2.6.2双曲线的几何性质
课程标准 学习目标
1.掌握双曲线的简单几何性质 2.理解双曲线离心率的定义，掌握离 心率的算法 1.重点:双曲线的渐近线、离心率等几何性质: 2.难点:双曲线的离心率的意义及算法
知识点01 双曲线的几何性质
标准方程 －1(a>0，b>0) －1(a>0，b>0)
性质 图形
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|2c
性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e∈(1，＋∞)
渐近线 y±x y±x
【即学即练1】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（22-23高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，求双曲线C的焦距.
知识点02等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y±x，离心率为e.
注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识
1.双曲线的焦点决定双曲线的位置；
2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
3.巧设双曲线方程：与双曲线－1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－t(t≠0)．
【即学即练3】（2022高二·全国·专题练习）等轴双曲线的一个焦点为，则它的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练4】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
知识点03 双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
【即学即练5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练6】（23-24高二下·全国·课后作业）已知双曲线，求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
难点：数形结合的运用
示例1：（多选）（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（ ）.
A．C的离心率为 B．
C． D．
【题型1：双曲线的几何性质】
例1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A． B．4 C． D．
变式3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线与，有（ ）
A．相同的离心率 B．公共焦点
C．公共顶点 D．公共渐近线
变式4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）.
A．有相同的焦距 B．有相同的焦点
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
变式6．（多选）（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率不相等
变式7．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 .
变式8．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为 .
【方法技巧与总结】
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：
1.把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；
2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
3.由c2a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质。
注意：求性质时一定要注意焦点的位置
【题型2：利用几何性质求标准方程】
例2．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）.
A． B．或
C． D．或
变式1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ．
变式3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 .
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点与椭圆的上、下顶点重合，且其中一条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
变式5．（23-24高二上·广东江门·期末）写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 .
变式6．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为 .
变式7.（23-24高二上·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程：
(1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等；
(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）．
【题型3：离心率问题】
例3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
变式1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．4
变式2．（23-24高二下·广西·期中）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（ ）.
A． B． C． D．
变式5．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为 .
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为且在轴上，且双曲线上存在一点使得，若轴，则该双曲线的离心率为 ．
变式7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .
变式8．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 ．
【方法技巧与总结】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点且点在轴上的射影恰为该双曲线的右焦点交双曲线于另一点，满足，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（19-20高二上·河北石家庄·期中）已知点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（23-24高二上·重庆·期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
变式6．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为
变式7．（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 .
变式8．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【题型5：直线与双曲线的位置关系】
例5．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
变式2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式3．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0 B．1 C．2 D．3
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式5．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ．
变式6．（2024高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ．
变式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与相交于两点，中点在曲线上，探究直线与双曲线的位置关系．
变式8.（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
【方法技巧与总结】
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点
【题型6：双曲线弦长问题】
例6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 .
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ．
变式3.（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线．
(1)若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程；
(2)若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程．
变式4．（22-23高二上·浙江金华·期中）双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点.
(1)求弦长；
(2)若点是双曲线左支上的点，且，求点到轴的距离.
变式5．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为．
(1)求直线的方程；
(2)求两点间距离．
变式6．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.
变式7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值．
变式8．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.
变式9．（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
【方法技巧与总结】
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【题型7：双曲线中点弦问题】
例7．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
变式2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ．
变式4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 .
变式5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ．
变式6.（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、．
(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
变式7.（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
变式8.（2024高二·全国·专题练习）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．
【方法技巧与总结】
双曲线中点弦的斜率公式：
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【题型8：解答题】
例8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线标准方程，
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
变式1．（22-23高二上·全国·期中）已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点．
(1)求的标准方程；
(2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围．
变式2．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知曲线的方程为．
(1)说明为何种圆雉曲线，并求的标准方程；
(2)已知直线与交于，两点，与的一条渐近线交于点，且在第四象限，为坐标原点，求．
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率．
(1)若命题q为真，求实数m的取值范围；
(2)若命题为假命题，为真命题，求实数m的取值范围．
变式4．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程．
(2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由．
变式5．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积．
变式6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
变式7．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;
变式8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
一、单选题
1．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）方程的两个根可分别作为（ ）
A．椭圆和双曲线的离心率 B．两双曲线的离心率
C．两椭圆的离心率 D．以上皆错
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·广西桂林·期末）双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
5．（23-24高二下·四川达州·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
10．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率
D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点
11．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
12．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，，则是两条直线
C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为
三、填空题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线（其中）的右焦点为，则 的离心率为 ．
14．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为 .
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题
16．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
17．（23-24高二下·上海·期中）已知，直线与双曲线相交于不同的点.
(1)若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围；
(2)若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值.
18．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．
19．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.6.2双曲线的几何性质
课程标准 学习目标
1.掌握双曲线的简单几何性质 2.理解双曲线离心率的定义，掌握离 心率的算法 1.重点:双曲线的渐近线、离心率等几何性质: 2.难点:双曲线的离心率的意义及算法
知识点01 双曲线的几何性质
标准方程 －1(a>0，b>0) －1(a>0，b>0)
性质 图形
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|2c
性质 范围 x≤－a或 x≥a，y∈ y≤－a或 y≥a，x∈
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：；虚轴：线段B1B2，长：；半实轴长：，半虚轴长：
离心率 e∈(1，＋∞)
渐近线 y±x y±x
【即学即练1】（2024高二·江苏·专题练习）等轴双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】写出等轴双曲线方程，根据方程即可求出其渐近线方程.
【详解】由题意，若等轴双曲线方程为，
则，则其渐近线方程为；
若等轴双曲线方程为，
则，则其渐近线方程为，
综上，等轴双曲线的渐近线方程为.
【即学即练2】（22-23高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：的左、右顶点分别为A、B，点P在双曲线C上，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，求双曲线C的焦距.
【答案】
【分析】设点，利用直线PA与直线PB的斜率之积为1，可以列关于，的等式，再利用点P在双曲线上又可以得到于，的关系式，两式结合可以得到b，从而可以求出焦距.
【详解】解：设点，因为，所以.
因为点P在双曲线C上，所以，，所以，即b2.
所以双曲线C的焦距为.
知识点02等轴双曲线
定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y±x，离心率为e.
注意：对双曲线的简单几何性质的几点认识
1.双曲线的焦点决定双曲线的位置；
2.双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．
3.巧设双曲线方程：与双曲线－1(a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为－t(t≠0)．
【即学即练3】（2022高二·全国·专题练习）等轴双曲线的一个焦点为，则它的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题意设等轴双曲线为，再由可求出，从而可求出双曲线的方程.
【详解】由题意设等轴双曲线为，
因为等轴双曲线的一个焦点为，
所以，得，
所以等轴双曲线为，即，
故选：
【即学即练4】（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知等轴双曲线的对称轴为坐标轴，且经过点，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出等轴双曲线的标准方程，将代入即可求解.
【详解】设等轴双曲线的方程为，
将点代入得，解得.
所以双曲线的标准方程为.
故选:C.
知识点03 双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为渐近线方程：
2、若双曲线方程为（a＞0，b＞0）渐近线方程：
3、若渐近线方程为，则双曲线方程可设为，
4、若双曲线与有公共渐近线，则双曲线的方程可设为（，焦点在x轴上，，焦点在y轴上）
【即学即练5】（21-22高二上·安徽合肥·期末）等轴双曲线的两条渐近线的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据等轴双曲线的定义，可设，以双曲线的中心为原点，焦点所在的射线为x轴建立直角坐标系，写出双曲线的方程，由此得到渐近线方程，从而求得两渐近线的夹角.
【详解】由等轴双曲线的定义可知双曲线的实轴与虚轴长度相等，∴实半轴与虚半轴的长度相等，设不妨设，以双曲线的中心为原点，焦点所在的射线为轴建立直角坐标系，可知双曲线的方程为，两条渐近线方程为，这两条渐近线的夹角为．
．
【即学即练6】（23-24高二下·全国·课后作业）已知双曲线，求该双曲线的顶点坐标、焦点坐标、离心率与渐近线方程
【答案】顶点坐标为，焦点坐标为，离心率为，渐近线为
【分析】将方程化为标准式，即可求出、、，再解答即可.
【详解】双曲线，即，所以，所以，
故双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，离心率，渐近线为；
难点：数形结合的运用
示例1：（多选）（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）设F为双曲线的焦点，O为坐标原点，若圆心为，半径为2的圆交C的右支于A，B两点，则（ ）.
A．C的离心率为 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据双曲线的标准方程及离心率公式可判断；设，，联立双曲线与圆的方程结合韦达定理计算可判断；由基本不等式链，结合可判断；由题意得，结合基本不等式可判断.
【详解】对于，因为，则，
所以C的离心率为，故正确；
对于，设，，
联立，消去x可得，
则，解得；
则，，
则，，
所以，故错误；
对于，由基本不等式链得，
当且仅当时取等号，故正确；
对于，F为右焦点，，
又，，
，故正确.
CD.
【点睛】利用韦达定理解题的基本规律：
（1）设直线方程（本题中可直接写出圆的方程），设交点坐标为，；
（2）联立直线（曲线）与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为（或）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
【题型1：双曲线的几何性质】
例1．（23-24高三下·重庆·期中）已知双曲线的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合焦距定义与渐近线方程定义计算即可得.
【详解】由题意可得，解得（负值舍去），
则该双曲线的渐近线方程为.
.
变式1．（23-24高二下·四川绵阳·开学考试）已知双曲线的焦距为，则的渐近线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据焦距可求，从而可求渐近线的方程.
【详解】因为焦距为，故，故，故
故渐近线方程为，
.
变式2．（2024·广西柳州·模拟预测）双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解．
【详解】由双曲线的方程知两顶点，，
渐近线方程为，
由对称性，不妨求到直线的距离，．
．
变式3．（23-24高二上·江西景德镇·期末）共轭双曲线与，有（ ）
A．相同的离心率 B．公共焦点
C．公共顶点 D．公共渐近线
【答案】A
【分析】根据双曲线的离心率、交点、顶点、渐近线等知识确定正确答案.
【详解】双曲线的焦点在轴上，双曲线的焦点在轴上，
所以BC选项错误.
双曲线对应，
对应离心率为，渐近线方程为.
双曲线对应，
对应离心率为，渐近线方程为，
所以A选项错误，D选项正确.
变式4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的实轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线和直线斜率可得，求得，进而可得实轴长.
【详解】由双曲线可知：，且焦点在x轴上，
则双曲线的渐近线为，
且直线的斜率，
若直线与双曲线的一条渐近线平行，
则，解得，即，
所以的实轴长为.
.
变式5．（多选）（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知，则关于双曲线与双曲线，下列说法中正确的是（ ）.
A．有相同的焦距 B．有相同的焦点
C．有相同的离心率 D．有相同的渐近线
【答案】AC
【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由双曲线，可得，则焦距为，
焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为；
又由双曲线，可得，则焦距为，
焦点坐标为，渐近线方程为，离心率为，
所以双曲线和有相同的焦距，离心率相同，焦点坐标和渐近线方程不同.
C.
变式6．（多选）（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知椭圆:与双曲线：（），下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A．C1的长轴长与C2的实轴长相等 B．C1的短轴长与C2的虚轴长相等
C．焦距相等 D．离心率不相等
【答案】DD
【分析】利用定义分别写出椭圆和双曲线的长短半轴、实半轴虚半轴以及焦虑和离心率，就可以对四个选项进行判断了.
【详解】椭圆：长轴半，短半轴，焦半距，离心率；
双曲线：长轴半，短半轴，焦半距，离心率；
∵，∴选项A不正确；
∵，∴选项B不正确；
∵，∴选项C正确；
∵，∴选项D正确；
D
变式7．（23-24高三上·河南漯河·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，则的焦距为 .
【答案】
【分析】求出渐近线方程，对照得到方程，求出，从而求出焦距.
【详解】由题意得的渐近线方程为，
故，解得，
故，焦距为.
故答案为：
变式8．（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期末）若方程表示双曲线，则该双曲线的虚轴长为 .
【答案】
【分析】化为，根据双曲线方程的特征得到双曲线的虚轴长.
【详解】若方程表示双曲线，显然，
则由可得，所以，
该双曲线的虚轴长为，
故答案为：.
【方法技巧与总结】
由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤：
1.把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键；
2.由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值；
3.由c2a2＋b2求出c值，从而写出双曲线的几何性质。
注意：求性质时一定要注意焦点的位置
【题型2：利用几何性质求标准方程】
例2．（2020·安徽合肥·模拟预测）已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为4，则该双曲线的标准方程为（ ）.
A． B．或
C． D．或
【答案】A
【分析】根据双曲线的焦点的位置进行分类讨论，结合双曲线渐近线方程和实轴长的定义进行求解即可.
【详解】当双曲线的焦点在横轴时，设双曲线的标准方程为：，
因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，
因此，所以双曲线的方程为：；
当双曲线的焦点在纵轴时，设双曲线的标准方程为：，
因为实轴长为4，所以得，因为双曲线的渐近线方程为：，所以有，
因此，所以双曲线的方程为：.
综上所述，双曲线的方程为或.
变式1．（23-24高二下·浙江·阶段练习）过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据渐近线相同可设所求为，将点代入求得即可得解.
【详解】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为，
又点在双曲线上，所以，解得，
则双曲线方程为.
．
变式2．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）若双曲线的焦点在x轴上，渐近线方程为，虚轴长为，则双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为，由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知，代入即可求解.
【详解】由若双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线标准方程可设为：，
由虚轴长为，可知，再由渐近线方程为，可知，
所以双曲线标准方程为：.
故答案为：.
变式3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的对称轴为坐标轴，其中一条渐近线方程为，直线截该双曲线的弦长为6，则该双曲线的方程为 .
【答案】
【分析】由渐近线方程设出双曲线方程，再直曲联立得到韦达定理，最后由弦长公式求出，解出即可；
【详解】由于的一条渐近线为，可设双曲线的方程为，
将代入双曲线得，
若直线与双曲线交点为，
则，
则，解得，
经检验，满足题意；
故该双曲线的方程为，即.
故答案为：.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的焦点与椭圆的上、下顶点重合，且其中一条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆的顶点坐标得双曲线的交点坐标，结合渐近线方程求出参数即可.
【详解】椭圆的上、下顶点坐标为，
设双曲线的标准方程为，其半焦距为，
由题得双曲线焦点为，即.
因为其中一条渐近线方程为，
所以，即，结合，解得，
所以双曲线的标准方程为．
故答案为:.
变式5．（23-24高二上·广东江门·期末）写出一个与双曲线有相同渐近线，且焦点在轴上的双曲线方程为 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】设所求双曲线的方程为，再根据焦点在轴上，可得，即可得解.
【详解】设所求双曲线的方程为，
因为所求双曲线的焦点在轴上，所以，
则可取，
所以所求双曲线的方程为.
故答案为：.（答案不唯一）
变式6．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E与双曲线具有相同的渐近线，且经过点，则双曲线E的方程为 .
【答案】
【分析】由相同渐近线的双曲线方程待定参数，将点的坐标代入即可求解.
【详解】由题意不妨设与双曲线具有相同的渐近线的双曲线E的方程为，
若双曲线E经过点，则，解得，
所以双曲线E的方程为.
故答案为：.
变式7.（23-24高二上·安徽六安·期末）根据下列条件求双曲线的标准方程：
(1)过点（2，0），与双曲线1的离心率相等；
(2)与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2）．
【答案】(1)1
(2)1
【分析】（1）根据题意求出即可；
（2）设所求双曲线的方程为k（），代入点求出k即可.
【详解】（1）过点（2，0），可知所求双曲线的焦点在x轴上，且a2，
因为所求双曲线与双曲线1的离心率相等；
所以e，解得c，所以b1，
所以双曲线方程为1．
（2）与双曲线1具有相同的渐近线，且过点M（3，﹣2），
则可设所求双曲线的方程为k（），
把点M（3，﹣2）代入上述方程得k，解得k﹣2．
所以所求双曲线的标准方程为1．
【题型3：离心率问题】
例3．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）过双曲线的左焦点作直线与它的两条渐近线分别交于两点，且是坐标原点，则双曲线的离心率是（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】根据向量关系得出渐近线得倾斜角，再根据渐近线斜率及关系进而得出离心率.
【详解】
由题意可得双曲线的渐近线的方程为.
由
∵为线段的中点，
∴，则为等腰三角形.
∴,
连接
由双曲线的的渐近线的性质可得
∴
∴，即.
∴双曲线的离心率为
所以.
.
变式1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．4
【答案】A
【分析】由离心率的定义即可求解.
【详解】双曲线中，，双曲线的离心率，
所以．
．
变式2．（23-24高二下·广西·期中）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线标准方程求出,即可求出离心率.
【详解】因为，
所以,
所以.
.
变式3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因为为线段的中点，所以这是一个中点弦问题，采用点差法运算即可.
【详解】如图: ，
由
可得点 的坐标为 ，
则直线 斜率为 ， 直线 斜率为 ，
另一方面， 设 , 则
两式相减得 ， 整理得 ,
即 ， 故
变式4．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到为直角三角形，进而由勾股定理可以求解.
【详解】由双曲线的定义可知得
因为，，
设，则，
，
，
为直角三角形
，
，即，
，
变式5．（24-25高三上·山东济南·开学考试）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则C的离心率的值为 .
【答案】
【分析】由已知可得，进而可求双曲线的离心率.
【详解】因为双曲线的一条渐近线的方程为，
所以，所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的左、右焦点分别为且在轴上，且双曲线上存在一点使得，若轴，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出，再利用双曲线定义，结合已知求解即得.
【详解】设双曲线的方程为，，由轴，得直线，
于是，解得，，，
而，因此，整理得，
而，则，
所以该双曲线离心率.
故答案为：
变式7．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）如图，已知过双曲线右焦点F的直线与双曲线的两条渐近线相交于M，N两点.若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】先设坐标再应用坐标的线性运算，最后结合数量积公式计算得出齐次式求出离心率.
【详解】设，，
因为，所以，
又，所以，则，
因为，所以
又，所以，所以，
则，则
故答案为:
变式8．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 ．
【答案】2或
【分析】本题根据渐近线的夹角求出渐近线的斜率，再根据渐近线的斜率与双曲线方程中参数以及离心率的关系即可求得结果.
【详解】双曲线的两条渐近线的夹角为，且渐近线关于x、y轴对称，
若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，
则，或，
此时，
或，
若双曲线的焦点在y轴上，同理可得离心率为或.
综上，离心率为或.
故答案为：或.
【方法技巧与总结】
双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（23-24高二下·江苏盐城·期末）若双曲线C：的渐近线与圆没有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离大于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．
【详解】双曲线渐近线为，且与圆没有公共点，
圆心到渐近线的距离大于半径，即，，，．
．
变式1．（23-24高二上·浙江·期中）设椭圆：与双曲线：的离心率分别为，，且双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由双曲线的渐近线的斜率小于，即可得出，由此即可求出的取值范围，从而求解
【详解】由题意得，，，
所以，
又因为双曲线的渐近线的斜率小于，得，
所以，即，得，故C正确.
.
变式2．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点且点在轴上的射影恰为该双曲线的右焦点交双曲线于另一点，满足，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，可得，利用点在双曲线上，可求得，可求离心率的范围.
【详解】设又
由，则，可得，
所以，解得，
，
点在双曲线上，
，
，
故双曲线离心率的取值范围是.
．
变式3．（19-20高二上·河北石家庄·期中）已知点，分别是双曲线的左右焦点，为坐标原点，点在双曲线右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由，得，然后利用双曲线的定义和勾股定理可求得（用表示），再由得出的不等关系．
【详解】∵，∴，
记，，则，
又①，
∴，∴，②，
由①②得，又，
∴，解得，
即．
变式4．（23-24高二上·重庆·期中）已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案.
【详解】设，，，由，则，
显然，则整理可得，由，
则，
解得，由双曲线的定义可知：，
则，整理可得，
化简可得，由，且，
则，可得或，
解得或，所以，解得.
.
变式5．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知圆与双曲线的渐近线有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用求得a和c的不等关系，即双曲线的离心率范围可求．
【详解】圆，双曲线的渐近线为，
圆与双曲线的渐近线有公共点，
圆心到渐近线的距离，
，，即，
．
故答案为：．
变式6．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）已知双曲线的左，右焦点分别为、，焦距为．若以线段为直径的圆与直线有交点，则双曲线C的离心率取值范围为
【答案】
【分析】首先求圆的方程，利用圆心到直线的距离，推得与的关系，再结合离心率公式，即可求解
【详解】以线段为直径的圆的方程是，与直线有交点，
则圆心到直线的距离，
所以双曲线的离心率．
故答案为：．
变式7．（23-24高二上·江苏常州·期中）分别为双曲线左右焦点，为双曲线左支上的任意一点，若最小值为，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
【详解】是左、右焦点，为双曲线左支上的任意一点，
所以，代入，
得，
当且仅当时取等号，即，
又点是双曲线左支上任意一点，所以，
即：.
故答案为：．
变式8．（23-24高二上·浙江台州·期中）已知分别为双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的右支交于A、B两点，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，，则双曲线的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】设圆切、、分别于点、、，推导出，可得出，可得出关于、的不等式，即可求得该双曲线离心率的取值范围.
【详解】设、的内切圆圆心分别为、，
设圆切、、分别于点、、，
过的直线与双曲线的右支交于A、两点，
由切线长定理可得，，，
所以，
，
则，所以点的横坐标为.
故点的横坐标也为，同理可知点的横坐标为，故轴，
故圆和圆均与轴相切于，圆和圆两圆外切.
在中，，
即，
，，所以，，
所以，，则，
所以，
即，
由题意可得：，可得，即，
所以.
故答案为：.
【题型5：直线与双曲线的位置关系】
例5．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围.
【详解】由题设，有，得，
因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得，
.
变式1．（23-24高二下·广东湛江·期中）若双曲线的离心率为，右焦点为，点E的坐标为，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出，进而求出直线的斜率，再与渐近线的斜率比较即可得解.
【详解】由双曲线的离心率为，得，则，，
因此点E的坐标为，双曲线C的渐近线斜率为，而直线的斜率，
所以直线OE与双曲线的交点个数为2个．
变式2．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【分析】结合双曲线的性质与点位置，画出对应图形即可得.
【详解】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为，
由可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4条.
.
变式3．（23-24高二上·上海·期末）设双曲线经过点，且与具有相同的渐近线，则经过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有（ ）条.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】首先求出双曲线的方程，再分两类讨论直线即可.
【详解】由题可设双曲线C的方程为（），
将点代入上式得：，
故双曲线C的方程为，显然其右顶点的坐标为，渐近线方程为，
当直线斜率不存在时，此时直线方程为，符合题意，
当直线与双曲线的渐近线平行时，即直线方程为时，此时也符合题意，
综上，这样的直线共有3条.
.
变式4．（23-24高二上·湖北武汉·期中）过点作直线，使它与双曲线只有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【分析】根据点在双曲线上，与渐近线平行以及该点处的切线均只与双曲线有一个公共点即可求解.
【详解】当时，，所以，故点在双曲线上，
因此过点且与双曲线的两条渐近线平行的直线，只与双曲线有一个交点，
设（且）
将其代入双曲线方程可得，化简得，
令，化简得，
解得，
故过点处的切线也只与双曲线有唯一的交点，
或者由得，
当时，，故，故处的切线斜率为，
故过点经过点的直线方程为，即，
联立与可得，解得，
因此在点处的切线也只与双曲线有唯一的交点，
综上可知：过点的直线有3条与双曲线有一个交点，
变式5．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知双曲线，与直线只有一个公共点，符合题意的直线个数为 ．
【答案】3
【分析】联立方程解之可判断只有一个公共点时的直线条数.
【详解】解：联立，
消去得，
当，即时，
直线和直线分别与双曲线的渐近线平行，
故只有一个交点；
当时，由，
可得，此时直线与双曲线相切，故只有一个公共点.
故答案为：3
变式6．（2024高三·全国·专题练习）过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有 条，它们的方程分别是 ．
【答案】 和
【分析】若直线的斜率不存在，可得直线方程为满足条件；若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入到双曲线方程，分二次项系数为0和判别式等于0讨论，即可得到答案．
【详解】解：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时仅有一个交点，满足条件；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立方程组，
整理得到，
当时，方程无解，不满足条件；
当时，方程有一解，满足条件；
当时，令，
解得，此时恰好为渐近线的斜率，不满足条件，
所以满足条件的直线有两条，直线方程分别为和．
故答案为：；和.
变式7.（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与相交于两点，中点在曲线上，探究直线与双曲线的位置关系．
【答案】(1)
(2)相切
【分析】（1）根据题意列式可求，进而可得椭圆方程；
（2）设，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，，结合题意可得，再联立直线l与双曲线方程分析判断位置关系，注意讨论直线l的斜率是否存在.
【详解】（1）由于椭圆的离心率为，故，
又，得，设所求椭圆方程为，
把点代入，得，
椭圆方程为．
（2）设，若直线l斜率存在，设，
因为得，
所以，
所以，，
设，所以，，所以，，
所以，
同理，
因为W在曲线上，
所以，解得，
又因为得，
所以，直线AB与相切，
若直线l斜率不存在，由对称性知W在x轴上，W在曲线，
所以，此时也有直线AB与相切，
综上知直线AB与相切．
变式8.（2024高三·全国·专题练习）（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由双曲线上一点的切线方程，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，分别表示出直线的方程，再将点的坐标代入计算，即可得到结果.
【详解】
（1）由双曲线上一点处的切线方程为，
所以双曲线在点处的切线方程为，
化简可得.
（2）设切点，则，，
又点在直线上，代入可得，，
所以点均在直线上，
所以直线的方程为，即.
【方法技巧与总结】
将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.
若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若即，
①Δ＞0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；
②Δ0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；
③Δ＜0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点
【题型6：双曲线弦长问题】
例6．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知双曲线C：，过点的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段的中点，则弦长 .
【答案】
【分析】设直线为，联立双曲线方程，应用韦达定理及中点坐标公式求k值，利用弦长公式求解即可.
【详解】由题设，直线l的斜率必存在，设过的直线为，
联立，得，
设，则，
所以，解得，经检验符合题意；
则，.
弦长.
故答案为：.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知离心率为的双曲线的左、右焦点分别为为右支上的一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由离心率得，利用双曲线定义可得，由勾股定理逆定理可知为直角三角形进而得面积.
【详解】由题意可知，所以，
由双曲线定义可得，则，
则，
所以为直角三角形，
所以．
.
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的右焦点为，过作垂直于一条渐近线，垂足为，若点关于原点对称，则 ．
【答案】
【分析】由双曲线方程得出，渐近线方程，由点到直线的距离公式求得，再计算即可．
【详解】由题可得，渐近线方程为，
不妨取，即，
所以，
所以，
故答案为：．
变式3.（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线M与双曲线N：有共同的渐近线．
(1)若M经过抛物线的顶点，求双曲线M的方程；
(2)若双曲线M的两个焦点分别为，，点P为M上的一点，且，求双曲线M的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先利用共渐近线方程，设出曲线，再代入顶点坐标，即可求解；
（2）根据双曲线的定义求，再分焦点的位置，根据双曲线的性质，即可求解.
【详解】（1）依题意可设M的方程为．
抛物线，顶点为，
将代入M的方程，得，则M的方程为．
（2）由题意易知，．
当焦点在x轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，，
则双曲线M的方程为．
当焦点在y轴上时，，可设双曲线M的方程为，则，，
则双曲线M的方程为．
综上所述，双曲线M的方程为或．
变式4．（22-23高二上·浙江金华·期中）双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于，两点.
(1)求弦长；
(2)若点是双曲线左支上的点，且，求点到轴的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的方程，联立方程组，利用韦达定理结合弦长公式求解即可；
（2）设，，由双曲线定义可知，所以，结合，解得，利用余弦定理解得，利用等面积法即可求得点到轴的距离.
【详解】（1）双曲线的左、右焦点分别为，所以，
过右焦点且倾斜角为的直线方程为：，
设，，
联立方程与，可得：，
所以，，
所以.
（2）点是双曲线左支上的点，所以
设，，
由双曲线定义可知，所以，由，
所以，所以，可得，
所以由余弦定理得，
所以，设点到轴的距离为，所以，
所以，解得，
所以点到轴的距离为.
变式5．（23-24高二下·上海·期末）已知、是双曲线的两点，的中点的坐标为．
(1)求直线的方程；
(2)求两点间距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，结合中点弦的“点差法”，即可求解；
（2）由（1）知，直线的方程为，联立方程组，求得，结合弦长公式.
【详解】（1）设，
因为的中点的坐标为，可得，即，
又由，两式相减，可得，
可得，即直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
联立方程组，整理得，
则，即直线与双曲线相交，满足条件.
所以直线的方程为.
（2）由（1）知，直线的方程为，
联立方程组，整理得，
则，且，
所以两点间的距离为：.
变式6．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程；
（2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果.
【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，
设双曲线的方程（，），
由已知得，，所以，.
所以双曲线方程为.
（2）直线与双曲线C交于A，B两点，且，
联立方程组，得，
当时，设，
，.
所以
令，解得.
经检验符合题意，所以.
变式7．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，为坐标原点，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，解得、，即可得解；
（2）解法一：设，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由整理得到，即可表示出，从而求出其最小值；
解法二：设，，联立直线与双曲线方程，即可求出、，即可得到，同理得到，从而得到，再由基本不等式计算可得.
【详解】（1）由双曲线C的一条渐近线方程为，且双曲线过，
所以，解得，
故双曲线的方程为.
（2）解法一：设，直线的方程为，
联立，得，
则，且，
由，即，即，
即，
即，整理得，
所以
，当且仅当时，等号不成立，
故的最小值为.
方法二：由题意知直线的斜率存在且不等于，
设，，
由，即，
联立，解得，
则，同理，其中，
故，
而
，
当且仅当时，等号不成立，
故的最小值为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
变式8．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得双曲线半焦距c，再求出即可.
（2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出弦长，再借助双曲线定义求解即得.
【详解】（1）拋物线的焦点坐标为，则双曲线的半焦距，由，得，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，直线的方程为，设，，
由，得，显然，
则，，，
因此，
所以的周长为.
变式9．（23-24高二下·广东茂名·开学考试）已知双曲线与有相同的渐近线，点为的右焦点，，为的左右顶点．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点倾斜角为的直线交双曲线于，两点，求．
【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）根据共渐近线得到，根据焦点得到，解得答案.
（2）联立方程得到根与系数的关系，利用弦长公式计算得到答案.
【详解】（1）双曲线与有相同的渐近线，则，
为的右焦点，则，解得，，
双曲线方程为；
（2）直线的方程为，，即，
，，，
.
【方法技巧与总结】
设直线交双曲线于点两点，则
==
同理可得
这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
【题型7：双曲线中点弦问题】
例7．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】首先证明：双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数（离心率）.
依题意，则点到直线的距离，
所以，则 .
由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为，
则且，所以，
设，则，
所以，，即，
所以，
所以，当且仅当即时，等号不成立，
.
变式1．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点，点是弦的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】A
【分析】利用点差法可求的关系，从而可求双曲线的离心率.
【详解】设，则，且，
所以，整理得到：，
因为是弦的中点，
所以，所以即
所以，
.
变式2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知直线过双曲线：的左焦点，且与的左、右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求得直线斜率的关系式，然后利用二倍角公式列方程来求得正确答案.
【详解】设，，
两式相减并化简得，即，
当时，设直线的倾斜角为，
是以为底边的等腰三角形，所以，
所以，
则.
根据对称性可知，当时，，
综上所述，直线的斜率为.
变式3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线l与双曲线交于A、B两点，且弦的中点为，则直线l的方程为 ．
【答案】
【分析】设出A，B两点的坐标，代入双曲线方程，然后利用点差法得到直线l的斜率即可求解直线方程．
【详解】设，，
则，，
又， ，
两式相减，得，
即，整理得，
直线l的斜率为，
直线l的方程为，
化简得，经检验满足题意.
故答案为：.
变式4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 .
【答案】
【分析】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程.
【详解】设，则两式相减得，
即，所以
因为为线段的中点，
所以，
所以，即
由点斜式方程可得直线的方程为：，
即，经检验适合题意.
故答案为：
变式5．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点是离心率为2的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ．
【答案】15
【分析】由点差法得到，同理得到，从而得到.
【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，
不妨设，
因为点在上，所以，两式相减，
得，
因为点是的中点，所以，
所以，即，
所以，同理，
因为，所以．
故答案为：15
变式6.（2024高三下·全国·专题练习）已知双曲线：的左右顶点分别为、．
(1)求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程；
(2)直线过点与双曲线交于两点，若点恰为弦的中点，求出直线的方程；
【答案】(1).
(2).
【分析】（1）根据题意可求得椭圆焦点，，再结合离心率为，求出得解；
（2）利用点差法求出直线的斜率进而求出直线方程；
【详解】（1）由题意可得，，，则，
又，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，点恰为弦的中点，则，，
又因为两点在双曲线上，
可得，两式相减得，
化简整理得，即，
所以直线的方程为，即，
经检验，满足题意.
变式7.（23-24高二上·陕西宝鸡·期末）已知双曲线的渐近线方程是，实轴长为2.
(1)求双曲线的方程;
(2)若直线与双曲线交于两点，线段的中点为，求直线的斜率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用渐近线方程、实轴长求出可得答案；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，利用韦达定理可得答案.
【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程是，实轴长为2，
所以，，
所以双曲线的方程为；
（2）双曲线的渐近线方程为，由双曲线关于坐标轴的对称性可知，
若线段的中点为，则直线的斜率存在，
设为，且，，
可得直线的方程为，
与双曲线方程联立，
可得，
设，
则，
解得，经检验符合题意.
变式8.（2024高二·全国·专题练习）过点的直线l与双曲线相交于A，B两点，且P为线段AB的中点，求直线l的方程．
【答案】
【分析】由“点差法”求出直线的斜率，再由点斜式方程求解即可.
【详解】解：设，，则，，
两式相减得．
∵P为线段AB的中点，∴，．
∴，即所求直线l的斜率为1，
∴直线l的方程为，即．经检验符合题意．
【方法技巧与总结】
双曲线中点弦的斜率公式：
设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有
证明：设，，则有， 两式相减得：
整理得：，即，因为是弦的中点，
所以： ， 所以
【题型8：解答题】
例8．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知双曲线一条渐近线方程为，且点在双曲线上.
(1)求双曲线标准方程，
(2)若双曲线的左顶点为，右焦点为为双曲线右支上任意一点，求的最小值.
【答案】(1);
(2).
【分析】（1）利用渐近线方程巧设双曲线方程，再由待定系数法即可求解；
（2）利用向量数量积的坐标运算，再结合二次函数性质，即可得出结果.
【详解】（1）由双曲线一条渐近线方程为，可以该双曲线方程为，
由点在双曲线上，可得，即，
所以双曲线标准方程为.
（2）由双曲线标准方程为可知：左顶点的坐标为，右焦点为的坐标，
可设双曲线右支上任意一点，且，则，
所以，
又因为满足双曲线方程，则，
所以，
由于二次函数的对称轴是，
所以当，单调递增，
即当时，二次函数有最小值，
所以的最小值是.
变式1．（22-23高二上·全国·期中）已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点．
(1)求的标准方程；
(2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解；
（2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围.
【详解】（1）由题意可设的方程为，
将代入可得，，解得，
的标准方程为．
（2）设，则，
点在第一象限，，且，，
，
的取值范围是．
变式2．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知曲线的方程为．
(1)说明为何种圆雉曲线，并求的标准方程；
(2)已知直线与交于，两点，与的一条渐近线交于点，且在第四象限，为坐标原点，求．
【答案】(1)是以，为焦点，实轴长为2的双曲线，
(2)26
【分析】（1）结合双曲线的定义即可求解；（2）应用韦达定理结合数量积的坐标运算即可求解.
【详解】（1）因为，
所以是以，为焦点，实轴长为2的双曲线．
设：（，），则，，，
所以的方程为．
（2）由（1）可得的渐近线方程为，
由得即．
设，，由得，
由韦达定理得
则
变式3．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率．
(1)若命题q为真，求实数m的取值范围；
(2)若命题为假命题，为真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据椭圆方程的结构特征列不等式组求解可得；
（2）分别记，为真时m的取值范围为集合，然后由和一真一假，利用集合运算求解即可.
【详解】（1）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则，
解得，即命题q为真时实数m的取值范围为.
（2）若双曲线的离心率，则，
解得，
记，则，
若命题为假命题，为真命题，则和一真一假，
实数m的取值范围为.
变式4．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为．
(1)求的方程．
(2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由．
【答案】(1)
(2)是，定直线
【分析】（1）由题意列式求出，即得答案；
（2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，写出直线和直线的的方程，联立化简可求出点P横坐标，即可得结论.
【详解】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则．
由，知，得，则，
故的方程为．
（2）点在定直线上．
依题可设直线的方程为，，，
联立方程组，整理得，必有，
则，，则．
直线的方程为，直线的方程为，
整理得，解得．
故点在定直线上．
变式5．（23-24高二下·陕西榆林·期末）已知双曲线：（，）经过点，且其离心率为．
(1)求双曲线的方程；
(2)设双曲线的左，右焦点分别为，，的一条渐近线上有一点，满足恰好垂直于这条渐近线，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据所给条件得到关于、、的方程组，解得、，即可求出双曲线方程；
（2）首先求出焦点坐标与渐近线方程，利用距离公式求出，由勾股定理求出，即可求出，从而得解.
【详解】（1）依题意可得，解得，
所以双曲线方程为.
（2）由（1）可知左，右焦点分别为，，
双曲线的渐近线为，
不妨取其中一条渐近线为，
则到直线的距离，
所以，
所以，
又，所以.
变式6．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）已知双曲线过点，左、右顶点分别为，，直线与直线的斜率之和为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线右焦点的直线交双曲线右支于，（在第一象限）两点，，是双曲线上一点，的重心在轴上，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）首先表示出左右顶点，由斜率公式求出，将点的坐标代入方程求出，即可得解；
（2）设，，直线的方程为，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由得到，即可求出，即可求出，从而求出，即可得解.
【详解】（1）依题意左、右顶点分别为，，
所以，解得，
将代入得，解得，
故双曲线方程为；
（2）设，，直线的方程为，
将代入整理得，，
∴，，又由，
代入上式得，解得，，
因为的重心在轴上，所以，
所以，代入双曲线得，
故或．
变式7．（23-24高二下·上海·阶段练习）如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.
(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足 若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）首先得到双曲线的渐近线方程及直线的方程，再由两平行线间解距离公式计算可得；
（2）先根据斜率求出直线l的方程，从而得点Q，再设出点的坐标，根据得出点的横、纵坐标之间的关系式，与双曲线联立消去，由韦达定理即可解答.
【详解】（1）双曲线，焦点在轴上，，
则双曲线左、右焦点分别为，，渐近线方程为，
当直线平行于的斜率大于的渐近线时，则直线的方程为，即，
又渐近线为，
所以直线与的距离.
（2）不存在，理由如下：
当直线l的斜率为1时，直线方程为，因此，
又，所以，
设的右支上的点，则，
由得，
又，联立消去得，
因为，但是，，所以此方程无正根，
因此，在的右支上不存在点，满足.
变式8．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)直线恒过定点，，
【分析】（1）根据题意利用圆与圆的位置关系结合双曲线的定义，即可证明结论；
（2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，根据数量积的坐标运算求出的表达式，化简，即可求得t的值，即可求得答案.
【详解】（1）证明：由题意知圆M：的圆心为，圆N：的圆心为
如图，设圆E的圆心为，半径为r，
由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则，，
所以，
由双曲线定义可知，E的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支
又，，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，，
即曲线的方程为 .
（2）设直线的方程为，
联立，消去得，
由题意直线与曲线有两个交点，则，,
设 ， ，其中，，
由韦达定理得：，，
又点，所以 ， ，
因为，所以，
则
，
即，解得（舍去），
当，直线的方程为，，
故直线恒过点，．
一、单选题
1．（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）方程的两个根可分别作为（ ）
A．椭圆和双曲线的离心率 B．两双曲线的离心率
C．两椭圆的离心率 D．以上皆错
【答案】A
【分析】求出方程的根，根据椭圆和双曲线的离心率取值范围得到.
【详解】由方程解得，
，因为椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，
故可以作为双曲线和椭圆的离心率.
2．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由实轴长可列方程求得参数的值，进一步即可求得渐近线方程.
【详解】由题可知双曲线的实轴长为，则，解得，所以该双曲线的渐近线方程为．
.
3．（24-25高二上·上海·课后作业）南非双曲线大教堂是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意根据点到直线的距离公式、离心率公式和平方关系即可求出，由此即可得解.
【详解】设双曲线的下焦点为，一条渐近线方程为，即，
则焦点到渐近线的距离，因为，
联立解得，
∴双曲线方程为：.
.
4．（23-24高二下·广西桂林·期末）双曲线的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线方程求出即可得解.
【详解】由双曲线知，，
所以，
所以.
5．（23-24高二下·四川达州·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，虚轴长为，离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的方程可求得，计算可判断每个选项的正确性.
【详解】由双曲线，可得，所以，
所以双曲线的左顶点，右焦点，故AB错误；
虚轴长，故C错误；
离心率，故D正确.
.
6．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）若双曲线的实轴长为，则正数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】依题意可得，解得即可.
【详解】由双曲线实轴长为，有，又，
.
.
7．（23-24高二下·全国·随堂练习）已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用离心率公式结合渐近线方程可解.
【详解】由题知，，解得，
又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为.
8．（24-25高二上·全国·随堂练习）中心在原点，焦点在轴上，且一个焦点在直线上的等轴双曲线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意可求出直线与轴的交点，得到双曲线的焦点，再根据条件双曲线为等轴双曲线即可得出结论．
【详解】解：令 ，得，
又双曲线焦点在x轴上，
等轴双曲线的一个焦点为，
即，
∴，
故等轴双曲线的方程为.
.
9．（23-24高二下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据双曲线离心率为，可得或，即可由充分不必要条件求解.
【详解】的离心率为时，当焦点在轴时，，解得，
当焦点在轴时，，解得，
故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件，
二、多选题
10．（22-23高三上·海南儋州·开学考试）已知椭圆的方程为，双曲线的方程为，则（ ）
A．双曲线的一条渐近线方程为
B．椭圆和双曲线共焦点
C．椭圆的离心率
D．椭圆和双曲线的图像有4个公共点
【答案】ACD
【分析】根据椭圆方程求得，双曲线方程求得，且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，结合椭圆和双曲线的性质逐项分析判断.
【详解】对于椭圆的方程为，可得，
对于双曲线的方程为，可得，
且椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，
对于选项A：因为双曲线的渐近线方程为，
所以双曲线的一条渐近线方程为，故A正确；
对于选项B：因为椭圆的焦点在x轴上，双曲线的焦点在y轴上，
所以椭圆和双曲线不共焦点，故B错误；
对于选项C：椭圆的离心率，故C正确；
对于选项D：因为，可知双曲线的顶点在椭圆内部，
所以椭圆和双曲线的图像有4个公共点，故D正确；
CD.
11．（23-24高二下·四川德阳·期末）双曲线C：的左右顶点分别为A、B，P、Q两点在C上，且关于x轴对称（ ）
A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为
B．双曲线C的离心率为
C．直线与的斜率之积为
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2
【答案】CCD
【分析】对于A，直接写出符合描述的椭圆方程，对比即可判断；对于B，由离心率公式即可判断；对于C，直接根据斜率公式验算即可；对于D，根据对称性，只需任取一个焦点和一条渐近线，结合点到直线的距离公式即可判断.
【详解】对于A，C的焦点和顶点分别为，
从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率为，故B正确；
对于C，显然异于，不妨设，
注意到都在双曲线上面，且，
所以直线与的斜率之积为，故C正确；
对于D，双曲线C：的一个焦点、一条渐近线可以分别是，，
而点到直线的距离是，故D正确.
CD.
12．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则是圆，其半径为
B．若，，则是两条直线
C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上
D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为
【答案】AB
【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解．
【详解】对于A，， ，则是圆，半径为，故A正确；
对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确；
对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误；
对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误；
B．
三、填空题
13．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线（其中）的右焦点为，则 的离心率为 ．
【答案】2
【分析】根据双曲线焦点在轴上，得出，计算得出,最后得出离心率.
【详解】由题意可得双曲线焦点在轴上，且，
则，由得，
故的离心率.
故答案为：2.
14．（24-25高二上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双曲线的蒙日圆上一点作的两条切线，与该蒙日圆分别交于两点，若，则的周长为 .
【答案】/
【分析】结合双曲线方程求出与，由蒙日圆定义可得圆的方程，再由切线互相垂直可得为直径，解直角三角形可得.
【详解】由双曲线可知，.
则的蒙日圆圆心为，半径为，其蒙日圆方程为，
由已知可得，
所以为圆的直径，所以.
又，所以.
所以的周长为.
故答案为：.
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线C：的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意可知双曲线C的离心率大于等轴双曲线的离心率，进而列出不等式求解即可.
【详解】∵等轴双曲线的离心率为，且双曲线C的开口比等轴双曲线的开口更开阔，
∴双曲线C：的离心率，则，即，
∴．
故答案为：.
四、解答题
16．（23-24高二上·全国·课后作业）已知双曲线，直线，试确定实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
【答案】(1)或或；
(2)或
(3)或
【分析】（1）联立直线方程和双曲线方程，根据直线与双曲线有两交点，则，注意二次项系数不等于0；
（2）根据直线与双曲线仅有一交点，分二次项系数等于0和不等于0两种情况讨论.当二次项系数不等于0时，由即可得出答案；
（3）根据直线与双曲线没有交点，得，注意二次项系数不等于0.
【详解】（1）联立，
消整理得，（*）
因为直线l与双曲线C有两个公共点，
所以，整理得
解得： 或或.
（2）当即时，直线l与双曲线的渐近线平行，
方程（*）化为，故方程（*）有唯一实数解，
即直线与双曲线相交，有且只有一个公共点，满足题意．
当时， 因为直线l与双曲线C仅有一个公共点，
则，解得；
综上，或.
（3）因为直线l与双曲线C没有公共点，
所以，
解得： 或.
17．（23-24高二下·上海·期中）已知，直线与双曲线相交于不同的点.
(1)若点分别在双曲线的左、右两支上，求的取值范围；
(2)若以线段为直径的圆，经过坐标原点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直线与双曲线方程联立，消元得到一个元二次方程，由题意得到不等式组，解这个不等式组即可求出实数的取值范围；
（2）利用圆的性质.利用平面向量的数量积，结合（1）中的一元二次方程，可以求出实数的值.
【详解】（1）直线与双曲线方程联立得：，
因为直线与双曲线相交于不同的两点分别在双曲线的左、右两支上，
所以有：，
因此实数的取值范围为；
（2）设，因为线段为直径的圆经过坐标原点，
所以有，即，
由（1）可知：，
则，
即.
18．（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知双曲线，过该曲线上的点作不平行于坐标轴的直线交双曲线的右支于另一点，作直线交双曲线的渐近线于两点A，B（A在第一象限）,其渐近线方程为，且，
(1)求双曲线方程．
(2)证明：直线过定点.
(3)当的斜率为负数时，求四边形的面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据渐近线方程可得，结合双曲线所过的点可求，故可得双曲线方程.
（2）联立直线方程和双曲线方程，结合判别式可得的斜率的范围，再由渐近线方程可得的坐标，由平行四边形可求出的方程，故可得定点.
（3）利用（2）的结果结合弦长公式可用的斜率表示面积，结合斜率的范围可求面积的范围.
【详解】（1）因为渐近线，则，代入点可得，
故，即双曲线方程为：．
（2）
设
，
由可得，
故且，
故或且，
又，故，
由解得，则，
同理可得， 故，
而，可得，
故，故，
故，，
设直线的斜率为，则，
直线的方程为，即，
所以过定点．
（3）由（2）可得直线与的距离为，故，
由题意可得四边形是平行四边形，
而，
故四边形的面积为，
，结合（2）中的取值范围可得．故，
故.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围问题，往往需要联立不同类型的方程，用合适的变量变式目标函数，而后者的最值往往可以通过函数的单调性或基本不等式来处理.
19．（23-24高二下·重庆九龙坡·期中）已知双曲线和椭圆有公共焦点，且离心率．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别交双曲线于不同于点的两点，求点到直线距离的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线和椭圆有公共焦点求出，再由离心率的公式求出，从而求得双曲线的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值.
【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，
所以双曲线的，又因为，
所以，
所以双曲线的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，则，
，
依题意，
，即，
由解得或（舍去），
所以，此时到直线的距离为.
当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为.
由消去并化简得：，
①，
，
依题意，
所以
，
整理得，
即，由于直线，，
所以，
函数的开口向上，
判别式为，故①不成立.
所以直线的方程为，即，
所以到的距离，
，
当时，；当时，
当且仅当时等号不成立.
所以.
综上所述，点到直线的距离的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题（2）的关键点在于根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线距离的最大值.
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