第二章：平面解析几何
（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高二上·北京·月考）过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知直线经过和两点.
根据直线斜率的计算公式（其中和为直线上两点的坐标），
所以,
因为直线的斜率（为倾斜角），已知，即.
又因为倾斜角，在这个区间内，满足的..
2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（ ）
A．3 B．5 C．8 D．5或3
【答案】C
【解析】由题意，椭圆的焦点在轴上，焦距为2，
则，即，
所以，即..
3．（24-25高二上·海南·月考）若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由方程表示圆得，，解得或，
故的取值范围为..
4．（24-25高二上·广东惠州·月考）经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心的坐标为，
设所求直线斜率为，
因为所求直线与直线垂直，所以，故，
所以直线方程为，即.
5．（24-25高二上·山东济南·月考）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】点，
直线的斜率，直线的斜率，
直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率满足或，
即或，所以直线l的斜率的取值范围为.
.
6．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则直线的斜率为，直线的斜率为，
依据题意可知，，化简得：，
因为直线、的斜率存在，所以，
所以，.
7．（22-23高二上·四川成都·月考）已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】D
【解析】 准线为，A在抛物线内部，
设到准线的距离为，
到准线的距离.
.
8．（24-25高二上·重庆·月考）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限.
∵在的中垂线上，
∴，
由椭圆、双曲线的定义得：，
∴，整理得，
∴，即，
∴，∴，
令，由定义法可证在为增函数，且，
∵，∴..
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知直线：，：，则（ ）
A．当时，直线的倾斜角为80° B．当时，
C．若，则 D．直线始终过定点
【答案】CCD
【解析】对于A，当时，直线：，故斜率，则倾斜角为120°，A错误，
对于B，等价于，解得，故B正确，
对于C，若，且，故，故C正确，
对于D，：变形为：，
令且，解得，故恒过，D正确，CD
10．（24-25高二上·福建泉州·月考）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】AB
【解析】圆的圆心为，半径为，
对于A选项，由，可得，
令，则直线与圆有公共点，
所以，，解得，
所以，的最大值为，A对；
对于B选项，令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，所以，的最大值为，B对；
对于C选项，令，可得，
则直线与圆有公共点，
所以，，整理可得，解得，所以，的最大值为，C错；
对于D选项，令，
则直线与圆有公共点，
所以，，解得，所以，的最大值为，D错.B.
11．（24-25高二上·江苏泰州·月考）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
【答案】CC
【解析】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点，
所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项正确.
由上述分析可知，中点，
其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切，C选项正确.
，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·云南玉溪·月考）两平行直线和间的距离是 .
【答案】
【解析】因为直线与直线平行，则，解得，
所以，这两条平行直线的方程分别为、，
这两条直线间的距离为.
故答案为：.
13．（24-25高二上·广东广州·期中）直线与圆C：相交所形成的弦中长度最短的弦长为
【答案】2
【解析】直线恒过定点，
而圆的圆心，半径，
，即点在圆内，当且仅当时，直线被圆截得的弦长最短，
所以所求最短弦长为.
故答案为：2
14．（24-25高二上·河南南阳·月考）椭圆的左 右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于 .
【答案】
【解析】已知点在椭圆上，可得，所以，
又因为直线的斜率，所以的方程为.
设，联立方程组
消去得，可得，
所以，
点到直线的距离，
所以.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高二上·福建福州·月考）菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点.
(1)求，边所在直线的方程；
(2)求对角线所在直线的方程.
【答案】(1)直线的方程，直线的方程；(2)
【解析】（1），
所以直线的方程为，即；
因为，所以，
所以直线的方程为，即.
（2），因为，所以，
即，
的中点坐标为，对角线过点，
所以对角线所在直线的方程为，即.
16．（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求的面积的最小值及此时直线的一般式方程.
【答案】(1)；(2)4，.
【解析】（1）直线的方程为：，则
则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，
则，解得，的取值范围是.
（2）由题意可知，再由的方程，得，.
依题意得，解得.
，
“”不成立的条件是且，即，
，此时直线的方程为.
17．（24-25高二上·浙江·月考）已知平面直角坐标系中，圆，点，
(1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程；
(2)以为直径的圆交圆于，两点，求.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）设，，则根据题意可得
所以可得，代入圆，得，
化简得，
的轨迹方程为.
（2）如下图所示：
因为的中点坐标为，，
所以以为直径的圆的方程为，
即.
圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆的圆心距为，半径和，半径差的绝对值为，
，两圆相交，
由得直线的方程.
圆心到直线的距离，圆的半径，
可得，，
所以.
18．（23-24高二上·安徽·月考）已知点，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是1．
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点作相互垂直的两条直线和，且与E交于C，D两点，与E交于G、H两点，求．
【答案】(1)（）；(2)．
【解析】（1）设，．
∵，，，
∴，整理得（）．
即点M的轨迹E的方程为（）．
（2）当和中一条直线垂直于x轴时，另一条直线为x轴，此时不符合题意．
当直线和的斜率存在且不为0时，如图，设：，，：，．
与E的方程联立得，消去x并整理得，
因为与E交于两点，故，
此时，
设，，则，，
所以，
同理，所以．
19．（24-25高二上·四川遂宁·月考）已知点在椭圆上，椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，
①求证：直线AB经过定点；
②求面积的取值范围（为坐标原点）.
【答案】(1)；(2)①证明见解析；②
【解析】（1）由题意得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）联立，消元整理得，
时，
设，，则，，
由，
得，
所以，
所以，
化简得，即，
所以或，
当时过点，不合题意，舍去，
所以，即，此时过定点.
此时，所以，设到直线的距离为，
则，，
，
当且仅当时，当时，所以.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二章：平面解析几何
（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（24-25高二上·北京·月考）过两点的直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（ ）
A．3 B．5 C．8 D．5或3
3．（24-25高二上·海南·月考）若方程表示圆，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·广东惠州·月考）经过圆的圆心且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·山东济南·月考）已知点，直线l过点且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（22-23高二上·四川成都·月考）已知抛物线的焦点为F，定点，P是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
8．（24-25高二上·重庆·月考）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知直线：，：，则（ ）
A．当时，直线的倾斜角为80° B．当时，
C．若，则 D．直线始终过定点
10．（24-25高二上·福建泉州·月考）已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的最大值为 D．的最大值为
11．（24-25高二上·江苏泰州·月考）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（24-25高二上·云南玉溪·月考）两平行直线和间的距离是 .
13．（24-25高二上·广东广州·期中）直线与圆C：相交所形成的弦中长度最短的弦长为
14．（24-25高二上·河南南阳·月考）椭圆的左 右焦点分别为，点在上，直线过左焦点，且与椭圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则的面积等于 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（24-25高二上·福建福州·月考）菱形的顶点，的坐标分别为，，边所在直线过点.
(1)求，边所在直线的方程；(2)求对角线所在直线的方程.
16．（24-25高二上·四川绵阳·月考）已知直线.
(1)若直线不经过第四象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，求的面积的最小值及此时直线的一般式方程.
17．（24-25高二上·浙江·月考）已知平面直角坐标系中，圆，点，
(1)若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程；
(2)以为直径的圆交圆于，两点，求.
18．（23-24高二上·安徽·月考）已知点，，直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是1．
(1)求点M的轨迹E的方程；
(2)过点作相互垂直的两条直线和，且与E交于C，D两点，与E交于G、H两点，求．
19．（24-25高二上·四川遂宁·月考）已知点在椭圆上，椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)若不过点的直线交椭圆于，两点，直线，的斜率分别为，且，
①求证：直线AB经过定点；
②求面积的取值范围（为坐标原点）.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
