2.5.2椭圆的几何性质
课程标准 学习目标
1.掌握椭圆的几何性质 2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响. 3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用 1.重点:椭圆的几何性质 2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
知识点01 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋1(a＞b＞0) ＋1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 长轴长，短轴长
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率 e(0【即学即练1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到方程组，求出，结合焦点位置，得到椭圆方程.
【详解】由题意得，，又，
解得，
故椭圆方程为.
【即学即练2】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为 .
【答案】6
【分析】根据焦点以及焦距即可根据的关系求解.
【详解】由于为焦点在轴上，所以，
由于焦距是2，所以，所以，
故长轴长为，
故答案为：6
知识点02椭圆的离心率
1.定义：e.
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e=
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【即学即练3】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题求出b、c、a，即可求出离心率.
【详解】由题的，
所以，
所以离心率为，
.
【即学即练4】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由椭圆离心率的公式计算.
【详解】椭圆满足，
则该椭圆的离心率.
.
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作，结合条件可得，结合椭圆定义求出，在，中，分别由勾股定理建立等式得到的方程，求得答案.
【详解】如图，，垂足为，
因为，所以，为的中点，
，，
，
，整理得，
所以，即，
，
，
在中，，在中，，
，
化简整理得，
，解得或，又，
.
.
【题型1：椭圆的几何性质】
例1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【分析】根据已知列方程结合计算得出再结合椭圆的交点所在轴即可判断.
【详解】因为 ,
又因为，
所以,
,
解得,
椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：;
椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：.
.
变式1．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（ ）
A． B． C．6 D．12
【答案】A
【分析】根据焦点坐标得到c，再由得到a，c的关系求解.
【详解】因为椭圆的两个焦点分别为，则，
又上顶点为P，且，所以，所以，故长轴长为12.
变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的标准方程求出，再求长轴长与焦距之差.
【详解】由题得，，所以，，
所以长轴长，焦距，
所以长轴长与焦距之差等于 ．
变式3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先得到，即可求出，再由离心率公式求出，最后再求出长轴长.
【详解】因为，
依题意可得，
所以，
则离心率，解得，则，
所以椭圆的长轴长为.
变式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由离心率公式首先求得参数的值，进一步可得以及长轴长.
【详解】因为方程表示椭圆，所以，
从而，解得，
所以，则椭圆的长轴长为.
.
变式5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【分析】根据离心率的公式，求解，再根据方程求椭圆的长轴长.
【详解】由条件可知，，，则，
由条件可知，，得，
所以，椭圆的长轴长.
变式6．（多选）（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆，则（ ）
A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为12
C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为
【答案】AD
【分析】利用椭圆的标准方程分析其性质即可得解.
【详解】因为椭圆，所以，
且椭圆的焦点在轴上，所以椭圆的长轴长为，焦距为，短半轴长为，离心率．
D
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的短轴长为 .
【答案】
【分析】由题意可得为等腰直角三角形，又，计算可求，可求的短轴长.
【详解】设，易知，
结合，可知为等腰直角三角形，
所以，故，
所以，
所以的短轴长为.
故答案为：.
变式8.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示长轴长为10的椭圆，则实数m的值为 ．
【答案】0或9
【分析】根据方程的形式，结合长轴概念，分类讨论得出结果.
【详解】当焦点在x轴上时，有解得；
当焦点在y轴上时，有解得．
综上，实数m的值为0或9．
故答案为：0或9.
【题型2：点与椭圆的位置关系】
例2．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ）
A．在椭圆内 B．在椭圆外
C．在椭圆上 D．不确定
【答案】A
【分析】由直线与圆没有公共点得，再利用放缩法得，可判断点与椭圆的位置关系.
【详解】直线与圆没有公共点，
圆心到直线的距离，即，
，
又，
点在椭圆内部.
.
变式1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上 B．点在椭圆内
C．点在椭圆外 D．不确定
【答案】C
【分析】将点代入椭圆即可求解.
【详解】由于，所以在内，
变式2．（19-20高二·全国·课后作业）若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据题中条件，得到，求解，即可得出结果.
【详解】因为点在椭圆的外部，
所以，即，解得或.
.
变式3．（19-20高二·全国·课后作业）点在椭圆的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可得，解不等式即可得解.
【详解】因为点在椭圆的内部，所以有，即，
解得，则的取值范围是．
.
【点睛】本题考查点与椭圆的位置关系，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.
变式4．(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线与圆相切，椭圆，则（ ）
A．点在圆O内 B．点在圆O上
C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上
【答案】CC
【分析】首先根据直线与圆相切的公式，得到，即可判断点与圆，以及点与椭圆的位置关系.
【详解】由直线与圆相切，可知，圆心到直线的距离，
即，所以点在圆O上，
并且，所以圆在椭圆内，在椭圆内.
C
变式5．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）点在椭圆的内部，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】CC
【分析】由点与椭圆的位置关系得出的值.
【详解】由题意知，解得．
C
变式6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为 ．
【答案】
【分析】分析可知，点在圆上，联立圆与椭圆的方程，求出公共解的个数即可.
【详解】在椭圆中，，，则，
若，易知原点为的中点，则，
所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上，即点在圆上，
联立，可得，即点或，
即满足条件的点的个数为.
故答案为：.
变式7．（20-21高二·全国·课后作业）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由在椭圆的内部有，即可求参数m的范围.
【详解】∵点在椭圆的内部，
∴，整理得，解得．
故答案为：
变式8．（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 .
【答案】点在椭圆外
【分析】由已知得=1，继而有，由此可得答案.
【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外.
故答案为：点在椭圆外.
【方法技巧与总结】
点P(x0，y0)与椭圆＋1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋1；
点P在椭圆内部 ＋<1；
点P在椭圆外部 ＋>1.
【题型3：离心率取值问题】
例3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，作出图形，取的中点，连接，分别求出和，利用余弦定理即可求得离心率.
【详解】如图，取的中点，连接,则易得，，
在中，，则,又，
在中，由余弦定理，，
即，整理得，，
解得或（舍去），则.
故选:B.
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】结合椭圆定义在中由余弦定理求得 ，同理在中利用余弦定理可得，再由可得关系，进而得离心率.
【详解】连接，设，则，
在中，由余弦定理可得
，
即，
解得，即 .
由可知，
在中利用余弦定理可得
，
同理可解得，
又因为，即，
所以．
.
变式2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义结合勾股定理，易得等式求出离心率.
【详解】由椭圆定义得：，又因为，
所以解得：，
再由于，，结合勾股定理可得：
，解得，所以椭圆的离心率为，
.
变式3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知条件求出点坐标，代入中形成齐次方程，解出离心率即可.
【详解】
如图：由题意不妨设在第一象限，知 ，
因为，所以 ，
所以，
则，且，即，
又由，所以，又，即，
结合解得，
代入中，整理得，
即，解得（舍）或.
.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据对称以及垂直可证四边形是矩形，即可根据椭圆定义，以及勾股定理求解，根据得，即可求解离心率.
【详解】点关于原点对称，所以线段互相平分，故四边形为平行四边形，
又，故，所以四边形是矩形，故，其中，
设，则，由，得，整理得，
由于点在第一象限，所以，
由，得，即，
整理得，即，解得．
变式5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，点在以为直径的圆上，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，在以为直径的圆上，进而可得，即可得椭圆离心率.
【详解】
由易知，点在以为直径的圆上，
又在以为直径的圆上，则，且，，
可知，所以，
结合可得，，
解得，
.
变式6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆对称性以及可得，根据勾股定理可得，即可代入求解，结合已知条件得到，即可求解.
【详解】因为过原点的直线与相交于，两点，,故四边形为矩形，故，又，，
所以，则，
又，
即，且，
解得，（由于，故舍去）
结合，故，即
又，
因此，故，解得，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由解方程得到，结合椭圆定义得到，联立可得.
变式7．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是 ．
【答案】
【分析】利用椭圆性质写出焦点以及顶点坐标，再由轴，即可得，可求得离心率为.
【详解】根据题意设椭圆的标准方程为，
如图所示则有，
直线方程为，代入方程可得，所以，
又，所以，
即，整理可得；
所以，即，
即可得椭圆的离心率为.
故答案为：
变式8．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个的齐次式，求解离心率.
【详解】令椭圆：（）的半焦距为，
设，则，由点在轴上，
，得，
而，，因此，
即，解得，
在中，，
在中，由余弦定理得，
即，
整理得，而，
所以椭圆的离心率为．
故答案为：．
【方法技巧与总结】
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e，求出后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点为直线上一点，若点在线段的垂直平分线上，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得，若点在线段的垂直平分线上，可得，即，运算求解即可.
【详解】由题意可知：，
因为点为直线上一点，则，
若点在线段的垂直平分线上，可得，
则，整理可得，即，
所以的离心率的取值范围是.
.
变式1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解.
【详解】设椭圆的左焦点为，
因为，所以四边形为为矩形，所以，
因为，
所以，，则，
由椭圆的定义得，
所以，
因为，所以，
所以，
其中
，
所以，
所以.
变式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将条件中的不等式用坐标表示，再结合椭圆方程化简不等式，即可求解椭圆的离心率的范围.
【详解】设，，，，
，
由题意可知，，即，得，
则.
变式3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可推得要使，只需，由此设直线方程，并联立椭圆方程，求出点的坐标，进而得到，令，，即可得到的不等关系，求得答案.
【详解】要使，只要，只要，
因为直线的斜率为，
即只要，
设直线方程为：，
联立，整理可得：
因为为方程的一个根，
故，
所以点，
可得，
由于，故，
令，可得，
可得，可得离心率，
所以离心率的取值范围是．
．
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
变式4．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由椭圆的定义，分别表示出，再由椭圆的离心率公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意得则，
由，得，
即，得．
故的离心率的取值范围为．
变式5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆与椭圆的离心率分别为，若，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】A
【分析】由椭圆的离心率，结合椭圆的性质及对勾函数的单调性求解．
【详解】已知椭圆与椭圆的离心率分别为，，
又，
则，，
则，
设，，
则根据对勾函数知在为减函数，在为增函数，
则,，
则，
即的最大值为，无最小值．
．
变式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出直线所过的定点，由题，此定点也在椭圆上，从而得出a，b，c的关系，用离心率表示出a，再由题目中长轴长的范围列出关于离心率的不等式，求解即可.
【详解】直线即，该直线过定点，所以点在C上，，即，
设，则，
所以 ，
因为C的长轴长大于，所以，，
所以，解得，所以：.
.
变式7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由可得，又点在右准线上可得，解关于的一元二次不等式，结合即可求得结果.
【详解】取的中点Q，连接，如图所示，
则，所以，
所以，所以为等腰三角形，
即，且，所以，
又因为点在右准线上，
所以，即，
所以，即，解得或，
又，所以，
故答案为：.
变式8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线的方程为，且于．若四边形为平行四边形，求的离心率的取值范围．
【答案】
【分析】利用条件设P表示Q，由平行四边形的性质及椭圆的性质得出不等关系计算即可.
【详解】注意到直线，设，则，
又四边形为平行四边形，所以，
即，所以，解得，
故的离心率的取值范围为．
【方法技巧与总结】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【题型5：直线与椭圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案.
【详解】由可得，解得或
当时，，当时，
所以直线与椭圆的交点坐标为
变式1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直线l和椭圆C有公共点，联立直线方程和椭圆方程消去y便可得到关于x的一元二次方程，方程有解，从而有判别式，即可解出m的取值范围．
【详解】直线代入椭圆方程消去y得：；
∵直线与椭圆有公共点，方程有解，
∴；
解得，即m的取值范围为.
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．无数个
【答案】D
【分析】联立直线与椭圆的方程消去y，再利用判别式判断作答.
【详解】由消去y并整理得，显然，
所以直线与椭圆相交，有2个公共点.
变式3．（21-22高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】C
【分析】根据椭圆的方程求得短轴的右顶点为，进而得到直线与椭圆的位置关系.
【详解】由椭圆的方程，可得，即椭圆的短轴的右顶点为，
所以直线与椭圆相切.
.
变式4．（21-22高二上·全国·课前预习）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
【答案】D
【分析】代数法联立直线与椭圆，转化为二次方程根的问题来判断即可.
【详解】联立，
则
所以方程有两个不相等的实数根，
所以直线与椭圆相交
.
变式5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】根据直线方程写出其所过定点，结合其与椭圆的位置关系，可得答案.
【详解】由直线，则可知其过定点，
易知当该点在椭圆内或椭圆上时，直线与椭圆恒有公共点，
则，解得且.
故答案为：且.
变式6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由焦距、所过点求椭圆参数，即可得方程；
（2）由平行关系设直线方程：，联立椭圆方程得，利用相切关系有求参数，即可得直线方程.
【详解】（1）由题意得，得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设与平行的：，
由，得，
由，得，则：.
变式7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与椭圆相交于不同两点，求实数的取值范围．
【答案】或
【分析】联立直线与椭圆方程，利用判别式大于，解不等式可得结果.
【详解】联立，消去并整理得，
依题意得，即，
解得或.
【方法技巧与总结】
直线ykx＋m与椭圆＋1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型6：弦长问题】
例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】求出交点得纵坐标即可得解.
【详解】令，得，解得，
所以直线被椭圆截得的弦长为.
.
变式1．（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（ ）
A．4 B．2
C．1 D．4
【答案】D
【分析】根据椭圆的方程，求得椭圆的右焦点的坐标为，将，代入椭圆的方程，进而求得弦长.
【详解】因为椭圆，可得，所以，
所以椭圆的右焦点的坐标为，
将，代入椭圆的方程，求得，所以.
.
变式2．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时， ．
【答案】
【分析】联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，建立的面积表达式，结合基本不等式求解出时，的面积取得最大值,再求出此时的的值.
【详解】由，得，需满足，
设，，则，，
．
又O到直线AB的距离，
则的面积，
当且仅当，即时，的面积取得最大值．
此时，．
故答案为：
变式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线与椭圆交于两点，则 .
【答案】/
【分析】联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案.
【详解】联立与，得，
设，
则，
故.
故答案为：
变式4．（22-23高二·全国·课后作业）直线与椭圆相交于A、B两点，则 ．
【答案】
【分析】本题先联立直线与椭圆方程，消去，整理可得一元二次方程，解得坐标，进而根据两点间距离公式即可求解.
【详解】联立，消去，整理得，解得，
因此 ，
故.
故答案为：.
变式5．（22-23高二上·北京丰台·期末）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ．
【答案】3
【分析】根据题意即求通径大小，先求，令代入椭圆方程求得即可得解.
【详解】由，故，
不妨令，代入可得，
所以，故弦长为.
故答案为：3
变式6．（21-22高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，求的面积．
【答案】.
【分析】由题可得椭圆焦点坐标，进而可求，再利用面积公式即求.
【详解】由题可得，不妨设，
将代入，可得，
解得，
不妨令，则，
∴的面积为.
变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆的右焦点为，且经过点
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆右焦点，且过点，从而可求解.
（2）根据题意求出直线方程为，与椭圆方程联立后，利用根与系数关系从而可求解.
【详解】（1）由题意得，
解得，
故椭圆的标准方程为．
（2）由题意可得直线的方程为，
与椭圆方程联立，得，
设，，则，
故
．
变式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据四边形面积得到，结合焦点坐标，求出，得到离心率；
（2），设，得到，结合，求出的取值范围，得到的取值范围.
【详解】（1）由题意得，且，即，
解得，
所以椭圆的离心率.
（2）由题意，得.
设，则.
所以，.
因为，
所以当时，；当时，.
所以的取值范围为.
【方法技巧与总结】
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB| ·
【题型7：中点弦问题】
例7．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得解.
【详解】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意；
故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得，
，
有，，解得，
所以直线的方程为，即.
.
变式1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理用表示中点坐标，结合已知中点坐标解关于的方程可得
【详解】当直线斜率不存在时，
由对称性可知，此时直线被椭圆所截得的线段AB的中点在轴上，
而已知是线段AB的中点，不在轴上，不满足题意.
故直线斜率存在，可设斜率为，则直线的方程为，
即，
代入椭圆的方程化简得，
所以，解得，
故直线方程为，即.
.
变式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ．
【答案】/
【分析】根据题意，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可求解.
【详解】设直线的方程为，代入椭圆方程，
可得，
由韦达定理可得，
则，
则，则，
所以.
故答案为：
变式3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过椭圆的右焦点的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，则椭圆E的离心率为 ．
【答案】/
【分析】求出直线的方程，与椭圆方程联立结合弦的中点坐标求解即得.
【详解】依题意，，所以直线的方程为，
由消去并整理得，
由弦AB的中点为，得，解得，
由可得上述关于的一元二次方程，
所以椭圆E的离心率为.
故答案为：
变式4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．
【答案】3
【分析】利用点差法，结合椭圆方程和直线方程，即可求得结果.
【详解】设坐标为，则，
作差可得，则，
根据题意可得，，则，解得.
当时，联立，可得，
其，满足题意；故.
故答案为：.
变式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，，所以，
所以，即直线的斜率为，
故答案为：.
变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意，利用焦距，长轴，短轴间关系可得答案；
（2）设，，，将A，B两点代入椭圆方程可得及表达式，即可得答案.
【详解】（1）设半焦距为c，长半轴为a，短半轴为b，依题意可知 ， 解得.
故椭圆的标准方程为；
（2）证明：设，，，则，．
把，代入椭圆方程得：.
两式相减可得，即．又，
则，故为定值．
变式7．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】
（1）根据已知条件及椭圆的简单几何性质即可求解；
（2）根据已知条件设出直线的方程，将直线的方程与椭圆的方程联立方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，结合线段中点在直线上即可求解.
【详解】（1）由题意可知,解得，
因为，
所以，
所以，解得.
所以椭圆的方程为.
（2）由题意可知直线斜率存在，如图所示
设，设，
消得，，
所以，解得.
,
设线段中点的坐标为，
所以
,
又因为线段中点的纵坐标，
所以，解得，
所以直线方程为，即.
【方法技巧与总结】
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和
【题型8：解答题汇总】
例8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得，进而求得即可；
（2）设，从而可求得，再把代入求解即可.
【详解】（1）由已知得，，
，，，
同理，
，
，，
椭圆的标准方程为．
（2）设，且，则，，
．
由椭圆方程可得，
整理得，所以，
即点的横坐标的取值范围是．
变式1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围．
【答案】(1)，，离心率为
(2)
【分析】（1）待定系数法求出椭圆方程，并求出离心率；
（2）在（1）的基础上求出，结合P，Q在x轴的两侧，表达出四边形的面积并求出取值范围.
【详解】（1）因为，在椭圆C：上，
所以,解得，，
所以，C的离心率为；
（2）由（1）得，，
故，
因为动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，
所以四边形的面积，
当且仅当P，Q分别为上顶点和下顶点时，等号不成立.
变式2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
(1)求椭圆和其“准圆”的方程；
(2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
【答案】(1)椭圆的方程为，其“准圆”方程为；
(2).
【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程；
（2）设，写出，坐标，应用向量数量积的坐标表示得，结合是椭圆上及其有界性，即可求范围.
【详解】（1）由题意知，且，可得，
故椭圆的方程为，其“准圆”方程为．
（2）由题意，设，则有，
不妨设 ，，所以，，
所以，又，则，
所以的取值范围是．
变式3．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线过椭圆上顶点，且，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，解出，进而求解.
（2）由题意可得直线的方程，将其与椭圆方程联立后，再结合韦达定理及弦长公式求解即可.
【详解】（1）由题意得，，
解得，，，
∴椭圆M的方程为.
（2）因为，椭圆上顶点为，
所以直线的方程为，设，.
联立，得，
又直线与椭圆有两个不同的交点，
所以，∴，，
∴.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求的方程；
(2)设为上一点，.若存在实数使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合离心率列式解得，即可得椭圆方程；
（2）根据椭圆定义可得，根据两点间距离公式结合椭圆方程列式求解即可.
【详解】（1）因为椭圆的长轴长与短轴长之和为6，则，即①，
又因为，结合可得②，
联立①②解得，所以的方程为.
（2）设，则，
因为存在实数使得，即，
可得，
又因为，则，可得，
所以的取值范围为.
变式5．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，点为直线上一点，以为圆心的圆同时与轴和直线相切，且，求椭圆的标准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据，由求解；
（2）设椭圆方程为，直线l的方程为，联立，得到，由圆心C在直线上，设，再根据求解.
【详解】（1）
设椭圆的半焦距为，由已知得，，
又由，消去得，解得，
所以，椭圆的离心率为.
（2）由（1）知，，故椭圆方程为，
由题意，，则直线的方程为，
点的坐标满足，消去并化简，得到，
解得，代入到的方程，解得，
因为点在轴的上方，所以，
由圆心在直线上，可设，
由（1）知，则，又，
，即，解得，即.
因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，
由圆与相切，得圆心到直线的距离，解得，
故，所以椭圆的方程为：.
【点睛】思路点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆的左、右焦点分别为，，线段被点分成的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知条件可列出等量关系式，结合和离心率公式即可求解
【详解】依题意得，解得，
所以，所以.
.
2．（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆的焦距为（ ）
A． B．4 C．8 D．16
【答案】A
【分析】由椭圆的标准方程及焦距的定义即可得解.
【详解】由，得，
所以焦距为．
．
3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】先分别表示出，结合离心率公式列出方程即可求解.
【详解】，解得.
.
4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为
【答案】A
【分析】利用椭圆的标准方程求出即可判断选项的正误.
【详解】由椭圆的方程可知：焦点在轴上，即，
则.
所以长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为.
5．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）在中，，已知点 ，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦定理进行边角互化，可知点的轨迹及，，即可得解.
【详解】由已知，，则，
由，再由正弦定理可知，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为得椭圆，不含左、右顶点，
所以当且仅当点是椭圆的上、下顶点时，
点到直线的距离最大为，
当时，点到直线的距离最大为，
所以，
.
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．6
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得，再由四边形周长求出即可得解.
【详解】依题意，，由椭圆对称性，得线段互相平分于原点，
则四边形为平行四边形，
由椭圆的定义得，解得，
所以椭圆的短半轴长.
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先设点的坐标，再应用面积公式计算参数即可.
【详解】设，由题知，，所以，
又，所以，将其代入1，解得，
所以，
故选:B.
8．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆的焦距是2，则m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．不存在
【答案】D
【分析】分焦点在轴和轴上两种情况求解即可.
【详解】∵，∴．
当椭圆的焦点在x轴上时，，，．
∴，．
当圆的焦点在y轴上时，，，
∴，∴．
综上，m的值是3或5．
二、多选题
9．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则该方程表示圆，其半径为
C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D．若，则该方程表示两条直线
【答案】ACD
【分析】AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为，得到B正确；D选项，化为，故D正确.
【详解】对于A，若，则可化为，
因为，所以，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误；
对于C，，则可化为，
由于，所以，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确；
对于D，若，则可化为，即，
此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
CD
10．（24-25高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则由题意可得，，再结合可求出，从而可求得椭圆方程.
【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则由题意可知，又，
解得，，，
所以椭圆的标准方程为或．
D
11．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．的最大值为8
C．离心率为
D．椭圆上不存在点，使得
【答案】CD
【分析】根据通径可得，即可求解A，根据椭圆定义结合焦点三角形的性质即可求解B，根据离心率公式即可求解C，根据余弦定理求解最大角，即可求解D.
【详解】
易知当轴时，即线段为通径时，最短，，解得，椭圆方程为，
对于，椭圆的短轴长为，故A错误；
对于，因为的周长为，且，故B正确；
对于C， 离心率，故C错误；
对于，易知当点位于短轴顶点时，最大，此时，又为三角形内角，椭圆上不存在点，使得，故D正确，
故选:BD.
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，若直线与交于两点，且，则的方程为 ．
【答案】
【分析】利用椭圆性质先确定四边形是矩形，再由椭圆定义计算即可.
【详解】
易知是的中点，又，所以四边形是矩形，故，
结合可得，，由椭圆的定义可知，，
又知，由两边平方得，，
即，解得，所以，所以的方程为．
故答案为：
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】设出于直线平行的直线的方程并与椭圆方程联立，利用判别式求得直线的方程，再根据两平行线间的距离公式即可得解.
【详解】如图，由直线的方程与椭圆的方程可以知道，直线与椭圆不相交．
设与直线平行的直线与椭圆相切，
由，得，
则，解得，
由图可知，当时，直线与椭圆的切点到直线的距离最近，
又直线与直线间的距离，
所以.
故答案为：##.
14．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为 万公里．（近似到0.1）
【答案】2.8
【分析】根据题意，可得椭圆的半长轴，半短轴，根据的关系，可求得的值，即可求得，又椭圆的中，，可求得的值，进而可求得的值，即可得答案.
【详解】设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，；
设椭圆的长轴长，短轴长，焦距为，，．
因此，，，
所以，
又，所以，
所以，
故椭圆轨道的短轴长为2.8万公里．
故答案为：2.8
四、解答题
15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为；
(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.
【答案】(1)或；
(2).
【分析】（1）由题意得，解出该方程组即可由椭圆焦点在x轴上或在y轴上得解；
（2）先求出椭圆焦点即可得椭圆焦点坐标为，进而可设圆方程为且，解出和即可得解.
【详解】（1）由题得，
所以椭圆的标准方程为或.
（2）椭圆满足，故该椭圆焦点坐标为，
因为椭圆与有相同的焦点，且经过点，
所以可设椭圆方程为，且，解得，
故，解得（舍去）或，故.
所以椭圆的标准方程为.
16．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒不成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由焦距是4求出，将代入椭圆方程求出，得到答案；
（2）根据题意有，转化为，由第二问代入运算得解.
【详解】（1）由题意，，将点代入椭圆方程得，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）在轴上存在点使得，理由如下：
设,直线，
联立与椭圆可得，
则，
因为，所以，即，
整理得，即，
即，
则，又，解得，
所以在轴上存在点使得.
17．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为.
(1)求的取值范围；
(2)是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由.
【答案】(1)
(2)存在满足条件的圆，其方程为
【分析】（1）根据，即可根据点点距离公式求解，
（2）根据点斜式得直线，方程，利用相切以及点到直线距离公式得直线的方程为，利用与圆相切，即可列方程求解.
【详解】（1）设为椭圆上任意一点，则，，
则.
则.故.
（2）由题意可知，设，因为，故切线的斜率都存在.
又直线的方程为，即为，
同理直线的方程为.
则，故.
而，故，又因为.
故，同理：.
故直线的方程为.
若直线与圆相切，则，令.
故，即.
故或或，
因为，所以不满足，
故存在满足条件的圆，其方程为
【点睛】关键点点睛：根据直线，方程，利用相切以及点到直线距离公式可得满足，可得直线的方程为，即可利用相切以及距离公式列方程求解.
18．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴．
(1)求C的方程．
(2)过左焦点作倾斜角为80°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积．
【答案】(1)
(2)周长为，面积为
【分析】（1）由且求出，由椭圆的定义求出，即可得到椭圆的方程；
（2）联立直线与椭圆方程，利用根与系数的关系求出的值，由弦长公式求出，由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求出的面积.
【详解】（1）由已知轴且，知，，
由椭圆的定义，
所以，，的方程为.
（2）可知直线的斜率，的方程为.
设，联立方程组， 消去得，
可得，可得，
点到直线的距离，
所以的周长为，.
19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．
(1)求的离心率；
(2)若的面积比的面积大，求的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意可得，求出，，又，即可得到，，进而求出离心率；
（2）由题意，，结合图形可得，解得，，得出椭圆方程.
【详解】（1）由题意可得，
，．
由，，解得，，
故椭圆的离心率为．
（2）由题意，
又因为，，
所以，
化简得
又因为，
所以，
解得，，
所以椭圆.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用转化思想注意图形特征得出，再结合已知化简计算求解得出，即可.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.5.2椭圆的几何性质
课程标准 学习目标
1.掌握椭圆的几何性质 2.了解椭圆的离心率对椭圆的扁平程度的影响. 3.掌握直线与椭圆的位置关系及其应用 1.重点:椭圆的几何性质 2.难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
知识点01 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋1(a＞b＞0) ＋1(a＞b＞0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 长轴长，短轴长
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|
对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率 e(0【即学即练1】（23-24高二上·云南昆明·期末）焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A． B．
C． D．
【即学即练2】（23-24高二上·四川德阳·阶段练习）已知焦点在轴上的椭圆的焦距是2，则该椭圆的长轴长为 .
知识点02椭圆的离心率
1.定义：e.
2.离心率的范围为：(0,1).
3.公式拓展：e=
4.e越大，椭圆越扁平；e越小，椭圆越接近于圆.
【即学即练3】（21-22高二上·陕西铜川·期末）已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（24-25高二上·湖南衡阳·阶段练习）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
难点：数形结合的运用
示例1：（24-25高二上·浙江温州·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于两点，若且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【题型1：椭圆的几何性质】
例1．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．
变式1．（21-22高二上·广东湛江·期中）已知椭圆的两个焦点分别为，上的顶点为P，且，则此椭圆长轴为（ ）
A． B． C．6 D．12
变式2．（2024·江西·模拟预测）椭圆的长轴长与焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24高二下·广东广州·期中）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（23-24高二上·福建南平·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）已知椭圆的离心率为，则椭圆的长轴长为（ ）
A． B． C． D．6
变式6．（多选）（23-24高二下·四川雅安·开学考试）已知椭圆，则（ ）
A．椭圆的长轴长为 B．椭圆的焦距为12
C．椭圆的短半轴长为 D．椭圆的离心率为
变式7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，若，则的短轴长为 .
变式8.（24-25高二上·上海·课堂例题）若方程表示长轴长为10的椭圆，则实数m的值为 ．
【题型2：点与椭圆的位置关系】
例2．（24-25高二上·全国·课堂例题）已知直线与圆没有公共点，则点与椭圆的位置关系是（ ）
A．在椭圆内 B．在椭圆外
C．在椭圆上 D．不确定
变式1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）点与椭圆的位置关系为（ ）
A．点在椭圆上 B．点在椭圆内
C．点在椭圆外 D．不确定
变式2．（19-20高二·全国·课后作业）若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（19-20高二·全国·课后作业）点在椭圆的内部，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．(多选)（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知直线与圆相切，椭圆，则（ ）
A．点在圆O内 B．点在圆O上
C．点在椭圆C内 D．点在椭圆C上
变式5．（多选）（23-24高二上·全国·课后作业）点在椭圆的内部，则的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．
变式6．（23-24高二上·广东佛山·期末）设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为 ．
变式7．（20-21高二·全国·课后作业）若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是 ．
变式8．（20-21高二上·全国·课后作业）已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 .
【方法技巧与总结】
点P(x0，y0)与椭圆＋1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上 ＋1；
点P在椭圆内部 ＋<1；
点P在椭圆外部 ＋>1.
【题型3：离心率取值问题】
例3．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点为为在第一象限的两个动点，且，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25高二上·河北邯郸·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，，右顶点为，已知点在椭圆上，若，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）设椭圆的左、右焦点分别为，点在上（位于第一象限），且点关于原点对称，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式5.（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，，点在以为直径的圆上，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式6．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知椭圆的左，右焦点分别为，过原点的直线与相交于，两点，若且，则椭圆的离心率为 ．
变式7．（24-25高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图所示，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，是椭圆的顶点，是椭圆上一点，且轴，，则此椭圆的离心率是 ．
变式8．（2024高二上·全国·专题练习）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为 ．
【方法技巧与总结】
1．椭圆的离心率的求法：
(1)直接求a，c后求e，或利用e，求出后求e.
(2)将条件转化为关于a，b，c的关系式，利用b2a2－c2消去b.等式两边同除以a2或a4构造关于(e)的方程求e.
2．求离心率范围时，常需根据条件或椭圆的范围建立不等式关系，通过解不等式求解，注意最后要与区间(0,1)取交集．
【题型4：离心率取值范围问题】
例4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，且，点为直线上一点，若点在线段的垂直平分线上，则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（23-24高二下·浙江·期中）已知椭圆，为椭圆上一动点（不含左右端点），左右端点为，则离心率e的范围为（ ）
A． B． C． D．
变式3．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式5．（23-24高二上·浙江丽水·期末）设椭圆与椭圆的离心率分别为，若，则（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最大值为
变式6．（23-24高二上·安徽·期末）已知椭圆的长轴长大于，当m变化时直线与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式7．（23-24高二上·湖南邵阳·期末）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线上上存在一点满足，则椭圆的离心率的取值范围为 ．
变式8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是上的一点，直线的方程为，且于．若四边形为平行四边形，求的离心率的取值范围．
【方法技巧与总结】
椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
【题型5：直线与椭圆的位置关系】
例5．（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知直线与椭圆有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（23-24高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．无数个
变式3．（21-22高二上·全国·课后作业）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
变式4．（21-22高二上·全国·课前预习）直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
变式5．（23-24高二上·上海宝山·期中）若直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围是 ．
变式6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆：的焦距为4，且经过点.
(1)求椭圆M的标准方程；
(2)若直线与椭圆M相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程.
变式7．（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线与椭圆相交于不同两点，求实数的取值范围．
【方法技巧与总结】
直线ykx＋m与椭圆＋1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
【题型6：弦长问题】
例6．（23-24高二上·天津和平·期中）直线被椭圆截得的弦长为（ ）
A． B． C．3 D．
变式1．（23-24高二上·全国·单元测试）过椭圆的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于两点，则等于（ ）
A．4 B．2
C．1 D．4
变式2．（24-25高二上·上海·随堂练习）已知直线与椭圆C：相交于A、B两点，O为坐标原点．当的面积取得最大值时， ．
变式3．（23-24高二上·江西南昌·期中）已知直线与椭圆交于两点，则 .
变式4．（22-23高二·全国·课后作业）直线与椭圆相交于A、B两点，则 ．
变式5．（22-23高二上·北京丰台·期末）过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得线段的长度为 ．
变式6．（21-22高二·全国·课后作业）已知经过椭圆C：的焦点且与长轴垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点，求的面积．
变式7．（23-24高二上·福建三明·期末）已知椭圆的右焦点为，且经过点
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)经过椭圆C的右焦点作倾斜角为的直线l，直线l与椭圆相交于M，N两点，求线段MN的长．
变式8．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点.
(1)求椭圆的离心率；
(2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围.
【方法技巧与总结】
1.定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2.求弦长的方法
①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
②根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB| ·
【题型7：中点弦问题】
例7．（24-25高二上·山东滨州·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知是直线l被椭圆所截得的线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（11-12高二上·浙江衢州·期末）斜率为的直线与椭圆相交于两点，的中点为，则 ．
变式3．（23-24高二下·重庆·阶段练习）过椭圆的右焦点的直线交该椭圆于A、B两点，线段AB的中点为，则椭圆E的离心率为 ．
变式4．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ．
变式5．（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点为，则直线的斜率为 ．
变式6．（24-25高二上·上海·课堂例题）在直角坐标系xOy中，椭圆C：的焦距为，长轴长是短轴长的2倍，斜率为k（k≠0）的直线l交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P为线段AB的中点，设OP的斜率为，求证：为定值．
变式7．（23-24高二下·北京·开学考试）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若线段中点的纵坐标，求直线的方程.
【方法技巧与总结】
解决椭圆中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和
【题型8：解答题汇总】
例8．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆C：经过点，、是椭圆C的左、右两个焦点，，P是椭圆C上的一个动点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在第一象限，且，求点P的横坐标的取值范围．
变式1．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知，在椭圆C：上，，分别为C的左、右焦点．
(1)求a，b的值及C的离心率；
(2)若动点P，Q均在C上，且P，Q在x轴的两侧，求四边形的面积的取值范围．
变式2．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为．
(1)求椭圆和其“准圆”的方程；
(2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围．
变式3．（23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为k的直线与椭圆M有两个不同的交点A，B.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线过椭圆上顶点，且，求的值.
变式4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求的方程；
(2)设为上一点，.若存在实数使得，求的取值范围.
变式5．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为，且.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，点为直线上一点，以为圆心的圆同时与轴和直线相切，且，求椭圆的标准方程.
一、单选题
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若椭圆的左、右焦点分别为，，线段被点分成的两段，则此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·云南曲靖·阶段练习）椭圆的焦距为（ ）
A． B．4 C．8 D．16
3．（2024·广东·模拟预测）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．3 B． C．2 D．
4．（23-24高二上·广东潮州·期末）已知椭圆的方程为，则该椭圆的（ ）
A．长轴长为2 B．短轴长为 C．焦距为1 D．离心率为
5．（24-25高二上·江西赣州·阶段练习）在中，，已知点 ，，设点到直线的最大距离为，点到直线的最大距离为，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二上·河北保定·期末）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，若四边形的周长为12，则椭圆的短半轴长为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．6
7．（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆在第一象限上的点，且以点及焦点为顶点的三角形面积等于1，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
8．（24-25高二上·全国·课后作业）椭圆的焦距是2，则m的值是（ ）
A．3 B．5 C．3或5 D．不存在
二、多选题
9．（24-25高二上·江苏徐州·开学考试）关于方程，下列说法正确的是（ ）
A．若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上
B．若，则该方程表示圆，其半径为
C．若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上
D．若，则该方程表示两条直线
10．（24-25高二上·全国·课后作业）阿基米德是古希腊数学家，他利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积．据此得某椭圆面积为，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程可以为（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知椭圆的左 右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，若的最小值为4，则（ ）
A．椭圆的短轴长为
B．的最大值为8
C．离心率为
D．椭圆上不存在点，使得
三、填空题
12．（24-25高二上·全国·课后作业）已知椭圆的左、右焦点分别为，若直线与交于两点，且，则的方程为 ．
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为 .
14．（24-25高二·上海·随堂练习）如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为左焦点、长轴长为40万公里、短轴长为4万公里的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在点P第二次变轨进入仍以F为左焦点、长轴长为20万公里的椭圆轨道绕月飞行，则椭圆轨道的短轴长为 万公里．（近似到0.1）
四、解答题
15．（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为，短轴长为；
(2)椭圆与有相同的焦点，且经过点，求椭圆的标准方程.
16．（2024高二上·江苏·专题练习）已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点．
(1)求椭圆方程；
(2)若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒不成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由．
17．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知圆在椭圆里.过椭圆上顶点作圆的两条切线，切点为，切线与椭圆的另一个交点为，切线与椭圆的另一个交点为.
(1)求的取值范围；
(2)是否存在圆，使得直线与之相切，若存在求出圆的方程，若不存在，说明理由.
18．（24-25高三上·山东泰安·开学考试）设椭圆的左右焦点分别为，，点在C上，且轴．
(1)求C的方程．
(2)过左焦点作倾斜角为80°的直线l．直线l与C相交于A，B两点，求的周长和面积．
19．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，都是椭圆的顶点，从上一点向轴作垂线，垂足为焦点，且．
(1)求的离心率；
(2)若的面积比的面积大，求的方程．
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