2.1坐标法
课程标准 学习目标
1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、 2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式、 3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性 重点:两点间的距离公式和中点坐标公式 难点:坐标法在解决几何问题中的运用
知识点01数轴上的基本公式
如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则
(1)向量的坐标为x2-x1;
(2)|AB|=||=|x2-x1|;
(3)x=.
【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上，已知，，则 ；的中点的坐标为 .
【答案】 4 1
【分析】利用数轴上的距离公式和中点公式，即得解
【详解】由题意，，的中点的坐标为
故答案为：4，1
【即学即练2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴 y轴的距离分别为6 4，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标.
【详解】因为点M在第四象限，
所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4，
所以点M的坐标为(4，-6) .
知识点02平面直角坐标系中的基本公式
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则
(1)=(x2-x1,y2-y1);
(2)=
(3)x=，y=
【即学即练3】（22-23高一下·北京·期中）已知点，，则线段中点的坐标为 .
【答案】
【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.
【详解】点，，所以线段中点的坐标为.
故答案为：
【即学即练4】（20-21高二上·上海·课后作业）已知的顶点和重心，则上的中点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据中点坐标公式以及重心坐标公式求得结果.
【详解】设，则由重心坐标公式得
再由中点坐标公式得上的中点坐标是
故答案为：
【点睛】本题考查中点坐标公式以及重心坐标公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
难点：含参问题
示例1：（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab .
【答案】
【分析】由点对称，应用中点公式列方程组求出参数，即可得结果.
【详解】由题意知，即，解得，故.
故答案为：
【题型1：两点间的距离公式】
例1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标．
【答案】12;(4)
【分析】根据数轴上表示的点的几何意义直接求得答案.
【详解】数轴上两点之间的距离为 ,
它们的中点坐标为 ，故中点坐标为（4）.
变式1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P到的距离是它到的距离的2倍，求点P的坐标．
【答案】或
【分析】设点，可得，求解即可
【详解】由题意，设点
故
即
解得：或
故点P的坐标为或
变式2．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上，，且，求x的值.
【答案】2
【分析】根据数轴上两点数量的坐标表示，即可求解.
【详解】因为数轴上,且,
所以，
解得：.
变式3．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d．
（1）若，求c的值；
（2）若，求d的值；
（3）若，求证：．
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析
【分析】（1）由，根据向量的坐标运算，得到，即可求解；
（2）由，得到，即可求解；
（3）由，，，得到，分别求得和的坐标，即可求解.
【详解】由题意，数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d，
（1）因为，所以，解得．
（2）因为，所以，即或，解得或．
（3）因为，，，
所以，即，
所以，
所以，
所以．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式4．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别为，，根据下列条件，分别求点A的坐标．
（1），的坐标为-3；
（2），．
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）由向量的坐标为，即可求解；
（2）由，即可求解.
【详解】由题意，数轴上两点A，B的坐标分别为，，
（1）由向量的坐标为，所以．
（2）由，解得或．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，以及向量模的计算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式5．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则（ ）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
【答案】C
【分析】根据数轴上向量的坐标表示，求得向量的坐标，即可求解.
【详解】由题意，．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式6．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，，，则点C的坐标为 ．
【答案】-4或或6或10
【分析】设A，C的坐标分别为，，根据数轴上向量的坐标运算，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，设A，C的坐标分别为，，
则或，∴或，
∴，或，
或，或，
解得或或或．
故答案为：-4或或6或10
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
【方法技巧与总结】
对两点间距离公式的几点说明
（1）公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|=
（2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广.
（3）若B点为原点，则AB=|OA|=
（4）若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1|
(5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1|
【题型2：中点坐标公式的应用】
例2.（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，则的坐标为
A．17 B．1 C．-1 D．-17
【答案】C
【分析】先求得的坐标为，向量的坐标为，进而可求解的坐标，得到答案.
【详解】由题意，可得的坐标为，向量的坐标为，
所以向量的坐标为．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示与运算，其中解答中熟记数轴上向量的坐标表示与运算法则是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
变式1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对称性，利用中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设第四个顶点为，
当是对角线时，则有，
当是对角线时，则有，
当是对角线时，则有，
变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，则线段AB的中点坐标为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由，，
利用中点坐标可知，线段AB的中点坐标，即.
.
变式3．（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段的端点及中点，则点的坐标（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用中点坐标公式计算即可.
【详解】设 ，的端点及中点，则 ，解得：，故点的坐标为.
.
变式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知，，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由，，
则线段中点的坐标为.
变式5．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b= .
【答案】0
【分析】由中心对称的含义即得.
【详解】∵点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，
∴b+4=2×2，即b=0.
故答案为：0.
变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ．
【答案】
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】设，，，
因为三边AB，BC，CA的中点分别为，，，
由中点坐标公式可得，，，解得，，，
故顶点A的坐标为.
故答案为：.
变式7．（20-21高一·全国·课后作业）若，是平行四边形的两个顶点，与交于点，则C，D的坐标分别为 .
【答案】/，
【分析】利用为的中点，以及中点坐标公式，即得解
【详解】由题意，为的中点，不妨设
由中点坐标公式：
，即
，即
故答案为：，
变式8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标分别为，求D点坐标．
【答案】
【分析】根据平行四边形的图像性质，平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设，在的三个顶点坐标分别为，
根据平行四边形的对角线互相评分，可得，解得，
所以D点的坐标是．
【方法技巧与总结】
中点公式的两个应用
（1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量.
（2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点.
一、单选题
1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，则线段AB的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.
【详解】由题意得：线段AB的中点坐标为，即.
.
2．（2020高三·全国·专题练习）点关于点的对称点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，则由中点坐标公式可得，，解出，从而可得点的坐标
【详解】设，则，，∴，，
∴点，
.
3．（19-20高二·全国·课后作业）已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（ ）
A．5 B． C．1 D．
【答案】A
【分析】直接根据中点坐标公式可得，即可得答案；
【详解】 ，故.
.
【点睛】本题考查中点坐标公式，属于基础题.
4．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，且的坐标为4，则（ ）
A．-1 B．-7 C．4 D．-4
【答案】C
【分析】根据数轴上的向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量的坐标为终点B的坐标减去起点A的坐标，
即，解得．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示，其中解答中熟记数轴上的向量的表示方法是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.
5．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，则向量的坐标为
A．4 B．-4 C． D．2
【答案】C
【分析】根据向量的运算，结合数轴行向量的坐标表示，即可求解.
【详解】由题意，根据向量的运算，
所以向量的坐标等于终点B的坐标减去起点A的坐标，即．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及数轴上向量的坐标表示，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、多选题
6．（20-21高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（ ）
A．的坐标的坐标 B．
C．的坐标 D．的坐标
【答案】CC
【分析】已知点坐标，结合向量坐标的表示及模的坐标计算，判断各选项的正误.
【详解】数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故坐标坐标，A不正确；
数轴上两点间的距离一定是非负的，，B正确；
的坐标，C正确；
的坐标，D不正确.
C.
7．（17-18高二·全国·课后作业）（多选题）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
【答案】CCD
【分析】化简 ，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，可得 ，
可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，可看作点与点的距离，故选项A不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解答的关键，属于基础题.
三、填空题
8．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， .
【答案】
【分析】设，，利用中点坐标公式即可得出a，b，
【详解】设，，
∵P为AB中点，∴，
解得，，
即，，
所以
故答案为：.
9．（19-20高二·全国·课后作业）已知点，，，则△中边上的中线长 ，△的面积为 ．
【答案】 4
【解析】由中点坐标公式，可求出点的坐标，进而利用两点间距离公式可求出，计算可知，即△为等腰三角形，由，求解即可.
【详解】设的中点的坐标为，则，
即的坐标为，则.
又，
，，
所以，即△为等腰三角形，
所以为底边上的高，且.
故答案为：；4.
【点睛】本题考查三角形的中线及三角形的面积，考查坐标运算，考查学生的计算求解能力，属于基础题.
四、解答题
10．（21-22高二·全国·课后作业）已知，在y轴上的点P满足，求P的坐标．
【答案】 或
【分析】设出点P坐标，根据列出方程，解方程可得答案.
【详解】由题意可设点P坐标为 ，
由得： ,
即 ，
解得 或 ，
故P的坐标 为 或.
11．（21-22高二·全国·课后作业）在数轴上，对坐标分别为和的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为．
(1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明．
(2)设A和B两点的坐标分别为和2，分别找出（1）中不等式等号不成立和等号不不成立时点C的范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)等号不成立，点C的范围是；等号不不成立，点C的范围是
【分析】（1）讨论点C与A和B两点的位置关系，根据绝对值定义的两点间的距离，可以证明结论；
（2）由（1）的证明过程可得等号不成立或不不成立时的点C的位置情况，由此可得答案.
【详解】（1）证明：设 ，
不妨设 ，则，
当 在 之间时，,
此时;
当 不在 之间时，不妨假设，
此时，
故，
即，
同理可证当时，也有不成立，
同理可证当时，也有上述结论不成立，
综合上述; ;
（2）当A和B两点的坐标分别为和2时，
由（1）的证明可知，当点C位于A和B两点之间或者与A和B两点重合时，等号不成立，
此时点C的范围是 ,
当点C位于A和B两点之外时，等号不不成立，此时点C的范围是.
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课程标准 学习目标
1.理解实数与数轴上的点的!一一对应关系、 2.探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式、 3.通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的优越性 重点:两点间的距离公式和中点坐标公式 难点:坐标法在解决几何问题中的运用
知识点01数轴上的基本公式
如果数轴上点A（x1），B（x2），线段AB的中点为M（x），则
(1)向量的坐标为x2-x1;
(2)|AB|=||=|x2-x1|;
(3)x=.
【即学即练1】（20-21高一·全国·课后作业）在数轴上，已知，，则 ；的中点的坐标为 .
【即学即练2】（20-21高一上·西藏昌都·期中）在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴 y轴的距离分别为6 4，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
知识点02平面直角坐标系中的基本公式
已知A（x1，y1），B（x2，y2）是平面直角坐标系中的两点，M（x，y）是线段AB的中点，则
(1)=(x2-x1,y2-y1);
(2)=
(3)x=，y=
【即学即练3】（22-23高一下·北京·期中）已知点，，则线段中点的坐标为 .
【即学即练4】（20-21高二上·上海·课后作业）已知的顶点和重心，则上的中点坐标是 ．
难点：含参问题
示例1：（23-24高二上·全国·单元测试）已知不同的两点关于点对称，则ab .
【题型1：两点间的距离公式】
例1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标．
变式1．（21-22高二·全国·课后作业）已知数轴上的点P到的距离是它到的距离的2倍，求点P的坐标．
变式2．（20-21高一·全国·课后作业）已知数轴上，，且，求x的值.
变式3．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上四点A，B，C，D的坐标分别是-4，-2，c，d．
（1）若，求c的值；
（2）若，求d的值；
（3）若，求证：．
变式4．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别为，，根据下列条件，分别求点A的坐标．
（1），的坐标为-3；
（2），．
变式5．（18-19高一·全国·课后作业）已知数轴上两点A，B的坐标分别是-4，-1，则（ ）
A．-3 B．3 C．6 D．-6
变式6．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B，C三点在数轴上，且点B的坐标为3，，，则点C的坐标为 ．
【方法技巧与总结】
对两点间距离公式的几点说明
（1）公式中，点A，B的位置没有先后之分，即距离公式还可以写为|AB|=
（2）坐标平面内的两点间的距离公式是数轴上两点间的距离公式的推广.
（3）若B点为原点，则AB=|OA|=
（4）若A，B两点在x轴上，或在与x轴平行的直线上，此时AB|=|x2-x1|
(5)若A，B两点在y轴上，或在与y轴平行的直线上，此时AB|=|y2-y1|
【题型2：中点坐标公式的应用】
例2.（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，则的坐标为
A．17 B．1 C．-1 D．-17
变式1．（23-24高二上·安徽安庆·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，以，，为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（20-21高二·全国·课后作业）已知，，则线段AB的中点坐标为( )
A． B． C． D．
变式3．（21-22高二上·河北邢台·阶段练习）已知线段的端点及中点，则点的坐标（ ）
A． B． C． D．
变式4．（20-21高一上·北京房山·期末）已知，，则线段中点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）已知点（0，2）是点（－2，b）与点（2，4）的对称中心，则b= .
变式6．（20-21高二·全国·课后作业）已知三边AB，BC，CA的中点分别为，，，则顶点A的坐标为 ．
变式7．（20-21高一·全国·课后作业）若，是平行四边形的两个顶点，与交于点，则C，D的坐标分别为 .
变式8．（23-24高二下·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标分别为，求D点坐标．
【方法技巧与总结】
中点公式的两个应用
（1）知二求一．从公式上看，只要知道公式等号两边的任意两个量，可求第三个量.
（2）从图象上看，只要知道图象上任意的两点，可求第三个点.
一、单选题
1．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，则线段AB的中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高三·全国·专题练习）点关于点的对称点为（ ）
A． B．
C． D．
3．（19-20高二·全国·课后作业）已知线段的中点为坐标原点，且，则等于（ ）
A．5 B． C．1 D．
4．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，且的坐标为4，则（ ）
A．-1 B．-7 C．4 D．-4
5．（18-19高一·全国·课后作业）已知A，B都是数轴上的点，，，则向量的坐标为
A．4 B．-4 C． D．2
二、多选题
6．（20-21高二·全国·课后作业）数轴上点P，M，N的坐标分别为－2，8，－6，则有（ ）
A．的坐标的坐标 B．
C．的坐标 D．的坐标
7．（17-18高二·全国·课后作业）（多选题）对于，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点与点的距离
B．可看作点与点的距离
C．可看作点与点的距离
D．可看作点与点的距离
三、填空题
8．（23-24高二下·全国·课后作业）直线l经过点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，当P为AB中点时， .
9．（19-20高二·全国·课后作业）已知点，，，则△中边上的中线长 ，△的面积为 ．
四、解答题
10．（21-22高二·全国·课后作业）已知，在y轴上的点P满足，求P的坐标．
11．（21-22高二·全国·课后作业）在数轴上，对坐标分别为和的两点A和B，用绝对值定义两点间的距离，表示为．
(1)在数轴上任意取三点A，B，C，证明．
(2)设A和B两点的坐标分别为和2，分别找出（1）中不等式等号不成立和等号不不成立时点C的范围．
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