第二章：平面解析几何章末重点题型复习
题型一 直线的倾斜角与斜率
1．（24-25高二上·重庆·月考）经过两点，的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·北京·期中）直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型二 直线的方向向量与法向量
1．（24-25高二上·广东深圳·期中）直线的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·四川南充·期中）设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·辽宁·期末）直线,若直线的一个法向量为,则（ ）
A． B． C． D．
题型三 直线与线段有公共点问题
1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[1,4]
3．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（ ）
A． B．
C． D．
题型四 直线的五种方程形式
1．（24-25高二上·山东临沂·期中）（多选）若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·广西·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，且直线不经过第二象限，则，
B．方程（）表示的直线都经过点
C．，直线不可能与轴垂直
D．直线的横、纵截距相等
3．（24-25高二上·广东佛山·期中）在中，已知，
(1)求边的高线的方程;
(2)求边的中线的方程;
(3)求的平分线的方程.
4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知定点.
(1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.
题型五 两条直线平行与垂直
1．（24-25高二上·重庆·月考）已知两条直线：，则（ ）
A．或 B． C． D．
2．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知直线，，若，则m的值为（ ）
A． B．6 C． D．
3．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·北京·期中）已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型六 三种距离公式及应用
1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
2．（24-25高二上·四川·期中）直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若，两点到直线的距离相等，则（ ）
A． B． C．2或 D．2或
4．（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
题型七 圆的标准方程与一般方程
1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·北京·期中）已知方程表示一个圆，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·福建·期中）若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 .
题型八 直线与圆的位置关系
1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心
C．相切 D．相离
2．（24-25高二上·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
3．（24-25高二上·广西·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．] B． C． D．
4．（24-25高二上·山东烟台·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型九 圆的切线方程与切线长
1．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·四川·期中）过点作圆的切线，则切线的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．
3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．（23-24高三上·广东深圳·期末）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型十 直线与圆相交弦长问题
1．（24-25高二上·北京·期中）圆被直线截得的弦长为 ．
2．（24-25高二上·重庆·月考）直线被圆截得的弦长为，则 .
3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型十一 圆与圆的位置关系判断
1．（24-25高二上·重庆·月考）圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
3．（24-25高二上·湖北·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十二 两圆的公共弦方程及弦长
1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为 .
3．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知圆：和圆：.
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长.
4．（24-25高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C过和，且圆心在直线上；
(1)求圆C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，过点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长.
题型十三 两圆的公切线问题
1．（24-25高二上·四川·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆与圆有3条公切线，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
4．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 .
题型十四 与圆有关的最值问题
1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．6 D．
2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（24-25高二上·重庆·期中）点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5 B．的最大值为
C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4
题型十五 圆锥曲线的定义及应用
1．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
2．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（ ）
A． B．2 C． D．4
3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
题型十六 根据圆锥曲线方程求参数
1．（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高二上·山东·期中）（多选）已知曲线，下列结论正确的有（ ）
A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴上的椭圆
C．若，则是双曲线 D．若，则是两条平行于轴的直线
4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若，则曲线C为双曲线
C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1
题型十七 圆锥曲线的离心率问题
1．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知点分别为椭圆的左 右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．5
4．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型十八 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（24-25高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
2．（24-25高二上·天津·期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
题型十九 圆锥曲线的弦长及面积问题
1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·吉林长春·期中）直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为 .
3．（23-24高二上·福建三明·月考）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（ ）
A．2 B． C．5 D．
4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程.
题型二十 圆锥曲线的中点弦问题
1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．6
3．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二上·江苏·期中）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A． B． C． D．
题型二十一 圆锥曲线的“三定”问题
1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为.
(1)求的方程.
(2)已知点在上，且位于第一象限，点，，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
2．（23-24高二上·四川眉山·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若点在以线段为直径的圆上，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
3．（23-24高二下·河南·月考）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点.
(1)若线段的中点为，求；
(2)若分别在第一象限和第四象限，且恒有（为坐标原点），证明：直线过定点.
4．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在双曲线上．
(1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．
题型二十二 圆锥曲线的最值范围问题
1．（23-24高二下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知平行四边形的四个顶点均在上，求平行四边形的面积的最大值．
2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且.
(1)求的方程；
(2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围.
3．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
4．（24-25高二上·黑龙江·期中）如图，已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，圆O的方程为，过圆O上任意一点P作圆O的切线交双曲线于A，B两点.
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：；
(3)若与坐标轴不垂直的直线l和双曲线E的渐近线相交于C，D两点，且，求实数的取值范围.
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题型一 直线的倾斜角与斜率
1．（24-25高二上·重庆·月考）经过两点，的直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线经过两点，，所以直线的斜率为，.
2．（24-25高二上·北京·期中）直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设直线的倾斜角为，则，
将直线绕其与轴的交点逆时针旋转得到直线，
则直线的倾斜角为，
因此，直线的斜率为，.
3．（24-25高二上·广东广州·期中）设直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】时，倾斜角的范围是，当时，倾斜角的范围是，
综上，倾斜角范围是．．
4．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）（多选）如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由图像可知，则，D.
题型二 直线的方向向量与法向量
1．（24-25高二上·广东深圳·期中）直线的一个方向向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，得，所以直线的斜率为，
又当直线斜率存在时，直线的一个方向向量为，
所以直线的一个方向向量为，.
2．（24-25高二上·四川南充·期中）设直线的方程为，则下列向量可以作为方向向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，直线l的斜率为，所以直线的方向向量可以取为.
3．（23-24高二上·上海奉贤·期末）直线的法向量可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，所以直线的斜率,
所以直线的方向向量为，
当时，有，所以，不是直线的法向量，故A不正确；
当时，有，所以，不是直线的法向量，故B不正确；
当时，有，所以，不是直线的法向量，故C不正确；
当时，有，
所以，是直线的法向量，故D正确..
4．（23-24高二上·辽宁·期末）直线,若直线的一个法向量为,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线的一个法向量为,直线的斜率
直线,解得故选:B.
题型三 直线与线段有公共点问题
1．（24-25高二上·安徽合肥·期中）已知点，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】记为点，则直线的斜率，直线的斜率，
因为直线过点，且与线段相交，
结合图象，可得直线的斜率的取值范围是..
2．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知点，若过点的直线与线段AB相交，则该直线斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．[1,4]
【答案】A
【解析】记为点，则直线PA的斜率，直线PB的斜率，
因为直线过点，且与线段AB相交，结合图象，
可得直线的斜率的取值范围是[1,4].．
3．（24-25高二上·陕西西安·期中）已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】，，
存在与线段相交的直线与轴垂直，
所以直线的斜率的范围是..
4．（24-25高二上·湖北·期中）已知，，经过作直线，若直线与线段恒有公共点，则直线倾斜角的范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则，
因为直线的斜率为，直线的斜率为，
因为直线经过点，且与线段总有公共点，
所以，即，
因为，所以或，
故直线的倾斜角的取值范围是．．
题型四 直线的五种方程形式
1．（24-25高二上·山东临沂·期中）（多选）若直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CC
【解析】当直线经过原点时，可得直线方程为：，即．
当直线不经过原点时，可设的直线方程为：，
把点代入可得：，可得．
综上可得：直线的方程为：或．C．
2．（24-25高二上·广西·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．若，且直线不经过第二象限，则，
B．方程（）表示的直线都经过点
C．，直线不可能与轴垂直
D．直线的横、纵截距相等
【答案】CD
【解析】对于A，因为，所以可化为，
若直线不经过第二象限，则即，，故A错误；
对于B，直线方程可整理为，
由得
所以直线恒过定点，故B正确；
对于C，当时，直线方程为，此时与轴垂直，故错误；
对于D，直线的横、纵截距均为，故正确．D．
3．（24-25高二上·广东佛山·期中）在中，已知，
(1)求边的高线的方程;
(2)求边的中线的方程;
(3)求的平分线的方程.
【答案】(1)；(2)；(3)
【解析】（1）依题意，直线即轴，故边上的高线必垂直于轴，且经过点，
故边的高线的方程为；
（2）边的中点为,因边的中线经过点
故中线方程为：，即；
（3）
如图，设的平分线的斜率为，而边和的斜率分别为,
则由，解得或.
当时，由图知，显然不符合题意；
当时，因，则的平分线的方程为，即.
4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知定点.
(1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程；
(2)若直线过点且交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，记的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.
【答案】(1)或；(2)，
【解析】（1）当截距为时，设直线方程为，
因为直线过点，则，解得，
所以直线方程为；
当截距相等且不为时，设直线方程为，
因为直线过点，则代入直线方程得，，
则直线方程为.
所以直线方程为或.
（2）由题意可知，直线的截距不为，且斜率存在且，
设直线方程为，
令，；令，
则，
当且仅当时，等号不成立.
所以的最小值为，此时的直线方程为.
题型五 两条直线平行与垂直
1．（24-25高二上·重庆·月考）已知两条直线：，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，则，解之可得或（舍）.
2．（24-25高二上·江西抚州·期中）已知直线，，若，则m的值为（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，即，解得..
3．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线经过点，且平行于直线，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线，即，
设与平行的直线为，
将代入可得，解得，
所以直线方程为.
4．（24-25高二上·北京·期中）已知直线的方程为，则过点且与垂直的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】直线的方程为，则，
根据两直线垂直知所求直线的斜率为，
又直线过点，所以与直线垂直的线方程为，即..
题型六 三种距离公式及应用
1．（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（ ）
A．2 B．3 C． D．5
【答案】A
【解析】点和点之间的距离为..
2．（24-25高二上·四川·期中）直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为直线和平行，
由两条平行直线间的距离公式可得．．
3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若，两点到直线的距离相等，则（ ）
A． B． C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】由题意知，，
得，解得或，
即实数的值为或.
4．（24-25高二上·山西·期中）已知点，直线l：，则A到l的距离的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．5
【答案】A
【解析】将直线l的方程变形为，
由，得，所以直线l过定点，
当时，点P到l的距离最大，故最大距离为..
题型七 圆的标准方程与一般方程
1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）圆的圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆可化为，
所以圆心坐标为..
2．（24-25高二上·北京·期中）已知方程表示一个圆，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】方程表示一个圆，则，解得或，
所以实数a的取值范围为.
3．（24-25高二上·河南洛阳·期中）已知，，，则的外接圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设的外接圆方程为，
因为，，，
所以，解得，
所以的外接圆方程为..
4．（24-25高二上·福建·期中）若点在圆的外部，则正实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意可得，解得，
故正实数的取值范围是，故答案为：.
题型八 直线与圆的位置关系
1．（23-24高二上·广西南宁·月考）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相交且过圆心 B．相交且不过圆心
C．相切 D．相离
【答案】D
【解析】圆，即，
其圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离，
直线与圆的位置关系为相切.
2．（24-25高二上·江苏南京·期中）设k为实数，直线与圆交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】D
【解析】由，即直线恒过，而圆可化为，
所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点.
3．（24-25高二上·广西·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A．] B． C． D．
【答案】A
【解析】曲线即为半圆：，
其图象如图所示，
曲线与轴的交点为，而直线为过的动直线，
当直线与半圆相切时，有，解得，
当直线过时，有，
因为直线与半圆有两个不同的交点，故，.
4．（24-25高二上·山东烟台·期中）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设过且有斜率的直线位，
曲线表示以圆心为原点，半径为2的下半圆，
由直线与圆相切可得，解得或，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，，
由图象可得，或．．
题型九 圆的切线方程与切线长
1．（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）经过点作圆的切线，则切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知切线斜率存在，设该切线方程为，即，
则有，化简得，故，
故该切线方程为，即..
2．（24-25高二上·四川·期中）过点作圆的切线，则切线的斜率为（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】A
【解析】因为圆的圆心为，半径为，
易知过点的切线斜率存在，设的方程为，
即，则，解得或．．
3．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】对于圆，其圆心坐标为，半径.
根据点到直线的距离公式，
则.
根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，
设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径.
由勾股定理，当取最小值时，最小，
此时..
4．（23-24高三上·广东深圳·期末）是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，显然，
由于切圆于点，则，
四边形的面积，
当且仅当直线垂直于直线时取等号，
所以四边形面积的最小值为.
题型十 直线与圆相交弦长问题
1．（24-25高二上·北京·期中）圆被直线截得的弦长为 ．
【答案】8
【解析】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
所以所求弦长为.
故答案为：8
2．（24-25高二上·重庆·月考）直线被圆截得的弦长为，则 .
【答案】0或10
【解析】由题意圆心到直线的距离为，圆半径为，
弦长为，则，解得或，
故答案为：0或10.
3．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知直线经过点，且与圆C：相交于A，B两点，若，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【解析】圆C：的圆心，半径，
圆心到直线的距离为3，此直线与圆相切，因此直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
由，得圆心到直线的距离，
于是，解得或，
所以直线的方程为或.
4．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
由题意可得：，解得，
即，整理可得，解得，
所以实数的取值范围是..
题型十一 圆与圆的位置关系判断
1．（24-25高二上·重庆·月考）圆与圆的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
【答案】D
【解析】由题意圆标准方程为，
所以，半径分别为，，
，因此两圆外切，．
2．（24-25高二上·江苏镇江·期中）已知圆：，圆：，则圆与圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
【答案】A
【解析】由题意知，，
所以，则，所以两圆内切.
3．（24-25高二上·湖北·期中）若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】到原点的距离为2的点的轨迹为圆，
因此问题转化为圆与圆有两个交点，
易知，，，，，
所以，即，
解得或，
所以实数的取值范围为..
4．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知点，，圆：，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，
可知点的轨迹是以为直径的圆（除外），即圆心为，半径的圆，
且圆：的圆心为，半径，
由题意可知：圆与圆有公共点，
则，即，且，解得，
所以实数的取值范围是，.
题型十二 两圆的公共弦方程及弦长
1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知圆，点，若直线，分别切圆于，两点，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为直线，分别切圆于，两点，
所以，
所以点在以为直径的圆上．
因为，
所以以为直径的圆的圆心为，
半径为，
故以为直径的圆的方程，即，
又圆，即，
两圆方程相减得，
所以直线的方程为：．．
2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若圆与圆交于两点，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】联立方程，消去二次项整理得，
所以直线的方程为.
故答案：
3．（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知圆：和圆：.
(1)求证：圆和圆相交；
(2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长.
【答案】(1)证明见解析；(2)，.
【解析】（1）根据题意，圆：的圆心为，半径，
圆：，得，圆心为，半径，
圆心距，
，
圆和圆相交.
（2）将两圆方程相减，有，即两圆公共弦所在直线的方程为，
圆心到的距离，故公共弦的弦长为.
4．（24-25高二上·广东深圳·期中）在平面直角坐标系xOy中，圆C过和，且圆心在直线上；
(1)求圆C的标准方程；
(2)在（1）的条件下，过点分别作圆C的两条切线，（Q，R为切点），求直线的方程，并求弦长.
【答案】(1)；(2)，.
【解析】（1）因为圆心在直线，设圆心，
则，解得，
故圆心为，半径为，则圆的标准方程为；
（2）由题意，，，则四点共圆且为直径，
因为，所以的中点为，，
以线段为直径的圆为，整理得，
因为也在圆上，所以由两圆的方程作差，得，即，
故直线的方程为.
因为到直线的距离，
所以
题型十三 两圆的公切线问题
1．（24-25高二上·四川·期中）圆与圆的公切线条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】圆，则圆心，半径，
圆，则圆心，半径，
则，由于，即，
故圆与圆相交，其公切线条数为．故选 ：C．
2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆与圆有3条公切线，则（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【解析】圆，其圆心坐标为，半径.
圆，其圆心坐标为，半径.
因为两圆有3条公切线，所以两圆外切，此时圆心距.
根据两点间距离公式，圆心与的距离.
又因为，即.
移项可得.
两边平方可得，解得..
3．（24-25高二上·湖南·月考）圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
【答案】A
【解析】如图：
由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴，
则公切线的长为，
方法二：，
所以内公切线的长为：
4．（24-25高二上·河北张家口·期中）已知圆与圆，则圆和圆的一条公切线的方程为 .
【答案】；；（三个任意一个都算正确）
【解析】由题可知：
所以
两个圆的半径和为
所以两个圆外切，所以有三条公切线,
设公切线为
由圆心到切线的距离等于半径得
解得 或或
所以切线方程为，或
故答案为：；；
题型十四 与圆有关的最值问题
1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知是圆上的两个动点，且，点是线段的中点，则的最大值为（ ）
A．12 B． C．6 D．
【答案】D
【解析】根据已知有，圆心，半径，因为弦，
所以圆心到所在直线的距离，
又因为为的中点，所以有，
所以的轨迹为圆心为，半径为的圆，
的轨迹方程为；
令直线为，则到直线的距离为，
则，即，所以当最大时，
也取得最大值，
由此可将问题转化为求圆上的点到直线距离的最大值的倍，
设圆心到直线的距离为，则，所以，
所以的最大值为6.
2．（24-25高二上·山东青岛·期中）已知是直线上一点，M，N分别是圆和上的动点，则的最小值是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】A
【解析】圆，则圆心，
圆，则圆心，
两圆心在直线的同侧.又圆心到直线的距离，
圆心到直线l的距离，
则两圆在直线l的同侧且与直线相离，如图所示，
设圆心关于直线的对称点为，
则，解得，所以，
，
当且仅当三点共线时等号不成立；
即的最小值为．.
3．（24-25高二上·重庆·期中）点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【解析】P为圆A：上一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，
取，则，∴，
∴，
∴.
4．（24-25高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为5 B．的最大值为
C．的最大值为 D．圆心到直线的距离最大为4
【答案】CC
【解析】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径.
，是圆上的点，
所以的最大值为，A错误.
对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大，
此时，且，B正确.
对于C，设，
则，
等号不成立当且仅当，所以C正确.
对于D，圆心到直线的距离，
当时，，
当时，，所以D错误.C
题型十五 圆锥曲线的定义及应用
1．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】由题意得，故，，
由椭圆定义得，
故的周长为.
2．（24-25高二上·山东·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于4，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】由题得，所以，
因为，所以，
则，所以即，
又，所以即..
3．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图：在双曲线中，且焦点在轴上，
椭圆和双曲线的相同焦点为，，它们在第一象限的交点为，
故椭圆中，故，
，，
，，
，
由余弦定理可得．
4．（24-25高二上·江西抚州·期中）若抛物线上的一点A到焦点的距离为2，则点A的纵坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将标准化为，所以抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于点到准线的距离.
如图所示，
所以，解得..
5．（24-25高二上·湖南·期中）已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
【解析】
由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部，
过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D，
则有，
当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号不成立，
所以的最小值为.
题型十六 根据圆锥曲线方程求参数
1．（24-25高二上·辽宁铁岭·期中）若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意得，解得.
2．（24-25高二上·河南·期中）“”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】方程表示双曲线，
则，解得或，
所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件..
3．（24-25高二上·山东·期中）（多选）已知曲线，下列结论正确的有（ ）
A．若，则是椭圆 B．若，则是焦点在轴上的椭圆
C．若，则是双曲线 D．若，则是两条平行于轴的直线
【答案】CCD
【解析】对于A，若，则曲线表示圆，故A错误；
对于B，若，则可化为，此时曲线表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；
对于C，若，则曲线表示双曲线，故C正确；
对于D，若，则可化为，
此时曲线表示两条平行于轴的直线，故D正确．CD
4．（24-25高二上·江苏扬州·期中）（多选）已知曲线，下列说法正确的是（ ）
A．若，则曲线C为椭圆
B．若，则曲线C为双曲线
C．若曲线C为椭圆，则其长轴长一定大于2
D．若曲线C为焦点在x轴上的双曲线，则其离心率小于大于1
【答案】CCD
【解析】对于A选项，若为椭圆，则，A不正确；
对于B选项，若为双曲线，等价于，即或，B正确；
对于C选项，当时，椭圆长轴长，
当时，椭圆长轴长，C正确；
对于D选项，若为焦点在轴上的双曲线，则，解得，
双曲线的离心率为，
且双曲线的离心率，故D正确.CD.
题型十七 圆锥曲线的离心率问题
1．（24-25高二上·河南郑州·期中）已知点分别为椭圆的左 右焦点，，若经过的弦AB满足，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题可知，
所以，解得，
因为，即，
整理得，所以..
2．（24-25高二上·福建福州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
又，所以，，
，所以，
所以椭圆的离心率为..
3．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．5
【答案】A
【解析】由题意得，设，
因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故，
由双曲线定义知，，故，
，
其中，
解得，则，，
因为，所以，
在中，由余弦定理得
，解得，
故双曲线C的离心率为.
4．（24-25高二上·湖南·期中）已知，分别为双曲线的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：，，且，
在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
即，可得，
所以双曲线的离心率为..
题型十八 直线与圆锥曲线的位置关系
1．（24-25高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
【答案】D
【解析】直线和均过，
结合图象可知直线与椭圆的公共点个数为2个..
2．（24-25高二上·天津·期中）若曲线与曲线恰有两个不同的交点，则实数λ的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.
当曲线为椭圆时，则，只需点落在椭圆内，即，解得：；
当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：
要使曲线与曲线恰有两个不同的交点，只需，解得：.
所以实数的取值范围是
3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线，过点作直线，使与有且只有一个公共点，则满足条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】A
【解析】易知双曲线的焦点，顶点，渐近线为，
由可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4条..
4．（22-23高二下·上海浦东新·开学考试）已知抛物线方程，过点的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】D
【解析】点在抛物线上，易知当直线斜率不存在时不满足；
当直线斜率时，易知满足条件；
当直线斜率存在且时，设直线方程为，即，
，整理得到，，
，解得，直线方程为.
综上所述：满足条件的直线有2条.
题型十九 圆锥曲线的弦长及面积问题
1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：，
当，；当时，，故有,
则..
2．（24-25高二上·吉林长春·期中）直线与椭圆交于、两点，短轴的上顶点为点，则的面积为 .
【答案】
【解析】设点、，联立，可得，，
由韦达定理可得，，
所以，
椭圆的上顶点为，点到直线的距离为，
所以，.
故答案为：.
3．（23-24高二上·福建三明·月考）如图，设抛物线的焦点为，准线为，过点的直线交抛物线于两点，交于点，且是的中点，则（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】A
【解析】如图，过点作垂直于准线，由抛物线定义得.
因为是的中点，所以，
所以，焦点，
则直线的方程为，联立
消去得.设，
所以，得，.
4．（24-25高二上·江苏连云港·期中）在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支，
设实轴长为，焦距为，虚轴长为，
，，
所以的轨迹方程为；
（2）设直线的方程为，，，
由化简得，
则，，
，，
，
，，或.
，，
，，
所以的方程为．
题型二十 圆锥曲线的中点弦问题
1．（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆上存在两点、关于直线对称.若椭圆离心率为，则的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设点、，线段的中点为，则，
由题意，椭圆的离心率为，可得，
因为、关于直线对称，且直线的斜率为，
则，
将点、的坐标代入椭圆方程可得，
上述两个等式作差可得，
可得，即，即，
即，①
又因为点在直线上，则，②
联立①②可得，故线段的中点为..
2．（24-25高二上·吉林通化·期中）已知直线与抛物线相交于两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】A
【解析】设，则，两式相减得.
因为线段的中点坐标为，所以，
所以..
3．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）椭圆，若椭圆上存在不同的两点关于直线对称，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】椭圆，即：，
设椭圆上两点关于直线对称，中点为，
则，，
所以，
所以，所以，
代入直线方程得，即，
因为在椭圆内部，所以，解得 ，
即的取值范围是．．
4．（24-25高二上·江苏·期中）设为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线对应，，
设，则，
两式相减并化简得，
由于，所以，
而B选项中，点，对应，所以B选项错误.
C选项中，点，对应，所以C选项错误.
A选项，点，对应，所以，
则直线的方程为，
由消去并化简得，，
所以方程组无解，所以A选项错误.
D选项，点，对应，所以，
则直线的方程为，
由消去并化简得，
，所以D选项正确.
题型二十一 圆锥曲线的“三定”问题
1．（24-25高二上·辽宁抚顺·期中）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为.
(1)求的方程.
(2)已知点在上，且位于第一象限，点，，设直线，的斜率分别为，，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)；(2)是定值，
【解析】（1）
设，由过点作轴的垂线段，为垂足可得，
设线段的中点，
由中点坐标公式可得，，
又点在圆上，所以，即，
所以的方程为.
（2）
是定值，
设，
则，
所以，
因为点在椭圆上，所以，即，
所以，
2．（23-24高二上·四川眉山·期末）设椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过点的直线与椭圆交于不同的两点，，若点在以线段为直径的圆上，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)；(2)证明见解析；.
【解析】（1）由题意知，，且，
结合，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）直线的斜率存在且不为零，设为，，，，，
联立直线方程和椭圆方程,化简得，
，
所以．
，
因为以为直径的圆过，所以．
即，
整理得，
所以，
即：，
整理可得：，解得或，
当时，直线过，舍去，
所以直线的方程为，过定点．
3．（23-24高二下·河南·月考）已知抛物线的焦点为，直线与交于两点.
(1)若线段的中点为，求；
(2)若分别在第一象限和第四象限，且恒有（为坐标原点），证明：直线过定点.
【答案】(1)；(2)证明见解析【解析】（1）由题意知，解得，
所以的方程为．
由题易知直线的斜率存在．设，则可得．
因为线段的中点为，所以，
所以，则的方程为，显然过点，
所以．
（2）由题可知的倾斜角不为0，设直线，
由消去，得
则，
解得或．
当时，在轴的同一侧，不符合条件．
当时，直线经过定点．
4．（23-24高二上·湖北·期中）已知点在双曲线上．
(1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值；
(2)已知点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，在线段上取异于点、的点，满足，证明：点恒在一条定直线上．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析
【解析】（1）将代入双曲线中，，解得，故双曲线方程为，
设点的坐标为，则，即．
双曲线的两条渐近线，的方程分别为，，
则点到两条渐近线的距离分别为，，
则．
所以点到双曲线的两条渐近线的距离之积为定值．
（2）若直线斜率不存在，此时直线与双曲线右支无交点，不合题意，不满足条件，
故直线斜率存在，设直线方程，与联立得
，则，
因为恒不成立，所以，故，
解得:，设，，
则，，
设点的坐标为，则由得，，
变形得到，
将，代入，解得，
将代入中，解得，
则，
故点恒在一条定直线上．
题型二十二 圆锥曲线的最值范围问题
1．（23-24高二下·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，已知椭圆长轴长是短轴长的3倍，且椭圆过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知平行四边形的四个顶点均在上，求平行四边形的面积的最大值．
【答案】(1)；(2)6
【解析】（1）因为椭圆过点，
所以，解得，
因为椭圆长轴长是短轴长的3倍，所以，
则椭圆的方程为；
（2）当直线斜率存在，
不妨设的方程为，，，
因为，不妨设方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
，
同理得，
因为，所以，
因为，所以，
此时平行四边形的面积
，
当且仅当时，平行四边形取得最大值，最大值为6；
当直线的斜率不存在时，
此时平行四边形为矩形，
不妨设，易知，因为点在椭圆上，所以，
又，所以，当且仅当时，等号不成立．
综上，平行四边形的面积的最大值为6．
2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，的一条渐近线方程为，且.
(1)求的方程；
(2)，为双曲线右支上两个不同的点，线段的中垂线过点，求直线的斜率的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）由题得，解得，
所以双曲线的方程为；
（2）由题意可知直线AB斜率存在且，
设，设的中点为，
由，消去并整理得，，
则，即，
，，
，
于是点为，，
由中垂线性质知，所以，解得：，
由，在双曲线的右支上可得：
，，
则，，则，
又，即，整理得，
解得或，故，即.
综上可得，．
3．（23-24高二上·江苏常州·期末）如图，已知抛物线的方程为，焦点为，过抛物线内一点作抛物线准线的垂线，垂足为，与抛物线交于点，已知，，.
(1)求的值；
(2)斜率为的直线过点，且与曲线交于不同的两点，，若存在，使得，求实数的取值范围.
【答案】(1)2；(2)
【解析】（1）因为，，则在中，，
由抛物线的定义得，，
故，则，即，
设，则，解得，
过点作⊥于点，
因为，所以，
因为，所以，
故，，
所以，解得；
（2）由（1）可知抛物线方程为：，设，，
设，联立，整理得：，
因为，所以，
由韦达定理得，，
因为，则，故，
故，
将代入（*）式得，
因为存在，使得，
所以有对有解，
而，所以，
解得，或，
因为，所以.
4．（24-25高二上·黑龙江·期中）如图，已知双曲线的实轴长为2，离心率为2，圆O的方程为，过圆O上任意一点P作圆O的切线交双曲线于A，B两点.
(1)求双曲线E的方程；
(2)求证：；
(3)若与坐标轴不垂直的直线l和双曲线E的渐近线相交于C，D两点，且，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).
【解析】（1）由题意知，，所以，，
又因为，得，故双曲线E的方程为.
（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，
此时A，B两点的坐标分别为，，
,
则，所以，即，
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设
因为直线与圆O相切，所以，即
将代入，得，
，，
故
，
又因为，所以，所以，即，
综合上述，可知.
（3）设,因为的渐近线方程可写为，
将代入，得，
所以,,
所以，
由（2）可得
又因为，即，所以
所以，
因为直线l与坐标轴不垂直，所以，
因此，所以.
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