2.6.1双曲线的标准方程
课程标准 学习目标
1.通过对双曲线的定义，标准方程的 学习，培养数学抽象素养 2.借助于双曲线标准方程的推导过 程，提升逻辑推理、数学运算素养 1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程解决相关问题:
知识点01 双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
【即学即练1】（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ）
A．5 B．13 C．5或9 D．5或6
【答案】D
【分析】由双曲线的定义求解.
【详解】由题意可知，，，若，则 或9．
【即学即练2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】充分、必要条件的判断，一方面需要判断充分性，另一方面要判断必要性，结合双曲线的定义，只有“为定值”且“”时才不成立，即可做出判断．
【详解】充分性：当“为定值”，但“”时，“动点的轨迹不是双曲线”，不满足充分性；
必要性：以，为焦点的双曲线上的动点满足“为定值”，满足必要性；
因此“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的必要不充分条件．
.
知识点02双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
【即学即练3】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由的关系结合已知即可求解.
【详解】由题意知，，所以，
所以双曲线的方程为.
.
【即学即练4】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴长、半焦距即可求解.
【详解】依题意，双曲线焦点在x轴上，焦距，即，
实轴长，即，于是虚半轴长，
所以所求双曲线方程为.
难点：数形结合的运用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则 .
【答案】/
【分析】设双曲线的左焦点为，分析可知为矩形，则，分析可知，即可得结果.
【详解】设双曲线的左焦点为，连接，，
由对称性可知：，可知为平行四边形，
且，可知为矩形，可得，
由题意可得：，即，
因为，可得，
整理可得.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用
在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
【题型1：双曲线的定义】
例1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
【答案】A
【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.
【详解】设，由题意知动点M满足|，故动点M的轨迹是射线.
.
变式1．（22-23高二上·全国·课后作业）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（ ）
A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线
【答案】A
【分析】根据动点到两定点的距离和两定点的距离关系判断即可.
【详解】因为，，
故的轨迹是已、为端点的两条射线，
.
变式2．（22-23高二下·福建福州·期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
【答案】C
【分析】先求出P点的位置，再根据双曲线的定义求解.
【详解】对于 ，
，所以P点在双曲线的左支，则有 ；
.
变式3．（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在
【答案】C
【分析】由判断出正确答案.
【详解】依题意，、是两个定点，P是一个动点，
且满足，所以动点P的轨迹是双曲线的一支.
变式4.（23-24高二上·全国·课后作业）如果双曲线上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一焦点的距离是 ．
【答案】22
【分析】由双曲线定义得到方程，进行求解.
【详解】由题意得，又，所以.
故答案为：22
变式5．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆
【答案】C
【分析】设所求动圆圆心为，圆的半径为，根据圆与圆的位置关系结合双曲线的定义可得出结论.
【详解】圆的圆心为，半径为；
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
设所求动圆圆心为，圆的半径为，
由于动圆与圆、圆均外切，则，
所以，，因此动圆的圆心的轨迹为双曲线的一支.
.
变式6．(多选)（23-24高二上·河南焦作·阶段练面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线
【答案】CCD
【分析】由双曲线的定义判断．
【详解】当时，点M的轨迹为的垂直平分线，
当时，点M的轨迹为两条射线，
当时，点M的轨迹为双曲线，
当时，点不存在，
CD
变式7．（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】CC
【分析】根据题意，结合双曲线的定义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由双曲线的焦点坐标，可得，
要使得满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支，
则满足，解得且，
结合选项，选项B、C符合题意.
C.
变式8．（23-24高二下·北京·期中）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线右支的一点，且，则 ．
【答案】1
【分析】根据双曲线的定义即可求解.
【详解】由双曲线的定义可知，，
所以.
故答案为：1.
变式9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为 .
【答案】2
【分析】借助双曲线定义即可得.
【详解】由双曲线定义可得，
又为右支上一点，故，
即.
故答案为：2.
【题型2：双曲线的标准方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线定义求解即可.
【详解】由题意可知，，解得，，
所以双曲线的方程是．
．
变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】双曲线的标准方程有两种情形，一是焦点在x轴，另一种焦点在y轴，根据a与b写出标准方程即可．
【详解】在双曲线的标准方程中，，
当双曲线的焦点在x轴上时，它的标准方程是；
当双曲线的焦点在y轴上时，它的标准方程是.
所以双曲线标准方程是或.
变式2．（21-22高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以，
由于双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程是.
变式3．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线中的关系求解.
【详解】由题可知，双曲线的焦点在轴上，所以可设方程为，
且，所以，
所以双曲线方程为，
故选:D.
变式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由焦点坐标特征设出双曲线方程，根据双曲线定义得到，得到，求出双曲线方程.
【详解】由题意得：双曲线的焦点在轴上，设双曲线方程为，
，故，又，
故，
故双曲线的标准方程为：.
变式5．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点且焦点为，的双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【分析】由焦点坐标得，由定义得，即可求出双曲线的标准方程.
【详解】双曲线的焦点在轴上，且，
因为双曲线过点，根据双曲线的定义得：，则，
则，所以双曲线的标准方程为
故答案为：.
变式6．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ．
【答案】
【分析】设双曲线的方程为，根据题意列式求解即可.
【详解】设双曲线的方程为，
由题意可得：，解得，
所以双曲线的标准方程是.
故答案为：.
变式7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为 .
【答案】
【分析】利用等轴双曲线的性质得出，设出标准方程，将坐标点代入求得和的值，即可得出双曲线C的标准方程.
【详解】解：由题意，
在等轴双曲线C中，对称轴是坐标轴，图像过，
当焦点在x轴时
设，则
∴解得：
∴，
当焦点在y轴时，不不成立，
综上，.
故答案为：.
变式8．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点，的坐标分别为(，0)和(－，0)，点在双曲线上，且⊥，△的面积为1，则双曲线的方程为 ．
【答案】－y21
【分析】由已知可得从而可求出(|PF1|－|PF2|)216，由双曲线的定义可求出，而c，，可求出，进而可求得双曲线的方程
【详解】由题意得
(|PF1|－|PF2|)216，即2a4，解得a2，
又c，所以b1，
故双曲线的方程为－y21.
故答案为：－y21.
变式9．（21-22高二·全国·课后作业）求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程．
【答案】
【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求出标准方程.
【详解】设双曲线方程为：，将点与代入得：，解得：，故双曲线的标准方程为：.
【方法技巧与总结】
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【题型3：双曲线定义的应用】
例3．（2024高二·全国·专题练习）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.
【详解】根据题意，若曲线表示双曲线，则有，
解得.
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）方程所表示的曲线为，有下列命题：①若曲线为椭圆，则；②若曲线为双曲线，则或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则.
以上命题正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④
【答案】D
【分析】根据椭圆、双曲线、圆的方程的特征逐一求出参数范围即可判断.
【详解】对于①，曲线为椭圆时，，解得：或，故①错误；
对于②，曲线为双曲线时，，解得：或，故②正确；
对于③，若曲线是圆，则必有：解得：，即曲线可以表示圆，故③错误；
对于④，曲线表示焦点在轴上的椭圆时，解得：，故④正确.
.
变式2．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线方程定义列不等式求解.
【详解】依题意，得，则．
．
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）方程表示双曲线，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】通过双曲线的标准方程，列出不等式，求解即可.
【详解】方程表示双曲线，
可得，
解得，
故答案为：.
变式4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据双曲线的方程即可求解.
【详解】若方程表示双曲线，显然，
则由可得，
故,
故答案为：
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据双曲线焦点在轴上有，求解即可得出参数范围.
【详解】因方程表示焦点在轴上的双曲线，
则有，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由题意可得，从而可求出的取值范围.
【详解】将方程化为，因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得，
即的取值范围为，
故答案为：
变式7．（21-22高二·全国·课后作业）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】直接由双曲线标准方程的形式得到不等式，解不等式即可.
【详解】由题意知：，解得.
故答案为：.
变式8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知，当为何值时，
(1)方程表示焦点在轴上的椭圆；
(2)方程表示双曲线.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）结合椭圆几何性质即可；
（2）结合双曲线几何性质即可.
【详解】（1）由题知：
，
解得：
（2）由题知:
,
解得：或
【题型4：焦点三角形】
例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可得，又可得：，，结合，再利用余弦定理即可得解.
【详解】根据双曲线的定义得，
又因为，所以，．
又因为，
所以在中结合余弦定理的推论得：
，
因为，得的大小为．
变式1．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设，分别是双曲线C：的左 右焦点，P为C上一点且在第一象限若，则点P的纵坐标为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义可得，进而根据长度关系判断，代入即可求解.
【详解】根据题意可知： ，由以及可得，又，
由于,故，即三角形为直角三角形，
将代入得，由于P为C在第一象限，故点P的纵坐标为2，
变式2．（2022·全国·模拟预测）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
【答案】A
【分析】先利用题给条件及双曲线定义求得的三边长，进而求得的面积
【详解】由，可得
又是是双曲线上的一点，则，
则，，又
则，则
则的面积等于
变式3．（2022高三·全国·专题练习）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上，轴于点，且在线段上，，则（ ）
A．4 B．6 C． D．40
【答案】D
【分析】根据相似可得垂直关系，进而根据双曲线定义，即可求解.
【详解】由双曲线方程可得：，
由可得，
所以,故，
不妨设在第一象限，则，
故，得，
又，
故，
变式4.（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，点是它们的一个公共点，则的形状是
三角形（填锐角，直角，钝角）.
【答案】直角
【分析】在焦点三角形中根据椭圆和双曲线的定义证明求解即可.
【详解】因为椭圆和双曲线有相同的焦点，
所以，得，
根据椭圆的定义得，
根据双曲线的定义得，
所以，
即，
所以,
所以的形状是直角三角形.
故答案为:直角.
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别是，点在双曲线上，且线段经过焦点，，则的周长为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义可得，，进而可得.
【详解】
由双曲线的定义可得①，②，
两式相加得，即，
所以，故的周长为.
故答案为：
变式6．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
【答案】/
【分析】利用双曲线的定义表达式和余弦定理联立方程组，可求得的值，代入三角形的面积公式计算即得.
【详解】
由可得：，如图，设则①，
在中，由余弦定理，，即：②
由①②联立，解得：.
则三角形的面积为.
故答案为：.
变式7.（21-22高二上·全国·课后作业）已知、是双曲线的焦点，是过焦点的弦，那么的值是 ．
【答案】16
【分析】由双曲线的定义可得答案.
【详解】由双曲线方程得，，
由双曲线的定义得，①
，②
①＋②，得，
所以．
故答案为：16.
【方法技巧与总结】
求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义，结合圆的几何性质进行求解即可.
【详解】
在双曲线中，，，
， ，
设双曲线的右焦点为，则，
在双曲线的右支上，
，即，
由题知，圆心，半径，在圆上，
，
则，
当，，三点共线且Q位于另两点之间时，取得最小值为，
此时，
的最小值为.
.
变式1．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．14
【答案】A
【分析】先确定相关点的坐标，然后运用双曲线的定义转化边的关系，最后根据三点共线即可求得最小值.
【详解】根据椭圆方程，不妨设，根据双曲线方程，可知，从而可知，
由双曲线定义可知，即，
所以周长，
要使其周长最小，即求的最小值，显然当三点共线时，有最小值，且最小值是，
因此，周长为.
故选:D
变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义转化为可求解.
【详解】设右焦点为，则，依题意，有，
，（当在线段上时，取等号）．
故的最小值为9.
.
变式3．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B是圆上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9 B． C．8 D．7
【答案】D
【分析】由双曲线的定义结合圆的对称性得出.
【详解】圆的圆心为
由双曲线的性质可知，为其左焦点，右焦点为，
由定义可知
即
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用双曲线的定义得出，进而得出最小值.
变式4．（20-21高二上·河南开封·期中）已知是双曲线：的右焦点，为右支上一点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】记双曲线的左焦点为，利用双曲线的定义，得到，进而可求出结果.
【详解】
记双曲线的左焦点为，则，
因为为右支上一点，由双曲线的定义可得，，
所以，
当且仅当，，三点共线时，取得最小值.
.
变式5．（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为 ，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】利用双曲线定义可将转化为，结合三角形三边关系可确定最小值为三点共线时的取值，由此可计算得到结果.
【详解】
由双曲线方程知：，，，则，，
由双曲线定义知：，
（当且仅当在线段上时取等号），
又，.
故答案为：.
变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为
【答案】.
【分析】设点的坐标为，得到点是双曲线的焦点，根据题意和双曲线的定义，化简得到，结合圆的方程，得到，进而求得的最小值.
【详解】由双曲线，可得，则，
如图所示，设点的坐标为，则点是双曲线的焦点，
根据双曲线的定义，可得，
所以，
又由是圆上的点，圆的圆心为，半径为，
所以，所以，
当点在线段上时，取得等号，即的最小值为.
故答案为：.
变式7．（20-21高二上·北京·期中）已知点，，，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为 .
【答案】4
【分析】利用双曲线的定义得到动点M的轨迹为双曲线右侧一支，然后利用三点共线两线段之和最大，求解即可得到答案.
【详解】解：点，，且动点M到A的距离比到B的距离多2，
所以，
故动点M的轨迹为双曲线右侧一支，
则动点M到B，C两点的距离之和，
当且仅当M，A，C三点共线时取等号，
所以动点M到B，C两点的距离之和的最小值为4.
故答案为：4.
变式8．（20-21高一下·江西景德镇·期末）若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为 .
【答案】
【分析】由题设知，，，即可得到，从而计算可得．
【详解】解：双曲线中，
，，，
，，
因为分别是圆和 上的点，所以，
，
，，
，
所以
故答案为：．
【方法技巧与总结】
最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。
差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
【详解】圆 ，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是.
变式1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】结合双曲线的定义求得的轨迹方程.
【详解】设，，由题意知动点M满足，
故动点M的轨迹是射线．
故答案为：
变式2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点，根据题意结合斜率公式分析求解.
【详解】设点，
由已知得，整理得，
所以点P的轨迹方程为．
故答案为：.
变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设点的坐标为，进而利用得到动点的轨迹方程.
【详解】设点的坐标为，
因为，,
所以，化简得.
故动点的轨迹方程为.
故答案为：
变式4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】利用直接法建立等式，化简即可.
【详解】解：动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，
所以，即，
展开整理得．
故答案为：．
变式5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，利用正弦定理结合已知条件可得，然后根据双曲线的定义可求得结果.
【详解】以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则，.
由正弦定理，得，，（R为的外接圆半径）.
∵，
∴，即.
由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支（除去与x轴的交点）.
由题意，设所求轨迹方程为，
∵，，∴.
故所求轨迹方程为.
故答案为：
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.
【答案】
【分析】设出动点M的坐标，再利用斜率坐标公式列式并化简作答.
【详解】设点，而点，，在中，，又直线，的斜率存在，即，
于是，即，整理得，
所以动点M的轨迹方程.
变式7．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；
【答案】；
【分析】
利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，从而得的值，即可得出轨迹的方程；
【详解】
因为，由双曲线的定义可知，
轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，
，即，所以，
所以轨迹的方程为.
【方法技巧与总结】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
一、单选题
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解.
【详解】设动圆的半径为r，
则，，
则，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支．
．
2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．5或13
【答案】C
【分析】先求出，然后根据双曲线的定义结合可求得.
【详解】双曲线的，
由双曲线的定义可得．
因为，所以，得或17，
若，则在右支上，应有，不不成立；
若，则在左支上，应有，不成立．
．
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】易得充分性不成立，当 时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，可知必要性不不成立.
【详解】当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆， 故充分性不成立；
当 时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，
故由曲线的焦点在轴上推不出，即必要性不不成立；
所以“”是“曲线的焦点在轴上”的充分不必要条件．
．
4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C的焦点为在纵轴上，所以，
且双曲线C方程满足，
故，则C的方程为．
．
5．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意设出双曲线的标准方程并列出关系式求解即可.
【详解】根据题意设双曲线的标准方程为：.
则，解得：.
所以双曲线的标准方程为.
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.
【详解】设点，则的斜率为，的斜率为，
故，
所以，故D正确.
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用两点的斜率公式表示夹角正切，化简计算即可.
【详解】动点满足，则，其中，
化简可得．
．
8．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出椭圆的焦点可得双曲线的焦点，结合双曲线经过点，可求得双曲线方程.
【详解】由，得，所以焦点在y轴上，且．
设双曲线的方程为，所以解得，，
所以双曲线的方程为．
．
二、多选题
9．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】AB
【分析】根据两点的距离公式及点到直线的距离公式，双曲线的第二定义，求出的取值范围，即可判断．
【详解】因为方程表示的曲线是双曲线，
由，显然，
即，则，
其中表示点到定点的距离，
表示点直线的距离，又点不在直线上，
则表示平面内一点到定点的距离与到直线的距离之比，
依题意可得，解得，结合各选项可知，只有A、B符合题意.
B
10．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（ ）
A．Γ可能是等轴双曲线
B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则
C．Γ可能是半径为的圆
D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则
【答案】CCD
【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可.
【详解】对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不不成立，故A错误；
对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆，
则，解得，故B正确；
对于C，Γ是圆，则，解得，半径为，故C正确；
对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则，
解得，故D正确.
CD.
11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（ ）
A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB2
【答案】CCD
【详解】
解析：因为|PA－PB|5AB，所以点P的轨迹是两条射线，故A不正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB·2，化简得y22（x2－4），即－1，此时P的轨迹在双曲线上，故B正确；设P（x，y）（x≠±2），因为kPA·kPB·1，化简得y2x2－4，即x2－y24，此时P的轨迹在双曲线上，故C正确；因为PA－PB2＜5AB，此时P的轨迹在双曲线上，故D正确．
三、填空题
12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ．
【答案】
【分析】由题意可知，结合可求出，从而可写出的一个标准方程．
【详解】因为，所以，
所以，
又因为，则，即，
又因为，所以，
解得，
当时，的一个标准方程为．
故答案为：（答案不唯一，满足即可）．
13．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】设，由双曲线定义可得，代入结合二次函数性质分析求解.
【详解】由题意可知：，且，
设，则，
可得在上单调递增，
所以当时，取得最小值3．
故答案为：3.
14．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ．
【答案】
【分析】设，，进而根据向量垂直的坐标表示得，再根据点在双曲线上待定系数求解即可．
【详解】解：由题，设，，因为，
所以，
因为，
所以，解得，
因为，解得，
所以，双曲线的标准方程为．
故答案为：．
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线有相同的焦点，且经过点；
(2)过点，且焦点在坐标轴上．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设双曲线的方程为或，然后根据已知条件来求得正确答案.
（2）双曲线的方程为，然后根据已知条件来求得正确答案.
【详解】（1）方法一
根据题意，设所求双曲线的标准方程为，
，即．①
双曲线经过点，
．②
由①②得，，
双曲线的标准方程为．
方法二
设所求双曲线的方程为．
双曲线过点，
，
解得或（舍去）．
双曲线的标准方程为．
（2）设双曲线的方程为，．
点，在双曲线上，
解得
双曲线的标准方程为．
16．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”．
(1)若和都不成立，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）结合点与圆的位置关系、椭圆方程的特点分别解出当、为真时，的取值范围，再求交集即可；
（2）当为真时，求得，再根据或，求解即可.
【详解】（1）解：当为真时，则有，
整理得：，解得或；
当为真时，则有，解得或；
又因为和都为真，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为；
（2）解：当为真时，则有，解得，
又因为是的必要不充分条件，
所以或，
所以或，
解得或，
所以的取值范围.
17．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知圆，，为上的动点，线段的垂直平分线交直线于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，点不在轴上，若，求点的坐标.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线的定义确定点的轨迹，进而求出轨迹方程.
（2）由给定条件，可得点在第一象限，且是腰长为4的等腰三角形，再结合（1）中轨迹方程，求解方程组即得结果.
【详解】（1）依题意，圆的圆心，半径，
由线段的垂直平分线交直线于点，得，
则，
因此点的轨迹是以为左右焦点，实轴长为的双曲线，
实半轴长，半焦距，则虚半轴长，
所以点的轨迹方程为.
（2）依题意，由与轴不重合，得，则，点在第一象限，
是以线段为底边的等腰三角形，则，
设，则，又，解得，
所以点的坐标是.
18．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积.
【答案】(1)10或22
(2)
【分析】（1）根据双曲线的定义求解；
（2）由双曲线的定义和余弦定理得得解.
【详解】（1）双曲线的标准方程为，
故，，，
由双曲线的定义得，
又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，
假设点M到另一个焦点的距离等于x，
则，解得或.
故点M到另一个焦点的距离为10或22.
（2）由双曲线的定义和余弦定理得，
，
所以，
所以，
所以.
19．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知圆：，圆：．
(1)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程；
(2)若动圆和圆、圆均外切，求点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出所求圆的方程，根据点坐标求得所求圆的方程.
（2）根据双曲线的定义求得点的轨迹方程.
【详解】（1）设所求圆方程为：，，
将代入上面方程，
得，
解得，所以该圆方程为：，
化简为：.
（2）由题圆：，圆心，半径，
圆：，圆心，半径，
又因为圆和圆，圆均外切，令，圆的半径为，
则，，所以，
所以点在以，为左右焦点，以2为实轴长的双曲线靠近点的一支上，
且，所以，， ，
所以点坐标满足如下关系：
，解得．
所以点的轨迹方程为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.6.1双曲线的标准方程
课程标准 学习目标
1.通过对双曲线的定义，标准方程的 学习，培养数学抽象素养 2.借助于双曲线标准方程的推导过 程，提升逻辑推理、数学运算素养 1.掌握双曲线的定义，会用双曲线的定义解决实际问题 2.掌握用定义法和待定系数法求双曲线的标准方程.3.理解双曲线标准方程的推导过程并能运用标准方程解决相关问题:
知识点01 双曲线的定义
1.定义：在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.
2.焦距：这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：1. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
2. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
4. 若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
【即学即练1】（23-24高二上·江西·期末）已知点P是双曲线：上一点，分别为C的左、右焦点，若，则（ ）
A．5 B．13 C．5或9 D．5或6
【即学即练2】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知，是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是以，为焦点的双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
知识点02双曲线的标准方程
1、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；
2、当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中
注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不为零）表示双曲线的条件
方程Ax2+By2=C可化为，即，
所以只有A、B异号，方程表示双曲线。
当时，双曲线的焦点在x轴上；
当时，双曲线的焦点在y轴上。
【即学即练3】（23-24高二上·广东茂名·期末）双曲线经过点，焦点分别为、，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（23-24高二上·广东肇庆·期末）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，第九章“勾股”提出直角三角形的三边边长分别称为“勾”“股”“弦”．如图一直角三角形ABC的“勾”“股”分别为6，8，以AB所在的直线为轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
难点：数形结合的运用
示例1：（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则 .
【题型1：双曲线的定义】
例1．（2023高三·全国·专题练习）已知动点满足，则动点的轨迹是（ ）
A．射线 B．直线
C．椭圆 D．双曲线的一支
变式1．（22-23高二上·全国·课后作业）到两定点、的距离之差的绝对值等于6的点的轨迹（ ）
A．椭圆 B．直线 C．双曲线 D．两条射线
变式2．（22-23高二下·福建福州·期中）设P是双曲线上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．8
变式3．（23-24高二上·广东东莞·期中）设、是两定点，，动点P满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．一条射线 D．轨迹不存在
变式4.（23-24高二上·全国·课后作业）如果双曲线上一点到焦点的距离等于6，那么点到另一焦点的距离是 ．
变式5．（22-23高二上·山西晋中·期末）与两圆及都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）
A．椭圆 B．双曲线的一支 C．抛物线 D．圆
变式6．(多选)（23-24高二上·河南焦作·阶段练面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（ ）
A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线
变式7．（多选）（21-22高二上·全国·课后作业）已知，满足条件的动点的轨迹是双曲线的一支．则下列数据中，可以是（ ）
A． B．2 C． D．
变式8．（23-24高二下·北京·期中）双曲线的左右焦点分别是与是双曲线右支的一点，且，则 ．
变式9．（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如果双曲线右支上一点到左焦点的距离等于，则点到另一个焦点的距离为 .
【题型2：双曲线的标准方程】
例2．（23-24高二上·安徽滁州·期中）已知双曲线的左，右焦点分别是，，点在双曲线上，且，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）在双曲线的标准方程中，若，则其标准方程是（ ）
A． B． C． D．或
变式2．（21-22高二下·广东佛山·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且满足，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（22-23高二上·北京·阶段练习）已知双曲线的一个焦点为，一个顶点为，则双曲线方程的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（22-23高二上·北京海淀·期中）已知双曲线的上、下焦点分别为，，P是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（22-23高二上·江苏连云港·期末）经过点且焦点为，的双曲线的标准方程是 ．
变式6．（22-23高二下·上海黄浦·期中）双曲线经过两点，，则双曲线的标准方程是 ．
变式7．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知对称轴是坐标轴的等轴双曲线C经过点，则双曲线C的标准方程为 .
变式8．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的中心在原点，两个焦点，的坐标分别为(，0)和(－，0)，点在双曲线上，且⊥，△的面积为1，则双曲线的方程为 ．
变式9．（21-22高二·全国·课后作业）求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程．
【方法技巧与总结】
用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为：
【题型3：双曲线定义的应用】
例3．（2024高二·全国·专题练习）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24高二上·湖北十堰·阶段练习）方程所表示的曲线为，有下列命题：①若曲线为椭圆，则；②若曲线为双曲线，则或；③曲线不可能是圆；④若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则.
以上命题正确的是（ ）
A．②③ B．①④ C．②④ D．①②④
变式2．（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）若方程表示双曲线，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）方程表示双曲线，则的取值范围是 .
变式4．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）若方程表示双曲线，则实数的取值范围是 .
变式5．（23-24高二上·辽宁大连·阶段练习）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围为 .
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系xOy中，方程表示焦点在轴上的双曲线，则的取值范围为 ．
变式7．（21-22高二·全国·课后作业）若方程表示双曲线，则实数m的取值范围是 .
变式8．（22-23高二上·江苏扬州·期中）已知，当为何值时，
(1)方程表示焦点在轴上的椭圆；
(2)方程表示双曲线.
【题型4：焦点三角形】
例4．（2022·海南·模拟预测）设双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22-23高二上·贵州贵阳·期末）设，分别是双曲线C：的左 右焦点，P为C上一点且在第一象限若，则点P的纵坐标为（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式2．（2022·全国·模拟预测）设，是双曲线的两个焦点，是双曲线上的一点，且，则的面积等于（ ）
A．24 B． C． D．30
变式3．（2022高三·全国·专题练习）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上，轴于点，且在线段上，，则（ ）
A．4 B．6 C． D．40
变式4.（20-21高二上·上海宝山·阶段练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点，点是它们的一个公共点，则的形状是
三角形（填锐角，直角，钝角）.
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的两个焦点分别是，点在双曲线上，且线段经过焦点，，则的周长为 .
变式6．（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）双曲线的左右两个焦点为，，第二象限内的一点P在双曲线上，且，则三角形的面积是 ．
变式7.（21-22高二上·全国·课后作业）已知、是双曲线的焦点，是过焦点的弦，那么的值是 ．
【方法技巧与总结】
求双曲线中焦点三角形面积的方法：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）已知圆上有一动点，双曲线的左焦点为，且双曲线的右支上有一动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（21-22高二上·山西运城·期中）已知椭圆的一个焦点为F，双曲线的左、右焦点，分别为，，点P是双曲线左支上一点，则周长的最小值为（ ）
A．5 B． C．10 D．14
变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（ ）
A．9 B．5 C．8 D．4
变式3．（20-21高二上·山西运城·阶段练习）已知A(-4，0)，B是圆上的点，点P在双曲线的右支上，则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．9 B． C．8 D．7
变式4．（20-21高二上·河南开封·期中）已知是双曲线：的右焦点，为右支上一点，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
变式5．（21-22高二上·重庆北碚·阶段练习）已知双曲线的左右焦点分别为 ，为双曲线右支上一点，点的坐标为，则的最小值为 .
变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知双曲线的方程为，如图所示，点，是圆上的点，点为其圆心，点在双曲线的右支上，则的最小值为
变式7．（20-21高二上·北京·期中）已知点，，，动点M到A的距离比到B的距离多2，则动点M到B，C两点的距离之和的最小值为 .
变式8．（20-21高一下·江西景德镇·期末）若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为 .
【方法技巧与总结】
最值问题：利用三角形：和最小问题，两边之和≥第三边，三点共线，动点必须在中间。
差的绝对值最大问题，两边之差的绝对值≤第三边，三点共线，动点必须在两边。
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（23-24高二上·重庆·期中）已知，圆 ，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ．
变式2．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点P与两个定点和的连线的斜率之积等于，则点P的轨迹方程为 ．
变式3．（2024高二·全国·专题练习）已知点点，是动点，且直线与的斜率之积等于动点的轨迹方程为 .
变式4．（23-24高二上·河南周口·期末）动点与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，则动点M的轨迹方程是 ．
变式5．（22-23高二·全国·课堂例题）如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，建立适当的平面直角坐标系，则顶点C的轨迹方程为 .
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）已知动点M与两定点，构成，且直线，的斜率之积为4，求动点M的轨迹方程.
变式7．（2023高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点，，点的轨迹为.求的方程；
【方法技巧与总结】
求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；
④逆代法，将代入.
一、单选题
1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二下·上海·阶段练习）设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（ ）
A．1 B．17 C．1或17 D．5或13
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知曲线，则“”是“曲线的焦点在轴上的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·辽宁·二模）已知双曲线C：的焦点为，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二上·宁夏吴忠·期末）已知双曲线的实轴长为，焦点为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·云南·阶段练习）设两点的坐标分别为，，直线与相交于点，且它们的斜率之积为，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知两定点，动点满足，则点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023高三上·湖北孝感·专题练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高二上·吉林延边·期中）希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程 表示的曲线是双曲线，则实数的取值可能为（ ）
A． B．3 C． D．4
10．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（ ）
A．Γ可能是等轴双曲线
B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则
C．Γ可能是半径为的圆
D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则
11．（2024高三·全国·专题练习）（多选）满足下列条件的点P的轨迹一定在双曲线上的有（ ）
A．A（2，0），B（－2，3），|PA－PB|5
B．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB2
C．A（2，0），B（－2，0），kPAkPB1
D．A（2，0），B（－2，3），PA－PB2
三、填空题
12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，写出的一个标准方程 ．
13．（23-24高二下·广西南宁·期末）若双曲线的左、右焦点分别为，，P是C右支上的动点，则的最小值为 ．
14．（24-25高二上·上海·课堂例题）双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课堂例题）根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)与双曲线有相同的焦点，且经过点；
(2)过点，且焦点在坐标轴上．
16．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知：点不在圆的内部，：“曲线表示焦点在轴上的椭圆”，：“曲线表示双曲线”．
(1)若和都不成立，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求的取值范围．
17．（23-24高三下·江苏南京·开学考试）已知圆，，为上的动点，线段的垂直平分线交直线于点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，点不在轴上，若，求点的坐标.
18．（2024高二·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别是，.
(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；
(2)如图，若P是双曲线左支上的点，且，求的面积.
19．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知圆：，圆：．
(1)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程；
(2)若动圆和圆、圆均外切，求点的轨迹方程.
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