2.5.1椭圆的标准方程
课程标准 学习目标
1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养 数学抽象素养 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推 理、数学运算素养 1.重点：掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实 际问题. 2.重点：掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程: 3.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
知识点01 椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4.半焦距：焦距的一半．
【即学即练1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义求出结果.
【详解】椭圆的长半轴长，依题意，，而，
所以.
【即学即练2】（2023高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（ ）
A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆
【答案】D
【分析】根据两点间距离公式结合椭圆的定义分析判断.
【详解】可设，，则，
可得，
由椭圆的定义可知：点P的轨迹为焦点在轴上的椭圆，且，.
知识点02椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋1(a＞b＞0) ＋1(a＞b＞0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 a2b2＋c2
【即学即练3】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．1
C． D．1
【答案】A
【分析】根据椭圆的几何性质即可求解，代入坐标即可求解.
【详解】由于椭圆焦点在x轴上，且经过点，所以，
设椭圆方程为，
将代入椭圆可得，解得，
所以椭圆方程为，
【即学即练4】（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知方程求出焦点即为所求椭圆焦点，设出所求椭圆方程，代入，解方程组即可.
【详解】由知，焦点为，，即，.
设所求椭圆方程为，则，解得，
故所求椭圆方程为.
.
难点：和差最值、取值范围问题
示例1：（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义转化，结合三点共线来求得的取值范围.
【详解】依题意，，，，
，，
所以，当位于线段与椭圆交点处时等号不成立.
根据椭圆的定义可知，
如图所示，设的延长线与椭圆相交于，
则当位于时，取得最大值为，
综上所述，的取值范围为.
【点睛】在椭圆中，求解椭圆上的点到焦点、定点的距离的和或差的最值，可以考虑通过椭圆的定义进行转化，然后结合三点共线来确定最值.在解题过程中，要画出对应的图象，结合图象来进行求解.
【题型1：椭圆定义辨析】
例1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆
【答案】A
【分析】运用圆与圆的位置关系的结论，结合椭圆定义可解.
【详解】由题意，记圆半径为．不妨令圆的半径为，圆的半径为，且，
则动圆与圆内切，与圆外切，可得：，
两式相加得：，且，故圆心的轨迹为椭圆．
．
变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义即可求出.
【详解】由椭圆，得，即，设左焦点为，右焦点为，
则，因为，所以，即点到左焦点的距离为2.
故选:D.
变式2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．线段
【答案】A
【分析】根据题意，利用复数的几何意义，以及椭圆的定义，即可求解.
【详解】设，复数对应点，
因为复数满足，
由复数的几何意义，可得，
所以复数对应的点满足椭圆的定义，复数在复平面内所对应点的轨迹是椭圆.
.
变式3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ．
【答案】14
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
【详解】因为所以又则
故答案为：14.
变式4．（23-24高二上·北京·期中）椭圆的焦点的坐标为 ，若为椭圆上任意一点，则 .
【答案】
【分析】将椭圆化为标准方程即可求出焦点，再利用椭圆定义即可得到.
【详解】该椭圆的方程是，即，，故，所以焦点坐标为.
根据椭圆的定义，有.
故答案为：，.
变式5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，有，则点的轨迹是 .
【答案】线段
【分析】
根据，得到轨迹.
【详解】由于，故点的轨迹为线段.
故答案为：线段
变式6．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．方程表示的曲线是圆
B．若两条直线平行，则它们的斜率相等
C．直线的一个法向量的坐标是
D．平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
【答案】ABD
【分析】根据圆的标准方程即可判断A，根据直线无斜率的情况即可判断B，根据法向量的定义即可求解C，由椭圆定义即可求D.
【详解】对于A, 由可得，故轨迹不存在，A错误，
对于B，若两条直线都和轴平行时，此时斜率不存在，故B错误，
对于C，直线的斜率为2，故一个法向量的坐标是，C正确，
对于D，平面内到两定点距离之和（大于两个定点之间的距离）为常数的点的轨迹是椭圆，故D错误，
BD
变式7．（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（ ）
A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆
B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段
C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆
【答案】CD
【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项.
【详解】对于A，，根据椭圆定义，点的轨迹不存在，故A错误；
对于B，点的轨迹为线段，故B正确；
对于C，到定点距离相等的点的轨迹为线段的垂直平分线，故错误；
对于D，到定点的距离的和为，
所以点的轨迹为椭圆，故D正确．
D.
【方法技巧与总结】
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
【题型2：椭圆标准方程的求解】
例2．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义求解即可.
【详解】椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，故，
且，故，
所以椭圆的标准方程为.
变式1．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的性质即可求解.
【详解】由，可得，
由于焦点在x轴上，所以椭圆方程为，
变式2．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ．
【答案】
【分析】根据题意，由椭圆的几何性质求出、的值，结合椭圆的标准方程计算可得答案．
【详解】解：根据题意，如图：
，由椭圆的对称性可得：，
又，由勾股定理可得：，
所以，，
又，则，
椭圆标准方程为．
故答案为：．
变式3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ．
【答案】
【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程.
【详解】设点,
又因为,,，
所以，
所以，
所以，根据椭圆定义可得,
所以椭圆的方程是.
故答案为：.
变式4．（24-25高二上·上海·单元测试）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为 ．
【答案】
【分析】由条件列关于的方程，解方程可得，由此可得椭圆方程.
【详解】设，由对称性可得，
则，
所以两式相减可得，
因为直线AB与AD的斜率之积为，
所以，即，所以，
设椭圆的半焦距为，
因为椭圆的焦距为4，所以，所以，
又，所以，
所以椭圆的标准方程为，
故答案为：.
变式5．（23-24高二下·全国·课堂例题）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为，，经过点；
(2)经过点两点．
(3)过且与有相同的焦点；．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设椭圆的标准方程为，依题意求出和可得结果；
（2）过两点的椭圆方程，可设为，代入计算即可．
（3）由焦点坐标得值，设出椭圆方程将点代入方程待定系数可得．
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
依题可得，将代入到方程中得，
故，
所以椭圆的标准方程为．
（2）设方程为
则，解得，则所求椭圆方程为
（3）由方程可知，其焦点的坐标为，即．
则， 设所求椭圆方程，
因为椭圆过点，代入方程得，
解得（舍去），，
故椭圆的标准方程为；
变式6．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点.
(2)经过点，且与椭圆有共同的焦点；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意，设椭圆的一般式方程，代入两点，列出方程组，求解即得；
（2）由已知椭圆求出半焦距并判断焦点位置，设出所求椭圆方程，列方程组，求解后即得.
【详解】（1）设所求椭圆的方程，
将代入上式得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为；
（2）椭圆，即，故，
则焦点为，，
依题意，设所求椭圆的标准方程，
则有，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在轴上，且经过两个点和；
(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由条件可设椭圆方程为，再由条件列方程求，即可得椭圆方程；
（2）结合焦点坐标知可设椭圆方程为，且，结合椭圆定义可求，由此可求及椭圆方程.
【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为．
又椭圆经过点和，
所以解得
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）由于椭圆的焦点在轴上，
所以设它的标准方程为，
设椭圆的半焦距为，则，
又，
所以，
所以，
所以所求椭圆的标准方程为．
变式8．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；
(3)经过和点．
【答案】(1)1
(2)
(3)．
【分析】（1）由焦点坐标求，由椭圆定义得即可求，从而得方程；
（2）结合图形，已知点是长短轴的顶点，则可得；
（3）设椭圆方程的简化形式，待定系数解方程组可得.
【详解】（1）由题意，椭圆焦点在轴上，且，
则，
∴椭圆方程为1；
（2）根据题意，所求椭圆的焦点在y轴上，且经过两个点和，
则，则椭圆的标准方程为；
（3）根据题意，要求椭圆经过（，）和点（，1）两点，
设其方程为，
则有，解可得，
则所求椭圆的方程为．
【方法技巧与总结】
求椭圆方程有两种方法：
1.用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
【题型3：椭圆定义的应用】
例3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案.
【详解】由题意可得，解得.
.
变式1．（24-25高二上·江西·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆标准方程的形式求解即可.
【详解】因为方程表示椭圆，
所以，解得，
.
变式2．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】A
【分析】借助椭圆定义与充要条件的定义计算即可得.
【详解】若表示椭圆，则有，
解得或.
.
变式3．（24-25高二上·江西·阶段练习）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先判断，再将方程化为标准式，即可结合焦点的位置得到不等式，解得即可.
【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，显然，则方程可化为，
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故答案为：
变式4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据焦点在轴上的椭圆的特征，列不等式即可求解.
【详解】由题意可得解得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，椭圆的焦点在轴上，则的半焦距的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由椭圆性质可知，则，结合三角恒等变换可得半焦距及其取值范围.
【详解】依题意，则，
故半焦距，
因为，所以，
所以，
即，
故答案为：.
变式6．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线.
【答案】答案见详解
【分析】根据椭圆定义讨论判断.
【详解】表示点到点的距离，表示点到点的距离，
所以表示点到点和的距离之和，
当时，方程表示的曲线是椭圆；
当时，方程表示的曲线是线段；
当时，方程表示的曲线不存在.
【方法技巧与总结】
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示：
1.焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数k的取值范围．
2.焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数k的取值范围
【题型4：焦点三角形问题】
例4．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（ ）
A．10 B．13 C．14 D．16
【答案】A
【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解.
【详解】由题意可知：，
则，
所以的周长为.
.
变式1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左 右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
【答案】A
【分析】在中，结合椭圆定义及勾股定理可得，进而求得的面积.
【详解】由椭圆定义可得，
又因为，所以由勾股定理可得，
即，解得，
则的面积为.
.
变式2．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆方程求出，由椭圆的定义可求出，然后利用等面积法可求出P点的纵坐标.
【详解】由，得，
所以，
所以，
设的内切圆半径为，
因为
所以，得.
变式3．（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【分析】由题意结合椭圆定义推导出△是直角三角形，再求面积即可.
【详解】由可得：，
则椭圆得长轴长为，
，
可设，，
由题意可知，，
，，，
△是直角三角形，
其面积．
．
变式4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意得到垂直平分线段，则，再根据椭圆的定义式和勾股定理即可求解．
【详解】
因为椭圆方程为，
所以，，，
又线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，
所以垂直平分线段，所以，
又因为，所以，，
在直角三角形中，，
于是的面积为．
．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上转化为垂直平分线段，再结合椭圆定义求解.
变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ．
【答案】8
【分析】根据椭圆定义求解.
【详解】由椭圆可知，即，
由椭圆的定义可知，的周长为，
故答案为：
变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 .
（2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 .
【答案】 20
【分析】（1）焦点三角形中运用余弦定理可得，由三角形面积公式得解；
（2）根据椭圆的定义及两边之和不下于第三边求解即可.
【详解】（1）由椭圆可知，，
所以，即，，
由余弦定理得，
解得，
所以.
（2）设椭圆的左焦点为，
由椭圆C：可得，，
则的周长为，
由，可得，
当且仅当三点共线时等号不成立，即的周长的最大值为20.
故答案为：；
变式7．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.
(1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；
(2)若，的面积为4，求b的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）已知可求出，点坐标可代入椭圆方程求出，进而求出；
（2）得到椭圆标准方程根据，利用三角形面积公式和椭圆定义以及勾股定理来求解的值.
【详解】（1）已知，因为，所以.点在椭圆上，将其代入椭圆方程，可得，即，解得.
又因为，，，所以.
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为，所以的面积，则.根据椭圆定义，.
由勾股定理可得.
又，即.
在椭圆中有，将变形为，即，解得.
【方法技巧与总结】
求椭圆中焦点三角形面积的方法：
①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，利用圆和椭圆的定义，结合图象得到，然后由即可求解.
【详解】如图，由题意，椭圆的焦点为，，
则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以，
又，
所以.
.
变式1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】D
【分析】作出椭圆的另一个焦点，转化线段，最后利用三角不等式解决即可.
【详解】
作椭圆的左焦点，则，
当且仅当点为线段的延长线与椭圆的交点时取得，由两点间距离公式得，
故，C正确，
变式2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值.
【详解】设，，且，
所以
，
又因为，所以当时取最大值，
所以，
.
变式3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角换元得，即可根据两点距离公式求解.
【详解】设，
则
，
由于，故当时，取最小值，
变式4．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ．
【答案】/
【分析】设，得出，整理，令，利用单调性求值域，即可求解．
【详解】解：设，
，
，
，
，
，
令，
则在上单调递减，在上单调递增，
，
，
则的最大值与最小值之和为，
故答案为：．
变式5．（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆定义可将转化为，再根据可得的最小值为，结合两点间距离公式即得答案.
【详解】由为椭圆上任意一点，则
又为圆上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），
∴，
当且仅当M、N、E、共线时等号不成立.
∵，，则，
∴的最小值为．
故答案为：．
变式6．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据椭圆方程以及点坐标，利用椭圆定义并结合三角形边长即可求得其最小值.
【详解】易知为椭圆的下焦点，点在椭圆内部；
设为椭圆的上焦点，连接，
由椭圆定义可得，则，
所以，
当且仅当三点共线时，取得最小值，如下图所示：
因此则的最小值为.
故答案为：
变式7．（2024高二上·全国·专题练习）设实数满足的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用椭圆的定义，即可求代数式的最小值，得到答案.
【详解】设，则在椭圆上，
因为，
设，则为椭圆的右焦点，
如图所示，设椭圆的左焦点为，
则，
当且仅当三点共线且在之间时等号不成立，
而，故的最小值为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
总体理论依据：
1.线段公理——两点之间，线段最短。
2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线
3.三角形两边之和大于第三边。
4.三角形两边之差小于第三边。
5.垂直线段最短
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据圆的位置关系及椭圆的定义可判断P点轨迹为椭圆，即可得出轨迹方程.
【详解】圆：和：的圆心、半径分别为，
由可知圆内含于圆内，
设动圆半径为,
由题意，，,
两式相加可得,
故P点的轨迹为以为焦点的椭圆，其中，
所以，
所以椭圆方程为.
变式1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.
【详解】设是点到直线的距离，
根据题意，动点的轨迹就是集合.
由此得，将上式两边平方并化简，得，
即.
所以动点的轨迹方程为.
.
变式2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为
【答案】
【分析】利用线段的中垂线性质，即可推导出动点到两定点的距离之和为定值，所以动点轨迹是椭圆，即可出椭圆方程.
【详解】
连接，由线段的垂直平分线与相交点M，可得，
则有，
所以点M 的轨迹是以为焦点，以5为长轴长的椭圆，
则，即，
所以点M 的轨迹方程为：，即，
故答案为：.
变式3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程.
【详解】设动点的坐标为，又，，
所以的斜率，的斜率，
由题意可得，
化简，得点的轨迹方程为.
故答案为：
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形性质可得，即可得，再根据椭圆定义可得轨迹方程.
【详解】
如图所示，
由的方程得圆心，半径为，
因为，所以，
又，所以，
则，所以，
又，
所以，
又斜率不为，所以点不在轴上，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且点不在轴上，
则，，所以，
即点的轨迹方程为，
故答案为：，.
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点，，，，根据切线可得，结合交点运算求解即可.
【详解】设点，，，，
则直线CD的方程为，
因为直线CD与圆相切，则，可得；
又因为直线AC与BD的交点为M，
所以，解得，可得，
所以点M的轨迹方程为．
故答案为：.
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 .
【答案】
【分析】设，利用平面向量数量积的坐标表示计算化简即可.
【详解】设动点，则.
又，
.
化简得，即，
动点的轨迹的方程为.
故答案为：.
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求边BC所在直线的方程；
(2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由已知，可得，又，则，即可求得BC所在直线的方程；
（2）由BC的直线方程，可得，则得圆心，又，即可求得圆M的方程；
（3）由已知，可得是该圆的半径，因为动圆N与圆M内切，可得，则点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，即可由待定系数法求椭圆方程.
【详解】（1）因为点，点，
则，又，所以，
所以边BC所在直线的方程为，
即．
（2）因为边BC所在直线的方程为，
令，得，
所以圆心，又因为，
∴圆M的方程为．
（3）因为点P为线段OA的中点所以，
又，且圆N过点，
所以是该圆的半径，
因为动圆N与圆M内切，所以，
即，
所以点N的轨迹是以M，P为焦点的椭圆，且，
所以，，，
所以圆心N的轨迹方程为．
【方法技巧与总结】
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法：
1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
2.方程法：直接根据条件列方程化简即可。
3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，
只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
一、单选题
1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．9 D．1或9
【答案】D
【分析】根据椭圆中的关系即可求解.
【详解】根据右焦点坐标为，可得，且焦点在轴上，
故，
2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围.
【详解】依题意，解得或
3．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】判断焦点位置，求出值即可求.
【详解】方程可化为，
则椭圆的焦点在轴，且，
则，
故其焦点坐标为．
.
4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】D
【分析】由椭圆定义求焦点三角形周长.
【详解】根据题意，椭圆中，
根据椭圆定义，的周长为
.
5．（23-24高二下·北京·阶段练习）设P是椭圆：上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据椭圆定义即可得结果.
【详解】由椭圆方程可知：，
所以P到该椭圆的两个焦点的距离之和为.
.
6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义与性质判定即可.
【详解】由题意可知，则有如下，
，
共7种情况.
7．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义和基本不等式求解即可.
【详解】椭圆，
故，
故，当且仅当时，等号不成立.
8．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．6
【答案】C
【分析】由椭圆定义和基本不等式进行求解.
【详解】由椭圆定义得，
由基本不等式得，
当且仅当时，等号不成立，
故的最大值为4.
二、多选题
9．（23-24高二上·云南昆明·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（ ）
A．为定值 B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为
【答案】AC
【分析】由椭圆定义可判断A；由为定值以及的范围可判断B；求出，的坐标，由数量积公式得出，可判断C；求出，的坐标，由三角形面积公式可判断D.
【详解】设椭圆的左焦点为，则，所以为定值6，故A正确；
的周长为，因为为定值6，
易知的范围是，所以的周长的范围是，故B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，
又易知，所以，
所以为直角三角形，故C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，
所以，故D错误.
C．
10．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D.
【详解】对AB，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，
因为，所以，，，
所以，，故A错误，B正确；
对C，设，，，
则，
即，当时取得最大值，故C正确；
对D，由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确．
CD
11．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】AC
【分析】根据椭圆的焦点三角形的性质，结合余弦定理即可求解.
【详解】由，，得.
,
由，得.
在中，由余弦定理得，
得或，所以或.
C
三、填空题
12．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 .
【答案】1
【分析】写出椭圆的参数方程，所以点，进而表示出矩形的面积，结合三角函数的知识求解最大值即可.
【详解】椭圆的参数方程为（为参数），
则可设点,
所以矩形的面积为，
所以，
因为点在第一象限，所以当且仅当，即时，等号不成立，
故矩形面积的最大值为1.
故答案为：1.
13．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ．
【答案】4
【分析】由向量垂直的充要条件得出，然后根据椭圆的定义求出，再根据直线的斜率为，得到，，最后利用椭圆定义得到：，从而列出关于的方程，解出的值即可．
【详解】
由，，
又直线的斜率为，
则，，
又椭圆方程为：，.
,解得，
又，， ，即.
故答案为：4．
14．（23-24高二下·安徽六安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ．
【答案】
【分析】先利用椭圆的定义求得，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．
【详解】
由椭圆可知和为其焦点，
的顶点在椭圆上，则，
则对于，有，，
由正弦定理得，
故答案为：．
四、解答题
15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点
(1)若是直线上任一点，求的最小值
(2)若是圆上任一点，求的最小值
(3)若是椭圆上任一点，求的最小值
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）根据题意，结合点到直线的距离公式，分类讨论，即可求解；
（2）根据题意，结合圆的几何性质，分类讨论，即可求解；
（3）根据题意，结合椭圆的标准方程和几何性质，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：若在直线上；
若不在直线上，.
（2）解：若在圆内，则的最小值；
若在圆上，则的最小值0；
若在圆外，则的最小值.
（3）解：若在椭圆上，则的最小值为0；
若不在椭圆上，设，
则，
因为，所以开口向上，对称轴为，
当时，即时，时取最小值为；
当时，即时，取最小值，
所以.
16．（21-22高二下·全国·期末）已知椭圆C：的左焦点为F，点A在C上，过点A作轴，垂足为B，其中点B异于点A，且.
(1)求动点D的轨迹方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，与动点D的轨迹交于P，Q两点，求的最大值.
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据题意，结合椭圆的方程，代入计算即可得到结果；
（2）根据题意，分轴与不与x轴垂直，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）设点D坐标为，∵，∴点A的坐标为，
∴，∴动点D的轨迹方程为.
（2）
若轴，则，，∴.
若直线不与x轴垂直，设直线的方程为，
即，
则坐标原点到直线的距离：，
∴.
设，，联立，
得，
∴，.
∴
，
∴，
当日仅当，即时，等号不成立.
综上所述，最大值为4.
17．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)若D为的中点．
①求D的轨迹方程；
②求的最大值．
【答案】(1)
(2)① ；②1
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）①设，，，根据点差法可得，再分斜率存在与不存在求解即可；
②由①知，D的轨迹是个椭圆，原点O是该椭圆的左顶点即可得.
【详解】（1）由题意有，所以C的方程为；
（2）设，，，则，
即，
当斜率存在时，有，即，
①当斜率存在时，由上述分析有，得，
当斜率不存在时，易知，满足上面得出的方程，
综上，D的轨迹方程为；
②由①知，D的轨迹是个椭圆，且F是该椭圆的右顶点，
不难看出坐标原点O是该椭圆的左顶点，所以．
18．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆．
(1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）当斜率不存在时，直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.当斜率存在时，设直线的方程为，利用圆的弦长公式有，和点到直线距离公式，可求得，故可得直线l的方程；
（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.利用已知，代入点的坐标化简得，.而，代入可得的轨迹方程.
【详解】（1）①当直线垂直于轴时，则此时直线方程为，与圆的两个交点坐标为和，其距离为，满足题意.
②若直线不垂直于轴，设其方程为，即.
设圆心到此直线的距离为，则，得，
∴，，
故所求直线方程为.
综上所述，所求直线方程为或.
（2）设点的坐标为，点坐标为，则点坐标是.
∵，∴，即，.
又∵，∴.
由已知，直线轴，∴，
∴点的轨迹方程是.
19．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据椭圆的定义可得解；
（2）设点，结合向量线性运算及模长公式化简可得证.
【详解】（1）
由已知，则，即，
又的周长为，
则，，
则，
即椭圆方程为：；
（2）由（1）可知，，
设，
则，，，
，
又，
即，
即，
所以无论动点在上如何运动，恒为一个常数.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.5.1椭圆的标准方程
课程标准 学习目标
1.通过椭圆的定义、标准方程的学习，培养 数学抽象素养 2.借助于标准方程的推导过程，提升逻辑推 理、数学运算素养 1.重点：掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实 际问题. 2.重点：掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程: 3.难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
知识点01 椭圆的定义
1.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2.焦点：两个定点F1，F2.
3.焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4.半焦距：焦距的一半．
【即学即练1】（23-24高二上·吉林·阶段练习）椭圆的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）
A． B． C． D．
【即学即练2】（2023高二·全国·专题练习）如果点在运动过程中，总满足关系式，那么点P的轨迹为（ ）
A．线段 B．直线 C．椭圆 D．圆
知识点02椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋1(a＞b＞0) ＋1(a＞b＞0)
焦点 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 a2b2＋c2
【即学即练3】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）焦点在x轴上，中心为坐标原点，经过点,.则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．1
C． D．1
【即学即练4】（23-24高二上·全国·课后作业）过点且与有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
难点：和差最值、取值范围问题
示例1：（23-24高二上·山西太原·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点M在C上，点N的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型1：椭圆定义辨析】
例1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆与圆内含，且圆心不重合，动圆与两圆相切，则圆心的轨迹为（ ）
A．直线 B．圆 C．双曲线 D．椭圆
变式1．（23-24高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆上有一点P到右焦点的距离为4，则点P到左焦点的距离为（ ）
A．6 B．3 C．4 D．2
变式2．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）若复数满足，则复数在复平面内所对应点的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．线段
变式3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知P是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点．若，则 ．
变式4．（23-24高二上·北京·期中）椭圆的焦点的坐标为 ，若为椭圆上任意一点，则 .
变式5．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点，有，则点的轨迹是 .
变式6．（多选）（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）下列说法中错误的是（ ）
A．方程表示的曲线是圆
B．若两条直线平行，则它们的斜率相等
C．直线的一个法向量的坐标是
D．平面内到两定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆
变式7．（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）下列是真命题的是（ ）
A．已知定点，则满足的点的轨迹为椭圆
B．已知定点，则满足的点的轨迹为线段
C．到定点距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点到定点的距离的和等于点到定点的距离的和，则点的轨迹为椭圆
【方法技巧与总结】
椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条件．
【题型2：椭圆标准方程的求解】
例2．（23-24高二上·北京西城·期中）一个椭圆的两个焦点分别是，，椭圆上的点到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·四川巴中·期末）已知椭圆的焦点在x轴上，，，则其标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于y轴的直线交C于A，B两点，且，则椭圆C的标准方程为 ．
变式3．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ．
变式4．（24-25高二上·上海·单元测试）已知椭圆E：的焦距为4，平行四边形ABCD内接于椭圆E，且直线AB与AD的斜率之积为，则椭圆E的方程为 ．
变式5．（23-24高二下·全国·课堂例题）求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点坐标分别为，，经过点；
(2)经过点两点．
(3)过且与有相同的焦点；．
变式6．（23-24高二下·全国·课后作业）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点.
(2)经过点，且与椭圆有共同的焦点；
变式7．（24-25高二上·全国·课前预习）求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)焦点在轴上，且经过两个点和；
(2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点．
变式8．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点和；
(3)经过和点．
【方法技巧与总结】
求椭圆方程有两种方法：
1.用定义法求椭圆的标准方程
先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：
①b2a2－c2；
②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；
③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.
2.用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤
【题型3：椭圆定义的应用】
例3．（24-25高二上·福建三明·阶段练习）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（24-25高二上·江西·阶段练习）若方程表示椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）方程表示椭圆的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．或
变式3．（24-25高二上·江西·阶段练习）如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 .
变式4．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 .
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，椭圆的焦点在轴上，则的半焦距的取值范围是 ．
变式6．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）讨论方程＋表示的曲线.
【方法技巧与总结】
把方程写成椭圆的标准方程形式，得到形式，要想表示：
1.焦点在轴上的椭圆，必须要满足，解这个不等式就可求出实数k的取值范围．
2.焦点在x轴上的椭圆，必须要满足A>B>0，解这个不等式就可求出实数k的取值范围
【题型4：焦点三角形问题】
例4．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（ ）
A．10 B．13 C．14 D．16
变式1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知椭圆的左 右焦点分别为，点在椭圆上.若，则的面积为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．
变式2．（23-24高二上·吉林延边·期中）点P是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为（ ）
A．2 B． C． D．
变式3．（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
变式4．（23-24高二上·江西九江·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为和，点在椭圆上且在轴的上方若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ．
变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）（1）已知点P在椭圆上，与分别为左、右焦点.若，则的面积为 .
（2）若F为椭圆C：的右焦点，A、B为椭圆C上两个动点，则的周长的最大值为 .
变式7．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知，分别是椭圆C：（）的左、右焦点，P为C上一点.
(1)若，点P的坐标为，求椭圆C的标准方程；
(2)若，的面积为4，求b的值.
【方法技巧与总结】
求椭圆中焦点三角形面积的方法：
①根据椭圆的定义求出|PF1|+PF2|2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③利用公式×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积．利用公式×|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积
④结论：
【题型5：和差最值问题】
例5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
变式1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知点 在椭圆 上，点 ，则 的最大值为（ ）
A． B．4 C． D．5
变式2．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
变式3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）为椭圆：上一点，，则最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
变式4．（2024高二下·云南曲靖·学业考试）已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ．
变式5．（23-24高二上·全国·期末）已知椭圆的左 右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为 .
变式6．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知P是椭圆上的一个动点，点，则的最小值为 .
变式7．（2024高二上·全国·专题练习）设实数满足的最小值为 .
【方法技巧与总结】
总体理论依据：
1.线段公理——两点之间，线段最短。
2.对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等。②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线
3.三角形两边之和大于第三边。
4.三角形两边之差小于第三边。
5.垂直线段最短
【题型6：轨迹方程问题】
例6．（24-25高二上·江西·阶段练习）已知圆：和：，若动圆P与这两圆一个内切一个外切，记该动圆圆心的轨迹为M，则M的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则动点的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）如图：已知圆 内有一点 ，Q是圆C上的任意一点，线段AQ的垂直平分线与CQ相交点M ，当点Q在圆C上运动时，点M 的轨迹方程为
变式3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为 ．
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ．
变式5．（24-25高二上·全国·课后作业）已知过点的直线与相交于点C，过点的直线与相交于点D，若直线CD与圆相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 ．
变式6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 .
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，的顶点，直角顶点，顶点C在x轴上，点P为线段OA的中点．
(1)求边BC所在直线的方程；
(2)M为外接圆的圆心，求圆M的方程；
(3)若动圆N过点P且与圆M内切，求动圆N的圆心N的轨迹方程．
【方法技巧与总结】
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法：
1.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
2.方程法：直接根据条件列方程化简即可。
3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，
只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
一、单选题
1．（24-25高二上·湖南·阶段练习）若椭圆的右焦点坐标为，则的值为（ ）
A．1 B．1或3 C．9 D．1或9
2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知椭圆，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高二下·贵州六盘水·期中）设，分别为椭圆：的两个焦点，过且不与坐标轴重合的直线椭圆C于A，B两点，则的周长为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
5．（23-24高二下·北京·阶段练习）设P是椭圆：上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高二下·重庆·阶段练习）已知,则方程可表示焦点在轴上的不同椭圆的个数为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
7．（24-25高二上·全国·随堂练习）设为椭圆上的任意一点，，为其上、下焦点，则的最大值是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
8．（23-24高二下·湖北·开学考试）已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为（ ）
A．1 B．4 C．9 D．6
二、多选题
9．（23-24高二上·云南昆明·期末）设椭圆的右焦点为F，直线与椭圆交于A，B两点，则（ ）
A．为定值 B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形 D．当时，的面积为
10．（23-24高二上·福建漳州·阶段练习）已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在上，且，，则的值可能为（ ）
A． B．2 C． D．
三、填空题
12．（23-24高二下·上海宝山·期末）设P是椭圆第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、N，则矩形OMPN的面积的最大值为 .
13．（23-24高二下·上海浦东新·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，若过且斜率为的直线与椭圆在第一象限交于点，且，则的值为 ．
14．（23-24高二下·安徽六安·开学考试）在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则 ．
四、解答题
15．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知点
(1)若是直线上任一点，求的最小值
(2)若是圆上任一点，求的最小值
(3)若是椭圆上任一点，求的最小值
16．（21-22高二下·全国·期末）已知椭圆C：的左焦点为F，点A在C上，过点A作轴，垂足为B，其中点B异于点A，且.
(1)求动点D的轨迹方程；
(2)过点F的直线与C交于M，N两点，与动点D的轨迹交于P，Q两点，求的最大值.
17．（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点．
(1)求C的方程；
(2)若D为的中点．
①求D的轨迹方程；
②求的最大值．
18．（21-22高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知圆．
(1)直线l过点且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；
(2)过圆C上一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量，求动点Q的轨迹方程．
19．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）已知椭圆的上、下焦点分别为，，为坐标原点，是上一动点，，的周长为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：无论动点在上如何运动，恒为一个常数.
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