2.3.3直线与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1.理解直线与圆的三种位置关系: 2.能根据方程判断直线与圆的位置关系; 3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。 1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、 ②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
知识点01 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C0与圆(x－a)2＋(y－b)2r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d d＜r dr d＞r
代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ0 Δ＜0
图形
【即学即练1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心 D．相离
【答案】D
【分析】利用圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆的圆心为，半径为，
故圆心到直线的距离为，且圆心不在直线上，
所以直线与圆的位置关系为相交但直线不过圆心.
.
【即学即练2】(多选)（22-23高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆相切的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】CC
【分析】根据圆心到直线的距离与半径的关系对选项一一验证即可.
【详解】圆的圆心为，半径．
对于选项A，圆心到直线的距离．所以直线与圆相交；
对于选项B，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
对于选项C，圆心到直线的距离，所以直线与圆相切；
对于选项D，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．
C.
知识点02圆的切线
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.
【即学即练3】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为 .
【答案】
【分析】利用垂直直线的斜率关系和直线方程相关概念直接求解.
【详解】因为点在圆上，
所以过的圆的切线方程和垂直，
因为，，所以，所以切线方程斜率为，
所以切线方程为，即.
故答案为：
【即学即练4】（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
【答案】
【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得.
【详解】由题知，，则切线斜率，
所以切线方程为，整理为．
故答案为：
知识点03 切线长
1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .
2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b.
【即学即练5】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得圆的圆心坐标和半径，再利用切线长定理即可求得的值.
【详解】因为圆，
所以圆的圆心为，半径为，
因为与圆相切，切点为B，
所以，则，
因为，
所以.
.
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 ．
【答案】
知识点04 圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L 2.
(2)代数法：若直线ykx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB||x1－x2||y1－y2|.
【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆，直线被圆C截得的弦长为 .
【答案】
【分析】根据直线和圆的位置关系，利用点到直线的距离公式和弦长公式求解.
【详解】解：由题意可得，圆心为，半径，
弦心距，
故直线被C截得的弦长为，
故答案为：
【即学即练8】（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】依题意，作出图形，求出圆心坐标和半径，过圆心作于，分别计算和，即可求得的面积.
【详解】
如图，由圆配方得，，知圆心为,半径为，
过点作于，由到直线的距离为,
则,
故的面积为.
.
难点：最值问题
示例1：（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A．＋2，－2 B．＋2，
C．，－2 D．，
【答案】D
【分析】由题意可得曲线表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，表示半圆上的动点与点的距离，作出图象，结合图象求解即可．
【详解】由，可知，，
且有，表示的图形为以为圆心，2为半径的半圆，如图所示：
又因为表示半圆上的动点与点的距离，
又因为，
所以的最小值为，
当动点与图中点重合时，取最大值，
．
【题型1：直线与圆有关的位置关系】
例1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由圆的位置和直线所过定点，判断直线与圆的位置关系.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
直线过圆内定点，斜率可正可负可为0，
ABD选项都有可能，C选项不可能.
.
变式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆相切
C．直线与圆相交 D．直线与圆相离
【答案】D
【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可.
【详解】圆的圆心，半径，
直线恒过定点， 显然，
因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确.
变式2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点
【答案】D
【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心到直线l的距离与半径的关系判断作答.
【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为，
依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即，
而圆的圆心为，半径为，
于是得圆心到直线l的距离为，
所以直线l与圆相切.
变式3.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线，圆，则l与圆C（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能
【答案】D
【分析】求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，与半径比较即可判断求解．
【详解】圆的圆心为，半径，
则圆心到直线的距离，
故直线与圆相离．
．
变式4．（2007高二·全国·竞赛）直线绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆的位置关系为（ ）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点
【答案】D
【分析】先求出直线绕原点逆时针方向旋转30°后的直线方程，再由点到直线的距离公式求出则圆心到直线的距离，与半径比较，即可得出答案.
【详解】直线的倾斜角为，
直线绕原点逆时针方向旋转30°后直线的倾斜角为，
旋转后的直线方程为，
则圆心到直线的距离 ，
∴直线与圆相切.
.
变式5.（10-11高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（ ）
A．P在圆外 B．P在圆上
C．P在圆内 D．P与圆的位置不确定
【答案】A
【分析】根据直线与圆有两个不同的交点，知道它们相交.借助，得到,进而得到点与圆的位置关系.
【详解】直线与圆有两个不同的交点，则它们相交.
根据，得到，即.则点与圆的位置关系为P在圆外.
.
变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点在圆外，则直线与圆相离 B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆上，则直线与圆相切 D．若点在直线上，则直线与圆相切
【答案】AB
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，因为点在圆外，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相交，故命题A是假命题；
对于B，因为点在圆内，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相离，故命题B是假命题；
对于C，因为点在圆上，所以，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故命题C是真命题；
对于D，因为点在直线上，所以，即，
则圆心到直线的距离为，
所以直线与圆相切，故命题D是真命题；
B.
变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ．
【答案】8
【分析】求出直线所过定点A，判断定点A在圆内，数形结合知直线截圆所得弦长最小时，弦心距最大，此时，即可由勾股定理求出此时的弦长.
【详解】直线，即，
所以直线过定点，又圆，且，
所以点在圆内部，，
当垂直于直线时，到直线的距离最大，此时弦长最小，
所以直线被圆截得的弦长的最小值为.
故答案为：8.
【方法技巧与总结】
一.直线与圆相交的性质，
如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则
点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距；
CD⊥l;
|
二.直线与圆相切的性质
如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则
（1）CP⊥l；
（2）点C到直线l的距离d=|CP|=r；
（3）切点P在直线l上，也在圆上.
【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】
例2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用直线与圆的位置关系，充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】圆的圆心，半径为，
由直线与圆相切，得，而，解得，
所以“”是“直线l与圆C相切”的充要条件.
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】画出直线与曲线的图象，数形结合可得答案.
【详解】曲线，整理得，画出直线与曲线的图象，
当直线与曲线相切时，
则圆心到直线的距离为，
可得（正根舍去），
当直线过时，，
如图，直线与曲线恰有1个交点，则或.
.
变式2．（2024·全国·模拟预测）若直线与圆有交点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可知，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，进而可以列出不等式.
【详解】的圆心为，半径，
圆心到直线的距离，
依题意，圆心到直线的距离小于等于圆的半径，
所以，即.
.
变式3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到直线过定点，以及曲线，画出直线与曲线的图象，结合直线与圆相切和图象，即可求解.
【详解】由直线过定点，
又由曲线，可得，
作出曲线与直线的图象，如图所示，
因为直线，可得，
又由，解得，
若直线与曲线有公共点，则，
即实数的取值范围为.
.
变式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆相切，求实数的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由为直径，可知圆心及半径，进而可得圆的方程；
（2）根据直线与圆相切，结合点到直线的距离可得解.
【详解】（1）由已知，，则，
半径，
所以圆的方程为；
（2）由直线，即，
又直线与圆相切，可得，解得.
变式5.（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【分析】设圆心为，即可求出，从而得到，再由诱导公式及倾斜角的定义判断即可.
【详解】设圆心为，则，
依题意，所以，
又，所以直线的倾斜角为3．.
变式6.（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由点斜式求出直线l的方程，根据直线平行及两平行直线间的距离公式可得结果.
【详解】由条件知点在圆上，所以直线的斜率为切线的斜率为，
即直线方程为，整理得：直线与
直线平行，直线方程为，则直线与的距离为，
．
变式7.（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解法1：如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切线斜率存在，利用点到直线的距离公式和斜率的定义求出，进而求出即可.
【详解】解法1：如图，圆，即，
则圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，连接.
因为，则，得，
则，即为钝角，且为锐角，
所以.
.
解法2：如图，圆，即，则圆心，半径，
过点作圆的切线，切点为，连接.因为，则，
因为，
且，则，
即，解得，
即为钝角，且为锐角，则.
.
解法3：圆，即，则圆心，半径，
若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意；
若切线斜率存在，则设切线方程为，即，
则圆心到切线的距离，解得，
所以，又为锐角，
由解得.
.
【题型3：圆的切线问题】
例3．（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 .
【答案】
【分析】根据条件得到点在圆上，从而得到切线的斜率为，即可求出结果.
【详解】因为圆的圆心为，，
易知点在圆上，又，所以切线的斜率为，
故切线方程为，即.
故答案为：.
变式1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为
【答案】
【分析】过圆外一点的切点弦方程为，得到答案.
【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为，化简得：.
故答案为：
变式2.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， .
【答案】
【分析】找到当最小时P点所在的位置，再结合勾股定理可得结果.
【详解】设圆的圆心为，半径为4，
如图所示：当 最小时，与圆M相切，连接，
则，，而，
由勾股定理得，
所以当最小时，.
故答案为：.
变式3.（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C的方程为：；
(1)过点作圆的切线，求切线的方程.
(2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先判断点和圆的位置关系，如果在圆外，分切线的斜率不存在和切线的斜率存在两种情况进行讨论；
（2）先求临界位置，即分别求圆上有1个点到的距离为1，圆上有3个点到的距离为1，时m的值，取中间范围即圆上有2个点到的距离为1.
【详解】（1）由题可知圆心，
因为，
所以P在圆外，过圆外一点作圆的切线有2条.
①当k存在时，设切线方程：，即.
则圆心C到的距离d，
此时切线：
②当k不存在时，过点的直线方程为，
圆心到直线的距离为2，
所以直线与圆相切，
此时切线方程：
综上：切线的方程为：或
（2）圆心到的距离d，
当圆上有1个点到的距离为1，则
当圆上有3个点到的距离为1，则,
所以当圆上有2个点到的距离为1，则,
所以,即,此方程无解，
的取值范围为
变式4.（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）先设出方程，然后将相切条件转化为距离条件，再用距离公式求解；
（2）先设出方程，然后将弦长条件转化为距离条件，再用距离公式求解.
【详解】（1）据点可设直线方程为.
圆的方程可化为，故点到所求直线的距离为，
从而.
所以，
得.
这就说明或，所以所求直线的方程为或.
（2）设所求圆的圆心坐标为，由于该圆与轴相切，故该圆的半径为，
所以该圆的方程是，即.
而该圆被直线截得的弦长为，故该圆圆心到直线的距离为.
所以，解得.
故所求的圆的方程为或.
变式5.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程；
（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得.
【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，
又圆的半径为2，点在圆上，有，
解得（舍去）或，
故圆的标准方程为；
（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；
②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，
由题知，解得，
可得切线方程为，整理为，
由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.
变式6.（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，把转化为圆上的点与点连线的斜率，结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】由圆的方程，可得圆心，半径为，
又由，所以表示圆上的点与点连线的斜率，
当过点与圆相切时，此时取得最值，如图所示，
设，可得，令，
整理得，解得或，
结合图象，可得的取值范围是.
.
变式7.(多选)（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角为
B．圆C的圆心坐标为（1，0）
C．当时，直线l与圆C相切
D．当时，直线l与圆C相交
【答案】CCD
【分析】根据直线l斜率和倾斜角的关系，即可判断A选项；将圆心求出，即可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出，即可得出直线l与圆的位置关系，即可判断C选项；利用点到直线的距离公式求出，即可表示出直线l与圆的位置关系，计算求参，即可判断D选项.
【详解】直线l：的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，A选项错误；
而圆：，即，可知圆心，半径，B选项正确；
当时，直线l：，
设圆心到直线l的距离为，则，
所以直线与圆相切，故C正确；
对于D项，圆：，即，可知圆心，半径,
因为直线与圆C交于两点，所以圆心C到直线l的距离，
即，解得，
所以当时，直线l与圆C相交，故D项正确；
CD.
【方法技巧与总结】
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.
【题型4：弦长问题】
例4．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可.
【详解】由圆的方程，得圆心，半径，
如图，切线长，当最小时，最小，
最小值为圆心到直线的距离，
所以切线长的最小值.
.
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案.
【详解】由，则圆的标准方程为，如下图：
图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点，
易知为所有经过坐标原点的弦中最短弦，.
.
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】代入弦长公式，即可求解.
【详解】圆心到直线的距离，
所以弦长.
变式3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数.
【详解】由题设，圆的圆心为，且半径，
而，即点在圆内，且圆心到该点的距离，
当直线与、的连线垂直时，弦长最短为，
而最长弦长为圆的直径为，故所有弦的弦长范围为，
所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为，
根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条，
综上，共9条.
变式4．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得过点且弦长最短的弦应是垂直于直线的弦，再由直线的点斜式方程，即可得到结果．
【详解】设经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的斜率为，直线的斜率为，
由题意得，，
因为，所以，
所以圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为，即，
．
变式5．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直线恒过定点，可得点在圆内，可得当时弦最短,利用直线的点斜式方程可得答案.
【详解】，所以直线恒过定点，，
因为，所以点在圆内，
所以当时，弦最短,
设直线的斜率为，则,
所以直线的方程为，即.
.
变式6．（21-22高二下·全国·期末）设M是圆C：上的动点，是圆的切线，且，则点N到点距离的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．16
【答案】A
【分析】根据切线性质可得点N的轨迹方程为圆，再根据圆上的点到定点距离的最值方法求解即可.
【详解】由题意得，圆心，半径为4，
又，∴，
即点N的轨迹方程为，
∴点N到点距离的最小值为.
.
变式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】利用三角形的面积公式可得，当时，的面积取得最大值，利用等面积求出圆心到直线的距离，
再由点到直线的距离公式求出的值，最后结合充要条件的定义进行判断即可.
【详解】
由，可得圆心，半径，
又，
当且仅当时，等号不成立，
此时，
由等面积可得点到直线的距离，
又点到直线的距离，
解得，，
因此“”是“的面积取得最大值”的充分必要条件.
.
【方法技巧与总结】
解决有关弦长问题的常用方法及结论
几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|2
代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|· ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k0时，|AB||xA－xB|；当斜率不存在时，|AB||yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
【题型5：与圆有关的对称问题】
例5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
【答案】A
【分析】转化为直线过圆心即，再利用基本不等式可得答案.
【详解】因为圆关于直线对称，
所以直线过圆心，即，
则
因为，且，所以，
所以，
当且仅当即等号不成立，
则的最小值是4.
.
变式1．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由圆与圆的对称性可得，再利用几何关系，求点的轨迹方程.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
由圆与圆关于直线对称，
可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线上，所以，解得，
经检验，满足题意，则点的坐标为，
设圆心为坐标为，则，整理得，
即圆心的轨迹方程为.
.
变式2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【分析】利用数形结合，结合对称性，即可确定点的位置，即可求解.
【详解】
若直线关于直线对称，则直线与直线的夹角相等，
则与垂直，所以等于圆心到直线的距离，
即.
变式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A． B．1 C． D．3
【答案】A
【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解.
【详解】由得，
则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称，
故由圆的对称性可知：圆心在直线上，
则.
.
变式4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据直线和圆的位置关系、两直线的交点等知识求得正确答案.
【详解】圆的圆心为，
直线关于直线对称时，则直线与直线垂直，
所以直线的方程为，
由解得，所以.
.
变式5.（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ．
【答案】
【分析】空1：由题意得直线过圆心，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求解最小值；空2：由空1结果代入回直线方程即可.
【详解】圆，整理得，则其圆心为，
由题意得：直线过圆心，
所以，又，，
所以 ．（当且仅当，时，取“”）．
此时直线方程为，即.
故答案为：；.
变式6.（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是．
【答案】①②③④
【分析】根据圆的一般方程化为标准方程得出圆心和半径判断①②，再根据直线过圆心得出③，再结合换元应用二次函数值域判断④即可.
【详解】对于①②，将圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为2，故①②正确；
对于③，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故③正确；
对于④，由③知，所以，所以的取值范围是，故④正确．
故答案为：①②③④
变式7.（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆．
(1)求直线与圆相交所得的弦长；
(2)求圆关于直线对称所得的圆的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由点到直线的距离公式结合勾股定理代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由点关于直线对称，即可得到圆心的坐标，即可得到结果.
【详解】（1）设直线与圆相交的弦为线段，
因为圆圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则，
所以直线与圆相交所得的弦长为.
（2）设圆关于直线对称所得的圆为圆，
由题意可得圆心与圆心关于直线对称，
设圆心，则，解得，
则，则圆的方程为.
【题型6：点与圆有关的最值问题】
例6．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点在圆上，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用表示点与点的距离的平方，求出圆心与点的距离为，可求得最小距离，继而可求得所求.
【详解】因为，化为，
圆心为，半径为，
又表示点与点的距离的平方，
圆心与点的距离为，
所以点与点的距离的最小值为，
故的最小值为，
故答案为：.
变式1.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据圆外一定点到圆上一点距离的平方的几何意义进行求解即可.
【详解】圆:可化为
表示点到点的距离的平方,
因为，
所以的最小值为.
.
变式2.（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】首先化简题给条件，得到其为以为圆心半径为2的圆的右半部分，再利用数形结合即可求得的最大值，最小值.
【详解】由，可得，
此方程表示的曲线为以为圆心半径为2的圆的右半部分，
则表示点与此半圆上点的距离，
其最大值为，最小值为，
又，，，
则最大值为，最小值为.
变式3.（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（ ）
A．34 B．40 C．44 D．48
【答案】C
【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得.
【详解】设，则
，
即等价于点到点的距离的平方的两倍加八，
又，
即.
.
变式4.（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）在中，，，，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点的距离的平方和的最大值是 ，最小值是 ．
【答案】 88 72
【分析】如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，然后表示出三角形内切圆的方程，设为圆C上任一点，表示出点P到顶点A，B，O的距离的平方和为d，化简变形后可求得答案.
【详解】如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则，，内切C的半径．
∴圆心坐标为．∴内切圆C的方程为．
设为圆C上任一点，点P到顶点A，B，O的距离的平方和为d，
则
．
∵点在圆上，∴．
∴．
∵点是圆C上的任意点，∴．
∴当时，；当时，．
故答案为：88，72
变式5.（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上．
(1)求圆心为C的圆的一般方程；
(2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）直接设圆心坐标并建立方程计算即可得圆心及半径，从而求出一般方程；
（2）利用圆的性质及两点坐标公式计算即可.
【详解】（1）∵圆心C在直线上，不妨设，半径，
则，
∴圆心C坐标为，则圆C的方程为；
其一般方程为.
（2）由（1）知圆C的方程为，
∴，∴P在圆C外，
∴的最大值为，最小值为．
变式6.（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程，求的最大值和最小值．
【答案】最大值为，最小值为
【分析】根据方程表示以（2，0）为圆心，为半径的圆以及表示圆上的一点与原点距离的平方即可求解.
【详解】方程表示以（2，0）为圆心，为半径的圆．
表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心所连的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值（如图）．
又圆心到原点的距离为，
所以的最大值为，最小值为，
即的最大值为，最小值为．
变式7.（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外.
(1)求圆的圆心坐标；
(2)若点在圆上，求的最大值与最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为，最小值为.
【分析】（1）设出圆的标准方程：，然后利用题中相关点及几何条件从而求解；
（2）先求圆外点到圆心的距离，则可知：.
【详解】（1）设圆的标准方程为：，
由题意得：，得：，
即：圆的圆心坐标：.
（2）由题意得:，
所以：，
所以：最大值为：：，最小值为：.
【方法技巧与总结】
圆上的点到直接距离最值:
1.把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r
2.利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
3.判断位置关系
【题型7：直线与圆有关的最值问题】
例7．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，得到过定点，得到点在圆上，且，结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】因为直线，可化为，
由，解得，所以l过定点，
又因为点在圆上，且，
又由圆，可得圆心为，半径，
当时，点P到的距离最大，最大距离为，此时，
所以直线的斜率为1，此时无解，故直线l不存在，所以距离；
当直线与圆O相交时，点P到l的距离最小，最小距离为0，
故点P到的距离的取值范围为.
.
变式1．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【分析】由直线方程得到其过定点，而可看成单位圆上的一点，故可将求点到直线之距转化为求圆心到直线之距，要使距离最大，需使直线，此时最大距离即圆心到点的距离再加上半径即得.
【详解】由直线 整理得，可知直线经过定点，
而由知，点可看成圆上的动点，
于是求点 到直线 的距离最值可通过求圆心到直线的距离得到.
如图知当直线与圆相交时， 到直线 的距离最小值为，
要使点到直线距离最大，需使圆心到直线距离最大，
又因直线过定点，故当且仅当时距离最大，（若直线与不垂直，则过点作直线的垂线段长必定比短）
此时，故点到直线距离的最大值为，即的最大值与最小值之差为.
.
变式2.（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 .
【答案】
【分析】根据勾股定理可得，即可根据面积公式即可求解.
【详解】
四边形的面积,
当与直线垂直时，此时取最小值，故最小值为，
又半径，所以，则四边形面积的最小值为.
故答案为：
变式3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解.
【详解】
因为圆：的标准方程为；
圆：的标准方程为：
所以和的圆心坐标分别为、，半径，，
所以直线的斜率，而直线的斜率为1
所以直线与直线垂直，如图，
所以当与和共线时最小，此时，
又此时，，
所以最小值为.
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆，直线与，下列结论正确的是（ ）
A．直线，不可能平行
B．直线与圆相切
C．直线与圆截得弦长为
D．
【答案】ACD
【分析】根据结合，利用点到直线的距离公式求解，利用计算，利用即可判断．
【详解】A．由得直线，不可能平行，故A正确；
B．圆的圆心为，半径为2，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故B错误；
C．直线到圆心的距离为，
所以直线与圆截得弦长为，故C正确；
D．∵，故，故D正确．
CD．
变式5．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 .
【答案】
【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解.
【详解】因为，所以，
所以点在圆上，其中圆心为，半径为，
又，其中表示点与点连线的斜率，
又，所以点在圆外，
由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为，
即，则，解得或，
即的最大值为，最小值为，
所以的最大值为.
故答案为：
变式6．（2023·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ．
【答案】
【分析】先求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理与勾股定理建立关系即可得到答案.
【详解】由已知，圆的标准方程为，圆心为，半径，
圆心到直线的距离，解得，
所以弦长为，因为，
所以，所以弦长，
当即时，弦长有最大值.
故答案为：.
变式7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知直线与圆相交，能说明“直线截圆所得弦长不小于”是假命题的一个的值为 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系和圆的弦长公式，列出不等式，求得实数取值范围，进而得到答案.
【详解】由圆，可得圆心，半径为，
因为直线与圆相交，可得，
解得，
又由“直线截圆所得弦长不小于”是假命题，
可得“直线截圆所得弦长小于”是真命题，
则满足，即，解得，
可得，解得或，
综上可得，或，
即实数的取值范围为，
所以一个实数的为可以为.
故答案为：（答案不唯一）.
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意作出图形，利用垂径定理可求得，继而求出圆的半径，写出圆的方程.
【详解】
如图，过点作于，依题意，,因,故，
从而，圆的半径为：,
故所求圆的方程为：，即.
.
2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线与圆相切，则的值（ ）
A．与a有关，与b有关 B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关 D．与a无关，与b无关
【答案】A
【分析】先求得圆的圆心坐标为和半径为，结合题意圆心到直线的距离等于半径，即，化简即可得到答案.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
因为直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即，
化简得，可知，
.
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（ ）
A．2 B．4 C． D．8
【答案】D
【分析】由圆心到直线的距离等于半径列方程即可得解.
【详解】依题意，，解得（负值舍），所以圆的半径为.
故选:C.
4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】D
【分析】由圆的标准方程作出圆的图形，易得切点坐标，利用两点之间距离公式计算即得.
【详解】
如图，由圆可得x轴，y轴，即是过点O的切线，
所以切点为，，故．
.
5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆被直线平分，则（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】由题设，将圆心坐标代入直线方程即可求解.
【详解】由题意得圆心在直线上，
则，解得.
.
6．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线与圆：相交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求得圆心为到直线的距离，求出弦长，计算即可得出结果.
【详解】因为圆心为到直线的距离为：，
所以=
所以,即 .
7．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】C
【分析】原点在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径.
【详解】圆，即，圆心坐标，半径为1，
直线与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1，
原点在圆上，所以原点到直线距离的最大值为.
8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆 ，当圆心C到直线 的距离最大时，实数的值是（ ）
A． B． C．－3 D．3
【答案】C
【分析】圆心，半径，直线恒过定点，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，由斜率公式求得的斜率，再由垂直关系可得答案．
【详解】因为圆的方程为：，化为标准方程得：，
所以圆心为，半径，
直线 恒过定点，
当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，
由斜率公式得直线的斜率为：，
由垂直关系的斜率公式得：，解得，
．
二、多选题
9．（24-25高二上·广西·开学考试）对于直线与圆，下列说法不正确的是（ ）
A．过定点
B．的半径为9
C．与可能相切
D．被截得的弦长最小值为
【答案】CC
【分析】根据含参直线方程求定点坐标判断A；把圆的方程化为标准方程求得圆的半径判断B；判断直线过的定点在圆内判断C；当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小，计算可求弦长的最小值判断D.
【详解】可变形为，
由，得，所以直线过定点，故A正确；
圆的标准方程为，半径为3，故B不正确；
由，所以点在圆的内部，
所以与相交，不会相切，故C不正确；
当与点和圆心的连线垂直时，被截得的弦长最小.
因为点和圆心连线的斜率为，所以，解得，
此时的方程为，因为圆心到直线的距离，
所以弦长为，故D正确.
C.
10．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线与圆：有公共点，则半径可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】DD
【分析】根据直线与圆相交或相切，则圆心到直线的距离，可解问题.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
由于直线与圆有公共点，
则，解得，
由于，所以符合条件的选项为C、D.
D.
11．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆恒相交
C．直线被圆截得的弦长最短为4
D．若直线被圆截得的弦长为，则
【答案】ABD
【分析】利用直线的点斜式方程可判断A；利用定点与圆的位置关系可判断B；根据定点为弦的中点时，直线被圆截得的弦长最短可判断C；利用弦长公式可判断D.
【详解】对于A，直线，即，则直线恒过定点，故A正确；
对于B，因为，所以定点在圆内部，所以直线与圆恒相交，故B正确；
对于C，直线与轴垂直时，直线被圆截得的弦长最短，此时，
直线被圆截得的弦长为，故C错误；
对于D，直线，圆心到直线的距离，
得，故D正确.
BD
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆与直线及相切，圆心在直线上，则圆的标准方程为 ．
【答案】
【分析】假设圆心的坐标，根据相切，列出方程求解即可得到圆心，进而可以求出半径.
【详解】根据题意设圆心坐标为，
∵圆与直线及都相切，
∴圆心到两直线及的距离相等，
即，解得，
∴圆心坐标为，，
∴圆的标准方程为．
故答案为：.
（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是
【答案】
【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可.
【详解】由得，
故圆的圆心为，半径为1，当时，，
当时，，
如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数，
令，即，则圆心到该直线的距离满足，
两边平方整理得，解得，故此时的最小值是，
又，故的最小值为.
故答案为：.
14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
【答案】（写出符合条件的一个方程即可）
【分析】设直线方程为：，根据直线与单位圆和曲线均相切，方程联立，由判别式为零求解.
【详解】解：易知直线的斜率存在，设直线方程为：，
由消去y得：，
则，化简得，
由，消去y得：，
则，化简得，
由，解得，则，
所以直线方程为：，
故答案为：（写出符合条件的一个方程即可）
四、解答题
15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知关于的方程：．
(1)当为何值时，方程表示圆；
(2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用圆的一般式的条件求解即可；
（2）利用弦长公式计算参数即可.
【详解】（1）由圆的一般方程性质可知：
解得，
所以当时，方程表示圆.
（2）由，得，
所以该圆圆心为，半径
所以圆心到直线的距离
根据弦长公式可知：
解得.
16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆直线交于，两点，____，求的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为；
条件②：；
条件③：.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；
（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.
【详解】（1）设圆心坐标为，半径为.
由圆的圆心在直线上，知：.
又圆与轴相切于点，
，，则.
圆圆心坐标为，则圆的方程为
（2）如果选择条件①：，而，
圆心到直线的距离，
则，
解得或.
如果选择条件②和③：，而，
圆心到直线的距离，
则，
解得或3.
如果选择条件③：，而，
圆心到直线的距离，
则，
解得或3.
17．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切．
(1)求圆的标准方程．
(2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围
(3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）由题意圆心坐标为，可设出圆标准方程，根据圆心到直线的距离等于半径，从而可得出答案.
（2）若 是圆C上任意一点，则表示圆上任意一点到点距离的平方，画出图可知最大值为，最小值为，然后求解取值范围即可.
（3）设，，分别表示出，由为定值得出答案.
【详解】（1）依题可设圆心坐标为，
则圆的方程为，
因为直线与圆相切，
所以点到直线的距离，
因为，所以，故圆的标准方程为.
（2）
若 是圆C上任意一点，
则表示圆上任意一点到点距离的平方，
所以的最大值为，
的最小值为：
，
所以的取值范围为：
（3）假设存在定点，设， ，
则，
则，当，即，（舍去）时，为定值，
且定值为，故存在定点，且的坐标为.
18．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
(1)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程；
(2)以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程.
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）分直线 l 的斜率存在和斜率不存在两种情况讨论，然后利用弦长公式求解即可；
（2）分外切、内切两种情况，利用圆心之间的距离和半径之间的关系求解即可.
【详解】（1）易知到直线的距离为圆A半径r，
所以，则圆A方程为，
过A做,由垂径定理可知，且，
在中由勾股定理易知.
当动直线斜率不存在时，设直线的方程为，
经检验圆心到直线的距离为，且根据勾股定理可知，
显然合题意，
当动直线斜率存在时，过点，设方程为：，
由到距离为知得，
代入解之可得，
所以或为所求方程．
（2）两圆的圆心之间的距离为.
当两圆外切时，圆的半径为；
当两圆内切时，圆的半径为.
∴圆的方程为或.
故答案为：或.
19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：.
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设，根据已知列式化简，即可得解；
（2）联立方程组应用韦达定理结合向量关系求出直线方程.
【详解】（1）∵直线l：过定点，斜率一定存在，
而在圆C：内，
∴直线l与圆C总有两个不同的交点；
圆C：的圆心为，
所以M与P不重合时，连接CM，CP，则，
∴.
设，则，
化简得：；
（2）设，，
由，得，
∴，化简得，①
又由，消去y得.
∴，②
由①②解得，代入（*）解得.
∴直线l的方程为或.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.3.3直线与圆的位置关系
课程标准 学习目标
1.理解直线与圆的三种位置关系: 2.能根据方程判断直线与圆的位置关系; 3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。 1.重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、 ②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。 2.难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应用。
知识点01 直线与圆的位置关系
直线Ax＋By＋C0与圆(x－a)2＋(y－b)2r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d d＜r dr d＞r
代数法：由 消元得到一元二次方程根的判别式Δ Δ＞0 Δ0 Δ＜0
图形
【即学即练1】（22-23高二上·新疆喀什·期末）直线与圆的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交但直线过圆心
C．相交但直线不过圆心 D．相离
【即学即练2】(多选)（22-23高二上·甘肃金昌·期末）下列直线中，与圆相切的有（ ）
A． B． C． D．
知识点02圆的切线
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.
【即学即练3】（23-24高三上·湖北武汉·期末）若点在圆上，则过的圆的切线方程为 .
【即学即练4】（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为 ．
知识点03 切线长
1.从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F0(D2＋E2－4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 .
2.两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b.
【即学即练5】（22-23高二上·重庆北碚·阶段练习）过点作圆的一条切线，切点为B，则（ ）
A．3 B． C． D．
【即学即练6】（24-25高二上·全国·课前预习）如图，直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值 ．
知识点04 圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L 2.
(2)代数法：若直线ykx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：|AB||x1－x2||y1－y2|.
【即学即练7】（2024·内蒙古赤峰·一模）已知圆，直线被圆C截得的弦长为 .
【即学即练8】（22-23高二上·河北保定·期末）直线与圆交于两点，则的面积为（ ）
A． B．2 C． D．
难点：最值问题
示例1：（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A．＋2，－2 B．＋2，
C．，－2 D．，
【题型1：直线与圆有关的位置关系】
例1．（24-25高三上·四川成都·开学考试）在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置不可能为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线与圆相切
C．直线与圆相交 D．直线与圆相离
变式2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（ ）
A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心
C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点
变式3.（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）设直线，圆，则l与圆C（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．以上都有可能
变式4．（2007高二·全国·竞赛）直线绕原点逆时针方向旋转30°后，所得直线与圆的位置关系为（ ）
A．直线过圆心 B．直线与圆相交，但不过圆心
C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点
变式5.（10-11高二上·湖南益阳·阶段练习）如果直线与圆有两个不同的交点，则点与圆的位置关系为（ ）
A．P在圆外 B．P在圆上
C．P在圆内 D．P与圆的位置不确定
变式6.(多选)（2024·全国·模拟预测）已知直线与圆，点，则下列命题中是假命题的是（ ）.
A．若点在圆外，则直线与圆相离 B．若点在圆内，则直线与圆相交
C．若点在圆上，则直线与圆相切 D．若点在直线上，则直线与圆相切
变式7．（2024·四川泸州·三模）动直线l：被圆C：截得弦长的最小值为 ．
【方法技巧与总结】
一.直线与圆相交的性质，
如图，直线l与圆C相交与A,B，半径为r，弦AB的中点为D，则
点C到直线l的距离d=|CD，称为弦心距；
CD⊥l;
|
二.直线与圆相切的性质
如图，直线l与圆C相切，切点为P，半径为r.则
（1）CP⊥l；
（2）点C到直线l的距离d=|CP|=r；
（3）切点P在直线l上，也在圆上.
【题型2：由直线与圆的位置关系求参数】
例2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知直线l：及圆C：，则“”是“直线l与圆C相切”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）直线与曲线恰有1个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
变式2．（2024·全国·模拟预测）若直线与圆有交点，则（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）已知直线与曲线有公共点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式4.（22-23高二上·河北保定·期末）在直角坐标系中，，，且圆是以为直径的圆.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆相切，求实数的值.
变式5.（2025·江苏苏州·模拟预测）过原点的圆的圆心为，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ）
A．3 B． C． D．
变式6.（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）过点作圆的切线，直线与直线平行，则直线与的距离为（ ）
A．4 B．2 C． D．
变式7.（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【题型3：圆的切线问题】
例3．（2024高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为 .
变式1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A和B，则直线的方程为
变式2.（24-25高三上·四川成都·开学考试）已知点在圆上，点，当最小时， .
变式3.（22-23高二上·四川成都·阶段练习）已知圆C的方程为：；
(1)过点作圆的切线，求切线的方程.
(2)已知圆C上有2个点到直线：的距离为1，求m的取值范围.
变式4.（23-24高二上·北京·期中）求满足下列条件的曲线方程：
(1)求过点且与圆相切的直线方程；
(2)求圆心在直线上，与轴相切，且被直线截得的弦长为的圆的方程.
变式5.（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．
(1)求圆的标准方程；
(2)求过点且与圆相切的直线方程．
变式6.（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）实数满足，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式7.(多选)（23-24高二下·广西桂林·期末）直线l：，圆C：，下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角为
B．圆C的圆心坐标为（1，0）
C．当时，直线l与圆C相切
D．当时，直线l与圆C相交
【方法技巧与总结】
1.过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0yr2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)r2.
③过圆x2＋y2r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0yr2.
2.过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为xx0.
【题型4：弦长问题】
例4．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
变式1．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆的所有经过坐标原点的弦中最短弦长为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）圆与直线相交所得弦长为（ ）
A．1 B． C． D．
变式3．（24-25高二上·陕西西安·开学考试）直线l过点，且与圆C：相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
变式4．（22-23高二下·北京延庆·期中）已知点，圆，则经过圆内一点且被圆截得弦长最短的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知直线与圆交于A,B两点，则当弦最短时，直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（21-22高二下·全国·期末）设M是圆C：上的动点，是圆的切线，且，则点N到点距离的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．16
变式7.（23-24高二下·北京海淀·期末）已知直线与交于、两点，则“”是“的面积取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【方法技巧与总结】
解决有关弦长问题的常用方法及结论
几何法 如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|2
代数法 若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|· ·|yA－yB|(其中k≠0)．特别地，当k0时，|AB||xA－xB|；当斜率不存在时，|AB||yA－yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
【题型5：与圆有关的对称问题】
例5．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆关于直线对称，则的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
变式1．（23-24高二上·福建厦门·期中）若圆与圆关于直线对称，过点的圆与轴相切，则圆心的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（ ）
A． B． C．4 D．
变式3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（ ）
A． B．1 C． D．3
变式4．（23-24高三下·浙江宁波·阶段练习）过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式5.（23-24高二上·贵州铜仁·期中）已知圆关于直线（a，b为大于0的数）对称，则的最小值为 ，此时直线方程为 ．
变式6.（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是 ．（填序号）
①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是．
变式7.（23-24高二下·上海·期中）已知直线，圆．
(1)求直线与圆相交所得的弦长；
(2)求圆关于直线对称所得的圆的方程．
【题型6：点与圆有关的最值问题】
例6．（23-24高二上·辽宁鞍山·期中）若点在圆上，则的最小值为 .
变式1.（23-24高三上·河南驻马店·期末）若点是圆:上一点,则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
变式2.（23-24高二上·山东泰安·期中）已知曲线，则的最大值，最小值分别为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
变式3.（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（ ）
A．34 B．40 C．44 D．48
变式4.（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）在中，，，，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点的距离的平方和的最大值是 ，最小值是 ．
变式5.（22-23高二上·重庆·期末）已知圆心为C的圆经过点和，且圆心C在直线上．
(1)求圆心为C的圆的一般方程；
(2)已知，Q为圆C上的点，求的最大值和最小值．
变式6.（2023高二上·全国·专题练习）已知实数x，y满足方程，求的最大值和最小值．
变式7.（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知圆的半径为2，且圆心在直线上，点在圆上，点在圆外.
(1)求圆的圆心坐标；
(2)若点在圆上，求的最大值与最小值.
【方法技巧与总结】
圆上的点到直接距离最值:
1.把圆化成圆的标准方程找出圆心和半径r
2.利用点到直线到距离公式求圆心到直线的距离
3.判断位置关系
【题型7：直线与圆有关的最值问题】
例7．（23-24高二下·山西吕梁·阶段练习）已知P是圆上一动点，则点P到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2024·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系中， 记 为点 到直线 的距离， 则当 变化时， 的最大值与最小值之差为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
变式2.（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，直线上点，过点作圆的两条切线，（其中，为切点），则四边形面积的最小值为 .
变式3．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（多选）（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆，直线与，下列结论正确的是（ ）
A．直线，不可能平行
B．直线与圆相切
C．直线与圆截得弦长为
D．
变式5．（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知实数满足，则的最大值为 .
变式6．（2023·江西上饶·模拟预测）直线被圆截得最大弦长为 ．
变式7．（24-25高三上·北京·开学考试）已知直线与圆相交，能说明“直线截圆所得弦长不小于”是假命题的一个的值为 ．
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北武汉·期中）若圆C的圆心为，且被x轴截得弦长为4，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知直线与圆相切，则的值（ ）
A．与a有关，与b有关 B．与a有关，与b无关
C．与a无关，与b有关 D．与a无关，与b无关
3．（23-24高二下·河南·阶段练习）若直线与圆相切，则圆的半径为（ ）
A．2 B．4 C． D．8
4．（2024·辽宁丹东·二模）过坐标原点O作圆的两条切线OA，OB，切点分别为A，B，则（ ）
A． B．2 C． D．4
5．（2024·河南南阳·模拟预测）若圆被直线平分，则（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（23-24高三上·浙江嘉兴·期末）已知直线与圆：相交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高二上·广东深圳·期末）若直线圆相切，则原点到直线距离的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．1
8．（23-24高二上·上海·期末）已知圆 ，当圆心C到直线 的距离最大时，实数的值是（ ）
A． B． C．－3 D．3
二、多选题
9．（24-25高二上·广西·开学考试）对于直线与圆，下列说法不正确的是（ ）
A．过定点
B．的半径为9
C．与可能相切
D．被截得的弦长最小值为
10．（23-24高二下·福建厦门·期末）已知直线与圆：有公共点，则半径可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（23-24高二下·安徽芜湖·期末）已知直线，圆，则下列结论正确的有（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆恒相交
C．直线被圆截得的弦长最短为4
D．若直线被圆截得的弦长为，则
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·单元测试）已知圆与直线及相切，圆心在直线上，则圆的标准方程为 ．
（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是
14．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可）
四、解答题
15．（11-12高二上·浙江衢州·期末）已知关于的方程：．
(1)当为何值时，方程表示圆；
(2)若圆C与直线相交于两点，且，求的值．
16．（23-24高二上·北京西城·期中）已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)若圆直线交于，两点，____，求的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为；
条件②：；
条件③：.
17．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）已知半径为 的圆C的圆心在 轴的正半轴上，且直线与圆相切．
(1)求圆的标准方程．
(2)若 是圆C上任意一点，求的取值范围
(3)已知，为圆上任意一点，试问在 轴上是否存在定点（异于点），使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）根据下列条件，分别求满足条件的直线或圆的方程：
(1)已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆A相交于，当时，求直线的方程；
(2)以为圆心的圆与圆相切，求圆的方程.
19．（23-24高二上·福建泉州·期中）已知圆C：，直线l：.
(1)设l与圆C交于不同的两点A，B，求弦AB的中点M的轨迹方程；
(2)若定点分弦AB为，求此时直线l的方程.
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