2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程
课程标准 学习目标
掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径 掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化 1.重点：圆的标准方程、一般方程会，根据条件求圆的方程 2.难点：圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用
知识点01 圆的标准方程
1.圆的基本要素：圆心和半径
2.圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在C上的充要条件是CM=r，即两边平方，得
+=，此式通常称为圆的标准方程．
【即学即练1】（24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是，且过点；
(2)圆心在轴上，半径为5，且过点；
(3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）利用两点距离公式可先求半径，再写标准方程即可；
（2）利用点的特征结合半径可先求圆心坐标，再写标准方程即可；
（3）设圆心坐标，利用到C、D距离相等计算求得圆心坐标，再写标准方程即可.
【详解】（1）由题意可知：，
圆的标准方程为；
（2）设圆心为，
则，
或，
圆心为或，
又，圆的标准方程为或；
（3）设圆心为，
，
，
即，
，，
圆的标准方程为
【即学即练2】（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为，半径是；
(2)圆心为，且经过点.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程；
（2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程．
【详解】（1）圆心在，半径长是，
故圆的标准方程为．
（2）圆心在，且经过点，
故半径为，
故圆的标准方程为．
知识点02由圆的标准方程确定点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 │MA│r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2
点在圆内 │MA│点在圆外 │MA│>r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
【即学即练3】（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）若点在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点与圆的位置关系，列出不等式求解即得.
【详解】由点在圆C：外，得，而，
所以实数m的取值范围是.
【即学即练4】（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是 ．
【答案】在圆的外部
【分析】由点到圆心的距离与圆的半径比较大小即得.
【详解】由圆的圆心到点的距离为，
知点在圆的外部.
故答案为：在圆的外部.
知识点03 圆的一般方程
1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为
r .
当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0表示点.
3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0不表示任何图形.
【即学即练5】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列出不等式求解即得.
【详解】依题意，，解得或，
所以实数的取值范围为.
【即学即练6】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 .
【答案】
【分析】利用待定系数法设出圆的一般方程，将三个点坐标代入，就可求得外接圆方程.
【详解】设外接圆方程为，
因为原点，，三点都在圆上，所以有
，解得，则圆的方程为，
故的外接圆方程为.
故答案为：
知识点04 由圆的一般方程确定点与圆的位置关系
已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点在圆上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0
点在圆内 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
点在圆外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0
判断二元二次方程Ax ＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆要" 两看"：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；
二看它能否表示圆．此时判断D ＋E - 4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.
【即学即练7】（22-23高二上·辽宁朝阳·期中）已知为圆外一点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】整理得到圆的标准方程，由题设及圆的性质可得，，计算即可求解.
【详解】整理得，圆，
因为点在圆外，所以，化简得，解得．
故答案为：
【即学即练8】（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知点P（2，1）在圆x +y +（λ1）x+2λy+λ=0外，则实数λ的取值范围是
【答案】
【分析】点坐标代入方程左边所得值应大于0，还要考虑方程是表示圆，两者结合可得结论．
【详解】由题意题设方程表示圆，则，或，
点在圆外，则，，
综上，的范围是．
故答案为：．
难点：动点问题
示例1：（22-23高二下·江西赣州·期中）已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】根据条件得到点在圆的内部或圆周上，点的轨迹是以为直径的圆，再结合平面图形的性质和基本不等式即可得出答案.
【详解】因为，所以点C在圆O：的内部或圆周上，
又动点P满足，
所以当A，C，P三点不重合时，点P的轨迹是以为AC直径的圆，如图：
当点C在圆O内时，延长AC交圆O于点D，设AC的中点为M，AD的中点为N，
则，，，
当点C在圆O上时，M，N两点重合，C，D两点重合，所以，
当且仅当点C在圆O上时取等号，则，当且仅当O，M，P三点共线时取等号，
因为，
当且仅当M，N重合时取等号，因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，此时，
所以，当且仅当O，M，P三点共线且点C在圆与y轴的交点处时取等号，
所以的最大值为，
．
【题型1：由圆的标准、一般方程确定圆心与半径】
例1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程.
【详解】由题意可得方程为.
.
变式1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的标准方程得解.
【详解】因为圆心为，半径为5，
所以圆的标准方程为，
变式2．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
【答案】AC
【分析】根据圆的标准方程特征即可求得圆心和半径.
【详解】圆的圆心为，半径为，A正确；
圆的圆心为，半径为，B错误；
圆的圆心为，半径为，C正确；
圆的圆心为，半径为，D错误．
C.
变式3．（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解.
【详解】的标准方程为，故所求分别为，.
.
变式4．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出给定圆的圆心坐标，再验证即可得解.
【详解】圆的圆心为，
不满足方程，，，ABC不是；
满足，D是.
变式5．（24-25高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)；
(2).
【答案】(1)圆心为，半径为；
(2)圆心为，半径为3
【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，结合圆的标准方程，即可求解.
【详解】（1）解：圆，可得化为，
可得圆心坐标为，半径为.
（2）解：圆，可得化为，
可得圆心坐标为，半径为.
变式6.（23-24高二下·全国·课前预习）方程表示的圆的圆心为 ，半径为 .
【答案】 3
【分析】将圆的一般式方程转化为标准式，即可得解.
【详解】根据题意，方程，
即，
所以圆心为，半径为3.
故答案为：；3.
变式7.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径．
【答案】或．圆心坐标为，半径为
【分析】配方后根据方程表示圆得出圆心，半径，由半径建立不等式求出的范围.
【详解】原方程可化为．
由，得，解得或，
所以a的取值范围是或，圆心坐标为，半径为．
【方法技巧与总结】
由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点.
【题型2：由圆心与半径确定圆的标准方程】
例2．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】假设圆的标准方程，根据题意列出方程求解圆心和半径即可.
【详解】因为圆心在上，所以设圆心为,
因为圆的半径为，
所以设圆的标准方程为,
因为该圆过原点，
所以，
解得,
所以圆心为或,
当圆心为时，圆的标准方程为，D对;
当圆心为时，圆的标准方程为.
.
变式1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解.
【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为，
又，解得，所以圆的方程为.
变式2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程.
【详解】由题意，，中点为，
所以线段的中垂线为，令得，
所以，半径，所以圆M的标准方程为．
.
变式3．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ．
【答案】
【分析】由题可得，进而由题意结合中点坐标公式和两点间距离公式可求出所求圆的圆心和半径，进而可得该圆的标准式方程.
【详解】由题得，故以和为直径的圆的圆心为，半径为，
所以以圆心和为直径的圆的标准方程是.
故答案为：.
变式4．（2024·江西南昌·三模）设圆心在轴的圆过点，且与直线相切，则圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】设圆的圆心为，根据已知条件得出半径为，再将代入即可解出，从而得到答案.
【详解】设圆的圆心为，则由于该点到直线的距离，结合圆与直线相切，知圆的半径为.
所以圆的方程是.
而圆过点，所以，解得.
所以圆的标准方程是.
故答案为：.
变式5．（23-24高二下·上海·期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 .
【答案】
【分析】求出圆心坐标和半径可得.
【详解】根据题意，圆心坐标为，半径为，
所以圆的标准方程为.
故答案为：.
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ．
【答案】
【分析】根据圆的标准方程求解即可.
【详解】已知圆心为，半径，
则圆的标准方程为：.
故答案为：.
变式7．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点.
(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；
(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.
【答案】(1)；
(2)定点坐标为，证明见解析.
【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解；
（2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论
【详解】（1）当，，故，，
所以此时圆的标准方程为.
（2）设点是圆上任意一点，
因为是圆的直径，所以，
即，
所以圆的方程为：，
则，，等式恒不成立，定点为，
所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为.
【方法技巧与总结】
圆的标准方程的两种求法
（1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程.
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设————设所求圆的方程为（x- a） +（y-b） =r ；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解———解方程组，求出a，b，r；
④代————将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程.
【题型3：圆的一般方程的求解】
例3．（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 .
【答案】
【分析】利用待定系数法及圆的一般方程即可求解.
【详解】设圆的一般式方程为：，
因为圆经过点,
所以,解得，
所以圆的一般式方程为：.
故答案为：.
变式1．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
【答案】
【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论.
【详解】设所求圆的一般方程为，
因为点，，在圆上，
所以，
解得，
则所求圆的一般方程为：，
.故答案为：.
变式2.（22-23高二上·北京石景山·期末）在中，，B和C．则的外接圆方程为 ．
【答案】
【分析】设出圆的一般方程，代入点的坐标求解即可．
【详解】由题意设圆的方程为，
代入三个点的坐标可得，解得，
所以的外接圆方程为，
故答案为：．
变式3．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形的三个顶点，，．
(1)求过A，B，C三点的圆的方程．
(2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）方法一：根据斜率分析可知，结合直角三角形的外接圆的性质分析求解；方法二：设圆的一般方程，代入A，B，C三点运算求解即可；
（2）利用向量关系求得.方法一：根据题意可知直线l过线段的中点，再利用直线的两点式方程运算求解；方法二：设l与相交于点，可知，利用向量关系求得点，再利用直线的两点式方程运算求解.
【详解】（1）
方法一：因为，，，
则，，
由，得，
则过A，B，C三点的圆的圆心为线段的中点，
半径，
所以过A，B，C三点的圆的方程为；
方法二：设过A，B，C三点的圆的方程为，
则，解得，
故过A，B，C三点的圆的方程为，即.
（2）
设，
由题意可得：，，
因为线段上靠近点A的三等分点为E，则，
则，解得，即．
方法一：直线l平分四边形的面积，可知直线l过线段的中点，
所以直线l的方程为，整理得；
方法二：设l与相交于点，则，
由直线l平分四边形的面积，可得，
则，解得，即，
所以直线l的方程为，整理得.
变式4．（23-24高二上·全国·期中）已知△ABC的三个顶点为．
(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据A、C两点的坐标求出直线AC的斜率；再利用垂直关系求出高线BD的斜率；最后利用点斜式写出直线BD的方程；
（2）设△ABC的外接圆方程为，把A、B、C三点的坐标代入方程求出D、E、F即可．
【详解】（1）因为△ABC的三个顶点为，
所以直线AC的斜率为，
所以AC边上的高BD所在直线的斜率为，
所以直线BD的方程为，
化为一般式方程为.
（2）设△ABC的外接圆方程为，
把A、B、C三点的坐标代入方程，得，即，
解得：；
所以所求圆的方程为．
变式5．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知三点，求：
(1)的面积.
(2)外接圆的一般方程.
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用两点距离公式求得，再利用点线距离公式求得到直线的距离，再利用三角形面积公式即可得解；
（2）利用待定系数法即可得解.
【详解】（1）因为，所以，，
故直线的方程为，即，
又，所以到直线的距离为，
所以；
（2）设外接圆的一般方程为，
则，所以，
所以外接圆的一般方程为.
变式6．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为．
(1)求C点的坐标；
(2)求的外接圆方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由直线方程联立求交点，由边上的中线联立求得的中点，进而由中点坐标公式得点坐标；
（2）联立边上的中线得点坐标，设出圆的一般方程，由三点坐标代入待定系数即得.
【详解】（1）由，得，
所以A点的坐标为，
由，得，即边AC的中点为，
所以C与A关于点M对称，
设，则，得，
所以C点的坐标为．
（2）由，得，
故B点的坐标为，
设的外接圆方程为，且，
则，得，
则所求圆的方程为．
变式7．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三个顶点为，，，
(1)求三角形ABC外接圆的方程；
(2)判断点是否在这个圆上.
【答案】(1)
(2)点在这个圆上，点不在这个圆上
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入计算即可；
（2）将点的坐标代入圆方程判断即可.
【详解】（1）设三角形ABC外接圆的方程为
由已知可得方程组：解得：，
则圆的方程为.
（2）圆的标准方程化为.
把点的坐标代入圆的方程，得，
即点的坐标满足圆的方程，所以点在这个圆上，
把点的坐标代入圆的方程得，
即点的坐标不满足圆的方程，所以点不在这个圆上.
【题型4：由一般方程确定参数取值范围】
例4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果.
【详解】由题意整理可得：，
则，解得，
且圆的半径，
当且仅当时，等号不成立，
即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为.
.
变式1．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】若二元二次方程表示圆，则必须满足.
【详解】由，
得，
即,
解得
故选：
变式2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断.
【详解】若方程表示圆，
则，
解得，
又，所以或，
即程表示的圆的个数为.
变式3．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据方程表示圆的条件可得结果.
【详解】因为方程表示一个圆，
所以，
即，所以或，
.
变式4．（22-23高二上·全国·期中）“实数”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先求实数的取值范围，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项.
【详解】若方程表示圆，则，解得，
因为，
所以 “实数”是“方程表示圆”的充分不必要条件.
变式5．（多选）（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是一条直线
B．当时，曲线是一个圆
C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为
D．当曲线是面积为的圆时，
【答案】AB
【分析】将代入曲线的方程化简，可判断A选项；利用圆的一般方程可判断B选项；求出圆的半径，利用圆的面积公式结合基本不等式可判断C选项；利用圆的半径公式可求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对；
对于B选项，当时，曲线的方程可化为，
因为，此时，曲线是一个圆，B对；
对于C选项，当曲线是圆时，其半径为，
当且仅当时，即当时，等号不成立，即的最小值为，
因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错；
对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为，
即，解得或，D错.
B.
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 ．
【答案】2
【分析】根据题意可得圆的标准方程，进而可得一般方程，进而可得，即可得结果.
【详解】因为圆心为，半径为1的圆的方程为，即，
结合题意可得，所以.
故答案为：2.
变式7．（24-25高二上·全国·随堂练习）若方程表示圆的标准方程，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得，求解即可.
【详解】方程表示圆的标准方程，
可得，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
二元二次方程与圆的关系
1.形如x ＋y +Dx＋By＋F=0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
①由圆的一般方程的定义判断D ＋E - 4F是否为正. 若D ＋E - 4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；
②将方程配方变形成“标准"形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.
2.由圆的一般方程x ＋y ＋Dx＋Ey＋F=0求圆心和半径长的方法：
①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；
②运用二元二次方程x2+y +Dx＋Ey+F=0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式求出半径
【题型5：点与圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解.
【详解】由题意得，圆的标准方程为，
故，，
又点在圆外，所以，
，或，
所以m的取值范围为．
.
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将圆的一般方程化为标准方程后可得圆心及其半径，结合圆的性质与第二象限的点的性质计算即可得解.
【详解】由化简可得，
则该圆圆心为，半径为，
由题意可得，解得，故实数的取值范围是.
.
变式2．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点在圆外代入圆的方程可得，再由圆的一般方程中可得，最后求交集即可.
【详解】由题意知，
故，
又由圆的一般方程，
可得，即，
即或，
所以实数的范围为.
.
变式3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（ ）
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
【答案】C
【分析】将圆的方程化为标准方程，代入原点求出距离和半径对比可判断.
【详解】由圆的标准方程，知圆心为，
则原点与圆心的距离为，因为，
所以，即原点在圆外.
.
变式4．（22-23高二上·河南郑州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由方程表示圆的条件以及点到圆心的距离大于半径求解即可
【详解】圆，
则圆，圆心，半径，
点在圆的外部，
，即，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
.
变式5．（22-23高二上·浙江·期中）若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得且，求解即可.
【详解】解：因为点不在圆的外部，
所以且，
化简得：
解得：.
.
变式6．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
【答案】A
【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以.
．
变式7．(多选)（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】CC
【分析】利用轴对称的性质，算出点关于直线的对称点的坐标，然后根据点在圆内建立关于的不等式，解出的取值范围，即可得到本题的答案．
【详解】设点关于直线的对称点为，
则，得，即，
若点在圆内，则，解得：．
对照各个选项，可知B、C两项符合题意．
C．
【题型6：圆过定点问题】
例6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果.
【详解】圆的方程化为，
由得或，
故圆恒过定点．
．
变式1．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】A
【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
.
变式2．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－20恒过定点 .
【答案】（0，－2）和（0，1）
【详解】
解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－20可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）.
变式3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ．
【答案】
【分析】设出点利用两点间距离公式得到比值关系，设为，最后利用方程与N无关得到关系式计算得到答案.
【详解】设，且，
，
因为为定值，设，
化简得：，与点位置无关，
所以，
解得：或，
因为异于点，所以定点N为.
故答案为：.
变式4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切.
(1)求定点P的坐标；
(2)求圆C的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将分离参数，可得，解方程组，即可求得答案.
（2）设出圆的标准方程，由题意列出方程，求得参数，即可得答案.
【详解】（1）直线，即，
由于，故，
即直线过定点.
（2）设圆C的方程为，
由题意得圆C经过P点且与x轴正半轴和y轴正半轴都相切，
则且，即，
解得或，
故圆C的方程为或.
变式5．（2021高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：yx2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
【答案】(1)存在；
(2)证明见解析
【分析】（1）令y0，得x2－mx＋2m0，根据结合韦达定理得到，得到半径和圆心，得到圆方程.
（2）设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m0，代入点C坐标，得到圆方程，确定，得到定点.
【详解】（1）由曲线Γ：yx2－mx＋2m(m∈R)，令y0，得x2－mx＋2m0．
设A(x1，0)，B(x2，0)，可得Δm2－8m＞0，则m＜0或m＞8．x1＋x2m，x1x22m．
令x0，得y2m，即C(0，2m)．
若存在以AB为直径的圆过点C，则，,
得x1x2＋4m20，即2m＋4m20，所以m0(舍去)或．
此时C(0，－1)，AB的中点即圆心，半径r|CM|，
故所求圆的方程为．
（2）设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m0，
将点C(0，2m)代入可得E－1－2m，
所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m0．
整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)0．
令可得或
故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和．
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项.
【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意；
对于B，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意；
对于C，，，的坐标都满足圆的方程，
的坐标不满足圆的方程，
即圆过四个点中的三个点，故C符合题意；
对于D，，的坐标都不满足圆的方程，
即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意.
.
2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可.
【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误，
对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误，
对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误，
对于D，因为，所以在圆内，所以D正确.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意确定圆的半径，结合圆的面积公式建立方程，解之即可求解.
【详解】因为圆，即，
所以，解得.
.
4．（2024高三·全国·专题练习）经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋10与x＋y－20的交点的圆的方程为（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)21
B．(x－1)2＋(y－1)21
C．(x＋1)2＋(y－1)22
D．(x－1)2＋(y－1)22
【答案】A
【详解】由得即所求圆的圆心坐标为(1，1).又该圆过点(2，0)，所以其半径为，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)22.
5．（2024高三·全国·专题练习）若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)25的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
【答案】A
【详解】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)25的内部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1.
6．（2024高三·全国·专题练习）圆x2＋y24上的点到点(1，0)的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．5
【答案】D
【详解】
因为点(1，0)在圆x2＋y24内，且点(1，0)到圆心(0，0)的距离为1，所以圆上的点到点(1，0)的距离的最大值为2＋13.
7．（23-24高二下·全国·课堂例题）若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先得到圆心坐标，即可得到圆心在直线上，从而求出参数的值.
【详解】圆的圆心为，
因为直线是圆的一条对称轴，
所以圆心在直线上，
所以，解得，
故圆心坐标为.
.
8．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出圆心坐标，从而得到答案.
【详解】，
故圆心为，要想圆心到轴、轴的距离相等，
则.
二、多选题
9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点
C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
【答案】AD
【分析】对于A，直接由圆的半径是，即得到答案；对于B，利用不等式说明圆C必定不过即可；对于C，给出和作为例子即可；对于D，说明圆心总在上即可.
【详解】对于A，由于每个圆的半径都是，故面积都是，A正确；
对于B，由于，故圆C必定不过，B错误；
对于C，对和，均有，故，即圆C经过点，C错误；
对于D，圆心始终在直线上，D正确.
D.
10．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（ ）
A．x2＋(y＋)2 B．x2＋(y－)2
C．x2＋(y＋)2 D．x2＋(y－)2
【答案】DD
【详解】
题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，b)，半径为r，则r sin 1，r cos |b|，解得r，|b|，即b±.故圆的方程为x2＋(y±)2.
11．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（ ）
A．在圆P上 B．在圆P内
C．在圆P内 D．在圆P外
【答案】AC
【分析】先计算圆P的圆心及半径，在利用点到圆心的距离与半径的大小关系一一判定即可.
【详解】以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径，
易知，，，，
所以点在圆P上，点N在圆P外，点Q在圆P内．
C．
三、填空题
12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设点，借助两点间距离公式代入计算即可得.
【详解】设，则有，
化简得，即点的轨迹方程是.
故答案为：.
13．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】首先设中点坐标为，再设出相关点的坐标，代入圆的方程，即可求解.
【详解】设连线的中点为，则，
则，即.
故答案为：
14．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 .
【答案】
【分析】由圆的方程求出圆心的坐标，则，从而可得答案.
【详解】由题可知的圆心坐标为，
因为点在圆上，
所以圆的半径.
故答案为：
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段的中点M的轨迹C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果；
（2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果.
【详解】（1）圆的方程可变形为，
故的圆心坐标为，半径为2.
（2）设，因为点M是的中点，，
，
故，
由此可得，
故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆.
16．（23-24高二上·广东河源·期末）已知点，，直线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求出直线的斜率，再结合垂直的条件求出的值.
（2）求出线段的中垂线，再求出圆心的坐标.
【详解】（1）依题意，直线的斜率为，由直线垂直于直线，得，
所以.
（2）线段的中点坐标为，则线段的中垂线方程为，即，
由圆经过点，得圆心在直线上，而圆心又在轴上，
所以点的坐标为.
17．（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径.
问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程；
注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
【答案】选择见解析；
【分析】设圆方程为，利用待定系数法即可得解；
【详解】若选①：
依题意，设圆方程为，，，
则，解得，
所以圆方程为，标准方程为．
若选②：
依题意，设圆方程为，，
又圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆方程为，标准方程为.
若选③：
依题意，点E为AB中点，故E点坐标为，圆E的半径，
所以圆标准方程为.
18．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据斜率关系，再应用点斜式求出直线方程；
（2）根据矩形求出外接圆的圆心及半径得出圆的标准方程.
【详解】（1）因为AB边所在直线的方程为，且AD与AB垂直，
所以直线AD的斜率为
又因为点在直线AD上，所以AD边所在直线的方程为，
即
（2）由，解得点A的坐标为
因为矩形ABCD两条对角线的交点为
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又，
从而矩形ABCD外接圆的方程为
19．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求的垂直平分线方程，联立直线的方程可得圆心坐标，然后可得半径，进而得出圆的标准方程；
（2）设关于的对称点为，结合反射光线原理可得其对称点坐标，进而利用直线的两点式方程即可得出结果.
【详解】（1）由题知中点为，，
所以的垂直平分线方程为，即，
联立，解得，即圆心为，
所以圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）设关于的对称点为，
则直线与垂直，且的中点在直线上，
则，解得，
由题意知反射光线过圆心，故，
即.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3.1圆的标准方程2.3.2圆的一般方程
课程标准 学习目标
掌握圆的标准方程，能根据圆心坐标和半径熟练地写出圆的标准方程，也能根据圆的标准方程熟练地写出圆的圆心坐标和半径 掌握圆的一般方程，了解圆的一般方程的结构特征，熟练掌握圆的标准方程和一般方程之间的互化 1.重点：圆的标准方程、一般方程会，根据条件求圆的方程 2.难点：圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用
知识点01 圆的标准方程
1.圆的基本要素：圆心和半径
2.圆的标准方程
一般地，如果平面直角坐标系中C的圆心为C（a，b），半径为r（r>0），设M（x，y）为平面直角坐标系中任意一点，则点M在C上的充要条件是CM=r，即两边平方，得
+=，此式通常称为圆的标准方程．
【即学即练1】（24-25高二上·全国·课前预习）求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是，且过点；
(2)圆心在轴上，半径为5，且过点；
(3)求过两点和，圆心在轴上的圆的标准方程．
【即学即练2】（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程：
(1)圆心为，半径是；
(2)圆心为，且经过点.
知识点02由圆的标准方程确定点与圆的位置关系
圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则
位置关系 判断方法
几何法 代数法
点在圆上 │MA│r 点M在圆A上 点M(x0，y0)在圆上 (x0－a)2＋(y0－b)2r2
点在圆内 │MA│点在圆外 │MA│>r 点M在圆A外 点M(x0，y0)在圆外 (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2
【即学即练3】（22-23高二上·四川雅安·阶段练习）若点在圆C：外，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（24-25高二下·上海·随堂练习）已知点，则该点与圆的位置关系是 ．
知识点03 圆的一般方程
1.当D2＋E2－4F＞0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0称为圆的一般方程，其圆心为，半径为
r .
当D2＋E2－4F=0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0表示点.
3.当D2＋E2－4F<0时,方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0不表示任何图形.
【即学即练5】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练6】（23-24高二下·重庆铜梁·开学考试）已知，，为原点，则的外接圆方程为 .
知识点04 由圆的一般方程确定点与圆的位置关系
已知M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0（D2＋E2－4F＞0），其位置关系如下表：
位置关系 代数关系
点在圆上 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F=0
点在圆内 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F<0
点在圆外 x02＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0
判断二元二次方程Ax ＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆要" 两看"：
一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A=C≠0，②B=0；
二看它能否表示圆．此时判断D ＋E - 4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.
【即学即练7】（22-23高二上·辽宁朝阳·期中）已知为圆外一点，则实数的取值范围为 .
【即学即练8】（22-23高二上·上海杨浦·期中）已知点P（2，1）在圆x +y +（λ1）x+2λy+λ=0外，则实数λ的取值范围是
难点：动点问题
示例1：（22-23高二下·江西赣州·期中）已知O为坐标原点，，设动点C满足，动点P满足，则的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【题型1：由圆的标准、一般方程确定圆心与半径】
例1．（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（多选）（24-25高二上·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为，半径为
B．圆的圆心为，半径为
C．圆的圆心为，半径为
D．圆的圆心为，半径为
变式3．（23-24高二下·湖南岳阳·阶段练习）已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式4．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知圆的方程是，则下列直线中通过圆心的是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（24-25高二上·全国·假期作业）求下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)；
(2).
变式6.（23-24高二下·全国·课前预习）方程表示的圆的圆心为 ，半径为 .
变式7.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示圆，求a的取值范围，并求出圆心坐标和半径．
【方法技巧与总结】
由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小；反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程，这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点.
【题型2：由圆心与半径确定圆的标准方程】
例2．（2024·海南·模拟预测）下列方程中表示圆心在直线 上，半径为 ，且过原点的圆的是 （ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（ ）．
A． B．
C． D．
变式2．（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（24-25高二上·江西鹰潭·开学考试）已知圆，以圆心和为直径的圆的标准方程是 ．
变式4．（2024·江西南昌·三模）设圆心在轴的圆过点，且与直线相切，则圆的标准方程为 .
变式5．（23-24高二下·上海·期中）已知点，，以线段为直径的圆的标准方程为 .
变式6．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ．
变式7．（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点.
(1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程；
(2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标.
【方法技巧与总结】
圆的标准方程的两种求法
（1）几何法：利用图形的平面几何性质，如"弦的中垂线必过圆心"，" 两条弦的中垂线的交点必为圆心"，以及中点坐标公式、两点间距离公式等，直接求出圆心坐标和半径，进而得到圆的标准方程.
（2）待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组可得到圆的标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常用的方法，一般步骤是：
①设————设所求圆的方程为（x- a） +（y-b） =r ；
②列——由已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解———解方程组，求出a，b，r；
④代————将a，b，r代入所设方程，得所求圆的方程.
【题型3：圆的一般方程的求解】
例3．（2024·山西临汾·二模）已知圆过点，则的方程为 .
变式1．（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ．
变式2.（22-23高二上·北京石景山·期末）在中，，B和C．则的外接圆方程为 ．
变式3．（23-24高二上·湖南·期末）已知四边形的三个顶点，，．
(1)求过A，B，C三点的圆的方程．
(2)设线段上靠近点A的三等分点为E，过E的直线l平分四边形的面积．若四边形为平行四边形，求直线l的方程．
变式4．（23-24高二上·全国·期中）已知△ABC的三个顶点为．
(1)求AC边上的高BD所在直线的方程；
(2)求△ABC的外接圆的方程．
变式5．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）已知三点，求：
(1)的面积.
(2)外接圆的一般方程.
变式6．（23-24高二上·安徽·阶段练习）已知在中，AB边所在直线的方程为，AC边所在直线的方程为，AC边上的中线所在直线的方程为．
(1)求C点的坐标；
(2)求的外接圆方程．
变式7．（23-24高二上·新疆喀什·期中）已知三角形ABC的三个顶点为，，，
(1)求三角形ABC外接圆的方程；
(2)判断点是否在这个圆上.
【题型4：由一般方程确定参数取值范围】
例4．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）方程所表示的圆的最大面积为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·江苏南通·期中）若方程表示一个圆，则实数 m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式3．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式4．（22-23高二上·全国·期中）“实数”是“方程表示圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式5．（多选）（23-24高二上·河北邢台·期末）已知曲线，下列结论正确的是（ ）
A．当时，曲线是一条直线
B．当时，曲线是一个圆
C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为
D．当曲线是面积为的圆时，
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）若方程表示圆心为，半径为1的圆，则 ．
变式7．（24-25高二上·全国·随堂练习）若方程表示圆的标准方程，则的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
二元二次方程与圆的关系
1.形如x ＋y +Dx＋By＋F=0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
①由圆的一般方程的定义判断D ＋E - 4F是否为正. 若D ＋E - 4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；
②将方程配方变形成“标准"形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆.
2.由圆的一般方程x ＋y ＋Dx＋Ey＋F=0求圆心和半径长的方法：
①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径长；
②运用二元二次方程x2+y +Dx＋Ey+F=0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式求出半径
【题型5：点与圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知圆上的所有点都在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·河北沧州·二模）若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，则原点O在（ ）
A．圆内 B．圆外 C．圆上 D．圆上或圆外
变式4．（22-23高二上·河南郑州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（22-23高二上·浙江·期中）若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（21-22高二上·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1
变式7．(多选)（23-24高二下·江苏南京·期中）点关于直线的对称点在圆内，则实数可以为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【题型6：圆过定点问题】
例6．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（21-22高二上·浙江温州·期中）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
变式2．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－20恒过定点 .
变式3．（23-24高二上·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ．
变式4．（23-24高二上·重庆·期中）已知直线过定点P，圆C经过P点且与x轴和y轴正半轴都相切.
(1)求定点P的坐标；
(2)求圆C的方程.
变式5．（2021高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：yx2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C．
(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．
一、单选题
1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）经过点(2，0)，且圆心是两直线x－2y＋10与x＋y－20的交点的圆的方程为（ ）
A．(x＋1)2＋(y＋1)21
B．(x－1)2＋(y－1)21
C．(x＋1)2＋(y－1)22
D．(x－1)2＋(y－1)22
5．（2024高三·全国·专题练习）若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)25的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．{a|－1＜a＜1}
B．{a|0＜a＜1}
C．{a|a＜－1或a＞1}
D．{a|－1＜a＜0}
6．（2024高三·全国·专题练习）圆x2＋y24上的点到点(1，0)的距离的最大值为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．5
7．（23-24高二下·全国·课堂例题）若直线是圆的一条对称轴，则圆心坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高三上·北京海淀·开学考试）若圆的圆心到轴、轴的距离相等，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（21-22高二上·安徽芜湖·期中）设圆，则下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的面积都是 B．存在，使得圆C过点
C．经过点的圆C有且只有一个 D．不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
10．（2024高三·全国·专题练习）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（ ）
A．x2＋(y＋)2 B．x2＋(y－)2
C．x2＋(y＋)2 D．x2＋(y－)2
11．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，两点，以线段为直径的圆为圆P，则（ ）
A．在圆P上 B．在圆P内
C．在圆P内 D．在圆P外
三、填空题
12．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，若点满足，则点的轨迹方程是 ．
13．（23-24高二上·四川宜宾·期中）已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是 ．
14．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）若点在圆上，则的半径 .
四、解答题
15．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．
(1)求圆的圆心坐标；
(2)求线段的中点M的轨迹C的方程．
16．（23-24高二上·广东河源·期末）已知点，，直线与直线垂直.
(1)求的值；
(2)若圆经过点，且圆心在轴上，求点的坐标.
17．（23-24高二下·全国·课堂例题）从以下三个条件中任选一个，补充在下面的问题横线处，并进行解答.①经过点；②圆心在直线上；③以线段为直径.
问题：已知圆经过两点，且__________.求圆的方程；
注：如选择多个条件分别解答，按第一个条件计分.
18．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知矩形ABCD的两条对角线相交于点，AB 边所在直线的方程为，点在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
19．（23-24高二上·山西运城·阶段练习）已知圆经过，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若从点发出的光线经过直线反射后恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程.
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