2.4曲线与方程
课程标准 学习目标
了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念. 熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质. 3.掌握求动点轨迹方程的方法 1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程 2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹方程
知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系：
1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，下列命题正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都满足方程
B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程
C．坐标不满足方程的点都不在曲线C上
D．曲线C是坐标满足方程的点的轨迹
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课堂例题）分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点与方程之间的关系；
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程之间的关系．
知识点02两曲线的交点
己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练3】（20-21高二·全国·课后作业）曲线与曲线的交点个数是 ．
【即学即练4】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知，，为平面内的一个动点，且满足，则点的轨迹方程为 .
知识点03 点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）等腰三角形底边两端点分别为，顶点的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点
【即学即练6】（21-22高二·全国·课后作业）判断直线与曲线是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线的图象是四叶草曲线，设为E上任意一点，且满足或，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
【题型1：曲线方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都适合方程
B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程
C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程
变式1．（21-22高二上·贵州遵义·期末）设方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线
C．一个圆 D．一条直线
变式2．（18-19高二上·安徽芜湖·期末）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
变式3．（2014高三·全国·专题练习）方程表示的曲线是（ ）
A．—个圆 B．两个圆
C．一个半圆 D．两个半圆
变式4．(多选)（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知曲线，则（ ）
A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C关于y轴对称
C．或 D．
变式5．（20-21高二上·上海徐汇·期末）已知曲线对坐标平面上任意一点，定义．若两点满足，称点在曲线两侧．记到点与到轴距离和为5的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，则实数的取值范围是
变式6．（22-23高三·全国·课后作业）方程表示的曲线是 .
变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，为半径的圆的方程是；
(2)过点平行于轴的直线的方程为．
【方法技巧与总结】
从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是AB且BA，即A=B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念.
【题型2：由方程研究曲线的性质】
例2．已知曲线的方程为，则曲线关于（ ）对称
A．轴 B．轴 C．原点 D．直线
变式1．已知曲线C方程为，则曲线C关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．对称
变式2．关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称
变式3．两个曲线方程：，：，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（ ）
A．曲线关于yx对称
B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积
D．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积
变式4．（多选）某曲线C的方程为，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C关于对称
B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2
C．曲线C与直线交于A、B两点，则
D．点在曲线C上，则的取值范围为
变式5．（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（多选）已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）.
A．曲线关于对称
B．的最小值为
C．曲线的周长为
D．曲线围成的图形面积为
变式7．设曲线C的方程为：，一般有如下规律：
①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称．
例：曲线C的方程为：，则曲线C关于 对称.
【方法技巧与总结】
求曲线方程的步骤
1.建系：建立适当的坐标系.用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
2.写集合：写出适合条件p的点M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化简:化方程f（x，y）=0为最简形式
5.证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
【题型3：曲线交点问题】
例3.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（ ）
A．曲线不经过第三象限 B．曲线关于直线y = x对称
C．曲线与直线x + y =－1有公共点 D．曲线与直线x + y =－1没有公共点
变式1．曲线和公共点的个数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．(多选)作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为.某同学对情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )
A．曲线不经过第三象限
B．曲线关于直线对称
C．曲线与直线有公共点
D．曲线与直线没有公共点
变式3．（多选）给定下列四条曲线中，与直线仅有一个公共点的曲线是（ ）
A． B． C． D．
变式4．曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是 ．
变式5．关于曲线：，有如下结论：
①曲线关于原点对称； ②曲线关于直线对称；
③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；
④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；
其中所有正确结论的序号为 .
变式6．直线与曲线交点的坐标为 ．
变式7．已知曲线的方程是，曲线的方程是，判断与是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由．
【题型4：轨迹方程问题】
例4．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ．
变式2．（23-24高二下·全国·随堂练习）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，求线段的中点M的轨迹方程．
变式3．（24-25高二上·全国·课堂例题）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线与圆．
(1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围；
(2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程．
变式5．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等腰中，若一腰的两个端点分别为，，为顶点，求另一腰的一个端点的轨迹方程．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点为坐标原点，点为线段的中点，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程．
变式7．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G经过点，，且_____.
(1)求圆G的一般方程：
(2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【方法技巧与总结】
1.直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为（x，y）后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标（x，y）间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
2.定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
3.代入法
若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）=0上的动点Q （x1， y1）存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）=0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）.
4.参数法
如果所求轨迹的动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·随堂练习）方程的曲线是（ ）
A．一个点 B．一个点和一条直线
C．一条直线 D．两条直线
2．（22-23高二·全国·课后作业）到x轴距离与到y轴距离之比等于2的点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程是，则曲线C关于x轴对称的曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．（21-22高二下·河南郑州·期中）将曲线上的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程为，则下列各点中，在曲线C上的点是（ ）
A．； B．； C．； D．．
6．（2022高三·全国·专题练习）已知点A(1，0)，直线l：y2x－4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为( )
A．y－2x B．y2x C．y2x－8 D．y2x＋4
7．（21-22高二上·贵州·阶段练习）已知点，，动点满足，则动点轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（20-21高二·全国·课后作业）平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）若曲线是由方程和共同构成，则下列结论不正确的是（ ）
A．曲线围成的图形面积为
B．若点在曲线上，则的取值区间是
C．若与直线有公共点，则
D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为2
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．直线与曲线的位置关系无法确定
C．若直线与曲线相交，其弦长为4，则 D．的最大值为3
11．（22-23高二上·湖南长沙·期末）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限 B．关于直线对称
C．与直线有公共点 D．与直线没有公共点
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线的形状是 ．
13．（24-25高二·上海·随堂练习）过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ．
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ．
四、解答题
15．（2023高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．
16．（23-24高二下·浙江·开学考试）如图，已知等腰三角形中，是的中点，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求.
17．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的面积为，求直线的方程.
18．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知圆被轴分成两段弧，弧长之比为．
(1)求；
(2)若动点到坐标原点的距离等于为圆上一动点，求的取值范围．
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知经过点和，且圆心在直线上.
(1)求的方程；
(2)设动直线与相切于点，点.若点在直线上，且，求动点的轨迹方程.
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课程标准 学习目标
了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念. 熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质. 3.掌握求动点轨迹方程的方法 1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程 2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹方程
知识点01 曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y）=0之间具有如下关系：
1.曲线C上的点的坐标都是方程F（x，y）=0的解;
2.以方程F（x，y）=0的解为坐标的点都在曲线C上.
则称曲线C为方程F（x，y）=0的曲线，方程F（x，y）=0为曲线C的方程.
【即学即练1】（21-22高二·全国·课后作业）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，下列命题正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都满足方程
B．不在曲线C上的点的坐标都不满足方程
C．坐标不满足方程的点都不在曲线C上
D．曲线C是坐标满足方程的点的轨迹
【答案】C
【分析】根据曲线与方程的定义和关系进行判断即可.
【详解】对于A，若坐标满足方程的点都在曲线C上，则方程的曲线可能只是曲线C的一部分，
此时曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程，故A选项中的命题错误.
对于B，命题"不在曲线C上的点的坐标都不满足程“与已知条件中的命题互为逆否命题.因为互为逆否命题的两个命题真假相同，所以B选项中的命题正确.
对于C，由A选项的分析过程得，曲线C上位于曲线M之外部分的点的坐标不满足方程，
但这些点在曲线C上，故C选项中的命题错误.
对于D，由A选项的分析过程可知，D选项中的命题错误.
.
【即学即练2】（24-25高二上·全国·课堂例题）分析下列曲线上的点与相应方程的关系：
(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点与方程之间的关系；
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程之间的关系．
【答案】(1)与两坐标轴的距离之积等于5的点的轨迹方程不是．
(2)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是．
【详解】（1）与两坐标轴的距离之积等于5的点的坐标不一定满足方程，如点，
但以方程的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5．
因此，与两坐标轴的距离之积等于5的点的轨迹方程不是．
（2）第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足；
反之，以方程的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上．
因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是．
知识点02两曲线的交点
己知两条曲线C1和C2的方程分别为F（x，y）=0，G（x，y）=0，求两条曲线C1和C2的交点坐标，只要联立两个方程得方程组，求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练3】（20-21高二·全国·课后作业）曲线与曲线的交点个数是 ．
【答案】
【分析】联立方程，方程组解的个数即为交点个数．
【详解】由可得，，所以或，所以交点个数是．
故答案为：．
【即学即练4】（23-24高三上·青海西宁·期中）已知，，为平面内的一个动点，且满足，则点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设，利用两点间的距离公式得到方程，整理即可得解．
【详解】设，由，则，
即，
即，
所以点的轨迹方程为．
故答案为：．
知识点03 点的轨迹方程
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【即学即练5】（24-25高二上·全国·课后作业）等腰三角形底边两端点分别为，顶点的轨迹是（ ）
A．一条直线 B．一条直线去掉一点 C．一个点 D．两个点
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性质分析即可.
【详解】为等腰三角形且为底边，点在的中垂线上．
又为的中点时不能构成三角形，点的轨迹应是一条直线去掉一点．
【即学即练6】（21-22高二·全国·课后作业）判断直线与曲线是否相交，如果相交，求出交点的坐标．
【答案】相交，交点坐标为：和.
【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.
【详解】将直线方程与曲线方程联立得：，
解得，或，
当时，；
当时，，
因此直线与曲线相交，交点坐标为：和.
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，曲线的图象是四叶草曲线，设为E上任意一点，且满足或，则任取一点P，该点为格点（横、纵坐标均为整数）的概率为 ．
【答案】
【分析】由题意明确曲线的性质，确定符合题意的点的个数，根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】由，得，当且仅当时取等号，
可知，故满足且的点P仅有，共5个．
令，则，由于的图象关于x轴、y轴、坐标原点、对称，
因此只需研究第一象限图象上横坐标或纵坐标为整数的点的情况，
令，则，不妨设，则有，
令，则有，化简有，解得或，
则有两个正根1，．
故结合曲线对称性可知在第一象限，横坐标或纵坐标为整数的点共有3个：．
故整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的点共有13个，
所以任取一点P，该点为格点的概率为．
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是明确四叶草曲线的对称性，由此确定符合题意的点的个数.
【题型1：曲线方程的概念】
例1．（23-24高二上·上海·期末）已知坐标满足方程的点都在曲线C上，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C上的点的坐标都适合方程
B．不在曲线C上的点的坐标必不适合方程
C．凡坐标不适合方程的点都不在曲线C上
D．不在曲线C上的点的坐标有些适合方程
【答案】C
【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可.
【详解】由于“坐标满足方程的点都在曲线C上”与“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”互为逆否命题，
所以“不在曲线C上的点的坐标必不适合方程”是正确的，故B对，D错；
对于点集而言，
不满足，但它仍然属于在曲线C上（仍然属于点集合），故A、C错误.
.
变式1．（21-22高二上·贵州遵义·期末）设方程表示的曲线是（ ）
A．一个圆和一条直线 B．一个圆和一条射线
C．一个圆 D．一条直线
【答案】A
【分析】先化简题给方程，即可得到其表示的曲线为一条直线.
【详解】由，可得，
则由，可得，
则方程表示的曲线是一条直线.
变式2．（18-19高二上·安徽芜湖·期末）下列各组方程中，表示相同曲线的一组方程是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【分析】根据的范围以及曲线方程确定正确答案.
【详解】A选项，中，中，所以不是相同曲线.
B选项，中，中，所以不是相同曲线.
C选项，，是相同曲线，C选项正确.
D选项，中，中，，所以不是相同曲线.
变式3．（2014高三·全国·专题练习）方程表示的曲线是（ ）
A．—个圆 B．两个圆
C．一个半圆 D．两个半圆
【答案】A
【分析】方程可化为，去绝对值分，两种情况解决即可.
【详解】方程可化为，
因为，
所以或，
若时，则方程为；
若时，则方程为，
变式4．(多选)（22-23高三上·江苏·阶段练习）已知曲线，则（ ）
A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C关于y轴对称
C．或 D．
【答案】ACD
【分析】A选项，利用对称性质判断即可，取特殊点验证即可B选项；
将方程转化为关于的二次方程，由方程有解即可判断C选项；
换元法，令，则代入原方程中，利用方程有解判别式
解之即可得D选项.
【详解】因为点在曲线上，
所以点满足，
所以A正确；
若，因为点不满足C的方程，
所以B错误；
因为，
所以，
所以，
所以或，所以C正确；
设，则，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以D正确．
CD
变式5．（20-21高二上·上海徐汇·期末）已知曲线对坐标平面上任意一点，定义．若两点满足，称点在曲线两侧．记到点与到轴距离和为5的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点在曲线两侧，则实数的取值范围是
【答案】6＜a＜24．
【分析】到点与到轴距离和为5的点的轨迹为曲线，求出轨迹方程.分类讨论：当时和当时，利用，求解的范围．
【详解】设曲线上的动点为，则，
化简得曲线C的方程为和.
其轨迹为两段抛物线弧
当时，∈[6﹣a，24﹣a]；
当时，∈[6﹣a，24﹣a]；
故若有，则．
故答案为：6＜a＜24．
变式6．（22-23高三·全国·课后作业）方程表示的曲线是 .
【答案】直线和单位圆
【分析】由方程即可求解.
【详解】由方程可得：或，
所以方程表示的曲线是直线和单位圆，
故答案为：直线和单位圆.
变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）判断下列命题是否正确．
(1)以坐标原点为圆心，为半径的圆的方程是；
(2)过点平行于轴的直线的方程为．
【答案】(1)不正确
(2)不正确
【分析】（1）利用圆的方程定义判断即可.
（2）利用直线方程的定义判断即可.
【详解】（1）不正确．
设是方程的解，则，即，
两边开平方取算术平方根，得，即点到原点的距离等于，
点是这个圆上的点，因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点；
但是，以原点为圆心、为半径的圆上的一点如点在圆上，
却不是的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解，
所以以原点为圆心，为半径的圆的方程不是，而应是．
（2）不正确．
直线上的点的坐标都是方程的解；
但是坐标满足的点，不一定在直线上，如点不在直线上，
因此不是直线的方程，直线的方程应为．
【方法技巧与总结】
从集合的意义上来理解曲线和方程的概念
如果把直角坐标平面内曲线上的点所组成的集合记作A，方程F（x，y）=0的解所对应的集合记作B，那么曲线和方程之间的两个关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，反映在集合A和B之间的关系上，就是AB且BA，即A=B.
从集合相等的意义上来理解上述两条规定的必要性，有助于掌握曲线和方程的概念.
【题型2：由方程研究曲线的性质】
例2．已知曲线的方程为，则曲线关于（ ）对称
A．轴 B．轴 C．原点 D．直线
【答案】C
【分析】利用坐标互换一一判定选项即可.
【详解】曲线的方程为，
将换为不变，原方程仍为，所以曲线关于轴对称；
将换为不变，原方程变为，所以曲线不关于轴对称；
将换为换为，原方程变为，所以曲线不关于原点对称；
将换为换为，原方程变为，
所以曲线不关于直线对称．
故选:B．
变式1．已知曲线C方程为，则曲线C关于（ ）
A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．对称
【答案】C
【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可.
【详解】用替换方程中的y，方程变为，
与原方程不同，故曲线C不关于轴对称，故A错误；
用替换方程中的x，方程可化为为，
与原方程相同，故曲线C关于轴对称，故B正确；
用和替换方程中的和，化简后方程变为，
故曲线C不关于原点对称，故C错误；
用y替换方程中的x，同时用x替换方程中的y，方程变为，
故C不关于直线对称，故D错误.
.
变式2．关于方程所表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于对称 D．关于原点中心对称
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用对称变换的方法逐项分析判断即可.
【详解】对于A，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，A错误；
对于B，用换方程中的，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，B错误；
对于C，用换，换，得，方程发生变化，即曲线关于轴不对称，C错误；
对于D，将点代入原方程仍为，因此曲线关于原点中心对称D正确.
变式3．两个曲线方程：，：，我们可以推断出它们的性质，其中错误的是（ ）
A．曲线关于yx对称
B．曲线关于原点对称
C．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积
D．曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积
【答案】A
【分析】在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断A的正误；在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断B的正误；比较曲线与直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断C的正误；曲线与圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断D的正误.
【详解】A．在曲线上任取一点，则，
点关于直线的对称点为，且，
所以曲线关于对称，故A正确；
B．在曲线上任取一点，则a4+b41，
点关于原点的对称点为，则，
所以曲线关于原点对称，故B正确；
C．对于等式，可得，同理可得，
当时，，当时，，
在曲线上任取一点，
则，即点在直线的下方，如下图所示．
直线交x轴于点，交y轴于点，
所以，故C正确；
D．在曲线上任取一点，
因为，，则，，
则，即点在圆外，如下图所示．
圆在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为，
所以，故D错误．
．
变式4．（多选）某曲线C的方程为，下列说法正确的是（ ）
A．曲线C关于对称
B．曲线C上的点的纵坐标的最大值是2
C．曲线C与直线交于A、B两点，则
D．点在曲线C上，则的取值范围为
【答案】AD
【分析】对A，交换，即可判断；对B，利用判断式法即可判断；对C，将直线方程与曲线C方程联立解出点坐标即可；对D，利用基本不等式将其转化为求的范围即可.
【详解】对于A：将，互换代入曲线，
得，方程不变，所以曲线关于对称，所以A选项正确：
对于B：，即，
将其看成关于的一元二次方程，根据判别式法得，
解得，若，则，此时，故B错误.
对于C：将代入方程，
可得，即，解得或，
所以，
则，所以C选项错误；
对于D：因为，
由题意可知，即，
又因为，
所以，则，当且仅当时等号不成立；
因为，则，则，当且仅当时等号不成立；
则，此时，
即，所以D选项正确.
故选:ABD.
变式5．（多选）下列四个方程所表示的曲线中既关于轴对称，又关于轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】依次将，代入曲线方程验证方程是否不成立即可.
【详解】关于轴的对称点为，关于轴的对称点为；
对于A，，，
既关于轴对称，又关于轴对称，A正确；
对于B，，，
不关于轴对称，关于轴对称，B错误；
对于C，，，
既关于轴对称，又关于轴对称，C正确；
对于D，，，
关于轴对称，不关于轴对称，D错误.
C.
变式6．（多选）已知曲线：，则下列结论正确的是（ ）.
A．曲线关于对称
B．的最小值为
C．曲线的周长为
D．曲线围成的图形面积为
【答案】ABD
【分析】确定方程表示的曲线，根据对称性判断A；利用的几何意义判断B；计算曲线的周长与所围图形面积判断CD．
【详解】对于A，设是曲线上的任一点，则，
则，即点也在曲线上，
而点与是关于对称的，由的任意性，A正确；
对于B，当时，方程化为，
即，其中，表示一条线段，
同理当时，方程为，当时，
方程为，当时，方程为，
则方程表示的曲线是以为顶点的菱形，如图，
表示菱形上点到原点距离的平方，原点到的距离为斜边上的高，
因此的最小值为，B正确；
对于C，菱形的周长为，C错误；
对于D，菱形的面积为，D正确．
BD
变式7．设曲线C的方程为：，一般有如下规律：
①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于 对称；
③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于 对称．
例：曲线C的方程为：，则曲线C关于 对称.
【答案】 x轴 y轴 原点 原点
【方法技巧与总结】
求曲线方程的步骤
1.建系：建立适当的坐标系.用有序实数对（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
2.写集合：写出适合条件p的点M的集合：P={M|p(M)}
3.列方程:用坐标表示条件p（M），列出方程f（x，y）=0
4.化简:化方程f（x，y）=0为最简形式
5.证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上
【题型3：曲线交点问题】
例3.作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为x3 + y3－3axy = 0.某同学对a = 1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误的是（ ）
A．曲线不经过第三象限 B．曲线关于直线y = x对称
C．曲线与直线x + y =－1有公共点 D．曲线与直线x + y =－1没有公共点
【答案】D
【分析】对于A：当时，判断是否可能不成立即可；对于B：将点代入方程，判断与原方程是否相同即可；对于C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.
【详解】当，则方程为
对于A：若，则，
所以，即曲线不经过第三象限，故A正确；
对于B：将点代入方程得，
所以曲线关于直线y = x对称，故B正确；
对于C、D：联立方程，
由可得，
将代入方程可得，
所以方程组无解，即曲线与直线x + y =－1没有公共点，
故C错误，D正确；
.
变式1．曲线和公共点的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出曲线和的图形，可得出结论.
【详解】由可得，曲线表示圆的上半圆，
如下图所示：
因为原点到直线的距离为，
所以，曲线与直线相切，且切点在第一象限.
.
变式2．(多选)作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy下的一般方程为.某同学对情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中正确的是( )
A．曲线不经过第三象限
B．曲线关于直线对称
C．曲线与直线有公共点
D．曲线与直线没有公共点
【答案】ABD
【分析】A：当时，判断是否可能不成立即可；
B：将点(y，x)代入方程，判断与原方程是否相同即可；
C、D：联立直线和曲线方程，判断方程组是否有解即可.
【详解】当时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，A选项正确；
将点代入曲线有程得，故曲线关于直线对称，B选项正确；
联立其中，
将代入得，即，则方程组无解，故曲线与直线无公共点，C选项错误，D选项正确.
BD.
变式3．（多选）给定下列四条曲线中，与直线仅有一个公共点的曲线是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】分别将直线方程与曲线方程联立方程组求解即可
【详解】对于A，由，得，因为，所以方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以A正确，
对于B，将直线方程代入中整理得，方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以B正确，
对于C，将直线方程代入中整理得，因为，所以方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以C正确，
对于D，将直线方程代入中整理得，因为，所以方程组有两组解，所以直线与曲线有两个交点，所以D错误，
BC
变式4．曲线上存在四个点满足四边形是正方形，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得与有两个不同的交点，联立即可求解.
【详解】由题意可得与有两个不同的交点，
联立，可得.
易知，故，
要与有两个不同的交点，可得,解得.
故答案为:.
变式5．关于曲线：，有如下结论：
①曲线关于原点对称； ②曲线关于直线对称；
③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；
④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；
其中所有正确结论的序号为 .
【答案】①②④
【分析】利用曲线方程的性质，对称性的应用及曲线间的位置关系即可判断上述结论是否正确.
【详解】对于①，将方程中的换为，换为，得，所以曲线关于原点对称，故①正确；
对于②，将方程中的换为或，换为或，得，所以曲线关于直线对称，故②正确；
对于③，由得，即，同理，显然曲线不是封闭图形，故③错误；
对于④，由③知曲线不是封闭图形，联立，消去，得，令，则上式转化为，由可知方程无解，因此曲线与圆无公共点，故④正确.
故答案为：①②④.
变式6．直线与曲线交点的坐标为 ．
【答案】和.
【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.
【详解】将直线方程与曲线方程联立得：，
解得，或，
当时，；
当时，，
因此直线与曲线交点坐标为：和.
故答案为：和
变式7．已知曲线的方程是，曲线的方程是，判断与是否有交点，如果有，求出交点坐标；如果没有，说明理由．
【答案】与有三个交点，交点坐标为、、
【分析】联立两曲线的方程，求出方程组的公共解，即可得出结论.
【详解】解：联立两个方程得方程组，
解方程组可得或或，
因此与有三个交点，且交点坐标为、、.
【题型4：轨迹方程问题】
例4．（24-25高三上·河北张家口·开学考试）已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果.
【详解】设，则直线的斜率为，直线的斜率为，
依据题意可知，，化简得：，
因为直线、的斜率存在，所以，
所以，
.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线和直线：，则两直线交点的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】联立两直线方程用表示交点坐标，再消元化简即可.
【详解】联立两直线方程得,
解之得，消去参数得，
所以两直线交点的轨迹方程为：．
故答案为：.
变式2．（23-24高二下·全国·随堂练习）当点P在圆上运动时，连接点P与定点，求线段的中点M的轨迹方程．
【答案】
【分析】根据相关点法，利用中点坐标找到动点的关系，代入已知点的轨迹方程化简即可求解.
【详解】设,由中点坐标公式可得,
可得，
由于在圆上运动，所以，
即，
所以M的轨迹方程为.
变式3．（24-25高二上·全国·课堂例题）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程.
【答案】
【分析】设出M和P点的坐标，利用中点坐标公式把M点的坐标用P点的坐标和常数表示，再由M在定圆上，把M的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案.
【详解】设，，
因为为的中点，所以，即，
又因为点在曲线上，所以，
所以．
所以点的轨迹方程为即.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过原点的动直线与圆．
(1)求直线与圆相交时，它的斜率的取值范围；
(2)当与圆相交于不同的两点时，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用直线与圆的位置关系计算即可；
（2）设坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理用坐标表示M坐标，消参化简即可.
【详解】（1）圆，整理可得标准方程为，
圆的圆心坐标为，半径为2．
设直线的方程为，即，
直线与圆相交，
圆心到直线的距离，
解得，
即的取值范围是；
（2）由（1）知直线的方程为，．
设,
将直线与圆的方程联立，可得．
由根与系数的关系可得，所以．
线段的中点的轨迹的参数方程为，
其中，则，即
消去得，
线段的中点的轨迹的方程为，其中．
变式5．（24-25高二上·全国·课堂例题）在等腰中，若一腰的两个端点分别为，，为顶点，求另一腰的一个端点的轨迹方程．
【答案】（且）
【分析】设，求出，则，化简后再去掉个别点即可.
【详解】设点的坐标为，
为等腰三角形，且为顶点，．
又，
，
．
又点不能与点重合，也不能使，，三点共线．
且，
点的轨迹方程为（且）．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点为坐标原点，点为线段的中点，当绕点旋转时，求动点的轨迹方程．
【答案】
【分析】设P坐标，当直线斜率存在时，设的点斜式方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示P坐标，消参即可得P轨迹方程，再验证斜率不存在时即可.
【详解】解:设是所求轨迹上的任一点
①当直线的斜率存在时，设直线的方程为．
由得，则，
由得，即，
消去得．
②当直线的斜率不存在时，的中点为坐标原点，也适合方程．
综上，动点的轨迹方程为．
变式7．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.
已知圆G经过点，，且_____.
(1)求圆G的一般方程：
(2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
【答案】(1)
(2)，M的轨迹是一个圆.
【分析】（1）设出圆的方程，根据条件构造方程，运用待定系数法求解即可；
（2）画出图形，运用相关点法求解即可.
【详解】（1）方案一：选条件①.
设圆的方程为，
则，解得，
则圆G的方程为.
方案二：选条件②
直线恒过点.
因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心，
所以圆心坐标为，又圆G经过点，
所以圆的半径，所以圆G的方程为，即.
方案三：选条件③
设圆G的方程为，
由题意可得，解得，
则圆G的方程为，即.
（2）设，因为M为线段的中点，所以，
因为点P是圆G上的动点，所以，
即，
所以M的轨迹是一个圆.
【方法技巧与总结】
1.直接法
当动点直接与已知条件发生联系时，在设出曲线上动点的坐标为（x，y）后，可根据题设条件将普通语言运用基本公式（如两点间距离公式、点到直线的距离公式、斜率公式、面积公式等）变换成表示动点坐标（x，y）间的关系式（等式）的数学语言，从而得到轨迹方程．这种求轨迹方程的方法称为直接法.直接法求轨迹方程经常要联系平面图形的性质.
2.定义法
若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹方程的方法称为定义法.利用定义法求轨迹方程要善于抓住曲线的定义特征.
3.代入法
若所求轨迹上的动点P（x，y）与另一个已知曲线C：F（x，y）=0上的动点Q （x1， y1）存在着某种联系，可把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F（x，y）=0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称为代入法（又称相关点法）.
4.参数法
如果所求轨迹的动点P（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关信息可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程，此法称为参数法.参数法中常选变角、变斜率等为参数.
注意：①参数的取值范围影响着方程中x和y的取值范围. ②化简方程前后要注意等价性.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·随堂练习）方程的曲线是（ ）
A．一个点 B．一个点和一条直线
C．一条直线 D．两条直线
【答案】A
【分析】变形给定方程，即可判断得解.
【详解】方程，化为，则或，
所以方程的曲线是直线和直线.
2．（22-23高二·全国·课后作业）到x轴距离与到y轴距离之比等于2的点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据到x轴距离与到y轴距离之比等于2，列出等式即可求解.
【详解】设该动点为，则有，即，
故选:B.
3．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程是，则曲线C关于x轴对称的曲线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用代换曲线C的方程中的，得到，即可求解.
【详解】根据曲线的对称性质得，用代换曲线C的方程是中的，可得，
则曲线C关于x轴对称的曲线方程.
.
4．（21-22高二下·河南郑州·期中）将曲线上的点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到的曲线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据曲线变换原则可直接得到结果.
【详解】设为上的任意一点，为变换后的曲线上与对应的点，
则，，，，，
即所得的曲线方程为：.
.
5．（21-22高二·全国·课后作业）若曲线C的方程为，则下列各点中，在曲线C上的点是（ ）
A．； B．； C．； D．．
【答案】A
【分析】利用点与曲线的关系即可求解.
【详解】对于A，将代入方程，所以点在曲线上，故A正确；
对于B，将代入方程，所以点不在曲线上，故B不正确；
对于C，将代入方程，所以点不在曲线上，故C不正确；
对于D，将代入方程，所以点不在曲线上，故D不正确；
.
6．（2022高三·全国·专题练习）已知点A(1，0)，直线l：y2x－4，点R是直线l上的一点，若，则点P的轨迹方程为( )
A．y－2x B．y2x C．y2x－8 D．y2x＋4
【答案】C
【分析】用相关点法即可求解，设P为(x,y)，通过将R点坐标表示出来，R坐标满足l方程，代入即可得到答案﹒
【详解】设P(x,y)，，由知，点A是线段RP的中点，
∴，即，
∵点在直线y2x－4上，∴，
∴－y2(2－x)－4，即y2x．
﹒
7．（21-22高二上·贵州·阶段练习）已知点，，动点满足，则动点轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两点间的距离公式求出，，利用求出轨迹方程.
【详解】 ， ，
，
又动点满足
两边平方后可得
整理后可得：
8．（20-21高二·全国·课后作业）平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据绝对值的性质结合题意进行求解即可.
【详解】设点的坐标为，由题意可知：平面直角坐标平面内到两坐标轴距离之差等于1的点的轨迹方程是，
二、多选题
9．（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）若曲线是由方程和共同构成，则下列结论不正确的是（ ）
A．曲线围成的图形面积为
B．若点在曲线上，则的取值区间是
C．若与直线有公共点，则
D．若圆能覆盖曲线，则的最小值为2
【答案】ABC
【分析】根据曲线的方程可得曲线的图形，利用图形的对称性，即可结合选项逐一求解.
【详解】由， ，得或，
当时，，，是圆心为，半径为1的半圆，
同理可得的其他部分，分别为圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆，圆心为半径为1的半圆；
作曲线的图形如下图：
图中虚线部分是边长为2的正方形；
对于A，图形的面积，错误；
对于B，由图可知的取值范围是,，错误；
对于C,根据曲线的对称性可知，当直线与相切时，此时
或（舍去），
故要使曲线与直线有公共点，则，C错误，
对于D，覆盖住曲线的圆的半径的最小值显然是2，正确；
BC．
10．（22-23高二下·湖北·期中）在平面直角坐标系中，已知定点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．直线与曲线的位置关系无法确定
C．若直线与曲线相交，其弦长为4，则 D．的最大值为3
【答案】AD
【分析】设，代入，得曲线的方程判断选项A；由直线过的定点，判断直线与曲线的位置关系，验证选项B；由弦长与直径相等得直线过圆心，圆心代入直线方程求解k，验证选项C；的最大值为B点到圆心距离加上半径，计算验证选项D.
【详解】设动点，由，则，化简得， A选项正确；
直线过定点，点在圆内，直线与曲线相交，B选项错误；
弦长为4，等于圆的直径，圆心在上，代入直线方程得，C选项错误；
由，圆心，半径为2，， D选项正确.
D
11．（22-23高二上·湖南长沙·期末）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河.他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程所表示的曲线称为笛卡尔叶形线.当时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限 B．关于直线对称
C．与直线有公共点 D．与直线没有公共点
【答案】CD
【分析】根据笛卡尔叶形线的方程，即可判断AB，联立直线与笛卡尔叶形线的方程，通过方程的根可判断CD.
【详解】当时, 笛卡尔叶形线为，
A：若，则，故不经过第三象限，故A错误，
B：若点在曲线上，则点也在曲线上.故笛卡尔叶形线关于直线对称，故B正确，
C,D：由方程组 得 ，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线没有公共点，故D正确，C错误，
D
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）方程表示的曲线的形状是 ．
【答案】两条线段
【分析】直接平方化简，结合二次根式的意义计算与直线的表示方法即可得解.
【详解】由已知方程两边平方得，
结合.
∴方程表示的曲线是两条线段．
故答案为：两条线段.
13．（24-25高二·上海·随堂练习）过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点，且圆的圆心，由题意，即，得点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，计算得出方程.
【详解】点，且圆的圆心，半径为2，
由题意，即，
所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且，，
得，故圆心P的轨迹方程为．
故答案为：.
14．（2024·湖南益阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为 ．
【答案】.
【分析】设点坐标，再根据题意列出等式，化简即可求得轨迹方程.
【详解】设，则由可得，化简得.
故答案为：.
四、解答题
15．（2023高二上·全国·专题练习）已知点P是曲线上任意一点，，连接PA并延长至Q，使得，求动点Q的轨迹方程．
【答案】
【分析】设动点Q的坐标，点P坐标，根据，得到，，利用代入法求解.
【详解】解：设动点Q的坐标，点P坐标，
则，
因为，
所以，，
解得，，
代入得，
整理得，
所以动点Q的轨迹方程为．
16．（23-24高二下·浙江·开学考试）如图，已知等腰三角形中，是的中点，且.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设所在直线与轨迹的另一个交点为，当面积最大且在第一象限时，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据两点间距离公式利用化简整理可得点的轨迹的方程为；
（2）求出面积最大时点，可得的直线方程为，再由弦长公式可得结果.
【详解】（1）易知，
即，
整理可得，
即点的轨迹的方程为
（2）如下图所示:
由题意可得，当到距离最大时，即纵坐标最大时满足题意，此时；
所以所在直线方程为
圆心到直线的距离
可得.
17．（23-24高二上·浙江金华·阶段练习）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点，动点P满足.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)直线与轨迹C交于E，F两点，若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）设，根据，即可求出动点P的轨迹方程；
（2）求弦长和原点O到直线的距离，表示出的面积，列方程求出的值，可得直线的方程.
【详解】（1）设，点，则由，得，
∴动点P的轨迹C的方程为．
（2）轨迹C是以为圆心，2为半径的圆，
圆心到直线的距离为，则弦长，
坐标原点O到直线的距离为，
则有，
解得，即，
求直线的方程为或.
18．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知圆被轴分成两段弧，弧长之比为．
(1)求；
(2)若动点到坐标原点的距离等于为圆上一动点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得，据此即可求解；
（2）求出点的轨迹方程，求出，根据圆与圆的关系即可求解.
【详解】（1）由题意得，设圆与轴从左到右依次交于，
由题意得，
则，
所以；
（2）由题意得的轨迹为圆，
易得，因为，
所以圆与圆内含，故，
即的取值范围为.
19．（23-24高二上·北京西城·期末）已知经过点和，且圆心在直线上.
(1)求的方程；
(2)设动直线与相切于点，点.若点在直线上，且，求动点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出圆心坐标和半径后可得圆标准方程；
（2）由圆的切线，得，所以，化简可得动点的轨迹方程.
【详解】（1）由题意，设的圆心，半径为，
则
解得：
所以的方程为.
（2）由平面几何，知为直角三角形，且，
所以.
由，得.
设，则.
即，经检验符合题意.
所以动点的轨迹方程为.
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