沪教版（五四学制）八年级数学下册 22.2 平行四边形的性质 练习（含详解）

22.2 平行四边形的性质
一、单选题
1．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( )
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（ ）
A．B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列式子一定成立的是（ ）
A．AC⊥BD B．AC＝BD C．OA＝OC D．OA＝OD
5．已知平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，周长为20cm，则平行四边形中较长一边的长为（ ）
A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm
6．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30
7．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质：
②平行四边形是中心对称图形：
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是（ ）．
A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④
8．平面直角坐标系中，A、B、C三点坐标分别为，，，以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm
10．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A．111．如图，已知直线，下列结论中，正确的是( )
A． B． C． D．
12．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF
A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④
二、填空题
13．在平行四边形中，CA⊥AB，∠BAD=120°，若BC=10cm，则AC= ，AB= ．
14．在平行四边形中，AC与BD交于O，若OA=3x，AC=4x+12，则OC的长为 ．
15．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为 ．
16．平行四边形的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB= ，BC= ．
17．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝ cm．
18．如图，在平行四边形中，于E，则的度数为 ．
19．如图，平行四边形中，、相交于点，交边于，连接，若，，则 °．
20．如图，在平行四边形中，，取对角线上两点，使，，点在上，若，则 ．
三、解答题
21．如图，在平行四边形中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：．
22．如图，平行四边形的对角线与交于点O，，，．求的周长．

23．在平行四边形中，对角线AC和BD交于点O．AC=8，BD=14．
(1)若AD=9，则△OAD的周长为_________．
(2)若AB=6，求△OCD的周长．
24．如图，平行四边形中，的平分线交于E，的平分线交于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
25．如图，在小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点、均在小正方形的顶点上．
(1)在图1中画一个以线段为一边的平行四边形，点、均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为；
(2)在图2中以为边画一个直角，点在小正方形的顶点上，满足的面积为．
26．如图，平行四边形中，于E，于F，，求的周长．
27．如图，在平行四边形中，的角平分线交于点，交的延长线于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求平行四边形的面积．
28．如图，平行四边形的对角线、相交于点，、分别是、的中点．

(1)求证：；
(2)如果平行四边形的面积为，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有面积等于的三角形．
29．如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点．过点作交、于点、．

(1)如图1，若，求平行四边形的面积；
(2)如图2，若，试探究，，之间的数量关系，并证明．
30．已知平行四边形中，，点E是延长线上一点，连接，在的右侧作，射线交射线于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长交的延长线于点P，连接，若，，求的长．
答案
一、单选题
1．D
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项．
【解析】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴选项A. B. C正确，D错误.
故选：D．
2．C
【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角的性质得到∠2=∠CBE+∠1，即可判断C．
【解析】解：A正确；
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2；
B、D正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠1=∠2；
C不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠BCE，
∵∠2=∠CBE+∠BCE，
∴∠2=∠CBE+∠1，
∴∠2＞∠1，即一定不相等；
故选：C．
3．A
【解析】略
4．C
【分析】根据平行四边形的性质（对角线性质）逐项判断即可得．
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，
，
则选项一定成立，选项不一定成立，
故选：C．
5．C
【分析】设平行四边形的两邻边分别为3x和2x，根据平行四边形的周长公式列出方程解答即可．
【解析】解：∵平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，
∴设平行四边形的两邻边分别为3x和2x，
∵周长为20cm，
∴2(3x+2x)=20，
解得x=2，
∴3x=3×2=6，
即平行四边形中较长一边的长为6．
故选C．
6．D
【分析】根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．
【解析】解：如图，设AB=10，对角线相交于点E，
它的两条对角线的长为4和6时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为6和8时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为8和12时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为20和30时，设AE=15，BE=10，，符合题意；
故选：D．
7．D
【分析】根据平行四边形的性质、中心对称图形的定义和全等三角形的判定进行逐一判定即可．
【解析】解：∵平行四边形是四边形的一种，
∴平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确：
∵平行四边形绕其对角线的交点旋转180度能够与自身重合，
∴平行四边形是中心对称图形，故②正确：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠CBA
∴△ADC≌△CBA（SAS）
同理可以证明△ABD≌△CDB
∴平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∴，，，
∴，
∴平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确．
故选D．
8．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，判定点所在象限，画出图形是解题的关键，注意分类讨论．
根据题意画出图形，即可求解．
【解析】解：根据题意画出图形：
、、三点位置如图所示，要使四边形为平行四边形，
则点有三种可能，
即分别以、、为对角线的平行四边形，
第四个顶点不可能在第一象限．
故选：A．
9．C
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分BD，然后根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可求出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AB=CD，AD=BC，
∵EO⊥BD，
∴EO为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∵平行四边形ABCD的周长为16cm，
∴AB+AD＝×16＝8cm．
∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝8cm．
故选：C．
10．A
【分析】根据三角形三边关系判断即可．
【解析】∵ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，O为AC和BD的交点，
∴AO=6，BO=5，
∴6-5故选：A．
11．C
【分析】根据平行线间的距离处处相等，同底等高的三角形面积相等即可解答．
【解析】∵直线AD∥BC，
∴AD、BC平行线间的距离处处相等，
∵同底等高的三角形面积相等
∴，
故选：C．
12．B
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解析】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD．
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF．
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF．
∵F为AD中点，
∴AF=FD．
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°．
∵FM=EF，
∴EF=CF，故②正确；
∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM．
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．
故选：B．

二、填空题
13． cm 5cm
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理得到，根据所对的直角边为斜边的一半以及勾股定理可得出答案．
【解析】解： ∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵∠BAD=120°，
∴，
∵CA⊥AB，
∴，，
∴，，
故答案为：cm；5cm．
14．18
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可得方程，继而求得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，
∵OA＝3x，AC＝4x+12，
，
解得：x＝6，
∴OC＝3x＝18．
故答案为：18．
15．3
【分析】先利用角平分线和平行四边形对边平行得到，进一步得到，从而可得．
【解析】解：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
16． 20cm 10cm
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分．已知周长为60cm，可以求出一组邻边的和为30cm，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB比BC的值多10cm，则进一步可求出AB，BC的长．
【解析】
解：∵□ABCD的周长为60cm，
AB+BC=30，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，
∴AB-BC=10，
∴
解得
故答案为：①20cm ②10cm．
17．3
【分析】先证明CB=CF，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC=AD，ABCF，AB=CD，
所以∠ABF=∠BFC，
因为BF平分∠ABC，
所以∠ABF=∠CBF，
所以∠BFC=∠CBF，
所以CB=CF，
因为CF=CD+DF，
所以AD=AB+DF，
所以AB=7-4=3(cm)，
故答案为：3．
18．
19．40
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、垂直平分线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质和判定是解题的关键．
由平行四边形的性质可得、，再由平行线的性质可得，再说明是的垂直平分线，即，则，进而得到；再说明，最后根据即可解答．
【解析】解：∵平行四边形中，、相交于点，
∴,
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴,
∴．
故答案为40．
20．
【分析】作于，于，由于，，可判断四边形为菱形，再由菱形的性质可得，利用等腰三角形对角对等边的性质可得，设，在中，则，，因为，可解得，从而得到的值，再利用三角形内角和定理，得到，可得的长，在中和在中，分别利用勾股定理得到的长，即可得到答案．
【解析】解：作于，于，如图所示：
∵在中，，
∴四边形为菱形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
故答案为：．
三、解答题
21．证明：四边形是平行四边形，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴．
22．
解：∵平行四边形的对角线与交于点O，，，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长是．
23．（1）∵四边形ABCD为平行四边形；
∴AO==4，BO==7；
∴△OAD的周长=AO+B0+AB=4+7+9=20，
故答案为：20；
（2）在平行四边形中，
，
，
．
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=4+7+6=17．
24．（1）解：∵四边形是平行四边形．
∴，，．
∴，．
∵是的平分线，是的平分线．
∴，．
∴，．
∴，．
∴．
∴．
∴．
（2）过点A作，垂足为H，如图：
由（1）知，且，，
∴， ．
∵，
∴，
∴，．
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
25．（1）如图1，四边形即为所求；
（2）如图2，即为所求，
，，
．
26．解：∵，，，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的周长．
27．（1）证明：四边形为平行四边形，
．
．
平分，
．
．
．
（2）解：，，
．
，
，
，
即，
解得：，
．
28．（1）证明：∵平行四边形的对角线、相交于点，
∴，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平行四边形的面积为，
∴，，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴；
∴面积等于的三角形有：．
29．（1）解：连接，

∵四边形是平行四边形，
∴过点O，
∴．
∴平行四边形的面积；
（2）解：．理由如下：
过点E作，与的延长线交于点H，如图2，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平行四边形中，，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
30．（1）证明：如图，设与的交点为，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图2，在上截取，连接，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
即；
（3）解：如图3，取的中点，连接，，过点作于，
是等边三角形，，
，
，
，
又，，
，
，，
，，
，，，
，
又点是的中点，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
又，
．