2.7抛物线及其方程
课程标准 学习目标
1.理解抛物线的定义及其图形特征，掌握抛物线的标准方程及其性质2.能够运用抛物线的性质解决一些简单问题 3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。 重点：1.抛物线的定义及其图形特征; 2.抛物线的标准方程及其性质; 难点：1.抛物线与坐标轴的交点; 2.抛物线的焦点和准线。
知识点01 抛物线的定义
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
2.抛物线的定义用集合语言表示为：P{M||MF|d}(d为M到直线l的距离)．
3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；
一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为抛物线焦点，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，则 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义及直角三角形的性质可得解.
【详解】
易知焦点，准线，过点作，垂足为，
过点作，垂足为，
设，则由抛物线定义可知，
又因，，
所以在直角中，，
解得.
故答案为：4
【即学即练2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为 .
【答案】2
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义直接求出结果.
【详解】依题意，抛物线上点到拋物线的准线的距离为，
所以到轴的距离为.
故答案为：2
知识点02抛物线的几何性质
类型 y22px (p>0) y2－2px (p>0) x22py (p>0) x2－2py (p>0)
图象
性质 焦点 F F F F
准线 x－ x y－ y
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0,0)
离心率 e1
开口方向 向右 向左 向上 向下
【即学即练3】（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 .
【答案】
【分析】利用抛物线的对称性得到，从而得解.
【详解】因为抛物线关于轴对称，直线与轴垂直，
故，即.
故答案为：.
【即学即练4】（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 .
【答案】或
【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案.
【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求，
当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得，
，
令，解得，
故，即.
故答案为：或
难点：数形结合求最值问题
示例1：（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 .
【答案】
【分析】利用焦半径公式表示，进而利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可.
【详解】第一空，如图，设，，，，
故，，，
而，故，
可得，，即有，
由，所以，
所以，所以.
第二空，，故，
而，故，即，
又，
故，
即，，故得的最小值为.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查求解析几何，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可．
【题型1：抛物线的定义与应用】
例1．（23-24高二下·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】A
【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，
等式的右边表示点到直线的距离，
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.
.
变式1．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的定义即可求解.
【详解】因为点到直线的距离为，
所以点到抛物线准线的距离为，
由抛物线的定义得，.
.
变式2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】利用抛物线的知识可以知道点，然后再利用切线和垂直即可求解.
【详解】由题意易得，
过上一点作圆的两条切线，切点分别为，且，
且，
将点代入抛物线方程可得，即，
，解得.
.
变式3.（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．5 C．6 D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的定义，将点到抛物线焦点的距离转化为点到抛物线准线的距离即得.
【详解】依题意，由抛物线的定义知，点到抛物线焦点的距离即点到准线的距离，
即.
.
变式4．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则
【答案】
【分析】根据抛物线的定义可知：，则，可知点在线段的中垂线上，则，即可求出抛物线方程，从而求出点的坐标.
【详解】因为，所以是以为顶点的等腰三角形，
则，，即，则，
又，.
故答案为：.
变式5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知点关于轴的对称点在曲线：上，且点到点的距离为点到直线的距离的，则点的纵坐标 ．
【答案】
【分析】根据抛物线定义及距离关系式可得，即求出点的纵坐标.
【详解】因为曲线的方程为，即，
所以由题意及抛物线的对称性知，点在抛物线上，且在轴的下方，
点为此抛物线的焦点．
由抛物线的定义可知，可得，
解得或（舍去），
所以点的横坐标为，代入抛物线得，所以
故答案为：
变式6．（23-24高二下·海南·期末）已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 .
【答案】3
【分析】先由直线方程与抛物线方程联方程组表示出点的横坐标，再根据抛物线的定义结合题意列方程可求出.
【详解】抛物线的准线方程为，
由，得，即，
解得或，
所以点的横坐标为，
因为点到的准线的距离为，
所以，解得.
故答案为：3
变式7．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）抛物线上的动点P到点的距离等于它到C的准线距离，则P到焦点距离为 .
【答案】3
【分析】设点P坐标为，根据抛物线的定义及已知条件列出方程组得出即可求解.
【详解】根据抛物线的定义可得：抛物线上的点P到焦点的距离等于点P到准线的距离.
由抛物线可知焦点坐标为；
设点P坐标为.
因为抛物线上的动点P到点的距离等于它到C的准线距离，
所以点P到焦点的距离等于点P到点的距离，
则，解得：.
所以点P到焦点距离为.
故答案为：
变式8．（多选）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】DD
【分析】根据抛物线定义可知点满足，再根据两点间距离列方程，结合方程只有一解，分情况讨论.
【详解】因为点到点的距离等于它到直线的距离，
则所在曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线，则设点，
所以，即，
可知方程只有一解，
当时，方程为，解得，符合题意；
当时，，解得，
综上所述，
D.
【题型2：抛物线的标准方程与性质】
例2．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设抛物线的方程为，设焦点关于准线的对称点为，求得，得到，进而得抛物线的方程.
【详解】由题意，设抛物线的方程为，
可得焦点坐标，准线方程为，
设焦点关于准线的对称点为，可得，解得，
因为点关于其准线的对称点为，可得，解得，
所以抛物线的方程为.
.
变式1．（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解．
【详解】根据题意，可设抛物线的方程为，
由抛物线的定义知，即，
所以抛物线方程为．
．
变式2．（22-23高二上·湖北·期末）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合抛物线的定义及性质，即可求解.
【详解】解：由题意得：
，，，所以
可得，由抛物线的定义得
所以是等边三角形，所以，所以抛物线的方程是．
变式3．（24-25高二·上海·随堂练习）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ．
【答案】
【分析】根据抛物线顶点和准线位置可知其开口方向，并求得其焦准距，即得抛物线方程.
【详解】由准线方程得，解得，
且抛物线的开口向右（或焦点在x轴的正半轴上），故可设，代入即得，．
故答案为：.
变式4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ．
【答案】
【分析】由抛物线的焦点坐标求标准方程.
【详解】椭圆的右焦点坐标为，由题意可知抛物线的焦点坐标为，
所以抛物线C的标准方程为．
故答案为：．
变式5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ．
【答案】或
【分析】分或(）两种情况讨论，由面积列方程即可求解
【详解】由题意得，当时，，解得；
当或时，，解得，
所以抛物线的方程是或.
故答案为：或.
变式6．（15-16高二上·甘肃白银·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为
【答案】或
【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再写出抛物线的标准方程.
【详解】依题意，抛物线的焦点在坐标轴上，直线交轴于点，交轴于点，
以点为焦点的抛物线的标准方程为，
以点为焦点的抛物线的标准方程为，
所以所求抛物线的标准方程为或.
故答案为：或
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ．
【答案】
【分析】求得抛物线的准线方程为，根据题意，利用抛物线的定义，得到，求得的值，即可求解.
【详解】由抛物线，可得准线方程为，
因为，根据抛物线定义可知点到准线的距离为，
又因为到轴的距离为5，可得，解得，
所以抛物线的标准方程为．
故答案为：．
变式8．（20-21高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法直接求解.
【详解】因为抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，
所以可设抛物线：.
由抛物线的定义可得：，解得：.
所以抛物线的方程为：.
故答案为：.
【方法技巧与总结】求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置；
②再定形：即根据条件求p.
2.抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【题型3：弦长问题】
例3．（24-25高二上·上海·课前预习）设斜率为k的直线l与抛物线相交于，两点，则 或= ．
【答案】
【分析】利用两根和，积表示弦长公式.
【详解】，
.
故答案为：；
变式1.（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出直线方程，联立曲线后借助焦点弦公式计算即可得.
【详解】依题意，设直线的方程为，
由，得，所以，
所以，
解得，所以直线的斜率为．
.
变式2．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点的横坐标，进而求出弦长.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设，则，
由，得，则，
由，得，得，
联立解得，，所以.
变式3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的焦点为F，O为原点，且，则 ．
【答案】13
【分析】联立直线与抛物线方程得到，再利用求得，从而利用抛物线的焦点弦公式即可得解.
【详解】设，由得，
则，所以，
因为，所以，即，解得，
所以，
所以．
故答案为：13.
变式4.（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限：
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
(3)若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）联立方程组，解方程组求的坐标，结合焦半径公式求结论；
（2）设直线AB的方程为，联立方程组，化简求弦长，再求其最值；
（3）设的坐标为，结合基本不等式求的最大值，确定的坐标，再求的方程.
【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立方程组可得，消去y，
得，则，
由点在第一象限，则，
所以，，故，，
所以．
（2）由已知，直线的斜率不为，故可设直线的方程为，
联立，消去，得，显然，
所以，，
故
当且仅当时等号不成立，故线段的长度的最小值为．
（3）设的坐标为，又，
则，
因为点N在抛物线C：上，即有：，
所以
当且仅当即时等号不成立，此时，，
所以直线的方程为：.
【点睛】方法点睛：（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
变式5．（2024·广东江门·二模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且．
(1)求的方程；
(2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件，得到直线方程为，设，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，即得答案；
（2）设直线MN的方程为 ，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得，由，所以，由（1）可知，计算即可证得结论.
【详解】（1）设．
因为点的坐标为，所以，
由得，
则，
从而
得，所以的方程为．
（2）证明：因为点的坐标为，直线MN的斜率不为0，所以设直线MN的方程为 ．
设，由可得，
则
所以 ．
由（1）可知，
因为点A，P的纵坐标分别为，且，所以
可得，即．
变式6．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点.
(1)若，求直线的方程．
(2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值 若是，请求出定值，若不是，说明理由．
【答案】(1)或
(2)直线的斜率为定值0，理由见解析
【分析】（1）分斜率是否存在进行讨论，斜率存在时设，联立抛物线方程结合韦达定理、焦点弦弦长公式可得关于的方程，解方程并检验此时是否满足即可；
（2）首先得，又，从而由即可判断.
【详解】（1）由题意知，抛物线焦点，
当直线斜率不存在时，联立与抛物线，解得，此时，不满足题意，
当直线斜率存在时，设，
由，得，注意，
由韦达定理知，，由抛物线的弦长公式，解得，
经验证，此时满足，所以，直线的方程为或．
（2）
设，则直线与准线的交点为，
由（1）知，则，从而．
所以，直线的斜率为定值0．
变式7．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)8；
(2).
【分析】（1）借助韦达定理与焦点弦公式计算即可得；
（2）借助韦达定理计算即可得.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，
所以直线的方程为，设，
将代入，得，，
所以，
由抛物线的定义知，
故；
（2），
故.
8．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，且到直线的距离之和等于.
(1)求的方程；
(2)若的斜率大于，在第一象限，过与垂直的直线和过与轴垂直的直线交于点，且，求的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由因为到直线的距离之和等于，根据抛物的定义和焦点弦长，列出方程，求得的值，即可求解；
（2）设，联立方程组，得到，结合跑线的焦点弦长得到，再设，求得，根据，求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，抛物线的焦点为，准线方程为，
则到准线的距离之和等于，
因为到直线的距离之和等于，可得，
解得，所以抛物线的方程为.
（2）解：由焦点，可得设且，
联立方程组，整理得，
则且，
所以，
设，由，可得，
即，
所以，
由，可得，
代入，可得，解得，
所以直线的方程为.
【方法技巧与总结】活用抛物线焦点弦的四个结论
抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：
设AB是过抛物线y22px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2.
(2)y1·y2－p2.
(3)|AB|x1＋x2＋p(α是直线AB的倾斜角)．
(4)＋为定值(F是抛物线的焦点)
【题型4：周长问题】
例4．（2023高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到四边形为菱形，再结合，求出点A的坐标，进而求解结论．
【详解】根据抛物线的对称性以及为线段的垂直平分线，
可得四边形为菱形，
又，可得，
故可设，代入抛物线方程可得，解得，
故，
故四边形的周长为：.
.
变式1．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则，
直线方程为：，即，
由，消去得，解得或，由，得，
于是，，
而，
所以的周长为.
变式2．（19-20高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线 的准线l过椭圆的左焦点，且l与椭圆交于P、Q两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
【答案】C
【解析】由抛物线准线过椭圆左焦点可得,求解,则可得到椭圆的标准方程,再根据的周长为计算即可
【详解】因为抛物线的准线为,椭圆的左焦点为,所以,即,则椭圆方程为,即,
所以的周长为,
【点睛】本题考查抛物线与椭圆的几何性质的应用,考查椭圆定义的应用
变式3．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知圆，抛物线，过点作圆M的两条切线AB，AC，点B，C在抛物线P上，过B，C分别作x轴的平行线交P于F，E两点，则四边形BCEF的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设过的直线为，由直线和圆相切求得k，直线与抛物线的方程联立，运用韦达定理求得B、C的横坐标，得到，进而可得解．
【详解】
设过的直线为：，
由直线与圆相切，则，
点在抛物线上，
联立，
由题意，点的横坐标为方程的一根，另一根设为，
由韦达定理得，则
又，可得B、C的横坐标分别为：，
则，
故四边形BCEF的周长为：．
.
变式4．（23-24高二上·广东深圳·期末）是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（ ）
A． B． C．10 D．12
【答案】A
【分析】根据抛物线的定义，求出点纵坐标，利用勾股定理求出即可得解.
【详解】如图，
由抛物线，可知，准线方程，
因为，所以，
代入抛物线方程可得，不妨设在第一象限，
则，所以,
又，所以,
所以的周长为，
变式5．（23-24高二上·甘肃·期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（ ）
A． B． C．10 D．11
【答案】A
【分析】由的长度的M点坐标，求得的周长.
【详解】设M点坐标为，由题，，所以，
代入抛物线方程得，所以，
的周长为.
.
变式6．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
【答案】A
【分析】线段的垂直平分线交于两点,结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形,可设点坐标,通过几何关系求出点坐标,在代入抛物线方程即可求解.
【详解】因为线段的垂直平分线交于两点，
所以结合抛物线的对称性可得与互相平分,则四边形为菱形.
设点且则线段的垂直平分线方程为，
令与轴交于点,又，
则在直角三角形中
继而可得，
所以点坐标为，
代入抛物线，可得，解得，
直角三角形中,
所以四边形的周长为.
.
变式7．（20-21高二上·上海金山·期末）设焦点为 的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线焦点为，若，则的周长为 .
【答案】
【分析】根据抛物线的焦半径公式求出点的横坐标，然后代入抛物线方程求出点的纵坐标；把点的坐标代入椭圆方程求的值，从而求的周长.
【详解】设，则，所以，
代入抛物线方程，得，不妨设点的坐标为，代入椭圆方程，得，
所以的周长为.
故答案为：.
变式8．（20-21高二上·陕西西安·期中）已知抛物线在第一象限内的部分上一点到抛物线焦点的距离为4，若为抛物线准线上任意一点，则的周长最小值为 ．
【答案】
【解析】利用抛物线的定义由求得抛物线方程，进而得到准线方程，焦点坐标，，然后作出点A关于准线的对称点求解.
【详解】因为抛物线上的点到抛物线焦点的距离为4，
由抛物线的定义得；，解得，
所以抛物线方程为，准线方程为，焦点坐标为，，
如图所示：
点A关于准线的对称点，则AP+PF的最小值为，
所以的周长最小值为
故答案为：
【题型5：面积问题】
例5．（辽宁省部分重点高中2024-2025学年高三8月阶段性测试数学试题）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点两点，l过B且与抛物线在A处的切线平行，l交抛物线与另一点，交y轴于E点，则面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【分析】表示出点A处的切线方程代入后，结合韦达定理可得，设结合方程可得，再表示出点到直线的距离，表示出弦长，从而可表示出的面积，化简结合基本不等式计算即可得.
【详解】点A处的切线方程为，斜率为，
所以直线l的方程为，
代入，并化简得，
该方程的解为，，由韦达定理可知，
设，代入可解得，
因为，所以直线为，
化简得，该直线过点，∴，
直线l的方程可化为，
即，
∴的面积为：
，当且仅当时等号不成立，故面积的最小值为16.
.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】联立直线的方程和抛物线方程得到的坐标，从而利用三角形面积公式计算出结果.
【详解】由题知焦点，准线为，直线的方程为：，
联立，可得，
所以或（舍），，
，
所以．
故答案为：.
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积．
【答案】答案见解析
【分析】由抛物线可知焦点，又，因此可知直线的方程，与抛物线联立，可求出弦长；因为，由抛物线的定义可求，进而可求出，分两种情况求的面积即可.
【详解】
因为，所以，所以直线方程为．
设，
联立得，显然，
所以，
则，
因为，所以，则．
当时，到的距离；
当时，到的距离．
变式3.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知点是抛物线：上的一点.
(1)若点横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点.
①若，求点纵坐标；
②求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)①2；②
【分析】（1）将抛物线转化为二次函数，结合导数的意义求切线斜率，从而得到切线方程；
（2）①利用切线长定理表示的周长，结合内切圆半径公式和三角形面积公式均可得到的面积，从而得到点纵坐标；
②利用三角形面积公式可将的面积表示为的式子，通过换元和均值不等式得到面积的最小值.
【详解】（1）的横坐标为4，，
又，求得，
抛物线在处的切线斜率为，
切线方程为，
即.
（2）设与圆相切于点，与圆相切于点，
与圆相切于点，由切线长相等可得：
，，，
周长为，
，
设，由题意设，（在轴左侧时，由对称性可知三角形面积相同），
，
，
，
①由，则，
解得，所以点的纵坐标为2.
②，
令，则，
，，
当且仅当，即时，面积最小值为.
【点睛】关键点点睛：解题关键在于利用切线长定理表示的周长，进而利用三角形内切圆半径公式表示的面积.
变式4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为，
(1)求的值．
(2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）由两直线垂直得到直线，再联立曲线方程，由韦达定理结合向量的数量积为零求出即可；
（2）设线段的中点为，由中点坐标公式得到方程，联立曲线方程，得到韦达定理，结合两点间距离公式化简即可；
【详解】（1）设，
因为交于点，点的坐标为，
所以直线的方程为，
联立，消去可得，，
则，
因为，所以，
即，即，解得，
（2）
设线段的中点为，
由（1）知，所以，
所以，即，
联立，消去可得，，
设，则，
所以，
又点到直线的距离为，
所以的面积为.
变式5．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为.
(1)求Р的方程；
(2)设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）设，解得线段FP的中点坐标，根据题意列等式化简即可得方程；
（2）设设A，根据函数导数求得函数的切线方程进而求得M的坐标，根据垂直易得直线AB的方程，与联立，推得B的坐标，利用弦长公式计算得，，结合面积公式和基本不等式求得面积最小值.
【详解】（1）设，则线段FP的中点坐标为，因为以PF为直径的圆与x轴相切，
∴，化简得，所以的方程为；
（2）设A，由，，则点A处的切线斜率为，
所以直线MA方程为，整理为，
令，则，所以M，易知直线AB斜率为，
所以直线AB：，整理为，
与联立可得，
有，解得，
即B的横坐标为，
所以，
，
所以△MAB面积为
，又，当且仅当时，等号不成立，
所以的面积最小值为
变式6．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且．
(1)求抛物线的方程．
(2)设过点的直线交抛物线于两点，直线与直线分别交于点．
（ⅰ）证明：直线与的斜率之和为0．
（ⅱ）求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）12
【分析】（1）利用点坐标代入抛物线方程、可得答案；
（2）（ⅰ）设直线、、的方程分别为、、，直线的方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入可得答案；（ⅱ）求出、，得到的面积，利用的范围可得答案．
【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，
因为，所以，
联立，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）（ⅰ）设直线的方程为，直线的方程为，
直线的方程为，
不妨设点在第一象限，，
由得，
所以，
所以，所以
，
故直线与的斜率之和为；
（ⅱ）由得，
同理可得，
直线与轴交于点，
则的面积
，
因为，所以，所以，
则，即面积的最大值为12，
当且仅当时等号不成立.
【点睛】关键点点睛：第二问的解题的关键点是求出的面积，然后利用基本不等式求最值.
变式7．（23-24高二下·广东广州·期末）设抛物线：，：，，的焦点分别为，，交于点N，已知三角形的周长为．
(1)求，的方程；
(2)过上第一象限内一点M作的切线l，交于A，B两点，其中点B在第一象限，设l的斜率为k．
①x轴正半轴上的点P满足，问P是否为定点？并证明你的结论．
②过点A，B分别作的切线交于点D，当三角形ABD的面积最小时，求的值．
【答案】(1)：，：.
(2)①P为定点，.证明见解析；②.
【分析】（1）联立解得，由抛物线的性质得到，再由三角形的周长为代入求解得到.
(2)①设点，找出直线l的方程，记直线l与轴的交点为， 关键是由，l的斜率为k，则，则点为线段的垂直平分线与轴的交点.
②由①知，联立可得：，结合韦达定理，并找出过点A，B作的切线方程解得点D的坐标，表示三角形ABD的面积为：，结合单调性求解.
【详解】（1）如图所示：
由题，，，，
联立解得：，所以，
由抛物线的性质：，
三角形的周长为：，
解得，故抛物线：，：.
（2）①P为定点，.证明如下：
如图所示：
由（1）知，抛物线：，：.
设点，且，则，求导可得：，
则l的斜率，则直线l的方程：，即，
记直线l与轴的交点为，令则，则
由，l的斜率为k，则，
所以三角形为等腰三角形，点为线段的垂直平分线与轴的交点，
记的中点为，则，
线段的垂直平分线，
令则，故.
②如图所示：
由①知，直线l的方程：，
联立可得：，
设，
则，.
由，求导可得：，
所以过点A作的切线为：，即，
同理可得过点B作的切线为：，
联立，解得：，即，
记点D到直线AB的距离为d,则，
，
三角形ABD的面积为：
令，则,
则在单调递减，在单调递增，
所以时取得最小值，此时，
，故M为AB中点，.
【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线的切线与圆锥曲线定值、面积综合问题，解题关键是找到导数与抛物线的切线的关系，求出切线，联立切线与曲线，整理后应用韦达定理求出，联立切线与切线求出交点，然后表示出弦长与高，求出三角形面积的表达式，再利用导数研究出单调性，找到取最小值时候的的取值，进而得到问题的解.
变式8．（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出焦点坐标，再利用两点间的距离公式列方程可求出，从而可求出抛物线的方程；
（2）设直线的方程为：，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点的坐标，将两点的坐标代入抛物线方程，两式相加化简结合前面的式子可得，再结合判别式可得，利用弦长公式表示出，再表示出点到直线的距离，从而可表示出面积，化简后结合可求出其范围.
【详解】（1）焦点，，由焦点到点的距离为，
得，解得
所以抛物线方程为．
（2）如图所示，显然，直线的斜率不为0，
设直线的方程为：，，，
联立方程组，消去得,
所以，，且（*）,
所以线段的中点的纵坐标为,
因为点在直线上，所以，所以,
因为，，所以，
即,
将，代入上式，所以,
代入（*）得，化简得，所以,
点到的距离,
,
所以,
将代入上式，得,
因为
所以.
【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线中的三角形面积问题，解题的关键是设出直线方程代入抛物线方程化简结合根与系数的关系和中点坐标公式表示出点的坐标，考查计算能力和数形结合的思想，属于较难题.
【题型6：最值问题】
例6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】A
【分析】根据题意可得准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为，从而可得，即可求解.
【详解】易知抛物线的准线方程为，过作的准线的垂线，垂足为，
由抛物线的定义可知，所以，
当且仅当三点共线且准线时，等号不成立．故的最小值为12．故A正确.
.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
【答案】C
【分析】结合坐标运算和焦半径公式，转化，再利用数形结合求最值.
【详解】已知抛物线上有一点，则，即．
又，故在抛物线的外部，
则，
因为抛物线的焦点为，准线方程为，则，故．
由于，当三点共线（在之间）时，取到最小值，
则的最小值为．
变式2．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义及点到直线的距离公式求解即得.
【详解】抛物线的焦点，准线，
过点作于，垂直于直线于点，显然，
点到直线的距离，
则，
当且仅当点是点到直线的垂线段与抛物线的交点时取等号，
所以的最小值为2.
变式3．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
【答案】C
【分析】由焦半径公式得到，从而得到，数形结合得到最小值.
【详解】因为M的准线方程为，
所以由抛物线焦半径公式得，
故，
所以
,
当且仅当C，D，F三点共线且C在线段DF上时，等号不成立，
所以的最小值为．
变式4．（11-12高二上·江苏常州·期中）已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为 .
【答案】3
【分析】先确定点的轨迹为抛物线，再结合抛物线的定义即可求解.
【详解】设点，则）根据点是的外心,，
而，则
所以
从而得到点的轨迹为，焦点为
由抛物线的定义可知，
因为，，
即，当点P在线段BF上时等号不成立.
所以的最小值为3，
故答案为：3
变式5．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据抛物线的定义和圆的性质转化为三点一线即可求出最值.
【详解】抛物线的准线为，设点到准线的距离为，圆心，圆心到准线的距离为，则，
则，
则的最小值为4.
故答案为：4.
变式6．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 .
【答案】5
【分析】利用抛物线的定义转化为点到线的距离问题求解.
【详解】抛物线的准线方程为，
则的最小值为到准线的距离，即为.
故答案为：.
变式7．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】将到抛物线的准线的距离转化为到抛物线焦点F的距离，再根据三角形三边关系将的最大值表示为
【详解】由抛物线的定义知，，所以
所以，当点位于射线与抛物线交点时，取最大值.
故答案为：
变式8．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 .
【答案】
【分析】由动点P满足的条件得点P的轨迹为圆，根据抛物线的定义，将转化为，观察图形得的最小值.
【详解】
设，已知，，
则，
化简整理得，所以点的轨迹为以为圆心，2为半径的圆，
抛物线E：的焦点，准线方程为，
，
当且仅当A，P，M，F（P，M两点在A，F两点之间）四点共线时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】动点P满足为“阿波罗尼斯圆”的定义，可知点的轨迹为圆.
【方法技巧与总结】与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．
【题型7：直线与抛物线的位置关系】
例7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
【答案】A
【分析】根据直线和抛物线只有一个公共点确定正确答案.
【详解】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，
所以D选项正确.
变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条
D．1条、2条或3条
【答案】D
【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可.
【详解】联立直线和抛物线方程可得，
整理可得，
直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根，
当时，方程为仅有一解，符合题意；
当时，一元二次方程仅有一解，
即，解得，
所以满足题意得直线有三条，即，和.
变式2．（22-23高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求直线的方程，与抛物线方程联立，利用，即可求解的取值范围.
【详解】当时，直线，与抛物线有交点，所以，
设直线的方程为，
联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，
由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.
变式3．（17-18高二上·四川广安·期末）已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件的定义先判断充分性，再利用必要性的定义判断必要性.
【详解】当“与只有一个公共点”时，如图，直线与抛物线的对称轴平行，与抛物线只有一个公共点，但是此时与不相切.所以“与只有一个公共点”是“与相切”的不充分条件；
当“与相切”时，与只有一个公共点，所以“与只有一个公共点”是“与相切”的必要条件.
综上，“与只有一个公共点”是“与相切”的必要不充分条件.
变式4．（多选）（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（ ）
A．拋物线的标准方程可能为
B．挞物线的标准方程可能为
C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
【答案】ABD
【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解.
【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确；
对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确；
对于C、D选项，过点与对称轴平行的直线，以及抛物线在点处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.
BD.
变式5．(多选）（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解.
【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为，
由，得，
平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域，
因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为，
对于A，圆上的点到点的距离，显然，
因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是；
对于B，点在抛物线内，由消去得，
显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，
因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是；
对于C，圆上的点在椭圆外，
直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是；
对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，
直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是.
B
【点睛】关键点睛：求出直线必过区域，再判断区域的边界曲线与各选项中曲线的位置关系是解决问题的关键.
变式6．(多选)（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两，则（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则的最小值为
D．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条
【答案】AB
【分析】A选项，根据焦点弦公式求出；B选项，当过点的直线斜率不存在时，不合要求，设过点的直线方程为，联立抛物线与直线，得到两根之和，两根之积，求出的中点，得到圆心和半径，求出到准线的距离等于半径，得到B正确；C选项，设，表达出，得到最小值；D选项，点在抛物线内部，故只有一个公共点的直线有1条.
【详解】A选项，由题意得，准线方程为，
根据焦点弦公式得，A正确；
B选项，当过点的直线斜率不存在时，直线与抛物线只有1个交点，不合要求，
设过点的直线方程为，
联立与得，，
则，
则，，
故，
故的中点，
，
故圆的半径为，
圆心到准线的距离为，
故以为直径的圆与准线相切，B正确；
C选项，设，，
则，
故当时，取得最小值，最小值为9，
故的最小值为3，C错误；
D选项，如图，因为，所以点在抛物线内部，
故过点与抛物线有且只有一个公共点的直线只有1条，
即与轴垂直的直线，D错误.
B
变式7．（多选）（22-23高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ）
A．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
B．设点，则的最大值为
C．点到直线的最小距离为
D．点到直线与点到轴距离之和的最小值为
【答案】CCD
【分析】根据直线与抛物线有一个交点，求出直线的方程，可判断A选项；数形结合求出的最大值，可判断B选项；设点，其中，利用点到直线的距离公式以及二次函数的基本性质可判断C选项；利用抛物线的定义以及数形结合思想求出点到直线与点到轴距离之和的最小值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，设过点的直线为，若直线方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
若直线的方程为，此时直线与抛物线只有一个公共点，
若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，
联立可得，
若直线与抛物线相切，则，解得，
此时，直线的方程为，
综上所述，过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；
对于B选项，如下图所示：
易知点，，
当且仅当点为射线与抛物线的交点时，等号不成立，
故的最大值为，B对；
对于C选项，设点，其中，
则点到直线的距离为，
当且仅当时，等号不成立，故点到直线的最小距离为，C对；
对于D选项，如下图所示：
抛物线的准线为，过点作，垂足为点，设交轴于点，
过点作直线的垂线，垂足为点，连接，
则，
当与直线垂直时，取最小值，
且最小值为点到直线的距离，
因此，，
故点到直线与点到轴距离之和的最小值为，D对.
CD.
变式8．（23-24高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点在上，证明：直线与相切．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，转化点到点的距离等于点到直线的距离，结合抛物线的定义，即可求解；
（2）由点在上，可得，联立方程组，结合，即可求解.
【详解】（1）解：因为动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，
因为，可得点到点的距离等于点到直线的距离，
所以动点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，
可得抛物线的方程为，即动点的轨迹的方程为.
（2）证明：因为点在上，可得，
联立方程组，可得，
则，
所以直线与相切．
【方法技巧与总结】解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB||x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[注意] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】设出满足条件的点的坐标，根据已知列出方程求解即可.
【详解】设满足条件的点为，
则到的准线的距离为，
设，所以，
解得或，故所求方程为或．
2．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由抛物线的标准方程即焦点的定义计算即可.
【详解】，此时焦点在纵轴上，为.
3．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【分析】由抛物线定义可列式求解点的横坐标，将所求横坐标代入抛物线方程可得点的纵坐标.
【详解】设点的坐标为，
∵，∴，∴.
把代入方程，得，
∴.∴点P的坐标为.
.
4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知先求得参数，进一步即可得解.
【详解】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，
所以，解得，
所以双曲线的渐近线方程为.
.
5．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义知，抛物线上一点到准线的距离等于到焦点的距离，即可求解.
【详解】由题意得，，即，解得.
故选：.
6．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）设抛物线的焦点为，已知点，，， 都在抛物线上，则 四点中与焦点距离最小的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的定义求出各点到焦点的距离，即可判断.
【详解】抛物线的焦点为，准线方程为；
则点到焦点的距离为，
点到焦点的距离为，
点到焦点的距离为
点到焦点的距离为；
所以点与焦点的距离最小.
7．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
【答案】C
【分析】根据抛物线定义得到方程，求出答案.
【详解】由抛物线定义得，解得.
8．（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，进而可得，由求解.
【详解】因为为抛物线的焦点，所以，所以抛物线的焦点的坐标为，
由抛物线定义可知2，
又，所以，解得，故，
所以为原点，
从而.
.
二、多选题
9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．点到抛物线的焦点的距离为4
【答案】ACD
【分析】根据双曲线的方程求出离心率可判断A；求出双曲线的渐近线方程可判断B；由有相同的焦点求出可判断C；点坐标代入方程可判断D．
【详解】双曲线的焦点为，，，
对于A，双曲线的离心率，故A正确；
对于B，双曲线的渐近线方程为，故B错误；
对于C，由有相同的焦点，得，解得，故C正确；
对于D，抛物线的焦点为，点在上，
则，故或，
所以点到的焦点的距离为4，故D正确．
CD．
10．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（ ）
A． B．
C．抛物线的准线 D．
【答案】CC
【分析】利用直线与圆的位置关系可判定BC，利用两圆的位置关系可判定AD.
【详解】易知的圆心为原点，半径为1，
对B，原点到的距离，即直线与圆相交，故B正确；
对A，由可知其圆心为，半径为1，
两圆圆心距，即两圆相离，故A错误；
对D，由知其圆心为，半径，
两圆圆心距为，当且仅当时两圆才有交点，除此之外两圆无交点，故D错误.
对C，易知抛物线准线方程为，显然与圆相切，故C正确.
C
11．（23-24高二上·浙江温州·期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】DD
【分析】根据椭圆、双曲线以及抛物线的离心率公式，分别求出各个圆锥曲线的离心率，即可得出答案.
【详解】对于A项，双曲线的离心率为；椭圆的离心率为，故A错误；
对于B项，双曲线的离心率为；双曲线的离心率为，故B错误；
对于C项，椭圆的离心率为；椭圆的离心率为，故C项正确；
对于D项，方程可化为抛物线，方程可化为抛物线，而且抛物线的离心率均为1，故D项正确.
D.
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为是上一点，若，则以为直径的圆与轴的位置关系是 ．
【答案】相切
【分析】根据抛物线定义可得到轴的距离为6，进而求的中点到轴的距离，即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】抛物线的准线方程为，焦点，
因为，所以到轴的距离为，则的中点到轴的距离为，
所以以为直径的圆与轴相切．
故答案为：相切.
13．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）过点作倾斜角为的直线与交于，则 ．
【答案】
【分析】写出直线方程并与抛物线联立，再由焦点弦公式计算可得结果.
【详解】易知抛物线的焦点为，倾斜角为的直线斜率为，
所以直线方程为，
不妨设，联立消去整理可得；
所以可得，
由焦点弦公式可得.
故答案为：
14．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为80°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ．
【答案】
【分析】过点向轴作垂线，求得坐标，即可求解.
【详解】过点向轴作垂线，垂足记为,
由题意可知，所以点坐标为，
代入抛物线方程得，所以
故答案为：
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若．
(1)求点的坐标以及抛物线方程；
(2)若点与关于点对称，求．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据抛物线过点及列出相应等式即可求解；
（2）根据（1）结果分情况讨论和，从而可求解.
【详解】（1）因为抛物线过点，则①，又，
且焦点为，即②，
结合①②解得或，
即，或．
（2）当时，此时，则，
所以；
当时，，则，
所以．
16．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆经过的点以及焦点，即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，即可根据中点关系求解.
【详解】（1）抛物线的焦点为，
由题意得，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）直线的斜率存在，设斜率为，
直线的方程为，即，
联立，
消去得：，
设，
因为，即，
所以，解得，
此时满足题意
所以所求直线的方程为.
17．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 .
(1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程.
(2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值.
【答案】(1)，直线的方程为或或
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线的准线求参数，即可写出抛物线方程，再分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立、消元，根据求出，即可得到直线方程；
（2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出，，再代入韦达定理计算可得.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，解得，
所以抛物线，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，
消去整理得，则，解得或，
所以直线的方程为或，
综上可得直线的方程为或或.
（2）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，，
联立抛物线有，消去得，则，
∴，，又，.
∴ .
∴为定值.
18．（22-23高二下·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点．
(1)当直线的倾斜角为时，直线被圆所截得的弦长为，求的值；
(2)若点在轴上，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的斜率．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）设出直线，运用圆当中的弦长公式构造方程，解出即可；
（2）将直线和设出来，然后直线与曲线联立方程，运用韦达定理，结合等腰直角三角形的中垂性质，构造方程，求解即可.
【详解】（1）因为直线的倾斜角为，所以．
由题意，抛物线的焦点坐标为．
所以直线的方程为．
因为圆的方程为，即，
所以圆心坐标为，半径为2．
所以圆心到直线的距离．
由垂径定理得，解得或．
故或．
（2）由题意，直线斜率存在，如图所示．
设直线，，
由消去得，
故中点坐标为，
由得，
即，整理得．①
由得，
即，
代入整理得．②
由①②消去得，
即，
整理得．
所以，解得．
综上，直线的斜率．
19．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)若点坐标为，证明：直线过定点；
(3)若，求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)1
【分析】（1）根据准线方程求出抛物线方程；
（2）设点的坐标分别为，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，依题意，即可得到、的关系，从而求出直线过定点坐标；
（3）不妨设，，三点的坐标分别为，且，不妨记直线的斜率为，且，再由弦长公式得到，再求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）拋物线的准线方程为，
所以且焦点在轴的非负半轴上，则，
抛物线的标准方程为；
（2）设点的坐标分别为，直线的方程为，
联立得，显然，，
因为构成一个以为直角顶点的直角三角形，
，，，
直线的方程为，
当时，所以直线过定点；
（3）由拋物线的对称性，不妨设，，三点的坐标分别为，且，
不妨记直线的斜率为，且，
则直线的斜率为，则，
结合（*）得，
（当且仅当时取得等号），
（此时为坐标原点），
即面积的最小值为.
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.7抛物线及其方程
课程标准 学习目标
1.理解抛物线的定义及其图形特征，掌握抛物线的标准方程及其性质2.能够运用抛物线的性质解决一些简单问题 3.培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和解决问题的能力。 重点：1.抛物线的定义及其图形特征; 2.抛物线的标准方程及其性质; 难点：1.抛物线与坐标轴的交点; 2.抛物线的焦点和准线。
知识点01 抛物线的定义
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注意：1.定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．
2.抛物线的定义用集合语言表示为：P{M||MF|d}(d为M到直线l的距离)．
3.定义的实质可归纳为“一动三定”：一个动点，设为M点；一个定点F(抛物线的焦点)；
一条定直线l(抛物线的准线)；一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
4.抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．
【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线，为抛物线焦点，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，则 ．
【即学即练2】（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在该抛物线上，且，则到轴的距离为 .
知识点02抛物线的几何性质
类型 y22px (p>0) y2－2px (p>0) x22py (p>0) x2－2py (p>0)
图象
性质 焦点 F F F F
准线 x－ x y－ y
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0,0)
离心率 e1
开口方向 向右 向左 向上 向下
【即学即练3】（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 .
【即学即练4】（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 .
难点：数形结合求最值问题
示例1：（23-24高二下·山西长治·期末）已知抛物线的焦点为，点为上可相互重合的点，且，则的取值范围是 ，的最小值是 .
【题型1：抛物线的定义与应用】
例1．（23-24高二下·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
变式1．（23-24高二下·河南新乡·期末）已知为抛物线的焦点，点在上，且点到直线的距离为，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二下·云南昆明·期末）已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（ ）
A． B． C．1 D．
变式3.（23-24高二下·江苏南京·期末）已知抛物线上一点的纵坐标为4，则点到抛物线焦点的距离为（ ）
A． B．5 C．6 D．
变式4．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，过作的垂线，垂足为，若（为坐标原点），则
变式5．（23-24高二下·海南海口·期末）已知点关于轴的对称点在曲线：上，且点到点的距离为点到直线的距离的，则点的纵坐标 ．
变式6．（23-24高二下·海南·期末）已知直线与抛物线在第一象限交于点，若点到的准线的距离为，则 .
变式7．（23-24高二下·山西晋城·阶段练习）抛物线上的动点P到点的距离等于它到C的准线距离，则P到焦点距离为 .
变式8．（多选）（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）点到点，及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【题型2：抛物线的标准方程与性质】
例2．（23-24高三下·湖北·开学考试）已知抛物线的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点关于其准线的对称点为，则的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（20-21高二下·陕西榆林·阶段练习）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（22-23高二上·湖北·期末）设点F是抛物线的焦点，l是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB，垂足为B，射线AF交准线l于点C，若，，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（24-25高二·上海·随堂练习）设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是 ．
变式4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知抛物线C：的焦点与椭圆的右焦点重合，顶点为椭圆的中心，则抛物线C的标准方程为 ．
变式5．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线C：的焦点为F，准线l上有两点A、B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是 ．
变式6．（15-16高二上·甘肃白银·期末）焦点在直线上的抛物线的标准方程为
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为 ．
变式8．（20-21高二下·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为 ．
【方法技巧与总结】求抛物线标准方程的方法
①先定位：根据焦点或准线的位置；
②再定形：即根据条件求p.
2.抛物线性质的应用技巧
①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；
②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．
【题型3：弦长问题】
例3．（24-25高二上·上海·课前预习）设斜率为k的直线l与抛物线相交于，两点，则 或= ．
变式1.（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于两点，若，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高三上·广东广州·期中）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（ ）
A． B．3 C． D．
变式3．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）已知直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的焦点为F，O为原点，且，则 ．
变式4.（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，经过点的直线与抛物线交于两点，其中点在第一象限：
(1)若直线的斜率为，求的值；
(2)求线段的长度的最小值．
(3)若抛物线的准线与轴交于点，点在抛物线上，求当取得最大值时，直线的方程．
变式5．（2024·广东江门·二模）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为2的直线与交于A，B两点，且．
(1)求的方程；
(2)过点作轴的平行线是动点，且异于点，过点作AP的平行线交于，两点，证明：．
变式6．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点.
(1)若，求直线的方程．
(2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值 若是，请求出定值，若不是，说明理由．
变式7．（23-24高二下·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点.
(1)求的值；
(2)求的值.
8．（23-24高二下·湖南衡阳·阶段练习）已知是抛物线的焦点，过的直线与交于两点，且到直线的距离之和等于.
(1)求的方程；
(2)若的斜率大于，在第一象限，过与垂直的直线和过与轴垂直的直线交于点，且，求的方程.
【方法技巧与总结】活用抛物线焦点弦的四个结论
抛物线的焦点弦问题一直是高考命题的一个热点，该问题常与弦长、三角形面积、向量、不等式等知识相融合，考查学生的转化与化归意识和灵活解题能力．命题点主要体现在焦点弦的四个结论上：
设AB是过抛物线y22px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2.
(2)y1·y2－p2.
(3)|AB|x1＋x2＋p(α是直线AB的倾斜角)．
(4)＋为定值(F是抛物线的焦点)
【题型4：周长问题】
例4．（2023高二上·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，抛物线，为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·山东青岛·期末）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（19-20高二上·重庆沙坪坝·期末）已知抛物线 的准线l过椭圆的左焦点，且l与椭圆交于P、Q两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（ ）
A．16 B．8 C．4 D．2
变式3．（22-23高二上·浙江宁波·期末）已知圆，抛物线，过点作圆M的两条切线AB，AC，点B，C在抛物线P上，过B，C分别作x轴的平行线交P于F，E两点，则四边形BCEF的周长为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（23-24高二上·广东深圳·期末）是抛物线上一点，是的焦点，为的准线，于，若，则的周长为（ ）
A． B． C．10 D．12
变式5．（23-24高二上·甘肃·期末）已知为抛物线C：的焦点，为原点，点在抛物线上，且，则的周长为（ ）
A． B． C．10 D．11
变式6．（22-23高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线为轴正半轴上一点，线段的垂直平分线交于两点，若，则四边形的周长为（ ）
A． B．64 C． D．80
变式7．（20-21高二上·上海金山·期末）设焦点为 的椭圆上的一点也在抛物线上，抛物线焦点为，若，则的周长为 .
变式8．（20-21高二上·陕西西安·期中）已知抛物线在第一象限内的部分上一点到抛物线焦点的距离为4，若为抛物线准线上任意一点，则的周长最小值为 ．
【题型5：面积问题】
例5．（辽宁省部分重点高中2024-2025学年高三8月阶段性测试数学试题）过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点两点，l过B且与抛物线在A处的切线平行，l交抛物线与另一点，交y轴于E点，则面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，若以轴正方向的射线绕焦点逆时针旋转，与抛物线交于点，过作轴，交准线于点，则的面积为 ．
变式2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为和定点为抛物线上一动点．设直线交抛物线于两点，当时，求的面积．
变式3.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知点是抛物线：上的一点.
(1)若点横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点.
①若，求点纵坐标；
②求面积的最小值.
变式4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知直线与抛物线C：交于两点，且， 交于点，点的坐标为，
(1)求的值．
(2)若线段的垂直平分线于抛物线C交于E，F两点，求的面积.
变式5．（23-24高二下·云南曲靖·阶段练习）在平面直角坐标系中，点F(0，1)，P为动点，以PF为直径的圆与x轴相切，记Р的轨迹为.
(1)求Р的方程；
(2)设M为直线上的动点，过M的直线与Р相切于点A，过A作直线MA的垂线交于点B，求面积的最小值．
变式6．（23-24高二下·云南楚雄·期末）已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，是抛物线上一点，且．
(1)求抛物线的方程．
(2)设过点的直线交抛物线于两点，直线与直线分别交于点．
（ⅰ）证明：直线与的斜率之和为0．
（ⅱ）求面积的最大值．
变式7．（23-24高二下·广东广州·期末）设抛物线：，：，，的焦点分别为，，交于点N，已知三角形的周长为．
(1)求，的方程；
(2)过上第一象限内一点M作的切线l，交于A，B两点，其中点B在第一象限，设l的斜率为k．
①x轴正半轴上的点P满足，问P是否为定点？并证明你的结论．
②过点A，B分别作的切线交于点D，当三角形ABD的面积最小时，求的值．
变式8．（23-24高二下·广东·期末）已知抛物线的焦点到点的距离为，，为抛物线上两个动点，且线段的中点在直线上．
(1)求抛物线的方程；
(2)求面积的取值范围．
【题型6：最值问题】
例6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，定点为上一动点，则的最小值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，抛物线上有一点，则的最小值是（ ）
A．10 B．8 C．5 D．4
变式2．（23-24高二上·山东青岛·期末）设抛物线上一点到轴的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
变式3．（23-24高三上·河南南阳·期末）已知，C是抛物线上的三个点，F为焦点，，点C到x轴的距离为d，则的最小值为（ ）
A．10 B． C．11 D．
变式4．（11-12高二上·江苏常州·期中）已知点，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则的最小值为 .
变式5．（23-24高二下·上海闵行·期末）设是以为焦点的抛物线上的动点，是圆上的动点，则的最小值为 ．
变式6．（23-24高二下·上海松江·阶段练习）已知抛物线的焦点为，若是该抛物线上一点，点，则的最小值 .
变式7．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，记抛物线：上的动点到准线的距离为，则的最大值为 ．
变式8．（23-24高二上·黑龙江·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，动点满足，点为抛物线E：上的任意一点，在轴上的射影为，则的最小值为 .
【方法技巧与总结】与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算．
【题型7：直线与抛物线的位置关系】
例7．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
变式1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条
D．1条、2条或3条
变式2．（22-23高二上·全国·课后作业）已知抛物线C的方程为，过点和点的直线l与抛物线C没有公共点，则实数t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（17-18高二上·四川广安·期末）已知直线与抛物线，则“与只有一个公共点”是“与相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式4．（多选）（23-24高二下·河北唐山·期末）已知抛物线过点，则（ ）
A．拋物线的标准方程可能为
B．挞物线的标准方程可能为
C．过点与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点与抛物线只有一个公共点的直线有两条
变式5．(多选）（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．(多选)（21-22高二上·湖北孝感·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于两，则（ ）
A．若，则
B．以为直径的圆与准线相切
C．设，则的最小值为
D．过点与抛物线有且只有一个公共点的直线有2条
变式7．（多选）（22-23高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则（ ）
A．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条
B．设点，则的最大值为
C．点到直线的最小距离为
D．点到直线与点到轴距离之和的最小值为
变式8．（23-24高二上·江苏南通·期末）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到轴的距离之差等于1，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)设点在上，证明：直线与相切．
【方法技巧与总结】解决直线与抛物线位置关系问题的方法
(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB||x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
[注意] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线上与焦点距离等于的点的纵坐标为，则该抛物线标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）抛物线的焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·全国·课后作业）抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则点的坐标为（ ）
A． B．或
C． D．或
4．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高二下·四川凉山·期末）已知为拋物线上一点，且到抛物线焦点的距离为4，它到轴的距离为3，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）设抛物线的焦点为，已知点，，， 都在抛物线上，则 四点中与焦点距离最小的点是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·河南郑州·期末）已知为抛物线：上一点，点到的焦点的距离为4，到轴的距离为3，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
8．（23-24高二下·湖南·期末）设为抛物线的焦点，点为上一点，过作轴的垂线，垂足为，若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点在抛物线上，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．点到抛物线的焦点的距离为4
10．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知圆，则下列曲线一定与圆有公共点的是（ ）
A． B．
C．抛物线的准线 D．
11．（23-24高二上·浙江温州·期末）以下选项中的两个圆锥曲线的离心率相等的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为是上一点，若，则以为直径的圆与轴的位置关系是 ．
13．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）过点作倾斜角为的直线与交于，则 ．
14．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）过抛物线：（）的顶点，且倾斜角为80°的直线与抛物线的另一个交点为，若，则抛物线的方程为 ．
四、解答题
15．（24-25高二上·全国·课后作业）已知顶点为的抛物线过点，其焦点为，若．
(1)求点的坐标以及抛物线方程；
(2)若点与关于点对称，求．
16．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知椭圆过点，且其一个焦点与抛物线的焦点重合.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，若点是线段的中点，求直线的方程.
17．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 .
(1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程.
(2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值.
18．（22-23高二下·四川成都·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线相交于两点．
(1)当直线的倾斜角为时，直线被圆所截得的弦长为，求的值；
(2)若点在轴上，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求直线的斜率．
19．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）抛物线的准线方程为，抛物线上的三个点构成一个以为直角顶点的直角三角形．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)若点坐标为，证明：直线过定点；
(3)若，求面积的最小值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
