则（ ）
A．若，则点的轨迹为线段
B．若，则点的轨迹为线段
C．存在，使得
D．存在，使得 平面
【答案】ABC
【分析】利用向量的线性运算逐一计算判断即可.
【详解】对于A：由，得点在侧面内（含边界），
若，则，故点的轨迹为线段，故A正确；
对于B：若，则，所以，即，
又，故点的轨迹为线段，故B正确；
对于C：分别取棱的中点，连接，由题意易证平面，
当点在线段上时，，故存在，使得，故C正确；
对于D：若使 平面，则点必在棱上，此时，故不存在，
使得 平面，故D错误.
BC.
变式5．（21-22高二上·广东深圳·阶段练习）如图，在正方体中，E在上，且，F在对角线A1C上，且若.
（1）用表示.
（2）求证：E，F，B三点共线.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）由已知得，由此可得答案；
（2）由已知得 ，由此可得证.
【详解】解：（1）因为， ，
所以，
所以；
（2）
，
又与相交于B，所以E，F，B三点共线.
变式6．（21-22高二·湖南·课后作业）已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．
【答案】证明见解析
【分析】将三点共线问题转化为求证向量共线问题求证即可.
【详解】因为，，，
所以，
，
所以，
所以，又为公共点，
所以B，C，D三点共线．
【方法技巧与总结】
向量共线的判定及应用
（1）判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a=λb不成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达.
（2）判断或证明空间中的三点（如P，A，B）共线的方法：是否存在实数λ，使.
【题型4：向量的数量积】
例4．（23-24高二上·北京房山·期中）在棱长为2的正方体中，（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】根据向量数量积定义计算即可.
【详解】
在棱长为2的正方体中,
易知，
因为，与的夹角为，
所以与的夹角为，
.
变式1．（19-20高二上·广东广州·期末）在空间四边形中，等于（ ）
A． B．0 C．1 D．不确定
【答案】C
【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解.
【详解】令，
则，
，
.
变式2．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知空间向量的夹角为，则 ．
【答案】13
【分析】利用向量数量积运算律即可求得的值.
【详解】空间向量的夹角为，
则.
故答案为：13
变式3．（2023高二·全国·专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则 ．
【答案】/-0.25
【分析】得到，利用向量数量积公式求出答案.
【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，
所以，
故
故答案为：
变式4．（21-22高二上·陕西西安·期末）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则的值为 .
【答案】/
【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.
【详解】.
故答案为：
变式5．（22-23高二上·全国·期中）在正方体中，，则 ．
【答案】
【分析】根据即可得出答案.
【详解】解：在正方体中，因为，，
所以．
故答案为：2.
变式6．（23-24高二上·广东广州·期中）如图,给定长方体,,,点在棱的延长线上,且.设,,.
(1)试用表示向量;
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得,再由空间向量的线性运算即可求解;
（2）先由空间向量的线性运算求得,再根据空间向量的数量积公式求解即可.
【详解】（1）因为点在棱的延长线上,且,
所以,
则.
（2）由题意得,
则,
所以.
变式7．（22-23高二上·河南洛阳·阶段练习）如图所示，在棱长为2的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：
(1)·；
(2)·；
(3)·.
【答案】(1)1
(2)2
(3)0
【分析】分别将，，转化为，，后根据数量积定义计算即可.
【详解】（1）在正四面体ABCD中，
（2）
（3）
在正四面体ABCD中，，
故
【方法技巧与总结】
1.两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.
2.两个向量的数量积写成；今后要学到两个向量的外积x，而ab是两个数的积，书写时要严区分.
3.在数量积中，若 ，且，不能推出（），因为其中cosθ有可能为0
4.在实数中，有，但是（）=（
【题型5：利用空间向量求夹角】
例5．（19-20高二上·安徽滁州·期末）已知是两个空间向量，若，，则 .
【答案】/0.125
【分析】将两边平方，求出的值，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
则，即，则
则，
故答案为：
变式1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 .
【答案】0
【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量数量积计算即可得到答案.
【详解】因为，所以四边形为平行四边形，
所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等，
又因为，所以
，
所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0.
故答案为：0.
变式2．（2023高二·全国·专题练习）如图，在正四面体中，，分别为，的中点，则与的夹角的余弦值为 ．
【答案】
【分析】利用正四面体的性质、向量的线性运算、向量的数量积运算即可得解.
【详解】解：设正四面体棱长为1，
设，，，则，
∵，
∴，，.
∵，分别为，的中点，，是等边三角形，
∴，，，
∴
．
∴与的夹角的余弦值为．
故答案为：.
变式3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知是异面直线，，，且，则与所成的角为 ．
【答案】
【分析】利用，求出，再应用两向量的夹角公式即可求解.
【详解】设，由已知，
得，又，
则
，
又，.
又，.所以异成直线的夹角为.
故答案为：.
变式4．（23-24高二上·四川绵阳·期中）如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且. 求：
(1)的长；
(2)直线与所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用空间向量数量积的运算律求解；
（2）利用空间向量的数量积的运算律以及夹角公式求解.
【详解】（1）
因为,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因为直线与所成角，
所以直线与所成角的余弦值为.
变式5．（23-24高二上·吉林松原·期中）已知空间四边形中，，求的值.
【答案】0
【分析】根据空间向量的运算，结合空间向量数量积的定义及夹角余弦公式即可得结论.
【详解】，
变式6．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，长方体的棱长，，．
(1)求；
(2)求与所夹角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，，则可用前者表示，利用数量积可求其模长.
（2）先求的模长及其数量积，利用公式可求夹角的余弦值.
【详解】（1）设，，，
则，，，
，
．
因为
，所以．
（2）因为 ，
所以．因为
，
所以与所夹角的余弦值为．
变式7．（2023高二·全国·专题练习）如图，正方体的棱长是，和相交于点．
(1)求；
(2)求与的夹角的余弦值
(3)判断与是否垂直．
【答案】(1)
(2)
(3)垂直
【分析】
（1）利用数量积的公式可得；
（2）先用表示，利用数量积运算律可得、进而利用公式可得与的夹角的余弦值.
（3）利用数量积运算律得，进而可得与是否垂直．
【详解】（1）正方体中，，
故.
（2）由题意知，，
，
，
故，
故 .
（3）由题意， ，
，
故与垂直.
【方法技巧与总结】
1.两异面直线所成角的范围是（0，]，两个向量的夹角范围是[0，π]，利用向量数量积求异面直线所成的角时，要注意角度的转化；
2.利用数量积求直线夹角或余弦值的方法
①取向量:根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量
②角转化:异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题
③求余弦值:利用数量积求余弦值或角的大小
④定结果:异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量的夹角求余弦值应将余弦值加上绝对值，继而求角的大小
【题型6：利用空间向量求长度】
例6．（23-24高二上·河南·阶段练习）如图，在三棱锥中，，，，，为的中点，为的中点，为的重心，与相交于点，则的长为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线可得，即可根据模长公式求解.
【详解】设，由题意得，
则 .
设，
则,故.
由得 ，
得，
所以
，
变式1．（多选）（23-24高二上·湖南长沙·期中）如图，两条异面直线a，b所成的角为，在直线a，b上分别取点A，O和点C，B，使，.已知，，，则线段OC的长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】AC
【分析】依题意，，两边同时平方后，利用空间向量的数量积，代入已知数据计算，即可求解．
【详解】依题意，，
平方得 .
因为a，b所成的角为，或.
当时，，，
代入数据可得，
所以，，所以；
当时，，，
代入数据可得，
所以，，所以.
综上所述，或，即OC的长为6或.
C.
变式2．（23-24高二上·湖南长沙·期末）如图所示，已知平面，则 ．
【答案】12
【分析】首先表示向量，平方后，利用数量积公式，即可求解.
【详解】，
,
因为平面，平面，
所以，，
所以，
则.
故答案为：
变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知向量两两夹角为，且，则 ．
【答案】
【分析】利用空间向量数量积公式计算出，从而求出答案.
【详解】由题意可得：
，
故.
故答案为：.
变式4．（23-24高二上·山东济宁·期中）在四棱柱中，若底面是边长为1的正方形，，，则四棱柱对角线的长为 ．
【答案】
【分析】由空间向量线性运算及数量积的定义及性质运算即可得答案.
【详解】如图，
可得.
则
.
故答案为：
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·期中）已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则 .
【答案】
【分析】利用空间向量数量积的运算法则计算即得.
【详解】单位向量两两夹角均为，则，
所以
.
故答案为：
变式6．（23-24高二上·福建泉州·阶段练习）如图，在三棱柱中，，分别是，上的点，且,设，，．
(1)试用 表示向量；
(2)若，，，求线段的长．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据题意，结合空间向量的运算法则，准确化简、运算，即可求解；
（2）根据题意，求得且，结合空间向量的数量积和模的运算，即可求解.
【详解】（1）解：因为，
根据空间向量的运算法则，可得 .
（2）解：因为，，，
可得且，
则
，所以，
即线段的长．
【方法技巧与总结】
利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式||=求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小.
【题型7：投影向量】
例7．（23-24高二上·宁夏银川·阶段练习）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解.
【详解】由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影数量为.
所以所求投影向量的模长为2.
变式1．（23-24高二上·广东深圳·期中）在直三棱柱中，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用几何关系作出向量在向量上的投影即可.
【详解】如图，过作，垂足为，过作，垂足为，连接．
因为在直三棱柱中，，平面，
所以平面，且平面，所以．
又平面，，所以平面，
又平面，则．
所以向量在向量上的投影向量为，
由，，得，
，所以
则，即，
即向量在向量上的投影向量为.
变式2．（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空间向量满足，则在方向上投影的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设向量的夹角为，根据题意，求得，得到所以在方向上的投影为，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，设向量的夹角为，
所以，可得，
解得，
所以在方向上的投影为
，当且仅当时，即时，等号不成立，
所以在方向上的投影的最大值为．
.
变式3．（多选）（2023·湖北十堰·二模）《九章算术》中，将上、下底面为直角三角形的直三棱柱叫做堑堵，在如图所示的堑堵中，，则（ ）．
A．
B．
C．向量在向量上的投影向量为
D．向量在向量上的投影向量为
【答案】CD
【分析】利用空间向量的线性运算可判定A、B选项；利用投影向量的定义可判定C、D选项.
【详解】因为
，故A不正确，B正确．
如图所示，故D作DU垂直BC，过U作VU垂直AB，UW垂直AC，
故向量在向量上的投影向量为,向量在向量上的投影向量为，
由题意易得故，C不正确． ，D正确．
D
变式4．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知空间向量，若，则的值为 ．
【答案】/
【分析】根据向量间的垂直关系和向量的数量积即可求解.
【详解】由题知，因为，所以，
即
，
所以.
故答案为：
变式5．（2023高二·全国·专题练习）四棱锥中，底面，底面是矩形，则在向量上的投影向量为 .
【答案】
【分析】根据线面、线线位置关系，结合投影向量的定义确定在向量上的投影向量.
【详解】四棱锥，底面是矩形，则，即，
且，由底面，底面，则，
由，面，则面，
又面，则，故向量在向量上的投影向量为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故答案为：
变式6．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知，向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影为 ．
【答案】
【分析】
根据投影的定义结合已知条件求解即可.
【详解】
因为，向量为单位向量，，
所以向量在向量方向上投影为．
故答案为：
变式7．（23-24高二上·广东惠州·期中）如图，在三棱锥中，已知平面，，，则向量在向量上的投影向量为 （用向量来表示）.
【答案】
【分析】写出表达式，求出，即可得出向量在向量上的投影向量.
【详解】由题意，
在三棱锥中，已知平面，
,
∵面，
∴，
在中，，，
∴,
，
∴向量在向量上的投影向量为：
，
故答案为：.
变式8．（20-21高二·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，平面，，，．
(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【答案】(1)在平面上的投影向量为，；
(2)在上的投影向量为，.
【分析】（1）根据平面可得在平面上的投影向量，由空间向量的线性运算以及数量积的定义计算的值即可求解；
（2）由投影向量的定义可得在上的投影向量，由数量积的几何意义可得的值.
【详解】（1）因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
（2）由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.
【方法技巧与总结】
类比平面向量投影的概念，借助图形，叙述作出向量 在轴l上投影（空间称为射影）的过程.
已知图形向量，l为轴，向量是l上与轴l同方向的单位向量，作点A在l上的射影A’,作点B在l上的射影B’，则称为向量在轴l上或在的方向上的正射影；可以证明A’B’=||cos<,>。
注意：轴l上的正射影对应的数值A’B’是一个可正可负可零的实数，它的符号代表向量
与l的方向的对应关系，大小代表在l上射影的长度.
【题型8：共面问题】
例8．（23-24高二上·广东江门·期中）若是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【分析】根据共面向量定理逐个分析判断即可.
【详解】对于A，因为，所以，，三个向量共面，所以A错误，
对于B，因为，所以，，三个向量共面，所以B错误，
对于C，假设，，三个向量共面，则存在实数，使，
所以三个向量共面，
因为是空间的一个基底，所以三个向量不共面，
所以假设错误，所以，，三个向量不共面，所以C正确，
对于D，因为，所以，，三个向量共面，所以D错误，
变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期末）设平面内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面内存在一点D满足 ，则x的值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.
【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，
，解得：.
变式2．（23-24高二上·四川宜宾·期中）在四面体中，空间的一个点满足，若四点共面，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间四点共面可得，解之即可.
【详解】因为四点共面，，
所以，解得.
.
变式3．（22-23高二上·江西·阶段练习）已知点为所在平面内一点，为平面外一点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用空间向量共面的基本定理化简可得出的值.
【详解】因为点为所在平面内一点，设，其中、，
即，
所以，，
所以，，所以，.
.
变式4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）在空间四面体中，对空间内任意一点，满足，则下列条件中可以确定点与，，共面的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量四点共面列式即可得解.
【详解】因为，
所以点与，，共面等价于，即.
.
变式5．（23-24高二上·广东广州·期末）在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用共面向量定理及推论逐项判断即得.
【详解】对于A，中，，A不是；
对于B，中，，B不是；
对于C，化为，，C不是；
对于D，中，，D是.
变式6．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，，不共面，，则（ ）
A．，，A，B，C，M四点共面 B．，，A，B，C，M四点不共面
C．，，A，B，C，P四点共面 D．，，A，B，C，四点共面
【答案】A
【分析】根据共面的推论即可求解.
【详解】，，，A，B，C，M四点共面.
故选:A.
变式7．（22-23高二上·湖南郴州·阶段练习）为空间任意一点，若，若、、、四点共面，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.
【详解】空间向量共面的基本定理的推论：，且、、不共线，
若、、、四点共面，则，
因为为空间任意一点，若，且、、、四点共面，
所以，，解得.
.
【方法技巧与总结】
利用向量法证明向量共面的策略
（1）若已知点P在平面ABC内，则有=x＋y或=x＋yz（x+y＋z=1），然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数．
（2）证明三个向量共面（或四点共面），需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量来表示.
【题型9：最值取值范围问题】
例9．（23-24高二上·湖南·期中）已知正方体的棱长为2，球是正方体的内切球，点是内切球表面上的一个动点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，取中点为，则，再结合向量的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】
取中点为，因为，，
所以，
又，则，
又正方体的棱长为2，则正方体的内切球半径为1，则，，
所以，
所以，
所以当，反向时，，有最小值为；
当，同向时，，有最大值为.
.
变式1．（22-23高二上·湖南·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依题意作出图形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由线面垂直的判定定理可得平面，进而有，，结合空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图，
易得，，，
因为平面，平面，所以平面，
同理平面，
又因为平面，，所以平面平面.
因为平面，所以H为线段FG上的点.
由平面，平面，得，
又，则，
由平面，得平面，
因为，所以平面，，.
因为，
所以，，.
所以
.
因为，所以.
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是推得H为线段FG上的点，从而利用空间向量数量积的定义得到，从而得解.
变式2．（21-22高二·全国·课后作业）如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON，根据向量的线性运算可得，再分析的范围求解即可.
【详解】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON．由正方体的性质可知，，，那么，又，所以.
当与反向，且时，有最小值，此时；
当与同向，且时，有最大值，此时，即的取值范围为．
变式3．（多选）（23-24高三下·全国·强基计划）正四面体中，棱长为．点满足，则的（ ）
A．最小值为．
B．最大值为
C．最小值为
D．最大值为
【答案】CC
【分析】由题意，确定点在球上，根据空间向量的线性运算和数量积的运算求得的表达式，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】设的中点，则，即，
又，所以，
即点落在以为球心，以1为半径的球上.
因为，所以.
由正四面体的棱长为，得，
所以，
设，则，
又，所以，
即的最大值为，最小值为.
C
变式4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知球的半径为是球的直径，点在球的球面上.若空间中一点与点间的距离为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用向量的四则运算可得，再根据数量积的公式和运算律求解即可.
【详解】由题意可得点在以为球心，为半径的球上，
所以
，
因为，所以，
所以，所以的最小值为，
故答案为：
变式5．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的最大值是 ，最小值是 .
【答案】
【分析】先利用正方体的性质求得的取值范围，再利用空间向量的数量积即可得解.
【详解】设正方体内切球球心为S，是该内切球的任意一条直径，易知该内切球的半径为1，
当点在正方体的面的中心时，取得最小值1；
当点在正方体的顶点时，取得最大值，所以；
故
，
所以的最大值是，最小值是.
故答案为：；.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数量积运算，将转化为，从而得解.
变式6.（23-24高二上·上海·期中）已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为80°．若，则k的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用向量数量积运算求解.
【详解】因为，，的模均为1，他们之间的夹角均为，所以：，.
又
所以： 或.
故答案为：
变式7．（22-23高二·浙江温州·阶段练习）正四面体的棱长为，空间动点满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由向量的线性运算公式化简，结合数量积的运算律化简，由此求出其取值范围即可.
【详解】取的中点为，的中点为，
因为，所以，即，
又，
因为，
所以，当且仅当方向相同或为零向量时等号不成立；
，当且仅当方向相反或为零向量时等号不成立；
因为正四面体的棱长为，
所以在中，，
所以，即，故，
所以，又，
所以，即.
故答案为：.
一、单选题
1．（23-24高二上·河北·期中）如图，在正三棱台中，，为中点，为中点，设，，，则可用，，表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量线性运算法则直接计算.
【详解】由题意可得，
而，
.
2．（23-24高二上·北京西城·期中）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量加法，减法的几何意义及相等向量的定义进行化简即可.
【详解】解：=，所以D正确，A，B，C错误.
3．（21-22高二上·甘肃陇南·期末）已知，（，，为两两互相垂直的单位向量），若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的数量积的运算得到方程，解方程即可.
【详解】
∵，，为两两互相垂直的单位向量，
∴，，，，，，
∴，
∵，∴，∴，
解得，
.
4．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，结合空间向量的线性运算即可求解.
【详解】连接，
.
5．（23-24高二下·江苏·课前预习）已知，是相互垂直的单位向量，则（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积公式计算出答案.
【详解】是相互垂直的单位向量，故，
故.
6．（21-22高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知四面体，是的中点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件作出图形，利用线段中点的向量表达式及向量加法法则即可求解.
【详解】如图，四面体，是的中点，
因为是的中点，所以
所以.
.
7．（23-24高二下·甘肃·期末）在所有棱长均为2的平行六面体中，，则的长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】先将用表示，然后再结合数量积的运算律即可得解.
【详解】因为，所以
，
从而，即的长为．
.
8．（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（ ）
A．1 B．0 C． D．2
【答案】A
【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解.
【详解】,
二、多选题
9．（23-24高一下·吉林·期末）已知构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】CCD
【分析】根据向量共面的定义分别判断各选项.
【详解】A选项：令，则，解得，即，，共面，故A选项不符合题意；
B选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故B选项符合题意；
C选项：设，则，此方程组无解，即，，不共面，故C选项符合题意；
D选项：设，则，此方程组无解，，，不共面，故D选项符合题意；
CD.
10．（23-24高一下·山东淄博·期中）已知，，是平面上的三个非零向量，那么下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则
C．若，则与的夹角为
D．在正方体中，
【答案】CD
【分析】根据向量的定义结合向量模的含义可判断A；根据数量积的运算律判断B；根据向量的夹角公式可判断C；根据正方体的性质可判断D。
【详解】对于A，若，但，的方向不确定，A错误；
对于B，若，两边平方得，
则，B正确；
对于C，，则，即得，
故，，
故，
而，故与的夹角为，C错误；
对于D，在正方体中，，
故四边形为平行四边形，故，
故，D正确，
D
11．（23-24高二下·湖南郴州·期末）如图，正方体的边长为为的中点，动点在正方形内（包含边界）运动，且.下列结论正确的是（ ）
A．动点的轨迹长度为；
B．异面直线与所成角的正切值为2；
C．的最大值为2；
D．三棱锥的外接球表面积为.
【答案】ACD
【分析】取的中点，分析可知平面.对于A：分析可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆，即可得结果；对于B：分析可知异面直线与所成角即为，即可得结果；对于C：根据数量积的几何意义分析判断；对于D：分析可知，进而求球的半径和表面积.
【详解】取的中点，连接，
因为分别为的中点，则∥，且，
又因为平面，则平面，
由平面，可得.
对于选项A：在中，，
可知动点的轨迹是以点为圆心，半径为1的半圆，
所以动点的轨迹长度为，故A正确
对于选项B：因为∥，∥，则∥，
可知异面直线与所成角即为，其正切值为，故B错误；
对于选项C：因为线段在平面内的投影为，
结合选项A可知：在方向上的投影数量的最大值为1，
所以的最大值为，故C正确；
对于选项D：设三棱锥的外接球的球心为，半径为，
因为平面，且为的外接圆圆心，可知，
则，解得，
所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确；
CD.
三、填空题
12．（23-24高三上·福建福州·期中）已知向量的夹角的余弦值为，则
【答案】
【分析】
先根据数量积的定义可得，结合数量积的运算律分析求解.
【详解】
由题意可得，
所以．
故答案为：.
13．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在四面体 中，分别为的中点，则
【答案】
【分析】根据空间向量的运算，将用来表示，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
故答案为：
14．（23-24高一下·河北邢台·期末）如图所示，在四棱柱中，侧面都是矩形，底面四边形是菱形，且，，若异面直线和所成的角的大小是，则的长度是 .
【答案】
【分析】利用基底表示向量和，利用数量积公式，即可求解.
【详解】由题意可知，，，且，
，
，
，
由题意可知，，所以，所以.
故答案为：
四、解答题
15．（23-24高二上·新疆·阶段练习）如图，在平行六面体中，，，，，，求：
(1)；
(2)的长.
【答案】(1)10
(2)
【分析】（1）利用数量积的定义即可求解；
（2）根据模长公式即可求解.
【详解】（1）．
（2）因为，
所以．
16．（23-24高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，.
(1)求；
(2)求CD的长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可；
（2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可.
【详解】（1）因为，，，
所以；
（2）因为，
所以
，
所以.
17．（2024高二·全国·专题练习）如图，正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，M是棱BC的中点，点N满足，点P满足.
(1)用向量表示；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解；
（2）先计算，再开方即可求解.
【详解】（1）因为M是棱BC的中点，点N满足，点P满足.
所以 ；
（2）因为正四面体（四个面都是正三角形）OABC的棱长为1，
所以，，
所以，
所以
，所以.
18．（23-24高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．
(1)求的长．
(2)求异面直线与所成的角的余弦值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可.
（2）利用及向量的数量积求夹角即可.
【详解】（1）
，
所以，
即的长为.
（2）
，
又由余弦定理得，
所以设所求异面直线所成角为，.
19．（23-24高二上·重庆·期末）如图，在平行六面体中，，，，，，，与相交于点．
(1)求；
(2)求的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，代入数值直接求得结果；
（2）化简可得，然后采用先平方再开方的方法求解出，则的长可知.
【详解】（1）.
（2）因为，
所以
，
所以的长为.
20．（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在长方形中，为中点，.以为折痕将四边形折起，使，分别达到，，当异面直线，成角为时，异面直线，成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的数量积运算即可求解.
【详解】不妨设，
由于，所以即为直线，所成的角,
故, 又，
所以，因此异面直线，成角余弦值为，
21．(多选) （23-24高二下·江苏常州·阶段练习）在正方体中，下列命题是真命题的是（ ）
A．
B．
C．
D．正方体的体积为
【答案】ABC
【分析】根据空间向量运算、夹角、体积等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】设正方体的棱长为，
A选项，
，A选项正确；
B选项，
，B选项正确；
C选项，由于三角形是等边三角形，所以，C选项正确；
D选项，，所以D选项错误.
BC
22.（多选）（23-24高二上·山东济宁·期末）如图，二面角的大小为，其棱l上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若则两点间的距离为 ．
【答案】
【分析】利用向量的线性关系可得，两边平方可求的长度.
【详解】因为二面角的大小为，，
.
,即两点间的距离为.
故答案为：
23．（23-24高二上·浙江·期中）平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，为中点，为中点，设，，.
(1)用向量，，表示向量；
(2)求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可求解，
（2）根据向量的模长公式，即可代入求解.
【详解】（1）因为为中点，为中点， ，，，
所以
（2）因为平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱，且，
所以，，，
所以
所以，即线段PM长为
24．（20-21高二上·山东潍坊·期中）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.
(1)试用向量，，表示向量；
(2)若，，，求的值.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算求出即可；
（2）根据向量的运算性质代入计算即可.
【详解】（1），
，
故
∵点E为AD的中点，
故.
（2）由题意得，
故，
故
.
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