2.8直线与圆锥曲线的位置关系
课程标准 学习目标
理解直线与圆锥曲线的位置关系 2.会进行直线与圆锥曲线的位置关系的判断，能够计算弦长 重点：理解直线与圆锥曲线的位置关系，会判定及应用 难点：应用代数方法对直线与圆锥曲线的位置关系进行判定，相关计算的准确性
知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程 .
方程的解
无解（含是双曲线的渐近线） 无公共点
有一解（含与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行） 一个交点
两个不等的解 两个交点
两个相等的解 一个切点
无实数解 无公共点
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系
【即学即练1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①直线只与双曲线右支相交，②直线与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，可得答案．
【详解】设，令，则，
过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于两点，
如果在同一支上，则有，
如果在两支上，则有，
因为这样的直线有4条，
所以，解得，
【即学即练2】（2024高二上·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，表示出韦达定理，结合为锐角，即，代入韦达定理化简即可；
【详解】显然不满足题意，
设直线的方程为，设，
，
，解得，①
，
则，
又为锐角，则，即，，
所以
，解得，②
由①②，解得或，
所以实数k的取值范围为.
.
知识点02直线与圆锥曲线的相交弦长
1.设斜率为 k(k≠0)的直线与圆锥曲线C相交于A，B两点，A()，B()，则|AB|·|x1－x2|·|y1－y2|·
2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长AB|x1＋x2＋p(为弦AB的倾斜角).
【即学即练3】（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，进而求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程并与椭圆方程联立，写出根与系数关系，根据求得直线的方程.
【详解】（1）由题意得，解得，，
椭圆方程为.
（2）设直线：，，
联立并整理得，，，
，
解得，符合，
直线方程为，即．
【即学即练4】（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程.
（2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得.
【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为，
焦点F到渐近线的距离为，
由实轴长是虚轴长的倍，得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为，
当直线的斜率不存在时，的方程为，，，
当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且，
由消去y得，
由，得，
由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标，
同理得点的横坐标，则，
而原点到直线的距离，因此，
所以的面积为定值，且定值为.
【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系.
知识点03 中点弦的重要结论
AB为椭圆＋1(a＞b＞0)的弦，A()，B()弦中点M()).
则弦 AB的斜率与弦中点M 和椭圆中心0 的连线的斜率之积为定值.
【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用梯形中位线将中点的横坐标转化为，再应用抛物线定义转化为，再由可得最小值.
【详解】设的中点，抛物线的准线为，
如图，作，垂足分别为.
由直角梯形的性质可得，
取抛物线焦点为，由抛物线定义可得，
当且仅当直线经过点时取等号，
所以线段中点的横坐标的最小值为．
.
【即学即练6】（21-22高二上·北京·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为．直线过点且不垂直于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)若点是椭圆上一动点，当直线的斜率为时，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）有条件列出关于的方程，解方程求，由此可得椭圆C的方程；
（2）利用设而不求法可求的坐标，由此完成证明；
（3）利用（2）中结果，可得，设，利用点到直线的距离公式得到，从而求得的最大值，即可求出结果.
【详解】（1）由题知，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设直线l的方程为，，，
联立，消去y得，，
由韦达定理知，因为为线段的中点，
所以，，所以，
所以为定值.
（3）当直线的斜率为时，由（2）知直线l的方程为，
由，消去y得，，解得或，
当时，，当时，，所以，
设，
则点到直线的距离为，
其中，当时取到最大值为，
此时面积最大，最大值为.
难点：数形结合的运用
示例1：（22-23高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或．
【分析】（1）由离心率可得的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程，与椭圆的方程联立，由四边形为平行四边形由韦达定理可得的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，再由直线的斜率的平方等于直线，的斜率之积，代入韦达定理化简可得参数的又一关系，进而解方程求出参数的值，即求出直线的方程．
【详解】（1）由离心率，
得，所以椭圆的方程可设为：，
将点代入椭圆的方程得，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由直线，，的斜率依次成等比数列．可知直线的斜率存在且不为0，
由四边形为平行四边形，可知直线不过原点.
设直线的方程为：，设，.
联立，整理可得：，，即，
且，，，
因为四边形为平行四边形，则三点不共线，且，
所以，
因为在椭圆上，则，整理可得：，①
又因为直线，，的斜率依次成等比数列，
即，所以 ，且.
因为
，
所以
可得，②
由①②可得：，，满足，
故可得，，
所以直线的方程为：或.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是应用韦达定理求根与系数的关系，将点坐标与斜率关系都转化为的形式，由点在椭圆上代入椭圆方程可得到的方程；二是利用平行四边形的性质得，从而解出点的坐标.
【题型1：直线与圆锥曲线的交点】
例1．（22-23高二·全国·课堂例题）已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标．
【答案】，
【分析】联立直线l方程与双曲线方程，求解出方程组可得到直线l与双曲线C的公共点的坐标.
【详解】直线与双曲线的公共点的坐标就是方程组的解．
解这个方程组，得，．
因此，所求公共点的坐标为，．
变式1．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．
【答案】有，坐标为
【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去一个未知数，通过一元二次方程的解的情况进行求解判断即可.
【详解】联立直线与双曲线的方程，可得方程组
消去y，可得，由此可解得．此时，．
因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为．
变式2.（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长为4.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)若与椭圆E的相交于两点，求的长度；
(3)若直线的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据椭圆离心率公式及长轴长求得，再根据即可求解；
（2）根据几何关系求得直线的方程，与椭圆方程联立，结合弦长公式求解即可；
（3）设，因为点为第一象限的点，故，当时，与相交于，与题设不符；当时，得出直线和直线的方程，联立求得点坐标，再根据在椭圆上即可求解．
【详解】（1）因为椭圆的离心率为，长轴长为4，所以，得，
所以，
因此椭圆的标准方程为．
（2）设，
由题可知，点横坐标为，所以，
由点得，，所以，
由得，，则，
所以．
（3）设，因为点为第一象限的点，故，
当时，与相交于，与题设不符；
当时，直线的斜率为，直线的斜率为，
因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程：①，
直线的方程：②，
由①②解得，所以，
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或，
又在椭圆上，故，
由，解得；
由，无解；
故点的坐标为．
变式3．（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得曲线的方程.
（2）设出直线的方程并与曲线的方程联立，化简写出根与系数关系关系，求得两点的坐标，进而求得线段中点的坐标.
【详解】（1）由椭圆定义可知轨迹为椭圆，设曲线的方程 ，
则，，，，，曲线的方程；
（2）方法一：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
联立，整理得，
，
设，则，，
直线交直线于，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，
，
所以线段中点的坐标为.
方法二：直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
联立，整理得，
，
设，则，，
直线交直线于，则，
所以直线的方程为，，
令，解得，则，同理可得，
，
所以线段中点的坐标为.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
变式4.（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆.
(1)若它们有两个公共点，求的取值范围；
(2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意，联立方程组，结合，即可求解；
（2）根据题意，结合，求得的值，代入方程，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，联立方程组，整理得到，
由，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：由（1）中，令，解得或，
当时，可得，解得；
当时，可得，解得，
所以公共点的横坐标为或.
变式5．（23-24高二上·天津·期末）已知 圆：（）经过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解.
【详解】（1）由题意可得所以，
所以椭圆方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，，
，
所以，所以，
故，,
所以，
所以，
所以，解得，
故直线的方程为.
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知双曲线的离心率，顶点为和，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，证明：；
(3)若的最大内角为，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)证明过程见解析
(3)，，或
【分析】（1）根据离心率和顶点坐标列出方程组，从而求出双曲线方程；
（2）设出 ，表达出两直线斜率，列出方程，得到证明；
（3）分，和三种情况，结合（2）中结论进行求解.
【详解】（1）由题意得，解得，故，
故双曲线的标准方程为；
（2）设 ，则，
；
（3）若中，且点在第一象限，
则此时，直线的斜率为，故直线的方程为，
联立，可得，解得，，
因为P为该双曲线上异于顶点的任一点，所以舍去，满足要求，
将代入得，，
所以此时点坐标为，
若，且点在第四象限，同理可得点坐标为，
若，可得点坐标为或，
若，由（2）知，即直线的斜率同号，所以只能为锐角，所以不可能为，
综上：点坐标为，，或.
变式7．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知直线与抛物线相切，且切点为.
(1)求直线的斜率的值；
(2)如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设直线l的方程，与抛物线联立方程组，消去x整理后，由求的值；
（2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，设直线BM的方程，与抛物线联立方程组，求点坐标，同理得点坐标，表示出直线PQ的斜率，化简得的值.
【详解】（1）显然直线的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，
与联立，消去x整理得，
令，即，
解得
（2）由题意知，两直线的斜率互为相反数，
设直线BM的方程为，与联立，消去x整理得，
所以,得，从而，
将换成，同理可得，
所以.
变式8．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为
(1)求E的方程;
(2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点，的重心在直线上，且则满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由得，，再由的面积为，求出，得E的方程；
（2）由题意直线l的斜率存在，设 ， ， ，代入抛物线方程有 ，由 的重心在直线 上， ，得 ，又 ，有 ，得 ，可得直线l的方程.
【详解】（1）M为抛物线上一点，且，则有，
解得，故，
又的面积为，得，所以，
则E的方程为
（2）当直线l的斜率不存在时，l与E交于A，B两点，线段 AB 的中点的纵坐标为0，
的重心不在直线上，因此直线l的斜率都存在．
设 ， ， ，由 （1） 知 ，
由 消去x后整理得 ，则，
有
因为 的重心在直线 上，所以 ，则 ，所以 ，
由 ，有 ，则 ，即 ，所以 ，
，，满足，且直线l不过点F，
因此直线l的方程为
【方法技巧与总结】直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。
【题型2：直线与圆锥曲线的位置关系】
例2．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可.
【详解】曲线可化为，
当时，，则，
故此时曲线为椭圆的上半部分；
当时，，则，
故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为；
直线，表示一组斜率为的平行直线，
如图，当直线过点时，，解得；
当直线与椭圆上半部分相切时，
由，消化简得，
由，解得，
又直线与椭圆上半部分相切，则，故，
要使直线与曲线恰有三个不同交点，
结合图形可得，实数的取值范围为.
.
变式1．（多选）（23-24高二上·广东东莞·期末）已知曲线C：，则（ ）
A．曲线C在第一象限为椭圆的一部分 B．曲线C在第二象限为双曲线的一部分
C．直线与曲线C有两个交点 D．直线与曲线C有三个交点
【答案】ABC
【分析】逐个象限分析函数的解析式，明确函数在各个象限的图象，数形结合讨论各选项的正确与否.
【详解】当，时，由 ，是椭圆的一部分，故A对；
当，时，由 ，是双曲线的一部分，故B对；
当，时，由，不表示任何图形；
当，时，由 ，是双曲线的一部分.
所以函数的图象为：
所以与曲线有两个交点，故C对；
直线与曲线：方程联立，消去得： ，所以直线与曲线：相切，故直线与曲线共有2个交点，故D错误.
BC
变式2．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线与双曲线有两个公共点
【答案】AD
【分析】A.易得焦点三角形为直角三角形，利用勾股定理求解判断；B.利用离心率为求解判断；解：C. 利用离心率为，结合求解判断；D.由直线方程与双曲线方程联立，利用判别式判断.
【详解】解：如图所示：
因为，，所以，
又，则，，
由勾股定理得，解得，故A正确；
则，所以渐近线方程为，故B错误；
因为，所以，则，而，所以，所以，故C错误；
由，消去x得，则，
所以直线与双曲线有两个公共点，故D正确，
D
变式3．(多选)（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（ ）
A．当时，与只有一个交点
B．当时，与只有一个交点
C．当时，与的左支有两个交点
D．当时，与的左支有两个交点
【答案】ABD
【分析】由题意得直线过双曲线左焦点，比较直线斜率和渐近线斜率即可得解.
【详解】由题意直线过定点，即双曲线的左焦点.
当时，与的渐近线平行，与只有一个交点，
当时，与的左支和右支各有一个交点，
当时，与的左支有两个交点.
BD.
变式4．（2023高三·全国·专题练习）已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 .
【答案】0或或
【分析】根据给定条件，联立方程，利用方程组有解求解即得.
【详解】当时，曲线为直线，显然直线与有唯一公共点，因此；
当时，由消去y并整理得：，
当时，，直线与曲线有唯一公共点，因此；
当且时，，则，
此时直线与曲线相切，有唯一公共点，因此，
所以实数a的值为0或或.
故答案为：0或或
变式5．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C相切；
【答案】(1)，左焦点
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得的值，进而求得离心率和椭圆的左焦点；
（2）由椭圆的方程，得到，结合直线与椭圆的位置关系的判定方法，即可求解.
【详解】（1）由椭圆，可得，则，
所以椭圆的离心率为，左焦点为.
（2）由椭圆，可得，即
当时，直线的方程为或，此时直线与椭圆相切；
当时，联立方程组，可得，
即，
则，
所以直线与椭圆相切，
综上可得，直线与椭圆相切.
变式6．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知椭圆与轴交于两点，点为椭圆上不同于的点.
(1)若直线的斜率分别为，求的最小值；
(2)已知直线，直线分别交于P、Q两点，为PQ中点．试判断直线MN与的位置关系．
【答案】(1)最小值为1
(2)直线与椭圆相切
【分析】（1）由题意写出点的坐标，表示处斜率，根据椭圆的性质，结合基本不等式，可得答案；
（2）设出直线方，表示出点的坐标，联立直线与椭圆的方程，可得答案.
【详解】（1）取代入可得，所以，
设，则.
法一：
所以，
则（当且仅当时取等号）
所以的最小值为1．
法二：
则，
由，则，当且仅当时取等号．
所以的最小值为1．
（2）如下图，由题意可知，
法一：
直线，直线
取代入可得，
则即
又因为，所以，
则直线的斜率，
则直线，
整理得，即
将与联立得：，
则，
所以直线与椭圆相切.
法二：由
直线，令，则
则，同理
所以中点为，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即．
将与联立得：，
即，
即，
即，得到唯一解，
所以直线与椭圆相切.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
变式7．（23-24高二上·浙江台州·期末）如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
(1)求点的轨迹；
(2)当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
【答案】(1)点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义可得答案；
（2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，求出椭圆的标准方程，当时，点的坐标为和，求出直线的方程与椭圆方程联立利用判别式可得答案.
【详解】（1），
因为，所以与两个定点的距离的和等于常数（大于），
由椭圆的定义得，点的轨迹是以为焦点，长轴长等于4的椭圆；
（2）以线段的中点为坐标原点，以过点的直线为轴，
以线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
设椭圆的标准方程为，
由椭圆的定义得：，即，即，
则椭圆的标准方程为，
当时，点的坐标为和.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程，得，
整理得，可得，
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
当点的坐标为时，已知点的坐标为，
线段的中点坐标为，直线的斜率为，
直线的方程，联立方程，
得，
整理得，可得，
所以直线与点形成的轨迹只有1个交点，即直线与点形成的轨迹相切.
综上，直线与点形成的轨迹相切.
变式8．（23-24高二上·安徽·期末）已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，．
(1)求的方程．
(2)过的中点M作的准线的垂线，垂足为N．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）判断直线与的公共点个数．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）0
【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线，直线与抛物线联立方程组，利用韦达定理及向量垂直的条件即可求解；
（2）（ⅰ）设出直线，直线与抛物线联立方程组，利用韦达定理及抛物线的定义，结合中点坐标公式及两点间的距离公式即可求解；
（ⅱ）根据（ⅰ）的结论及两点式写出直线的方程，直线与抛物线联立方程组，利用判别式即可求解.
【详解】（1）由题意可知，作出图形如图所示
由题意得，设，，则，，
设直线的方程为，与联立，得，
所以，．
因为，
所以，解得，
所以的方程为．
（2）（ⅰ）设 ，则，．
由（1）知，，
直线的方程为，与联立，得，
所以，，，
．
由抛物线定义得 ．
设，则，，
所以，．
因为．
所以，为定值．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，即
所以直线的方程为，
整理得，
与联立，得，
，
所以直线与的公共点个数为0．
【方法技巧与总结】直线ykx＋m与椭圆＋1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型3：圆锥曲线的切线方程】
例3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆，原点为，动点在直线上运动，且在椭圆外，过点的直线与分别相切于两点，则 ．
【答案】
【分析】联立直线方程和椭圆方程利用判别式为0可求，结合设而不求可求.
【详解】设，
将直线方程与椭圆方程联立化简得，
即，
故，
整理得到：即，
所以，则，
则：，同理，
由于在和上，所以
又，满足方程，则，
．
故答案为：.
变式1．（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是
【答案】（或，，，只需写出一个答案即可）
【分析】根据直线与圆，以及双曲线相切，可根据点到直线的距离以及判别式进行联立方程求解满足题意的直线.
【详解】显然直线存在斜率，设直线：，
联立方程组 ,
得
因为直线与曲线相切，所以，
即.
因为直线与单位圆相切，所以
联立方程组
解得，
故直线的方程可能是，，，
故答案为：
变式2．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
【答案】/
【分析】依题意，注意到点在椭圆上，由此得到椭圆在点处的切线方程；再结合上述性质得到椭圆与双曲线在其公共点处的斜率间的关系，进而求出双曲线在点处的切线的斜率．也可以利用结论6直接得到答案．
【详解】根据结论6，由题意得椭圆在点处的切线方程为，
即，该直线的斜率为，由结论5得知，该双曲线在点处的切线的斜率为．
故答案为：.
变式3．（22-23高三上·浙江·阶段练习）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
【答案】
【分析】由题意设直线方程为，利用直线与单位圆和曲线均相切，联立直线与曲线方程，消去变量后整理为关于的一元二次方程，利用判别式为0，求得关系，解出的值，可得直线方程.
【详解】解：由题可知，直线的斜率存在，设直线方程为，
单位圆的方程为：
所以
则，整理得：
所以
则，整理得：
所以，解得
则
则直线的方程为：.
故答案为：.
变式4．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，为的重心，则的最小值为 .
【答案】
【分析】设直线的方程为，点，，可得点的坐标为，
联立方程，得，，化简得，再求的最小值.
【详解】由题意有，设直线的方程为，点，，
可得点的坐标为，
联立方程，
消去后整理为，可得，，
，当且仅当时取等号.
可得的最小值为.
故答案为：.
变式5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义得，，再结合关系即可得到答案；
（2）求出，设直线方程为，联立椭圆方程，利用即可.
【详解】（1）由于椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
由椭圆的定义知，，
可得，所以，
所以椭圆的标准方程为:.
（2）已知，所以，设直线方程为，
由方程组消去，得，
该方程的判别式，
由，得，
此时与有且只有一个公共点，所以的方程为:.
变式6．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）过点作两条直线，，分别与椭圆相切于点，．点，分别在直线，上，且满足直线与椭圆相切于点．
(1)求直线，的方程；
(2)求证：三条直线，，相交于同一点．
【答案】(1)：，：，
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与椭圆的方程，根据判别式为0即可求解斜率，进而可求解直线方程，
（2）根据椭圆上一点处的切线方程可得 ,联立其与，的方程可得坐标，进而根据点斜式求解直线与直线方程，联立直线与直线方程得交点坐标，即可将其代入方程中求证.
【详解】（1）由题意可知，直线，均有斜率，且斜率互为相反数，
不妨设直线：，
则联立与可得，
由于相切，故，解得，
由于，故，，
故直线：，：，
（2）先证明椭圆上任意一点处的切线方程为，
不妨设位于上半椭圆，对于下半椭圆，方法相同，
由得，
所以处的切线斜率为，
进而方程为，
即，
故设椭圆上一点，则处的切线方程为，
故直线 ,
联立，解得，故,
，解得，故,
由（1）知
故直线方程为,即，
直线方程为,即，
当位于椭圆短轴端点处，根据椭圆的对称性以及直线，的对称，直线，，显然相交于同一点，
当不位于椭圆短轴端点处，此时，
直线方程为，
联立直线与直线方程可得，解得，，
设直线与直线的交点为,
将代入直线方程为中可得
故，
故三条直线，，相交于点
【点睛】关键点点睛：椭圆上任意一点处的切线方程为，联立两直线方程，得交点坐标是本题的关键.
变式7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据给定条件，求出，进而求出椭圆的方程，再设出切线方程，并与椭圆方程联立，由求出切线方程即可得解.
（2）设直线：，，联立直线与的方程，求出的中点纵坐标，结合韦达定理计算推理即得.
【详解】（1）依题意，点，，解得，椭圆：，
显然过点的椭圆的切线斜率存在，设其方程为，
由消去并整理得，
，
整理得，解得，切线方程为，由，得，
所以点的坐标是.
（2）设直线的方程为，，线段的中点，
由消去得，
则，，，
直线的方程为，则点，
于是，
，
，因此点在直线上，
所以线段的中点在定直线上.
【点睛】方法点睛：联立直线l与椭圆C的方程组，消元后的一元二次方程判别式为：
①直线l与椭圆C相交；②直线l与椭圆C相切；③直线l与椭圆C相离.
变式8．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，.
(1)求和圆的方程；
(2)过上一点作圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)的方程为，圆的方程为
(2)直线与圆相切，理由见解析
【分析】（1）根据题意求得两点的坐标，从而求得，进而得解；
（2）根据题意得到直线，的方程，再利用直线与圆相切的性质推得是方程的两个根，从而利用韦达定理求得点到直线的距离为圆的半径，由此得解.
【详解】（1）由题意知直线的方程为，
联立，解得，则或，
，则，
的方程为，直线的方程为，
又直线与圆相切，圆的半径为2，
故圆的方程为.
（2）设上三点，显然，
直线的斜率都是存在的，
直线的斜率，
直线的方程为，
同理，的方程为，
的方程为，
圆与直线相切， ，
化简得：，
同理，圆与直线相切，可得，
所以是方程的两个根，
由韦达定理得，，
点到直线的距离，
直线与圆相切.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是利用直线与圆相切推得是方程的两个根，从而得解.
【方法技巧与总结】
1.过圆上一点的切线方程为：，
2.过圆外一点的切点弦方程为：.
3.过椭圆上一点的切线方程为，
4.过双曲线上一点的切线方程为
5.抛物线在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与抛物线相切.
【题型4：圆锥曲线弦长问题】
例4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ．
【答案】
【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解.
【详解】设双曲线与直线交于两点，
由消去整理得，则，解得，且，
所以．
由，解得，所以．
故答案为：
变式1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与椭圆相交于两点.
(1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；
(2)若（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆中基本量的关系计算可得椭圆方程，再联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得线段的长即可；
（2）设点，，根据，可得，再联立方程利用韦达定理表示关于基本量，的关系，可转化为，因为，可得，从而可得长轴长得最大值.
【详解】（1），，
，，则，
椭圆的方为，
联立消去得：，
设，，则，
，
（2）设，，
，
，即，
由，消去得，
由，整理得，
又，，
，
由，得：，
，整理得：，
，代入上式得，
，
，则，
则，，
则，故长轴长的最大值为.
变式2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆的离心率是椭圆的一个顶点为，直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段的中点的横坐标为求直线的斜率以及弦长
【答案】(1)；
(2)，
【分析】（1）由题意可得，再由求解即可；
（2）根据题意可得中点的纵坐标为，将两点坐标代入椭圆方程作差，结合中点坐标公式及斜率公式，即可求得的值；联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式求解即可.
【详解】（1）解：因为椭圆的一个顶点为，离心率是
所以，解得，
又因为，
所以椭圆的方程为；
（2）解：由题意可得，
两式相减，得，
所以，
又因为线段的中点的横坐标为
所以，
且中点的纵坐标为，
所以，
所以，
所以
又因为，
所以，
所以，
又因为，所以；
所以直线，
由，可得，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线交相，涉及中点坐标时，经常采用点差法求解更简单些.
变式3．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为1，求的值.
【答案】(1)
(2)5
【分析】（1）先由短轴长得，由三点共线设点坐标，再利用点在椭圆上将斜率之积转化为待定，从而求椭圆方程；
（2）分直线斜率存在与不存在两种情况讨论.当直线斜率不存在时，解方程组可得；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立椭圆方程，借助韦达定理表示弦长及点到直线的距离，从而由面积为得，代入由韦达定理表示的关系式，化简求值可得.
【详解】（1）由题意知椭圆的短轴长为2，即，.
为椭圆的上顶点，所以.
当三点共线时，设，则.
由点在椭圆上，则,
因为，
所以，解得．
故椭圆的方程为；
（2）设过两点的直线为，
当直线的斜率不存在时，两点关于轴对称，
所以
因为在椭圆上，所以，又，
所以，即，联立，
解得
此时，所以.
当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立消去得，
其中①，
所以，
所以．
因为点到直线的距离，
所以，
所以，
整理得，符合①式，
此时，
综上所述，的值为5．
变式4．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为．点满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程和椭圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由及两点间距离公式可建立等式，即可求出答案，
（2）联立直线和椭圆的方程，利用弦长公式求得，再利用几何关系求得，再由圆心到直线的距离、、圆的半径构成的直角三角形求出可得答案，从而得到椭圆的方程.
【详解】（1）设．
由题得，即，
整理得，得（舍），或，
所以；
（2）由（1）知，可得椭圆方程为，
直线方程为，
的坐标满足方程组，
消并整理得，
解得，得方程组的解为，
不妨设，
所以，于是．
圆心到直线的距离，
因为，所以，
整理得（舍）或．
所以直线的方程为，
椭圆方程为．
【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率解题关键是找到关于a，b，c的等量关系，第二问的关键是联立直线与椭圆方程求出交点坐标，利用距离公式建立等量关系，求出c是求出椭圆方程的关键.
变式5．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知双曲线C：的右顶点为M，过点的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)证明：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设出直线方程，与双曲线方程联立，利用判别式求出斜率的取值范围即可；
（2）设，，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理代入求解即可；
（3）按在轴同侧和两侧分类讨论，利用弦长公式和韦达定理得到关于的方程，再利用导数求最大值即可.
【详解】（1）由双曲线方程可知，
过点的直线交双曲线于两点，则直线斜率存在，
设直线，联立得，
因为直线交双曲线有两个交点，所以，即，
令解得，
综上直线斜率的取值范围为.
（2）设，，则，，
所以，
由（1）得，，代入得.
（3）设，，且，
则，同理，
所以，
当时，，此时，
将，，代入得，
令，，则，
令解得或（舍去），
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，取得最小值，
此时取得最大值；
当时，，此时，
将，，代入得，
令，，则恒不成立，
所以单调递增，不存在最大值，
综上的最大值为.
【点睛】解决直线与圆锥曲线相交（过定点、定值）问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为,；
（2）联立直线与曲线方程，得到关于或的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为，形式；
（5）代入韦达定理求解.
变式6．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线：
(2)若直线和曲线相交于两点，求.
【答案】(1)，曲线是双曲线，除去左右顶点
(2)
【分析】（1）设，根据计算即可求出其轨迹方程，进而可得出其是何曲线；
（2）利用圆锥曲线的弦长公式计算即可.
【详解】（1）设，
则，
化简得，
所以的方程为，曲线是双曲线，除去左右顶点；
（2）设，
联立，消得，
，
则，
所以.
变式7．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当时，求双曲线E的左焦点到直线l的距离；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据双曲线方程求焦点坐标，进而利用点到直线的距离公式运算求解；
（2）联立直线l与双曲线E的方程，利用韦达定理可得，根据渐近线方程与直线l的方程联立求出，，分析可知线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，代入运算求解即可.
【详解】（1）由题意可知：，
且焦点在x轴上，则双曲线E的左焦点为，
当时，直线l：，即，
所以双曲线E的左焦点到直线l的距离为.
（2）存在，理由如下：
设，，，
联立直线l与双曲线E的方程，得，
消去y，得．
由且，得且，
由韦达定理得，则，
由题意可知：双曲线E的渐近线方程为，
设，，
联立方程，解得，
同理可得，
因为，
所以线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则．
即，．
而，．
则，解得，
所以存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．
（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设不成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．
变式8．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；
(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设切线方程，分别用点的横坐标表示，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果；
（2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，由的表达式求取值范围即可.
【详解】（1）由题意知，直线l的斜率存在，
设点，，直线l的方程为，
由得，
，，.
由，得切点，，
则切线的方程为，代入，得，
所以，解得，
同理，得切线的斜率，
所以.
（2）由（1）可得，
故，.
由（1）得，
可化为，①
同理得，②
由①②，得，，即，
则.
，
所以.
由，，得，故，
即的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
【方法技巧与总结】求解直线被椭圆截得弦长的方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|·|x1－x2|·|y1－y2|(k≠0)．
【题型5：直线与圆锥曲线相交面积问题】
例5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件列方程，求出即可得出答案；
（2）设，利用双曲线的定义，结合余弦定理，求得，再由求解
【详解】（1）椭圆的焦点为和，
所以双曲线的，所以，
又双曲线过点，所以，
由，解得，
双曲线的标准方程为
（2）设，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理，
得，
所以，
则的面积，
变式1．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程.
（2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积.
【详解】（1）由题意可知：，则，
∵，∴，
∴，
∴椭圆
（2） ，∴直线：，
联立方程组得
设，
则，
点到直线的距离
∴
变式2．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点在抛物线上，得，联立直线与抛物线方程得，再通过计算即可；
（2）先求弦长，再求到直线的距离，可表示出，再结合基本不等式可求面积的最大值.
【详解】（1）由题意可知，，所以，
所以抛物线的方程为；
如图：设，
将直线的方程代入，得，
所以，
因为直线与倾斜角互补，
所以，
即，
所以，
即，
所以.
（2）由（1）可知，
所以，
则，
因为，
所以，即，
又点到直线的距离为，
所以，
因为 ，
所以，当且仅当，即时，等号不成立，
所以面积最大值为．
变式3．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设直线，联立抛物线方程，结合弦长公式即可列方程求得参数，进而得解；
（2）由题意设直线，联立抛物线方程，结合韦达定理、数量积的坐标公式列方程即可求得参数，进一步即可求解的面积.
【详解】（1）抛物线焦点的坐标为，
当直线的倾斜角为时，直线，联立抛物线方程，
化简并整理得，，显然，
设，则，
则
，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线，联立抛物线方程，
化简并整理得，显然，
所以，
又，所以，
因为，
所以
，
所以，则，
设的面积为，
则，
所以的面积为.
变式4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【分析】（1）根据焦点到渐近线距离求出，再求出即可得解；
（2）（ⅰ）直线与双曲线方程联立消元后由根与系数关系及直线与右支相交可得；
（ⅱ）根据弦长公式及点到直线的距离分别求出三角形面积，根据面积表达式换元后利用不等式性质求最值即可.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，且，
因为到直线的距离为，故，
则，故双曲线的方程为：．
（2）如图，
（ⅰ）设，，联立直线与双曲线的方程，
消元得，则，
因为直线与双曲线右支交于两点，故，则，故的取值范围为．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，
原点到直线的距离，
设，，联立，则，
，，，
则，
而，
令，则，
当即时取到等号．
综上所述，的最大值为．
变式5．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.
(1)求的方程；
(2)证明：直线恒过定点；
(3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据离心率以及顶点即可求解，
（2）联立直线与双曲线方程，得韦达定理，由垂直得斜率关系，即可代入化简求解，
（3）根据中点坐标可得，即可根据三角形面积之比求解.
【详解】（1）右顶点
，解得
.
（2）设，可设直线.
联立，得
则，即.
.
以为直径的圆经过点
即
，化简得
当时，直线经过点，不符条件，舍去..
直线必过定点.
（3）由（2）知.
,为中点，，代入得.
由得.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
变式6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是椭圆的左右焦点分别为，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点的直线，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的焦点坐标可得的值，由点的坐标，整理方程，可得答案；
（2）由题意分直线斜率是否存在两种情况，设出直线方程，联立方程组，求得弦长，利用对角线垂直的四边形面积公式，结合不等式形式，可得答案.
【详解】（1）由椭圆的焦点，则，
即，整理可得，由椭圆过，
则，整理可得，化简可得，
由，则（舍去），所以，，
椭圆的标准方程为.
（2）
当直线的斜率不存在时，则直线与轴重合，，
将代入椭圆方程，可得，解得，则，
四边形的面积；
易知当直线的斜率不存在时，四边形的面积；
当两直线都存在时，设直线，直线，
设，联立方程可得，消去整理可得：
，则，
，
同理可得，
四边形的面积，
由，则，所以，
，当且仅当时，等号不成立，
令，则，
由，，，则；
综上所述，四边形的面积的取值范围为.
变式7．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在直角坐标系中，点，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围．
【答案】(1)曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，；
(2)．
【分析】（1）用把点满足的条件表示出来，列出方程，化简即可.注意：要注明取值范围.
（2）设直线的方程，代入椭圆方程，消去，得到关于的 一元二次方程，利用韦达定理得到，，求出弦长即中点，进而写出直线，与椭圆方程联立，得到点的坐标，利用点到直线的距离公式表示点到直线的距离，表示出四边形的面积，根据二次函数的性质，可确定四边形面积的取值范围.
【详解】（1）直线的斜率为，
直线的斜率为，
由题意可知：，
所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，
其方程为；
（2）如图：
法一：直线的斜率存在且不为0，设，
联立，整理得恒不成立，
且，则，
则，即，
直线的方程为，与，联立得，
设点到直线的距离分别为，
则，
四边形面积
，
又，所以，故四边形面积的取值范围为.
法二：易知直线的斜率存在且不为0，设，
代入点得，相减得，
整理得①；
联立，得，所以．
；
设，由①得，直线方程为，
联立，解之得，即．
设点到直线的距离分别为，
则，，
.
所以四边形的面积，
又，所以，
所以，故四边形面积的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题第2问，求四边形面积的取值范围，先利用对角线把四边形分割成两个三角形，利用弦长公式求出的长，在结合点到直线的距离求三角形的高，表示出四边形的面积.
变式8．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，定点；②
【分析】（1）根据椭圆的焦点及椭圆过的点列方程求解即可；
（2）①先联立方程组得出韦达定理再计算斜率和即可；②结合定点列出面积再换元得出面积的最大值.
【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，
所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，
∵椭圆过点，
∴，
∴，，
∴椭圆的标准方程为.
（2）设直线：（），
由，得，
设，，所以，，
所以
，
因为直线和的斜率互为相反数，
所以，所以，
所以，
所以.
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点
②由①知，，
且，即，
又
令，则，
∴
（当且仅当时取“”）
∴.
【点睛】关键点点睛：求面积最值的关键点是令换元得出再结合基本不等式计算即可得出最值.
【题型6：圆锥曲线通径问题】
例6．（23-24高二下·山西运城·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】椭圆定义有，结合已知确定的最小值，即可求解.
【详解】由椭圆的定义，可知，
所以当最小时，最大，
由椭圆的性质得，过椭圆焦点的弦中垂直于长轴的弦最短，
当直线AB垂直于轴时，取得最小值，此时，
由解得，此时的离心率.
.
变式1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 .
【答案】/
【分析】由通径的求法得出，再由为直角三角形得出，建立方程求出即可得解.
【详解】因为当时，代入椭圆方程可得，
所以，不妨设在第一象限，则，
因为为直角三角形，由椭圆的对称性知，，
所以，故，即，
可得，解得或（舍去），
所以椭圆M的长轴长为.
故答案为：
变式2．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由题意可知：为正方形，结合通径列式求解即可.
【详解】由题意可知：，且，结合对称性可知为矩形，
且，则为正方形，可得，
整理得，解得或（舍去）.
故答案为: .
变式3．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）求适合下列条件的曲线的标准方程.
(1)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，求双曲线的标准方程；
(2)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，求椭圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解法1：根据焦点的位置分类讨论，设出双曲线的标准方程，根据条件列出的方程组，求解即可；解法2：因为，所以可设双曲线方程为，由双曲线过点可求得.
（2）设椭圆的标准方程为，令，代入椭圆方程得，依题意列出的方程组，求解即可.
【详解】（1）解法1：当焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为
依题意得，解得，此时双曲线的标准方程为；
当焦点在轴上时，设双曲线的标准方程为
依题意得，无解，
综上所述，双曲线的标准方程为.
解法2：因为，所以可设双曲线方程为.
因为过点，所以，即.
所以双曲线方程为，即.
（2）椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为，
令，代入椭圆方程得，
依题意得解得.
椭圆的标准方程为.
变式4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的一个端点为，内切圆的半径为，设过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在轴上是否存在一点，使得当变化时，总有与所在直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由内切圆的性质得到，再令求出，即可得到，结合，求出、，即可得解；
（2）当直线不垂直于轴时，假设存在满足条件，设的方程为，联立直线与椭圆方程，显然的斜率存在，则，求出，即可求出定点坐标.
【详解】（1）由内切圆的性质得，得.
将代入，得，所以.
又，所以，，
故椭圆的标准方程为.
（2）当直线垂直于轴时，显然轴上任意一点都满足与所在直线关于轴对称.
当直线不垂直于轴时，假设存在满足条件，
设的方程为.
联立方程得，消去整理得，
由根与系数的关系得①，其中恒不成立，
由与所在直线关于轴对称，得（显然的斜率存在），
即②.
因为两点在直线上，
所以，代入②得
，
即③，
将①代入③得④，解得，
综上所述，存在，使得当变化时，总有与所在直线关于轴对称.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
变式5．（22-23高二上·广西贵港·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）利用椭圆的通径公式以及离心率求出椭圆的方程即可；
（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，根据弦长公式求出，利用三角形面积公式用表示出，由可求得，即可求直线的方程.
【详解】（1）由已知得，设过且垂直于轴的直线与椭圆交于点,
则点的横坐标为，将其代入得，解得，
即，所以，
因为椭圆的离心率，所以．
因为，所以．故椭圆的方程为．
（2）由题意知，直线不垂直于轴，设直线的方程为，
设，
联立方程组消去并整理得，
其中，
所以，，
所以
，
因为点到直线的距离，且是线段的中点，
所以点到直线的距离为，
所以．
由，解得或（舍去），
所以，故直线的方程为，
即或．
【点睛】如果直线过轴上一点，则直线方程可以设为，当时直线与轴垂直，但是不包含与轴平行的情况，此种情况需要单独说明.
变式6．（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.
【答案】(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）由题设有，求出椭圆参数，即可得椭圆方程；
（2）讨论直线l斜率存在性，设直线l的方程为，联立椭圆，应用韦达定理得，，写出直线，求P，Q两点坐标，结合韦达公式求出，判断是否不成立即可证结论.
【详解】（1）由题意，解得，所以双曲线C的方程为；
（2）当直线l斜率存在时，设直线l的方程为，
由，得，,整理得，
设，，所以，，
所以 ，
直线，所以，同理可得，
记直线交x轴于点G，所以 ，
又，所以，
当直线l斜率不存在时，不妨设，，则，，所以，
所以A，P，F，Q四点共圆.
变式7．（21-22高二下·江苏镇江·开学考试）在平面直角坐标系中，双曲线C的对称轴都是坐标轴，且过点，P到双曲线C两焦点距离的差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)如果双曲线C的焦点在x轴上，直线l经过双曲线C的右焦点，与双曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程.
【答案】(1)或
(2)或或
【分析】（1）分焦点在x轴与y轴两种情况，根据双曲线定义及过的点的坐标进行求解；（2）在第一问的基础上，确定双曲线方程，分直线斜率不存在和存在两种情况,由弦长公式求出答案.
【详解】（1）因为双曲线C的对称轴都是坐标轴，则C的对称中心是坐标原点.
所以C的方程为标准方程.
因为C过点，P到C两焦点距离的差的绝对值等于2，
①若C的焦点在x轴上，设，
所以解得所以双曲线C的方程为.
②若C的焦点在y轴上，设，
所以解得所以双曲线C的方程为.
故C的方程为或
（2）由（1）知C的方程为.所以C的右焦点为.
①若直线l的斜率不存在，则其方程为，
代入C方程得l与C交点坐标为，，则弦长为6，符合题意.
②若直线l的斜率存在，设，
联立消去y得.
所以①，②，
设，，则，，
所以
.
解得，满足①②.所以直线l的方程为，或.
综上：直线l的方程为，或，或.
变式8．（2022·河南许昌·二模）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线右焦点为，且，由求解；
（2）设直线的方程为，与双曲线方程联立，求得，与双曲线C的渐近线方程联立，求得，根据求解.
【详解】（1）解：由题意得，
解得
故C的方程为.
（2）显然直线率存在，设直线的方程为，，，
联立，得，
因为与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
故，
解得，
此时有.
，
，
由，解得，同理可得，
所以.
因为，故.
因为，故，
故实数的取值范围是.
【方法技巧与总结】
1.椭圆与双曲线的半通径是, 通径是
2.过抛物线的焦点作垂直于对称轴Q的直线与抛物线交于两点，连结这两交点的线段称为抛物线的通径,它的长为2p,这也是抛物线标准方程中2p的几何意义。
【题型7：定值、定点、定直线问题】
例7．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．
(1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程；
(2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值 若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．
【答案】(1)或
(2)存在，
【分析】（1）利用设直线方程，求点到直线的距离即可得解；
（2）利用方程组思想，研来交点与定点的斜率，再利用正切的和角公式来计算，即可得出定值.
【详解】（1）当直线的斜率不存在时，原点O到直线的距离为3，不符合题意；
当直线的斜率存在时，可设直线：，
由原点O到直线的距离为1可得：，解得，
∴直线的方程为或.
（2）设直线：，，
如图可记，，
联立方程，得
∴，，
∴，，
∴
∵，都是锐角
∴的定值．
即存在锐角，满足，．
变式1．（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.
（i）求与的面积之比；
（ii）证明：为定值.
【答案】(1)
(2)（i）1；（ii）证明见解析
【分析】（1）当点为短轴的端点时，面积最大，然后根据题意建立方程组求解即可；
（2）先利用直线与直线平行，设直线方程为，然后计算出，再与椭圆联立，得方程，设点，然后用韦达定理得到，分别计算两个小问即可.
【详解】（1）根据题意解得，
所以椭圆的方程为
（2）如图所示：
设直线的方程为，则，
联立方程消去，整理得，
，得
设，则.
（i），
，
与的面积之比为1.
（ii）证明：
.
综上，.
变式2．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的方程；
(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件列方程组求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程；
（3）将韦达定理代入中计算结果为定值.
【详解】（1）由题意得解得，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，
由，得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为.
（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.
变式3．（22-23高二上·河南鹤壁·开学考试）已知椭圆的离心率，且圆过椭圆的上、下顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，且直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，若直线与的斜率分别为，.证明：为定值，并求出此定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析，0.
【分析】（1）根据圆的上下顶点可求，利用，，的关系可得答案；
（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理表示出，求和化简即可.
【详解】（1）由题意可得，，所以，
所以椭圆的方程为：；
（2）证明：设直线的方程为，设，，由题意，
联立，整理可得，
，即，且，，
所以
.
即证得为定值，且定值为0.
变式4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)为定值，且定值为
【分析】（1）根据点到直线的距离以及点到点的距离公式，即可列方程化简求解，
（2）由题意，设直线的方程为，将直线方程与双曲线方程联立，结合条件求出即可．
【详解】（1）设，到定直线的距离为则，
故，平方后化简可得，
故点的轨迹的方程为：
（2）由题意，,
设直线的方程为，,，,，
由，可得，
所以，．
则，，
所以
；
当直线的斜率不存在时，，此时，
综上，为定值．
变式5．（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且．
(1)求的方程；
(2)如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用焦距，结合题干条件与渐近线构成的几何关系，列方程组求出，得到双曲线方程；
（2）设，利用点斜式方程分别写出直线的方程，和双曲线联立后，得到的坐标，然后得到直线的方程，即可求解.
【详解】（1）渐近线，渐近线．
设为坐标原点，由题意，不妨设在上，在上，是线段的中垂线，
所以．由对称性，，
所以，从而．
，在Rt中，，
解得．
所以，故C的方程为．
（2）设，设直线．
可得直线．
联立
得，
则，又，
所以，
所以，
所以，同理．
则
直线，
令，得，所以直线过定点．
【点睛】方法点睛：直线过定点问题，需将待考察的直线和圆锥曲线联立，利用韦达定理的表达式，将直线方程进行化简整理后进行求解.
变式6．（23-24高二下·湖南岳阳·期末）已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点；
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点；
(3)若直线与直线分别交于，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）设，根据条件建立等式，化简即可求出结果；
（2）设，联立方程，消得到，由韦达定理得，利用条件，即可得到或，即可证明结果；
（3）根据条件得出和的中点重合，即可证明结果.
【详解】（1）设，由题有，化简得到，
所以曲线的轨迹方程为.
（2）因为直线和的斜率之积为，所以直线的斜率存在，设，，，
由，消得到，
则，，
，
化简整理得到，得到或，
当时，，直线过定点与重合，不合题意，
当，，直线过定点，所以直线过定点.
（3）由（2）知，，
所以的中点坐标为，
又易知直线直线是双曲线的渐近线，设，
由，消得到，
所以，，得到的中点坐标为，
所以的中点与的中点重合，设中点为，
则，从而有.
变式7．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．
【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程；
（2）联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论.
【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得，
故抛物线方程为．
其准线方程为
（2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为.
与抛物线方程联立可得．
故．
设，则，
直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得．
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
则圆的方程为．
令，整理可得，解得，
即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．
变式8.（23-24高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点F在直线上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点坐标可得，即可得方程；
（2）设，，，，联立方程结合韦达定理可得，结合消元即可得结果.
【详解】（1）由题意可得，则，解得，
所以抛物线C的方程为．
（2）设直线MN的方程为：，，，，
不妨设，
联立直线MN与抛物线C的方程，消去y可得，
由，且，解得且，
则，，
因为，则，
整理可得，即，
又因为点Q在直线MN上，则，消m得，
且且，可得得且，
所以点Q在定直线：（且）上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
【方法技巧与总结】
1.求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
2.直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，消元可得定值.
【题型8：圆锥曲线中的最值、取值范围问题】
例8．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点在椭圆上，代入即可列方程求解，
（2）根据点点的距离可得，即可根据模长公式以及数量积的运算，结合二倍角公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得，解得，
故椭圆方程为
（2）设，则，
由于，故，
故，由于故，因此，
故
变式1．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）设两点的坐标分别为，．直线相交于点，且它们的斜率之积是．
(1)求点的轨迹方程．
(2)若，在的轨迹上任取一点（异于点），求线段长的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用两点间的斜率公式的坐标表示，由斜率之积是化简可得结果；
（2）将满足椭圆方程并利用两点间距离公式可得，再由椭圆范围即可求得结果.
【详解】（1）设点，因为，如下图所示：
所以直线的斜率 ，
同理直线的斜率 ；
由已知可得 ，化简可得；
即点的轨迹方程为，即点M的轨迹是除去，两点的椭圆．
（2）设，则，
所以，
即，
根据椭圆范围可得，
所以时，最大为，
所以线段PQ长的最大值为．
变式2．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆经过点，且离心率为为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过点且不与轴重合的动直线与相交于两点，的中点为.
（i）证明：直线与的斜率之积为定值；
（ii）当的面积最大时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②或.
.
【分析】（1）根据已知点在椭圆上及离心率列方程组求解可得椭圆方程；
（2）设方程，直线与椭圆联立消去利用韦达定理和斜率公式证明直线与的斜率之积为定值；根据弦长公式和三角形面积公式求得直线斜率最后得到直线方程.
【详解】（1）由已知，得解得
故的方程为.
（2）
① 由题可设.
将，
消去，得.
当，即时，有.
所以，即，
可得，所以，即直线与的斜率之积为定值.
②由（1）可知
又点到直线的距离，
所以的面积.
设，则 ，
当且仅当，即时等号不成立，且满足.
所以当的面积最大时，直线的方程为或.
【点睛】关键点点睛：求解面积最值的关键点是换元设，把面积转换为的函数结合基本不等式计算最值即可，注意取等条件是否符合题意.
变式3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知是椭圆的右焦点，为坐标原点，为椭圆上任意一点，的最大值为，当时，的面积为.
(1)求的值；
(2)为椭圆的左 右顶点，点满足，当与不重合时，射线交椭圆于点，直线交于点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题可知，当时，设椭圆左焦点为，则，再根据椭圆定义和三角形面积可求得，，的值，即可求得；
（2）由题可知点，直线的斜率不为0，设其方程，并和椭圆方程联立，根据韦达定理及相关知识，可确定点的轨迹方程，设直线的倾斜角分别为，则，再根据两角差的正切公式即可求得结果.
【详解】（1）因为①，
设椭圆的左焦点为，因为，所以.
即，又，所以，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以②，又③，
由①②③，解得，所以.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，因为点满足，所以，设直线的方程为，
联立，得，
设，易得，则，
直线的方程为，直线的方程为，
联立得，
因为，所以，解得
所以动点的轨迹方程为.
由椭圆的对称性不妨设，直线的倾斜角分别为，
因为，所以，
因为，所以，
当且仅当时，等号不成立，此时，，所以的最大值为.
变式4．（23-24高二下·福建福州·期中）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程．
(3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点及渐近线斜率求出即可得解；
（2）利用点差法求中点弦所在直线即可得解；
（3）联立直线l与双曲线C的方程，借助韦达定理、平面向量的数量积求解作答.
【详解】（1）由题意，，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）设直线与双曲线交点坐标分别为，
则，两式相减可得：，
即，
所以直线的方程为，即.
（3）如图，
由消去y并整理得：，
显然，且，解得且，
设，则，，
，
，解得，
由可得，解得或，
所以k的取值范围.
【点睛】关键点点睛：由直线联立双曲线方程，消元后由一元二次方程的根与系数的关系求出，，再利用直线方程求出，利用向量数量积坐标表示建立不等式求解即可.
变式5．（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若为线段的中点，求直线的方程；
(3)当直线过点时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案；
（2）由“点差法”可得直线的斜率为，再由点斜式方程求解即可；
（3）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得：，解得：.
所以椭圆的方程为：.
（2）设，因为在椭圆上，
所以，两式相减可得：
，
则，因为为线段的中点，
所以，
所以，所以直线的方程为：，
化简可得：.
（3）当直线的斜率不存在时，，，
此时，所以，
当直线的斜率存在时，设，因为直线过点，
设直线的方程为：，
联立可得：，
当时，，
，
，
令，则，
令，在在上单调递减，
又，所以 ，
所以的取值范围为.
变式6．（23-24高二上·浙江湖州·期末）设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．
(1)当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；
(2)若双曲线C的焦距为4，且恒不成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根据通径等于实轴长列式计算即可；
（2）设直线的方程为，与双曲线联立，利用韦达定理计算恒不成立即可.
【详解】（1）当直线l与x轴垂直时,令得，解得，
所以两点的距离为为，
根据题意可得，
所以，
整理得；
（2）双曲线C的焦距为4，则，即，
由于直线的斜率不为零，设其方程为，
联立，消去得，
设，
则，，
由于两点均在双曲线的右支上，
所以，
所以，即
所以
，
由恒不成立，得时，均有，并且不可能同向，
即，由于，
因为不等式左边是关于的增函数，
所以只需时，不成立即可，
解得，又，
所以，
所以双曲线C的实轴长的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键点是将恒不成立转化为恒不成立，从而可以利用韦达定理来解决.
变式7．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若．
(1)求双曲线的离心率；
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据双曲线的定义可得，进而由离心率公式即可求解，
（2）根据数量积的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）由可得，所以，
故，离心率为
（2），，
所以，
由于，所以，
解得，
变式8．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
(1)若到抛物线准线的距离为，求的值；
(2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
(3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒不成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出点的横坐标，代入抛物线方程即可求解；
（2）先通过中点在抛物线上求出点的坐标，进一步求出直线方程，利用点到直线距离公式求解即可；
（3）设，联立方程求出点的坐标，根据恒不成立，结合基本不等式即可求解.
【详解】（1）抛物线：的准线为，由于到抛物线准线的距离为，
则点的横坐标为，则，解得；
（2）当时，点的横坐标为，则，
设，则的中点为，
由题意可得，解得，
所以，则，
由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
（3）如图，
设，则，
故直线的方程为，令，可得，
即，
则，依题意，恒不成立，
又，则最小值为，
即，即，
则，解得，
又当时，，当且仅当时等号不成立，
而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为．
【方法技巧与总结】求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理。
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解。
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围。
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽·期末）已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】先运用中位线定理，将转化得到两点到准线的距离和，再用抛物线的定义得到的值.
【详解】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，
所以，
所以，
设，，
根据定义可得，
联立，
．
.
2．（22-23高二上·甘肃天水·期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，再表达出，结合双曲线的方程化简即可.
【详解】设，则，
.
3．（23-24高二上·天津红桥·期中）设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出两点坐标，根据垂直得到方程，求出，得到答案.
【详解】令中得，解得，
不妨设，
因为OD⊥OE，所以，解得，
故C的标准方程为.
4．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由双曲线的渐近线方程可得，再根据及M点坐标即可求出答案.
【详解】
解：由题意得：
因为该双曲线的一条渐近线方程是，则，
又由，可得，
由过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，可知M的横坐标为，
代入椭圆方程即可得：，，
又有，可知，
所以.
5．（22-23高二·全国·课堂例题）抛物线的通径长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】先求得抛物线的标准方程，然后根据通径的知识求得正确答案.
【详解】抛物线，即，
可得，因此通径长为.
6．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】根据已知直线和渐近线平行即可得答案.
【详解】由题知，双曲线的渐近线方程为，
所以直线与双曲线的一条渐近线平行，
由图可知，直线l与双曲线有且只有一个交点.
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】D
【分析】因为椭圆，所以，，由，得，进而解得，再利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】由椭圆的定义可知，且，
因为，所以，
又，故，
所以．
8．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
【答案】A
【分析】设，利用导数的几何意义可得直线与直线的方程，进而得到点的坐标，结合点在直线上，得，即,根据数量积的坐标运算化简后即可得解．
【详解】设，由求导得，
则直线方程为，即，
同理可得直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得，
由点在直线上，得，即
．
二、多选题
9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．Q是线段的一个三等分点 D．
【答案】ABD
【分析】利用抛物线的定义及平面几何性质逐一判断即可.
【详解】如图，由抛物线的定义，
对于A，得，，又，则，A正确；
对于B，由，，得，所以.
而，所以，所以，
可知，所以，B正确；
对于D，在中，，可知，所以，D正确；
对于C，由，可知，所以，即Q是的中点，C不正确.
BD.
10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知双曲线焦距长为6，则（ ）
A． B．的离心率为
C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为
【答案】CC
【分析】根据焦距得出判断A，B选项，根据渐近线公式计算判断C选项，联立方程求出点的坐标结合两点间距离公式计算判断D选项.
【详解】双曲线焦距长为6，可得，所以A不正确；
可得，所以的离心率为，所以B正确；
的渐近线为，所以C正确；
联立直线与双曲线方程，可得两个交点坐标为，
所以弦长为,D选项错误
C.
11．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点F的坐标为
C．直线AQ与抛物线相切 D．
【答案】AC
【分析】将代入抛物线可得，即可判断ABD,根据直线与抛物线联立后判别式为0，即可求解.
【详解】将代入中可得，故，,A正确，B错误，
,则AQ方程为，则，，故直线AQ与抛物线相切，C正确，
由于轴，所以不不成立，故D错误，
C
三、填空题
12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，写出的周长的一个可能取值 ．
【答案】4（答案不唯一）
【分析】根据三角形的边长之间的关系，可知当过焦点时，的周长取得最大值，再结合，，的最小值，可得的周长的最小值.根据的周长的取值范围写出答案.
【详解】如图：
设椭圆左焦点为，
则，当且仅当直线经过左焦点时，取得最大值，
又，,，所以，
所以的周长的取值范围为：.
所以的周长可以为4．
故答案为：4（答案不唯一）
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，直线交抛物线于两点，为轴正半轴上一点，点的纵坐标分别为，且，则的坐标为 ．
【答案】
【分析】联立直线与抛物线方程，可得与交点横坐标有关韦达定理，计算可得，即可得，即可得点的坐标.
【详解】设点，
联立，得，
，即，，
所以，又，所以．
故答案为：.
14．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 .
【答案】5
【分析】求出抛物线焦点坐标，设出直线的方程，与抛物线方程联立求出点的纵坐标即可得解.
【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程，，
由消去得，则，由，得，
联立解得或，因此，所以.
故答案为：5
四、解答题
15．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点.
(1)当直线倾斜角为时，求直线的方程；
(2)求证：的面积为定值.
【答案】(1)或
(2)证明见解析
【分析】（1）根据直线倾斜角得到直线的斜率，进而设直线方程，根据直线与曲线有一个交点联立方程组解得答案；
（2）设直线为，直线与椭圆只有一个公共点联立方程组消元得，直线与椭圆交于两点，连立方程组结合韦达定理得，结合三角形面积公式得答案；
【详解】（1）因为直线倾斜角为，直线为，因为椭圆，
直线与椭圆只有一个公共点，联立方程，得，
，所以直线为或
（2）因为直线与椭圆只有一个公共点，设直线为由，得
,
又因为直线与椭圆交于两点，得
所以，因为直线与轴交于点，所以
所以
.
16．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线和圆：相切，交椭圆于另一点，为坐标原点，线段，分别和圆交于，两点.若，的面积分别记为，，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）借助待定系数法利用离心率及三角形的面积的已知条件即可求得椭圆的标准方程；
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据圆与直线相切可得圆心到直线距离等于半径得，设，，联立消元得.结合韦达定理，.利用三角形面积计算比值的取值范围．
【详解】（1）根据题意，2.8直线与圆锥曲线的位置关系
课程标准 学习目标
理解直线与圆锥曲线的位置关系 2.会进行直线与圆锥曲线的位置关系的判断，能够计算弦长 重点：理解直线与圆锥曲线的位置关系，会判定及应用 难点：应用代数方法对直线与圆锥曲线的位置关系进行判定，相关计算的准确性
知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判定
(1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程 .
方程的解
无解（含是双曲线的渐近线） 无公共点
有一解（含与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐进性平行） 一个交点
两个不等的解 两个交点
两个相等的解 一个切点
无实数解 无公共点
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系
【即学即练1】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于两点．且，这样的直线有4条，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（2024高二上·江苏·专题练习）设分别是椭圆的左、右焦点，设过定点的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且为锐角（其中O为坐标原点），则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
知识点02直线与圆锥曲线的相交弦长
1.设斜率为 k(k≠0)的直线与圆锥曲线C相交于A，B两点，A()，B()，则|AB|·|x1－x2|·|y1－y2|·
2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长AB|x1＋x2＋p(为弦AB的倾斜角).
【即学即练3】（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆过点，离心率为，
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为的直线与曲线相交于点D，E，弦长，求直线的方程．
【即学即练4】（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值．
知识点03 中点弦的重要结论
AB为椭圆＋1(a＞b＞0)的弦，A()，B()弦中点M()).
则弦 AB的斜率与弦中点M 和椭圆中心0 的连线的斜率之积为定值.
【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点为抛物线上异于原点的两个动点，若，则线段中点的横坐标的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【即学即练6】（21-22高二上·北京·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为．直线过点且不垂直于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；
(3)若点是椭圆上一动点，当直线的斜率为时，求面积的最大值．
难点：数形结合的运用
示例1：（22-23高二上·广东深圳·期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【题型1：直线与圆锥曲线的交点】
例1．（22-23高二·全国·课堂例题）已知双曲线，直线，求直线l与双曲线C的公共点的坐标．
变式1．（22-23高二·全国·课堂例题）判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．
变式2.（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长为4.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．
(1)求椭圆E的标准方程：
(2)若与椭圆E的相交于两点，求的长度；
(3)若直线的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．
变式3．（24-25高二上·浙江丽水·阶段练习）已知曲线是平面内到和的距离之和为4的点的轨迹.
(1)求曲线的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线交曲线于A，B两点，交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点，直线交轴于点，求线段中点的坐标.
变式4.（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆.
(1)若它们有两个公共点，求的取值范围；
(2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标.
变式5．（23-24高二上·天津·期末）已知 圆：（）经过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程.
变式6．（23-24高二上·全国·课后作业）如图，已知双曲线的离心率，顶点为和，设P为该双曲线上异于顶点的任一点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，证明：；
(3)若的最大内角为，求点P的坐标．
变式7．（22-23高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知直线与抛物线相切，且切点为.
(1)求直线的斜率的值；
(2)如图，M，N是轴上两个不同的动点，且满足，直线BM，BN与抛物线的另一个交点分别是P，Q，若直线PQ的斜率为，求的值.
变式8．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且，的面积为
(1)求E的方程;
(2)若不过点F的直线l与E交于A，B两点，的重心在直线上，且则满足条件的直线l是否存在，若存在求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【方法技巧与总结】直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，此时要注意分类讨论思想和数形结合思想的运用。
【题型2：直线与圆锥曲线的位置关系】
例2．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（多选）（23-24高二上·广东东莞·期末）已知曲线C：，则（ ）
A．曲线C在第一象限为椭圆的一部分 B．曲线C在第二象限为双曲线的一部分
C．直线与曲线C有两个交点 D．直线与曲线C有三个交点
变式2．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点．若，且的最小内角为，则（ ）
A．双曲线的离心率为 B．双曲线的渐近线方程为
C． D．直线与双曲线有两个公共点
变式3．(多选)（23-24高二上·广东·期末）已知直线，双曲线，则（ ）
A．当时，与只有一个交点
B．当时，与只有一个交点
C．当时，与的左支有两个交点
D．当时，与的左支有两个交点
变式4．（2023高三·全国·专题练习）已知直线与曲线恰有一个公共点，则实数a的值为 .
变式5．（2024高三下·全国·专题练习）已知点为椭圆上任意一点，直线，点F为椭圆C的左焦点．
(1)求椭圆C的离心率及左焦点F的坐标；
(2)求证：直线与椭圆C相切；
变式6．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知椭圆与轴交于两点，点为椭圆上不同于的点.
(1)若直线的斜率分别为，求的最小值；
(2)已知直线，直线分别交于P、Q两点，为PQ中点．试判断直线MN与的位置关系．
变式7．（23-24高二上·浙江台州·期末）如图，圆的半径为4，是圆内一个定点且是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，点在圆上运动.
(1)求点的轨迹；
(2)当时，证明：直线与点形成的轨迹相切.
变式8．（23-24高二上·安徽·期末）已知抛物线：及抛物线：（），过的焦点F的直线与交于，两点，与交于，两点，O为坐标原点，．
(1)求的方程．
(2)过的中点M作的准线的垂线，垂足为N．
（ⅰ）证明：为定值；
（ⅱ）判断直线与的公共点个数．
【方法技巧与总结】直线ykx＋m与椭圆＋1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型3：圆锥曲线的切线方程】
例3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆，原点为，动点在直线上运动，且在椭圆外，过点的直线与分别相切于两点，则 ．
变式1．（22-23高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是
变式2．（2022高三·全国·专题练习）已知椭圆与双曲线有公共焦点，点在双曲线上，则该双曲线在点处的切线的斜率为 ．
变式3．（22-23高三上·浙江·阶段练习）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
变式4．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，为的重心，则的最小值为 .
变式5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知椭圆C的两个焦点坐标分别是，，且经过点．
(1)求C的标准方程；
(2)已知直线l与平行，且与C有且只有一个公共点，求l的方程．
变式6．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）过点作两条直线，，分别与椭圆相切于点，．点，分别在直线，上，且满足直线与椭圆相切于点．
(1)求直线，的方程；
(2)求证：三条直线，，相交于同一点．
变式7．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知椭圆：的右焦点为，过点作轴的垂线交椭圆于点．过点作椭圆的切线，交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)过点的直线（非轴）交椭圆于、两点，过点作轴的垂线与直线交于点，求证：线段的中点在定直线上．
变式8．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线，点，过抛物线的焦点且平行于轴的直线与圆相切，与交与两点，.
(1)求和圆的方程；
(2)过上一点作圆的两条切线分别与交于两点，判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
【方法技巧与总结】
1.过圆上一点的切线方程为：，
2.过圆外一点的切点弦方程为：.
3.过椭圆上一点的切线方程为，
4.过双曲线上一点的切线方程为
5.抛物线在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与抛物线相切.
【题型4：圆锥曲线弦长问题】
例4．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）已知双曲线，直线被所截得的弦长为，则 ．
变式1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）已知直线与椭圆相交于两点.
(1)若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；
(2)若（其中为坐标原点），当椭圆的离心率时，求椭圆的长轴长的最大值.
变式2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知椭圆的离心率是椭圆的一个顶点为，直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段的中点的横坐标为求直线的斜率以及弦长
变式3．（23-24高二下·安徽阜阳·期末）已知椭圆的短轴长为2，上顶点为M，O为坐标原点，A，B为椭圆上不同的两点，且当三点共线时，直线的斜率之积为
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为1，求的值.
变式4．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）设椭圆的左、右焦点分别为．点满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设直线与椭圆相交于两点，若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程和椭圆的方程．
变式5．（23-24高二下·吉林长春·阶段练习）已知双曲线C：的右顶点为M，过点的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)证明：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.
变式6．（23-24高二上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记的轨迹为曲线.
(1)求的方程，并说明是什么曲线：
(2)若直线和曲线相交于两点，求.
变式7．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．
(1)当时，求双曲线E的左焦点到直线l的距离；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
变式8．（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M.
(1)设直线，的斜率分别为，，证明：；
(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.
【方法技巧与总结】求解直线被椭圆截得弦长的方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长|AB|·|x1－x2|·|y1－y2|(k≠0)．
【题型5：直线与圆锥曲线相交面积问题】
例5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线右支（且不在坐标轴上），
(1)若双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线过点，求该双曲线的标准方程；
(2)若，，求的面积．
变式1．（24-25高二上·北京·阶段练习）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积．
变式2．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知抛物线经过点，直线与的交点为，且直线与倾斜角互补．
(1)求的值；
(2)若，求面积的最大值．
变式3．（23-24高二下·安徽六安·期末）过抛物线焦点的直线交于两点，特别地，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知点，若，求的面积（为坐标原点）.
变式4．（23-24高二下·湖北·阶段练习）已知双曲线的渐近线上一点与右焦点的最短距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)为坐标原点，直线与双曲线的右支交于、两点，与渐近线交于、两点，与在轴的上方，与在轴的下方．
（ⅰ）求实数的取值范围．
（ⅱ）设、分别为的面积和的面积，求的最大值．
变式5．（23-24高二下·浙江温州·期末）已知双曲线的离心率为，右顶点为.为双曲线右支上两点，且点在第一象限，以为直径的圆经过点.
(1)求的方程；
(2)证明：直线恒过定点；
(3)若直线与轴分别交于点，且为中点，求的值.
变式6．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知是椭圆的左右焦点分别为，且椭圆经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点的直线，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
变式7．（24-25高二上·湖南·阶段练习）在直角坐标系中，点，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明是什么曲线；
(2)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围．
变式8．（24-25高二上·湖南株洲·阶段练习）椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值.
【题型6：圆锥曲线通径问题】
例6．（23-24高二下·山西运城·期中）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交于两点，若的最大值为8，则的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
变式1．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知O为坐标原点，是椭圆M：（）的右焦点，过点F且与M的长轴垂直的直线交M于C，D两点.若为直角三角形，则M的长轴长为 .
变式2．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过C上一点M向y轴作垂线交另一支于N点，若，且，则C的离心率为 ．
变式3．（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）求适合下列条件的曲线的标准方程.
(1)已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点，求双曲线的标准方程；
(2)已知椭圆的焦点在轴上，离心率为，过左焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，求椭圆的标准方程.
变式4．（23-24高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆的两个焦点分别为、，短轴的一个端点为，内切圆的半径为，设过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)在轴上是否存在一点，使得当变化时，总有与所在直线关于轴对称？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
变式5．（22-23高二上·广西贵港·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为3．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，射线交椭圆于点，若，求直线的方程．
变式6．（23-24高二上·河北邯郸·期中）已知双曲线的左顶点为，不与x轴平行的直线l过C的右焦点F且与C交于M，N两点.当直线l垂直于x轴时，.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线，分别交直线于P，Q两点，求证：A，P，F，Q四点共圆.
变式7．（21-22高二下·江苏镇江·开学考试）在平面直角坐标系中，双曲线C的对称轴都是坐标轴，且过点，P到双曲线C两焦点距离的差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的方程；
(2)如果双曲线C的焦点在x轴上，直线l经过双曲线C的右焦点，与双曲线C交于A，B两点，且，求直线l的方程.
变式8．（2022·河南许昌·二模）已知双曲线的右焦点为，过点F与x轴垂直的直线与双曲线C交于M，N两点，且.
(1)求C的方程；
(2)过点的直线与双曲线C的左 右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的两条渐近线分别交于G，H两点，若，求实数的取值范围.
【方法技巧与总结】
1.椭圆与双曲线的半通径是, 通径是
2.过抛物线的焦点作垂直于对称轴Q的直线与抛物线交于两点，连结这两交点的线段称为抛物线的通径,它的长为2p,这也是抛物线标准方程中2p的几何意义。
【题型7：定值、定点、定直线问题】
例7．（24-25高二上·河南新乡·阶段练习）已知圆O的方程为，与x轴的正半轴交于点N，过点作直线与圆O交于两点．
(1)若坐标原点O到直线的距离为1，求直线的方程；
(2)如图所示，已知点， 一条斜率为的直线交圆于两点，连接试问是否存在锐角，，使得为定值 若存在，求出该定值，若不存在，说明理由．
变式1．（24-25高三上·青海西宁·开学考试）已知椭圆的离心率为点在椭圆上运动，且面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与直线平行，且与轴，轴分别交于点，与椭圆相交于点为坐标原点.
（i）求与的面积之比；
（ii）证明：为定值.
变式2．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求的方程；
(3)记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
变式3．（22-23高二上·河南鹤壁·开学考试）已知椭圆的离心率，且圆过椭圆的上、下顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率为，且直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，若直线与的斜率分别为，.证明：为定值，并求出此定值.
变式4．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）设动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过的直线与曲线交右支于两点（在轴上方），曲线与轴左、右交点分别为，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值，若是定值，求出此值，若不是，请说明理由．
变式5．（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，延长交另一条渐近线于点，且．
(1)求的方程；
(2)如图，过作直线（不与轴重合）与曲线的两支交于两点，直线与的另一个交点分别为，求证：直线经过定点．
变式6．（23-24高二下·湖南岳阳·期末）已知平面内两个定点，，满足直线与的斜率之积为的动点的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同两点；
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若直线和的斜率之积为，求证：直线过定点；
(3)若直线与直线分别交于，求证：.
变式7．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点．
变式8.（23-24高二下·广西南宁·期末）已知抛物线的焦点F在直线上．
(1)求C的方程；
(2)过点的直线交C于M，N两点，又点Q在线段MN上，且，证明：点Q在定直线上．
【方法技巧与总结】
1.求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
2.直线与椭圆综合应用中的定值问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③结合韦达定理表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
④化简所得函数式，消元可得定值.
【题型8：圆锥曲线中的最值、取值范围问题】
例8．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知为椭圆C：上的点，C的焦距为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P为椭圆C上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，求的取值范围．
变式1．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）设两点的坐标分别为，．直线相交于点，且它们的斜率之积是．
(1)求点的轨迹方程．
(2)若，在的轨迹上任取一点（异于点），求线段长的最大值．
变式6．（23-24高二上·浙江湖州·期末）设双曲线C：（，）的右焦点为F，点O为坐标原点，过点F的直线与C的右支相交于A，B两点．
(1)当直线与x轴垂直，且两点的距离等于双曲线C的实轴长时，求双曲线C的离心率；
(2)若双曲线C的焦距为4，且恒不成立，求双曲线C的实轴长的取值范围．
变式7．（23-24高二上·云南大理·期末）已知是双曲线上的一点，分别是的左、右焦点，若．
(1)求双曲线的离心率；
(2)当时，求的取值范围．
变式8．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
(1)若到抛物线准线的距离为，求的值；
(2)当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
(3)直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒不成立，求的取值范围．
【方法技巧与总结】求与圆锥曲线有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理。
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解。
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围。
一、单选题
1．（23-24高二上·安徽·期末）已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（22-23高二上·甘肃天水·期末）已知圆具有性质：若是圆上关于原点对称的两点，点是圆上异于任意一点，则为定值．类比圆的这个性质，双曲线也具有这个性质：若是双曲线上关于原点对称的两点，点为双曲线上异于任意一点，则为定值（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·天津红桥·期中）设O为坐标原点，直线与抛物线C: 交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程是分别为双曲线的左、右焦点，过点且垂直于轴的垂线在轴上方交双曲线于点，则（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二·全国·课堂例题）抛物线的通径长为（ ）
A．8 B．4 C． D．
6．（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为上一点，若，则的面积为（ ）
A． B． C．3 D．5
8．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（ ）
A．0 B．1 C．-2 D．-1
二、多选题
9．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，是经过抛物线焦点的弦，是线段的中点，经过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别是，其中交抛物线于点，连接，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．Q是线段的一个三等分点 D．
10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知双曲线焦距长为6，则（ ）
A． B．的离心率为
C．的渐近线为 D．直线与相交所得弦长为
11．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点在抛物线（）上，F为抛物线的焦点，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点F的坐标为
C．直线AQ与抛物线相切 D．
三、填空题
12．（24-25高二下·全国·课后作业）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上两个动点，写出的周长的一个可能取值 ．
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为坐标原点，直线交抛物线于两点，为轴正半轴上一点，点的纵坐标分别为，且，则的坐标为 ．
14．（23-24高二下·北京海淀·期末）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于、两点，若，则 .
四、解答题
15．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，已知椭圆，椭圆，直线与椭圆只有一个公共点，且与椭圆交于两点.
(1)当直线倾斜角为时，求直线的方程；
(2)求证：的面积为定值.
16．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上任意一点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线和圆：相切，交椭圆于另一点，为坐标原点，线段，分别和圆交于，两点.若，的面积分别记为，，求的取值范围.
17．（23-24高二下·江西新余·期末）已知双曲线的方程为，实轴长和离心率均为2.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)过且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的值（为坐标原点）.
18．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知抛物线，焦点为F
(1)若点P为C上一点，且，求点P的横坐标.
(2)若斜率为2的直线与抛物线交于不同的两点A，B，线段中点为M，求点M的轨迹方程．
19．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知点，圆，点是圆上任一点，线段的垂直平分线交线段于.
(1)求点的轨迹方程；
(2)过点的直线与点的轨迹相交于两点，设点，问：直线，的斜率之和是否为定值？若是，请求出该值；否则，请说明理由.
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