2.2.4点到直线的距离
课程标准 学习目标
1.理解点到直线距离的概念; 2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中: 3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。 1.重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用 2.难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式
知识点01 两点间距离公式
定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|
【即学即练1】（23-24高二下·全国·课后作业）若，则为 .
【即学即练2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到原点的距离等于1，则实数满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
知识点02点到直线的距离公式
1.点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C0的距离，d
2.点到特殊直线的距离公式
点P0(x0，y0)到x轴的距离d|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d|y0-a|,到y轴的距离d|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d|x0-b|.
【即学即练3】（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
【即学即练4】(多选)（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
知识点03 两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.两条平行线之间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C10与Ax＋By＋C20间的距离d
【即学即练5】（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练6】（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）两平行直线与之间的距离为 ．
难点：将军饮马问题
示例1：（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
难点：类比距离问题
示例2：（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数，则（ ）
A．的最小值为8 B．的最小值为9
C．有1个实根 D．有1个实根
【题型1：平面两点之间的距离】
例1．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）点与之间的距离是5，则y=（ ）
A． B． C．或 D．12
变式1．（2023·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（ ）
A． B．6 C． D．
变式2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 .
变式3．（20-21高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 .
变式4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ．
变式5．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知点，且，写出直线AB的一个方程
变式6．（2021高二上·全国·专题练习）已知点，且，则的值为 .
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）二元函数的值域为 ．
变式8.（2021高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知，，线段的垂直平分线为直线．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若点在直线上，且，求点坐标．
【题型2：点到直线的距离】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
变式1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．10
变式2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ）
A． B． C．或 D．或
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．直线一定经过第四象限
D．点到直线的最大距离为
变式5．（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ．
变式7．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条．
变式8.（24-25高二上·上海·课后作业）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值．
【方法技巧与总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
（3）直线方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也不成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.
【题型3：两条平行线之间的距离】
例3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（ ）
A． B． C． D．1
变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
变式3．（多选）（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（ ）
A．-8 B．-6 C．2 D．4
变式4．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，，则直线，之间距离的最大值为 ．
变式6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ．
变式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为
【方法技巧与总结】
对两条平行直线之间的距离公式的理解
1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式.
2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等.
3.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决.
【题型4：点与点、点与线的对称问题】
例4．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（21-22高二·全国·单元测试）直线ax＋y＋3a－10恒过定点M，则直线2x＋3y－60关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－120 B．2x＋3y＋120 C．3x－2y－60 D．2x＋3y＋60
变式3．（多选）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．点关于直线的对称点为
变式4．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 .
变式5.（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且经过点．
(1)求直线的方程；
(2)求点关于直线的对称点的坐标．
变式6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点.
(1)已知直线与平行，求的值；
(2)求点关于直线的对称点的坐标.
变式7．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线：，直线的一个方向向量的坐标为，直线：与直线垂直
(1)求a，b的值；
(2)已知点，求点关于直线对称的点的坐标．
变式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程
(2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标．
【方法技巧与总结】
1.实质：该点是两对称点连线段的中点
方法：利用中点坐标公式
说明：平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称
2.实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则
2.当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，）
【题型5：直线关于点对称】
例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知点，直线：，则点到直线的距离为 ，直线关于点对称的直线方程为 ．
变式2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l关于点B对称的直线的方程．
变式3．（22-23高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于点的对称直线的方程．
变式4．（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为．
变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（ ）
A． B． C． D．
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求直线的方程；
(2)求直线：关于直线的对称直线的方程．
【方法技巧与总结】
实质：两直线平行
法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）
法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等）
【题型6：直线关于直线对称】
例6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ）
A．θ B． C． D．
变式2．（多选）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与相交于点
B．直线和轴围成的三角形的面积为
C．直线关于原点O对称的直线方程为
D．直线关于直线对称的直线方程为
变式3．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线,，，以下结论正确的是（ ）
A．无论a为何值，与都互相垂直
B．当a变化时，表示过定点的所有直线
C．无论a为何值，与都关于直线对称
D．若与交于点M，则（O为坐标原点）的最大值是
变式4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 .
变式5．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线的方程为.
（1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程 ；
（2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程 .
变式6．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知的三个顶点是，，．
(1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程．
变式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直线，求满足下列条件的直线的方程．
(1)与直线关于轴对称；
(2)过点，且与平行．
【方法技巧与总结】
1.相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题
2.平行时：对称直线与已知直线平行
【题型7：反射光线问题】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（23-24高二上·浙江温州·期中）在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 .
变式5．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .
变式6．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：．
(1)求直线经过的定点坐标；
(2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
变式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求：
(1)入射光线与直线l的交点．
(2)入射光线与反射光线所在直线的方程．
【题型8：将军饮马问题】
例8．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
变式4．（23-24高二上·河南新乡·期中）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
变式6．（22-23高二上·河北张家口·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式7．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ．
【方法技巧与总结】
利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。
一、单选题
1．（23-24高二下·全国·课后作业）三角形的三个顶点为，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线与直线间的距离为，则（ ）
A．17 B． C．14 D．7
3．（2023高二上·全国·专题练习）若原点到直线的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，点B在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
5．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知，两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A．或 B．3或4 C．3 D．4
7．（23-24高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
8．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B．32 C． D．48
二、多选题
9．（23-24高二下·广西·开学考试）若直线：，：，：，：，则（ ）
A． B．与之间的距离为
C． D．与的倾斜角互补
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到原点的距离为
B．点到直线的距离为1
C．不论实数取何值，直线：都经过点
D．是直线的一个方向向量的坐标
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
三、填空题
12．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 .
13．（23-24高二下·江西·阶段练面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 .
14．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为 ．
15．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知实数满足，则的最小值为 .
16．（2023高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 .
四、解答题
17．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若与互相平行，求与间的距离．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四边形中，，边所在直线的方程分别为和．
(1)求边所在直线的方程和点到直线的距离；
(2)求线段垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程．
19．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和.
(1)讨论直线与的位置关系；
(2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2.4点到直线的距离
课程标准 学习目标
1.理解点到直线距离的概念; 2.掌握求直线上一点到直线的距离的方法，并能运用到实际问题中: 3.培养数学思维能力，提高逻辑推理能力。 1.重点：(1)点到直线的距离公式的推导思路;(2)点到直线的距离公式的应用 2.难点：用向量的方法推导点到直线的距离公式
知识点01 两点间距离公式
定义：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|
【即学即练1】（23-24高二下·全国·课后作业）若，则为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得，
故答案为：.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·随堂练习）已知点到原点的距离等于1，则实数满足的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由两点之间的距离公式列式即得.
【详解】依题意，由点到原点的距离等于1可得，，
故实数满足的条件是.
.
知识点02点到直线的距离公式
1.点到直线的距离公式
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C0的距离，d
2.点到特殊直线的距离公式
点P0(x0，y0)到x轴的距离d|y0|，到平行于x轴的直线y=a的距离d|y0-a|,到y轴的距离d|x0|,到平行于y轴的直线x=b的距离d|x0-b|.
【即学即练3】（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点到直线的距离.
【即学即练4】(多选)（23-24高二下·全国·随堂练习）已知点到直线的距离为3，则实数等于（ ）
A．0 B． C．3 D．2
【答案】AB
【分析】根据点到直线的距离公式计算即可.
【详解】依题意，即,解得或.
B.
知识点03 两条平行线之间的距离
1.两条平行线之间的距离
两条平行线之间的距离，等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
2.两条平行线之间的距离公式
两条平行线Ax＋By＋C10与Ax＋By＋C20间的距离d
【即学即练5】（23-24高二上·北京房山·期末）两条直线与之间的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意代入两平行线之间的距离公式即可得出结果.
【详解】由两平行线之间的距离公式可得.
【即学即练6】（22-23高二上·广东肇庆·阶段练习）两平行直线与之间的距离为 ．
【答案】/
【分析】由两平行间的距离公式可求两直线间的距离.
【详解】由，可得，
所以与之间的距离为.
故答案为：.
难点：将军饮马问题
示例1：（24-25高二下·上海·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 ．
【答案】
【分析】求出关于直线对称的点，结合图形，即可求解.
【详解】设点关于直线对称的点为，
则有，解得，所以，
则，所以“将军饮马”的最短总路程为，
故答案为：.
难点：类比距离问题
示例2：（2024高二下·吉林·竞赛）已知函数，则（ ）
A．的最小值为8 B．的最小值为9
C．有1个实根 D．有1个实根
【答案】C
【分析】先设点的坐标，把函数转化为，再结合图形特征得出最小值即可.
【详解】是抛物线上一点，
到直线的距离为
到点的距离为，
所以
当共线时，取最小值，
最小值为到的距离.
因为，
且的最小值为，
所以的最小值为9，且在交点或处取到，
.
【题型1：平面两点之间的距离】
例1．（21-22高二上·河北衡水·阶段练习）点与之间的距离是5，则y=（ ）
A． B． C．或 D．12
【答案】D
【分析】由两点间距离公式计算．
【详解】由题意，即，解得或．
．
变式1．（2023·江西上饶·模拟预测）已知，，则的最小值等于（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】A
【分析】令，，得到点，分别在直线，上，设线段的中点为，则，且点在直线上，将所求问题，转化为点到原点的距离的倍，根据点到直线距离公式，即可求出结果.
【详解】令，，由已知可得点，分别在直线，上，
设线段的中点为，则，
到原点的距离，
依题意点在直线上，
所以点到原点的最小距离即为原点到直线的距离，为，
因此的最小值为，因此的最小值等于.
.
变式2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点的坐标，线段中点的坐标为，则B点坐标为 ，为 .
【答案】 25
【分析】设B点的坐标为，根据中点坐标公式列出关于的方程组，解出方程组即可得B点的坐标.
【详解】设B点的坐标为，
∵点A的坐标，线段中点的坐标为，
∴，解得，
即点的坐标为，所以
故答案为：；25.
变式3．（20-21高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 .
【答案】 直角三角形 5
【分析】根据两点距离公式，结合勾股定理的逆定理、直角三角形面积公式进行求解即可.
【详解】因为，
，，
所以，即是以A为直角顶点的直角三角形．
由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以.
故答案为：直角三角形；
变式4．（23-24高二下·全国·课后作业）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解.
【详解】因为且，所以，解得
故答案为：
变式5．（21-22高二上·北京·阶段练习）已知点，且，写出直线AB的一个方程
【答案】(答案不唯一)
【分析】根据两点间的距离公式，求出的值，然后写出点的坐标，从而可求直线AB的一个方程.
【详解】根据两点间的距离公式，得，
即。所以，
所以或，
当时，，直线的方程为；
当时，，直线的方程为.
故答案为：.(答案不唯一)
变式6．（2021高二上·全国·专题练习）已知点，且，则的值为 .
【答案】或
【分析】利用两点的距离公式计算即可得出答案.
【详解】由两点间距离公式得，所以，所以，即或.
故答案为：或
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）二元函数的值域为 ．
【答案】
【分析】把二元函数转化为两点间距离的平方，再转化为点到直线的距离为最小值即可得出值域.
【详解】由题意可知二元函数的几何意义为单位圆上一点到直线上一点距离的平方，最小值为圆心到直线距离减半径，圆心为
，则．
故答案为：.
变式8.（2021高二·黑龙江哈尔滨·学业考试）已知，，线段的垂直平分线为直线．
(1)求直线的一般式方程；
(2)若点在直线上，且，求点坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意，求出线段的中点坐标及直线的斜率，然后利用点斜式写出直线方程，化简即可得答案；
（2）设点坐标为，由题意，列出关于的方程组求解即可得答案.
【详解】（1）解：因为，，所以线段的中点为，，
又线段的垂直平分线为直线，所以，
所以直线的方程为，即，
所以直线的一般式方程为；
（2）解：设点坐标为，
由题意有，解得或，
所以点坐标为或.
【题型2：点到直线的距离】
例2．（23-24高二上·新疆·期末）点到直线的距离为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】利用点到直线的距离公式直接计算得解.
【详解】点到直线的距离.
变式1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．10
【答案】C
【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果.
【详解】直线：，即，
由，得到，所以直线过定点，
当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为，
.
变式2．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可．
【详解】因为点到直线的距离相等，
所以，即，
化简得，解得或.
.
变式3．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）直线上与点的距离等于的点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CC
【分析】设所求点的坐标为，然后根据题意列方程组可求得结果.
【详解】设所求点的坐标为，则，且，
两式联立解得或，
所以所求点的坐标为或
C
变式4．（多选）（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）已知直线，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．直线一定经过第四象限
D．点到直线的最大距离为
【答案】CD
【分析】A.由判断；B.由时，直线方程为判断；C.由时，直线方程为判断；D.点到定点的距离判断.
【详解】对于A，直线，所以直线过定点，故A错误；
对于B.当时，直线方程为，关于轴的对称直线为，故B正确；
对于C，当时，直线方程为，直线不经过第四象限，故C错误；
对于D，如图所示：
设，由图象知：，点到直线的最大距离为，故D正确；
D
变式5．（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据点到直线的距离相等，可得过的中点，或的斜率与的斜率相等，进而两种情况进行判断.
【详解】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等，
又的中点为，
则过点的直线为AD选项；
又的斜率为，则B选项符合条件.
BD
变式6．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论．
【详解】解：把直线的方程化为，
由方程组
解得
所以直线恒过定点，
其中直线不包括直线．
又，
且当与直线垂直时，点到直线的距离为，
所以点到直线的距离满足，
故答案为：．
变式7．（24-25高二上·上海·课后作业）已知点到直线l的距离为5，且直线l在两坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线共有 条．
【答案】3
【分析】结合点到直线的距离公式，分截距是否为0进行讨论即可得解.
【详解】当截距不为0时，由题意设所求直线为，
则，解得；
当截距为0时，设原点为，则，注意到，
所以此时满足题意的直线方程可以是；
综上所述，满足条件的直线共有3条.
故答案为：3.
变式8.（24-25高二上·上海·课后作业）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，求实数t的所有可能的值．
【答案】，，．
【分析】化简得到，然后，根据情况，对进行分类讨论即可求解.
【详解】由已知得，
整理，得，
看成有且仅有三条直线满足，和）到直线：（不过原点）的距离相等．由，
（1）当，此时，易得符合题意的直线为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线 和；
（2）当时，有4条直线会使得点和到它们的距离相等，注意到不过原点，所以，当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去．
设点到的距离为．
（1）作为增根被舍去的直线，过原点和、的中点，其方程为，此时，，符合；
（2）作为增根被舍去的直线，过原点且以为方向向量，其方程为，此时， ，符合．
综上，满足题意的实数为，，．
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于化简得到，将问题转化为，有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离相等，这是本题的解题关键.
【方法技巧与总结】
应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式.
点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用.
（3）直线方程Ax+By+C=0中，A=0或B=0公式也不成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解.
【题型3：两条平行线之间的距离】
例3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线：与直线：的距离是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】将直线的方程化为，进而根据平行线间的距离公式计算求解即可.
【详解】直线：化为，
又直线：，所以，
所以直线与直线的距离是.
.
变式1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项.
【详解】因为，所以，故，故.
故之间的距离为，
.
变式2．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可.
【详解】由直线可得，
所以直线与直线平行，
所以的最小值为直线与直线距离，
所以.
.
变式3．（多选）（23-24高二上·广东茂名·期末）已知两条平行直线，直线，直线，直线之间的距离为，则的值可以是（ ）
A．-8 B．-6 C．2 D．4
【答案】CC
【分析】由两条平行直线间的距离公式求解即可.
【详解】根据题意得直线可化为，
直线之间的距离，
所以，即或.
C.
变式4．(多选)（23-24高二上·江西九江·期末）已知两条平行直线.若直线被截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据平行线距离公式计算结合倾斜角定义即可求解.
【详解】直线被截得的线段长为，
两平行直线的距离直线和的夹角为，
又直线的倾斜角为，直线的倾斜角可能是或.
故选:AC.
变式5．（23-24高二上·安徽·期末）已知直线，，则直线，之间距离的最大值为 ．
【答案】
【分析】根据题意可知：两直线平行，且均过定点，分析可得结果.
【详解】由题意可知：直线的斜率为，过定点；
直线的斜率为，过定点；
可知，所以两直线之间距离的最大值为．
故答案为：.
变式6．（23-24高二上·河南开封·期末）已知点分别是直线与直线上的点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先得到两直线平行，求出两平行线间距离公式求出的最小值，从而得到答案.
【详解】由可知直线，所以当且时，有最小值，
其最小值为平行直线与的距离，直线的方程可化为，
所以，即的取值范围是．
故答案为：
变式7．（23-24高二上·上海松江·期末）已知分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为
【答案】/
【分析】利用数形结合，找到线段的等量关系进行转化，找到最小值即可得解.
【详解】因为，，
所以直线与间的距离为，又，故，
过作直线垂直于，如图，
则可设直线的方程为，代入，得，则，
所以直线的方程，
将沿着直线往上平移个单位到点，设，
则，解得或（舍去），则，
连接交直线于点P，过P作于Q，连接BQ，
有，即四边形为平行四边形，
则，即有，
显然是直线上的点与点距离和的最小值，
因此的最小值，即的最小值，
而，
所以的最小值为 .
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是将等价转化为，从而得解.
【方法技巧与总结】
对两条平行直线之间的距离公式的理解
1.求两条平行线之间的距离可以转化为求点到直线的距离，也可以利用公式.
2.利用公式求平行线之间的距离时，两条直线方程必须是一般式，且x，y的系数对应相等.
3.当两条直线都与x轴（或y轴）垂直时，可利用数形结合来解决.
【题型4：点与点、点与线的对称问题】
例4．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案.
【详解】设点关于直线对称的点的坐标为，
则，解得，
故点关于直线对称的点的坐标为，
变式1．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）不论实数取何值时，直线都过定点，则直线关于点的对称直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出定点坐标，设直线关于点的对称直线方程为，则，解方程即可得出答案.
【详解】由可得：，
令，解得：，
所以，设直线关于点的对称直线方程为：，
则到直线与的距离相等，
所以，解得：，即（舍去）或.
故直线关于点的对称直线方程为：.
.
变式2．（21-22高二·全国·单元测试）直线ax＋y＋3a－10恒过定点M，则直线2x＋3y－60关于点M对称的直线方程为（ ）
A．2x＋3y－120 B．2x＋3y＋120 C．3x－2y－60 D．2x＋3y＋60
【答案】C
【分析】先求出定点M的坐标，再设出与直线2x＋3y－60关于点M对称的直线方程，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】由ax＋y＋3a－10得，
由，得，∴M（－3，1）．
设直线2x＋3y－60关于点M对称的直线方程为，
∴，解得:C12或C－6（舍去），
∴直线2x＋3y－60关于点M对称的直线方程为2x＋3y＋120．
．
变式3．（多选）（23-24高二上·安徽淮北·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．直线的倾斜角越大，它的斜率就越大
C．直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
D．点关于直线的对称点为
【答案】AD
【分析】对于AB，根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解；对于C，求出直线与坐标轴的交点坐标，从而求出三角形面积，对于D，设关于直线对称的点为，得到，再解方程即可判断.
【详解】对于A：任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角为时斜率不存在，故A正确；
对于B：直线的倾斜角为，时，显然不满足直线的倾斜角越大，斜率越大，故B错误；
对于C：直线，令，，令，，
故与两坐标轴围成的三角形的面积是，故C错误；
对于D：设关于直线对称的点为，
则，即关于直线对称的点为，故D正确.；
D
变式4．（23-24高二上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知直线与直线交于点A，则点A关于直线的对称点坐标是 .
【答案】
【分析】先根据两直线相交联立方程组求出点A的坐标；再设出对称点的坐标；最后列出关系式求解即可.
【详解】因为直线与直线交于点A，
所以联立，解得，即.
设点关于直线的对称点坐标为，
则的中点坐标为，，
故，解得，即点A关于直线的对称点坐标是.
故答案为：.
变式5.（22-23高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线的倾斜角为，且经过点．
(1)求直线的方程；
(2)求点关于直线的对称点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由倾斜角和斜率的关系求斜率，根据点斜式求直线的方程；
（2）设点的坐标为，由条件列方程求即可.
【详解】（1）设直线的斜率为，
因为直线的倾斜角为，
所以，
所以直线的方程为，即
（2）设点的坐标为，
则，解得，
所以点的坐标为．
变式6．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知直线，点.
(1)已知直线与平行，求的值；
(2)求点关于直线的对称点的坐标.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据两直线平行的斜率关系列式运算得解；
（2）设出对称点的坐标，利用中点在直线上，以及直线垂直，列出方程，即可求得结果.
【详解】（1）由直线平行直线，可得，解得或，
当时，直线符合题意，
当时，直线与直线重合，不合题意，
所以的值为3.
（2）设对称点的坐标为，则中点的坐标为，
所以可得，解得，
所以的坐标为.
变式7．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线：，直线的一个方向向量的坐标为，直线：与直线垂直
(1)求a，b的值；
(2)已知点，求点关于直线对称的点的坐标．
【答案】(1)，.
(2).
【分析】（1）根据直线的方向向量求出，根据直线：与直线垂直求出.
（2）设出对称点的坐标，然后根据点关于直线对称联立求解即可.
【详解】（1）因为直线：的一个方向向量的坐标为，
所以，
又因为直线：与直线垂直，
所以.
所以，.
（2）由（1）知直线：即，
设点关于直线对称的点，
则直线的斜率为，
线段的中点为，
代入直线方程得，
联立，
所以点的坐标为.
变式8．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线过点．
(1)若直线与直线垂直，求直线的方程
(2)若已知直线，点关于直线的对称点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直关系得到斜率，结合点坐标得到直线方程.
（2）设出对称点，根据斜率的关系和中点坐标得到方程组，解得答案.
【详解】（1）直线与直线垂直，则，
故直线的方程为，即
（2）设点关于直线的对称点的坐标为，
则，解得，故对称点坐标为.
【方法技巧与总结】
1.实质：该点是两对称点连线段的中点
方法：利用中点坐标公式
说明：平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称
2.实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线
1.当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，
一般地：设点(x0，y0)关于直线Ax+By+C=0的对称点(x’，y’)，则
2.当直线斜率不存在时：点关于的对称点为（，）
【题型5：直线关于点对称】
例5．（23-24高二上·四川成都·期中）直线l：关于点对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据直线关于点的对称直线平行，设出所求直线，利用点到直线距离求解.
【详解】因为不在直线l：上，
所以可设直线l：关于点对称的直线方程为，
则，解得或（舍去），
故所求直线方程为：.
变式1．（22-23高二上·福建福州·期中）已知点，直线：，则点到直线的距离为 ，直线关于点对称的直线方程为 ．
【答案】 /
【分析】利用点到直线距离公式求点到直线的距离，设直线上任一点关于点的对称点，确定的坐标关系，利用代点法求对称直线方程．
【详解】点，直线：，
则点到直线的距离为，
设直线关于点的对称直线为，
则直线上任一点关于点的对称点一定在直线上，
，解得，
将代入直线的方程可得，．
所以直线关于点对称的直线方程为.
故答案为：；.
变式2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l关于点B对称的直线的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用两点式求斜率，再由直线垂直得，应用点斜式写出直线l的方程；
（2）由直线平行设直线的方程为，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线的方程．
【详解】（1）因为点，，所以，
因为，所以，且直线l经过点，
所以直线l的方程为，即．
（2）设直线的方程为，
由点到直线l和直线的距离相等，
所以，解得，
所以直线的方程为．
变式3．（22-23高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求：
(1)点关于直线的对称点的坐标；
(2)直线关于点的对称直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据点关于线对称列式求解即可；
（2）根据相关点法分析运算即可.
【详解】（1）设，由题意可得，解得，
所以点的坐标为.
（2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为，
则，解得，
由于在直线上，则，即，
故直线关于点的对称直线的方程为.
变式4．（21-22高二上·江苏连云港·期中）已知直线经过两条直线和的交点，且________，若直线与直线关于点对称，求直线的方程．试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答，若选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分．①与直线垂直；②在轴上的截距为．
【答案】选①，；选②，.
【分析】选①可设直线的方程，求出交点并代入即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解；选②，由点斜式即可求出直线l的方程，在直线上取两点，再利用点的对称即可求解.
【详解】因为方程组的解为，
所以两条直线和的交点坐标为．
若选①，可设直线l的方程为，
点代入方程可得，即l：．
在直线l上取两点和，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为（0，0），
所以直线m的方程为．
若选②，可得直线l的斜率，
所以直线l的方程为．
在直线l上取两点和，点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
所以直线m的方程为，即．
变式5．（23-24高二上·河北石家庄·期中）将一张坐标纸折叠一次，使得点和点重合，点和点重合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点关于折线对称，先求出折线方程，再根据与关于折线对称求出即可.
【详解】设点和，线段中点为点,
折线即为线段的中垂线，
则，，所以，
直线的斜率为，则折线斜率为2，
所以折线方程为：，
由题知与关于折线对称，
则两点中点在直线上且两点连线与直线垂直，
所以化简得，
解得，所以.
变式6．（23-24高二上·全国·单元测试）已知点，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．条件①：点关于直线的对称点的坐标为；条件②：点的坐标为，直线过点且与直线垂直；条件③点的坐标为，直线过点且与直线平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求直线的方程；
(2)求直线：关于直线的对称直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算直线的斜率，根据两直线的平行或垂直关系得到斜率，根据点斜式方程得到直线方程.
（2）先计算直线，的交点；再在直线上取一点，求其关于对称的点；最后根据交点和对称点得到直线方程.
【详解】（1）选择条件：
因为点关于直线的对称点的坐标为，
所以是线段的垂直平分线，线段的中点坐标为．
因为，
所以直线的斜率为.
所以直线的方程为，即．
选择条件：
因为，直线与直线垂直，
所以直线的斜率为.
又因为直线过点，
所以直线的方程为，即．
选择条件，
因为，直线与直线平行，
所以直线的斜率为.
又因为直线过点，
所以直线的方程为，即．
（2）联立方程组，解得，
故，的交点坐标为，
设关于：对称的点为.
则，解得.
因为在直线：上，
所以直线关于直线对称的直线经过点，，代入两点式方程得，即，
所以：关于直线的对称直线的方程为．
【方法技巧与总结】
实质：两直线平行
法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）
法二：利用平行性质解（求出一个对称点，且斜率相等或设出平行直线系，利用点到直线距离相等）
【题型6：直线关于直线对称】
例6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据对称性的性质，用代，以代进行求解即可.
【详解】因为直线l：与直线关于直线对称，
所以在方程中，用代，以代，得，
化简，得，
变式1．（24-25高二上·上海·课堂例题）过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ）
A．θ B． C． D．
【答案】D
【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线和直线也关于直线对称 ，
所以或，
对于A，当时，，所以A正确，
对于B，当时，，所以B正确，
对于C，若，则不不成立，且也不不成立，所以C错误，
对于D，当时，，所以D正确.
变式2．（多选）（23-24高二上·山西太原·期中）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线与相交于点
B．直线和轴围成的三角形的面积为
C．直线关于原点O对称的直线方程为
D．直线关于直线对称的直线方程为
【答案】AC
【分析】通过联立方程组求得交点坐标，结合三角形的面积、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由解得，所以交点坐标为，A选项正确.
直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线过原点，由图可知，直线和轴围成的三角形的面积为，
所以B选项错误.
由上述分析可知，直线关于原点O对称的直线过点，
所以直线关于原点O对称的直线方程为，
所以C选项正确.
点关于直线的对称点是；
点关于直线的对称点是，
所以直线关于直线对称的直线方程为，
即，所以D选项错误.
C
变式3．（多选）（23-24高二上·江苏盐城·阶段练习）已知直线,，，以下结论正确的是（ ）
A．无论a为何值，与都互相垂直
B．当a变化时，表示过定点的所有直线
C．无论a为何值，与都关于直线对称
D．若与交于点M，则（O为坐标原点）的最大值是
【答案】AD
【分析】对A：讨论与时对应直线的位置关系即可；
对B：讨论斜率不存在时的情况，即可判断；
对C：讨论与平行的状态，即可判断；
对D：点的轨迹为圆，数形结合即可求的最大值.
【详解】对A：当时，方程为：，方程为：，两直线垂直；
当时，直线的斜率，直线的斜率，满足，两直线垂直；
故无论a为何值，与都互相垂直，A正确；
对B：，也即，其表示过点，斜率为的直线；
若直线过点且斜率不存在时，该方程无法表示，B错误；
对C：当时，直线,的方程分别为：
，，此时与平行，
关于的对称直线为，不是，故C错误；
对D：由A可得：直线垂直，且直线恒过定点，直线恒过定点，
故点的轨迹是以为直径的圆，此时恰有点也在该圆上，
故的最大值为圆的直径，故D正确.
D.
变式4．（24-25高二上·上海·随堂练习）若直线l与直线的夹角平分线为，则直线l的方程为 .
【答案】
【分析】由题意知，直线和关于直线对称，故把l的方程中的x 和y交换位置即得直线l的方程．
【详解】由题意可得直线l与直线关于直线对称，
由于直线上的任意一点关于直线的对称点为，
因为已知直线，则的方程是，即，
故答案为：.
变式5．（22-23高二上·安徽六安·阶段练习）已知直线的方程为.
（1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程 ；
（2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程 .
【答案】 .
【分析】根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程.
【详解】因为直线和直线关于点对称，
在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上，
将点代入直线可得，
所以直线的方程为；
设直线与直线的交点为，
所以，解得，则，
在直线上取点，设关于直线对称的点为，
则①
因为与的中点坐标为，
所以②
由①②可得，所以
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线经过点和点，
所以直线的两点式方程为，
整理得直线的一般式方程为.
故答案为: ;.
变式6．（23-24高二上·贵州遵义·阶段练习）已知的三个顶点是，，．
(1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；
(2)求的角平分线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，根据平面向量的坐标关系确定，即可列方程得的坐标，从而可得直线方程；
（2）利用对称性结合直线方程确定关于直线对称的点为的坐标关系式，即可得所求.
【详解】（1）设则，
因为的面积是面积的3倍，所以，
则解得
故直线的方程为，即
（2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，
则过点且与垂直的直线的方程为
设点关于直线对称的点为，
因为直线的方程为，
所以
整理得
因为，所以，解得或
又，，所以，
故直线的方程为，即
变式7．（22-23高二上·青海海南·期中）已知直线，求满足下列条件的直线的方程．
(1)与直线关于轴对称；
(2)过点，且与平行．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由对称方法求出直线方程作答.
（2）利用平行关系设出直线方程，再求出待定系数作答.
【详解】（1）设与直线关于轴对称的直线上任意点坐标为，则点在直线上，即有，
所以直线的方程为.
（2）设与直线平行的直线的方程为，
于是，解得，
所以直线的方程为.
【方法技巧与总结】
1.相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题
2.平行时：对称直线与已知直线平行
【题型7：反射光线问题】
例7．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知光线从点射出，经直线反射，且反射光线所在直线过点，则反射光线所在直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出关于直线的对称点为的坐标，由都在反射光线所在直线上得直线方程．
【详解】设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以反射光线所在直线方程为，即．
．
变式1．（22-23高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解.
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，化简得，解得，
故反射光线过点，
则反射光线所在直线的方程为.
.
变式2．（23-24高三上·河南三门峡·阶段练习）在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以为坐标原点，,所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系，通过对称光线的对称关系找到点关于，的对称点，，则即为的长.
【详解】解析：以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
所以直线的方程为.
设，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，
易得，.
易知直线就是所在的直线.
所以直线的方程为.
设的重心为，则，
所以，即，所以（舍去）或，
所以，.
结合对称关系可知，，
所以的周长即线段的长度为：
.
.
变式3．（23-24高二上·浙江温州·期中）在等腰直角中，，点是边的中点，光线从点出发，沿与所成角为的方向发射，经过反射后回到线段之间（包括端点），则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意建立直角坐标系，根据点关于线对称画出光路图，利用表示各点坐标，求出满足使反射后回到线段之间角范围.
【详解】
建立直角坐标系如图所示，，，，则直线
由题光线从点出发，沿光线路径依次为其中分别为光线与对应边交点，
设，点关于直线对称点为，设点关于直线对称点为，根据对称则有，
因为光线与所成角为的方向发射，即，令，k即为直线斜率，
则直线方程为，则与联立，
由光线反射的性质与光路可逆性知四点共线，
则直线方程为，
令得，
所以的取值范围为.
变式4．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于，的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点，如图所示，若光线经过的重心，则的长度为 .
【答案】
【分析】求出点关于和直线的对称点，结合光的反射原理列方程组求解可得.
【详解】以为原点，分别为轴建立平面直角坐标系，
则直线方程为，
设关于和直线的对称点分别为，则，
记，则，解得，
因为为的重心，，所以，
由光的反射原理可知，三点共线，所以，
即，解得（舍去）或.
故答案为：
变式5．（23-24高二上·山东潍坊·期中）如图，在直角坐标系中，已知，，从点射出的光线经直线反射到轴上，再经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程的为 .
【答案】
【分析】作出点关于轴的对称点以及关于的对称点，将问题转化为求解，由此求解出结果.
【详解】点关于轴的对称点，关于的对称点，如图所示，
又因为，，所以直线方程为：，即，
所以，解得，即.
所以光线经过的路程为.
故答案为：
变式6．（24-25高二上·上海·随堂练习）如图，已知，，，直线：．
(1)求直线经过的定点坐标；
(2)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分离参数，列方程可得直线过定点；
（2）分别求点关于直线与的对称点与，进而可得，再根据对称性可得，即可得直线方程.
【详解】（1）由直线：，即，
令，解得，
故直线恒过定点；
（2）设关于的对称点，则，
关于的对称点，
由直线的方程为，即，
所以，解得，
所以，
由题意得、、、四点共线，，
由对称性得，
所以入射光线的直线方程为，
即．
变式7．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知光线经过点，在直线上反射，且反射光线经过点，求：
(1)入射光线与直线l的交点．
(2)入射光线与反射光线所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)入射光线的方程，反射光线的方程
【分析】（1）根据题意，求得点关于直线的对称点为，得到反射光线的方程，联立方程组，即可求得交点坐标；
（2）根据题意，结合直线的点斜式方程，即可求得入射和反射光线的方程.
【详解】（1）解：设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
则反射光线所在的直线的方程，即，
又由，解得，
即直线与直线的交点为.
（2）解：由点，可得，
所以入射光线所在的直线的方程为，即，
反射光线所在直线的的方程，即.
【题型8：将军饮马问题】
例8．（23-24高二上·内蒙古锡林郭勒盟·期末）设直线l：，点，，P为l上任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得点关于直线l的对称点的坐标，则即为的最小值.
【详解】设点关于直线l的对称点为，
则有，解之得，则，
则的最小值为
变式1．（23-24高二上·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意画出图形，再确定出使的位置.然后求出值即可
【详解】由直线，和围成,如图所示，
点在内（含边界）运动，
在轴上运动，作点关于轴的对称点，则，
的最小值为到直线的距离，即.
.
变式2．（23-24高二上·河南商丘·期中）已知点，，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】画出草图可知，点M、点N在直线l同侧，运用对称性即可求得结果.
【详解】如图所示，
设点关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以．
.
变式3．（23-24高二上·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B．将军在河边饮马的地点的坐标为
C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D．“将军饮马”走过的总路程为5
【答案】C
【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 三点共线满足题意，其中点为点关于直线的对称点，对于A，由根据被垂直平分求出的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间距离公式求解即可.
【详解】如图所示：
由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，
三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”，
则，解得，即，
对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确；
对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确；
对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误；
对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误.
.
变式4．（23-24高二上·河南新乡·期中）的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将所求问题转化为上一点到两点的距离之和的最小值，可求出点关于直线的对称点为，可得答案.
【详解】因为
表示直线上一点到两点的距离之和．
设点关于直线的对称点为，所以，解得，
即，所以 ，
即的最小值为.
.
变式5．（23-24高二上·河南信阳·期中）已知，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．6
【答案】D
【分析】根据点点距离公式可将问题转化为的动点与点，的距离之和.根据点关于直线的对称，即可结合三点共线求解最值.
【详解】设点为直线l：的动点，
则，
可看作与点，的距离之和.
设关于直线l的对称点为，
则，解得，
所以，
则，当且仅当与共线时（即图中位置P），取等号
即的最小值是.
.
变式6．（22-23高二上·河北张家口·期末）已知实数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由表示直线上一动点到定点的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】解：表示直线上一动点到定点的距离之和，如图所示：
设点关于直线的对称点为，
则，解得，
所以对称点为，则
由图知：的最小值为，
变式7．（23-24高二上·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ．
【答案】
【分析】作关于轴的对称点，由此将问题转化为“求的最小值”，然后判断出最小值即为到的距离，代入公式可求结果.
【详解】如图，作点关于轴的对称点，则，
此时最小值即为到直线的距离，即，
所以的最小值为，
故答案为：.
【方法技巧与总结】
利用三角形边角关系，两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于等于第三边。
一、单选题
1．（23-24高二下·全国·课后作业）三角形的三个顶点为，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．9 D．25
【答案】C
【分析】根据两点间的距离公式，即可求得答案.
【详解】根据题意，利用两点间的距离公式，可得的长为，
2．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线与直线间的距离为，则（ ）
A．17 B． C．14 D．7
【答案】A
【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.
【详解】由题意，，解得（舍去）.
.
3．（2023高二上·全国·专题练习）若原点到直线的距离为1，则a，b，c应满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意利用点到直线的距离公式分析求解.
【详解】原点到直线的距离为1，
则，整理得.
.
4．（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知点，点B在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【分析】根据点到直线的距离即可求解.
【详解】由于不在直线上，所以当时，此时最小，
故,
故选:C
5．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解.
【详解】设点关于对称的点为，则，解得，
6．（23-24高二上·广西玉林·期中）已知，两点到直线的距离相等，则的值为（ ）
A．或 B．3或4 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解.
【详解】由题意知，
，整理得，
即，解得或.
.
7．（23-24高二下·全国·课堂例题）直线与直线相交，则实数的值为（ ）
A．或 B．或
C．且 D．且
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用两条直线相交的充要条件，列式求解即得.
【详解】由直线与直线相交，得，
即，解得且，
所以实数k的值为且.
8．（23-24高二上·广东湛江·期中）某地两厂在平面直角坐标系上的坐标分别为，一条河所在直线的方程为.若在河上建一座供水站，则到两点距离之和的最小值为（ ）
A． B．32 C． D．48
【答案】A
【分析】根据两点间距离公式和点的对称性建立方程组，求解即可.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则得即，
易知，
当三点共线时，
取得最小值，
最小值为 .
二、多选题
9．（23-24高二下·广西·开学考试）若直线：，：，：，：，则（ ）
A． B．与之间的距离为
C． D．与的倾斜角互补
【答案】CCD
【分析】根据直线方程判断直线的平行关系，可判定AC的真假；根据平行线的距离公式，判断B的真假；根据倾斜角和斜率的关系，判断D的真假.
【详解】由，得，所以与重合，，A错误，C正确．
与之间的距离为，B正确．
因为与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，D正确．
CD
10．（23-24高二上·山西太原·期末）已知直线：与：交于点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到原点的距离为
B．点到直线的距离为1
C．不论实数取何值，直线：都经过点
D．是直线的一个方向向量的坐标
【答案】AD
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项计算、判断即得.
【详解】由，解得，则点，
对于A，到原点距离，A正确；
对于B，到直线的距离，B错误；
对于C，，当时，直线不过点，C错误；
对于D，直线的斜率，因此是直线的一个方向向量的坐标，D正确.
D
11．（23-24高二上·湖北十堰·期末）点到直线的距离相等，则的值可能为（ ）
A．－2 B．2 C．9 D．11
【答案】CD
【分析】分点在直线的同侧或两侧进行讨论即可.
【详解】①若点在的同侧，则直线，
即，解得，
②若在的两侧，则经过线段的中点，
即，
D.
三、填空题
12．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为 .
【答案】
【分析】求出过原点与已知直线垂直的直线方程，联立已知方程求解可得.
【详解】易知，当垂直于直线时，取得最小值，
此时，所在直线方程为，
联立解得，即.
故答案为：
13．（23-24高二下·江西·阶段练面直角坐标系中，任意两点，，定义为“A，B两点间的距离”，定义为“A，B两点间的曼哈顿距离”，已知为坐标原点，为平面直角坐标系中的动点，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据得出，利用点到直线的距离可得答案.
【详解】设，则由，
因为，所以，
的最小值为点到线段的距离，
的最小值为.
故答案为：
14．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与直线关于直线对称，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】利用直线对称的性质求得直线的两点，从而利用点斜式即可得解.
【详解】直线取两点，
则它们关于对称的点为在直线上，
故直线的斜率为，
则直线的方程为，即.
故答案为：.
15．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用两点距离公式的几何意义与点线距离公式即可得解.
【详解】因为表示点到点的距离的平方，
而的最小值为点到直线的距离，即，
所以的最小值为9.
故答案为：.
16．（2023高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 .
【答案】2
【分析】表示点到点与点的距离之和，利用数形结合法求解.
【详解】表示点到点与点的距离之和，
即，如图所示：
由图象知：，
当点在线段上时，等号不成立.
所以取得最小值为2.
故答案为：2.
四、解答题
17．（23-24高二下·河北张家口·开学考试）已知直线：和：．
(1)若与互相垂直，求实数的值；
(2)若与互相平行，求与间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用直线垂直的充要条件求出的值；
（2）利用直线平行的充要条件求出的值，进一步求出两平行线间的距离．
【详解】（1）直线和．
当直线与互相垂直，故，
解得；故；
（2）当直线与互相平行，则，故直线的方程为；
所以直线与间的距离．
18．（22-23高二上·北京·期中）在平行四边形中，，边所在直线的方程分别为和．
(1)求边所在直线的方程和点到直线的距离；
(2)求线段垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程．
【答案】(1)；
(2)；
(3)和．
【分析】
（1）直线BC和直线AD平行，据此求出BC斜率，再根据BC过C，根据直线点斜式方程即可求解，再根据点到直线距离公式可求A到直线BC的距离；
（2）求出AC的斜率并求出线段AC中点坐标，根据点斜式方程即可求解；
（3）根据题意利用点斜式方程，表示出直线的横截距和纵截距，列方程即可求解．
【详解】（1）由的方程为，
可得直线的斜率为3，又经过点，
则直线的方程为，即；
点到直线的距离为；
（2）由，可得的中点坐标为，
又直线的斜率为，则线段垂直平分线斜率为，
则其所在的直线方程为，即为；
（3）由，解得，
由题意可得所求直线的斜率存在且不为0，
设所求直线的方程为，
今，则，
今，则，
由题意可得，
解得和，
则所求直线方程为和．
19．（23-24高二上·上海杨浦·期中）已知两条直线和.
(1)讨论直线与的位置关系；
(2)当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值.
【答案】(1)答案见解析；
(2)平行时距离为，相交时最大夹角为．
【分析】（1）由两相交求得的范围，再讨论平行与重合的情形即可；
（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为．
【详解】（1），且时，两直线相交，
时，两直线方程分别为和，两直线重合，
时，两直线方程分别为和，两直线平行．
综上， 且时，两直线相交，时，两直线重合，时，两直线平行．
（2）由（1）两直线平行时，两直线方程分别为和即为和，距离为，
两直线相交时，且，
时，的斜率为，的斜率为，
由得，即时两直线垂直，夹角最大为．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
