沪教版（五四学制）八年级数学下册 12.1 多边形 练习（含详解）

第二十二章 第一节 多边形
一、单选题
1．下列说法中，正确的有（ ）
①由几条线段连接起来组成的图形叫多边形；
②三角形是边数最少的多边形；
③n边形有n条边、n个顶点.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．一个多边形的每个内角都等于144°，则这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D．十一边形
3．一个多边形的内角和是外角的2倍，则这个多边形共有（ ）对角线
A．0条 B．2条 C．5条 D．9条
4．一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正多边形是（　　）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
5．一个正多边形的每个外角都等于40°，则它的内角和是（　　）
A． B． C． D．
6．下列正多边形的组合中，能够铺满地面不留缝隙的是（　　）.
A．正六边形和正五边形 B．正八边形和正三角形
C．正五边形和正八边形 D．正六边形和正三角形
7．一个多边形除了一个内角外，其余各内角的和为2000°，则这个内角是（ ）．
A．160° B．140° C．200° D．20°
8．一个多边形剪去一个角后，所得多边形的内角和是，则这个多边形的边数不可能是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．如图，从一个四边形的同一个顶点出发可以引出1条对角线，从五边形的同一个顶点出发，可以引出2条对角线，从六边形的同一个顶点出发，可以引出3条对角线，……，依此规律，从n边形的同一个顶点出发，可以引出的对角线数量为（ ）
A．n B． C． D．
10．图1是二环三角形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A6=360，图2是二环四边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=720，图3是二环五边形，S＝∠A1+∠A2+…+∠A=1080…聪明的同学，请你直接写出二环十边形，S＝_____________度（ ）

A．1440 B．1800 C．2880 D．3600
二、填空题
11．在同一平面内，由 图形叫多边形．组成多边形的线段叫做 ，相邻两边的公共端点叫多边形的 ．如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做 ．多边形 叫做它的内角，多边形的边与它邻边 组成的角叫多边形的外角．连接多边形 的线段叫做多边形的对角线．
12．如果一个多边形的内角和等于它的外角和5倍，那么这个多边形是 边形．
13．多边形的边数每增加1，它的内角和就增加 ，外角和 ．
14．在一张凸n边形纸片上剪去一个三角形纸片，得到一个内角和为的凸多边形纸片，则n的值为 ．
15．有一锐角为的直角三角形纸片，现过斜边上一点与斜边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则在四边形中，最大角的度数是 .
16．如图，将等边三角形、正方形和正五边形按如图所示的位置摆放．，则＝ ．
17．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，外角∠1，∠2，∠3，∠4的和等于220°，则∠BOD的度数是 度．
18．将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，从上面看到的图形如图1所示，正六边形边长为3且各有一个顶点在直线l上，则图1中螺母组成的图形的周长（图中加粗部分总长度）为 ；两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，从上面看到的图形如图11-2所示，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点，正六边形边直线l．则 ．
三、解答题
19．已知一个正多边形相邻的内角比外角大．
(1)求这个正多边形的内角与外角的度数；
(2)求这个正多边形的边数．
20．如图，五边形的内角都相等，各边也都相等，是它的一个外角，求的度数．

21．如图，为正五边形．
(1)求的度数；
(2)连接，求证：．
22．如图，用n个全等的正五边形按如图方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前3个正五边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形．
(1)求的度数；
(2)求的度数；
(3)求n的值．
23．如图，在平面直角坐标系中，，，， ．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求四边形的面积．
24．和分别是两个多边形，阅读和的对话，完成下列各小题．
(1)嘉嘉说：“因为的边数比多，所以的外角和比的大，”判断嘉嘉的说法是否正确？并说明理由；
(2)设的边数为
①若，求的值；
②淇淇说：“无论取何值，的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
25．探究归纳题：
(1)如图1，经过四边形的一个顶点可以作 条对角线，它把四边形分成 个三角形；
(2)如图2，经过五边形的一个顶点可以作 条对角线，它把五边形分成 个三角形；
(3)探索归纳：对于边形，过一个顶点可以作 条对角线，它把边形分成 个三角形；（用含的式子表示）
(4)如果经过多边形的一个顶点可以作100条对角线，那么这个多边形的边数为 ．
答案
一、单选题
1．C
【分析】根据多边形的定义判断即可．
【解析】由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形，①不正确；易知②③正确，
故选：C．
2．C
【分析】先求出每一个外角的度数，再根据边数=360°÷外角的度数计算即可．
【解析】解：180°-144°=36°，
360°÷36°=10，
∴这个多边形的边数是10．
故选：C．
3．D
【分析】先根据该多边形的内角和是外角和2倍，可得出：（n-2） 180=360×2，求出多边形的边数n，再根据n边形对角线的总条数为：，求解即可．
【解析】设这个多边形有n条边，由题意得：
(n 2)×180=360×2，
解得：n=6，
从这个多边形的对角线的条数是=9，故D正确．
故选：D．
4．C
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，根据多边形的外角和是360°即可求解．
【解析】解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180°，
解得：x＝45°，
360°÷45°＝8（边），
故选：C．
5．C
【分析】先根据多边形的外角和求多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出即可．
【解析】解：设这个多边形是n边形，根据多边形的外角和为360°可得，40°×n=360°，
解得n=9．
所以这个多边形的内角和为（9-2）×180°=1260°．
故选C.
6．D
【分析】正多边形的组合能否铺满地面，关键是看位于同一顶点处的几个角之和能否为360°．若能，则说明能铺满；反之，则说明不能铺满．
【解析】解：A.正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，120m+108n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
B.正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，正三角形的每个内角60°．135m+60n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
C.正五边形每个内角是180°-360°÷5=108°，正八边形的每个内角为：180°-360°÷8=135°，108m+135n=360°，m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；
D.正六边形的每个内角是180°-360°÷6=120°，正三角形的每个内角是60°，2×120°+2×60°=360°，或120°+4×60°=360度，能铺满；
故选：D.
7．A
【分析】设多边形的边数是n，没加的内角为x，根据多边形的内角和公式，进行计算即可得解．
【解析】解：设多边形的边数是n，没加的内角为x，
根据题意得：，
∵，
∴，．
故选：A．
8．A
【分析】根据多边形的内角和求出剪去一个角后的多边形的边数即可判断．
【解析】解：由题意得，
，解得，
由于剪去一个角后边数为6，则这个多边形不可能为四边形，
故选A．
9．C
【分析】根据题意可得从n边型的同一个顶点出发，可以引条对角线．
【解析】解：∵从一个四边形的同一个顶点出发可以引出条对角线；
从五边形的同一个顶点出发，可以引出条对角线，
从六边形的同一个顶点出发，可以引出条对角线，
∴从n边型的同一个顶点出发，可以引条对角线，
故选：C．
10．C
【分析】本题只看图觉得很复杂，但从数据入手，就简单了，从图2开始，每个图都比前一个图多360度．抓住这点就很容易解决问题了．
【解析】解：依题意可知，二环三角形，S＝360度；
二环四边形，S＝720＝360×2＝360×（4﹣2）度；
二环五边形，S＝1080＝360×3＝360×（5﹣2）度；
…
∴二环十边形，S＝360×（10﹣2）＝2880度．
故选：C．
二、填空题
11． 不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的 多边形的边 顶点 n边形 相邻两边组成的角 延长线 不相邻两个顶点
【分析】利用多边形定义、多边形内角、多边形外角及多边形对角线定义填空即可．
【解析】在同一平面内，由不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的图形叫多边形．
组成多边形的线段叫做多边形的边，
相邻两边的公共端点叫多边形的顶点．
如果一个多边形有n条边，那么这个多边形叫做n边形．
多边形相邻两边组成的角叫做它的内角，
多边形的边与它邻边延长线组成的角叫多边形的外角．
连接多边形不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线．
故答案为：不在同一条直线上的n（）条线段首尾顺次连接组成的；多边形的边；顶点；n边形；相邻两边组成的角；延长线；不相邻两个顶点．
12．十二
【解析】设此多边形有n条边，
根据题意得：(n-2)·180°＝5×360°，
解得n＝12.
故答案为12.
13． 180° 不变
【分析】多边形的内角和定理：n边形的内角和是(n-2)·180°(n≥3，且n为正数)；所以当边数加1，内角和增加180°，任何多边形的外角和都是360°.
【解析】根据多边形的内角和定理，多边形的边数每增加1，它的内角和就增加180°；
任何多边形的外角和都是360°，所以外角和不变.
故答案为180°；不变.
14．5或6或7
【分析】本题考查多边形内角和定理、剪纸问题，掌握多边形的内角和定理及分类讨论问题是解题的关键．设剪去一个角后的多边形边数为n，利用多边形内角和公式则有，解出方程就可以得到新多边形的边数；然后通过分析当沿的是对角线和沿的不是对角线这两种方式剪角，就可以求出原来多边形的边数．
【解析】解：设内角和为的多边形的边数为n，则，
解得，
即得到的多边形是6边形，
当沿的是一条对角线剪去一个角，则原来的是7边形，
当沿的直线并不是对角线时，分为两种情况：
①过多边形的一个顶点，则原来的是6边形；
②不过多边形的顶点，则原来的是5边形，
综上所述，原多边形的边数为5或6或7，
故答案为：5或6或7．
15．
【分析】分两种情况分别画出图形，根据直角三角形各角的度数和四边形内角和进行求解，最后通过比较即可得出最大角的度数．本题主要考查了四边形的内角和，分类讨论和正确画出图形是解题的关键．
【解析】解：如图1所示，在中，，， 于点D，则，
∴，

如图2所示，在中，，， 于点D，则，
∴，

∵，
∴在四边形中，最大角的度数是．
故答案为：
16．
【分析】利用多边形的外角和定理，即减去等边三角形的一个内角的度数，减去正五边形的一个内角的度数，减去正方形的一个内角的度数，再减去和的度数，最后得出答案．
【解析】等边三角形的内角的度数是，正方形的内角的度数为，正五边形的内角的度数是，
则．
故答案为：
17．40．
【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM＝140°，再根据邻补角互补即可得出结论．
【解析】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM＝360°﹣220°＝140°．
∵∠BOD+∠BOM＝180°，
∴∠BOD＝180°﹣∠BOM＝180°﹣140°＝40°．
故答案为：40
18．
【分析】题考查正六边形的特征，解题的关键是掌握正六边形的每个外角都是．
（1）运用组成图形的边的数量和乘以边长解题即可；
（2）根据六边形的外角和平行线的性质解题即可．
【解析】解：图1中螺母组成的图形的周长为：；
如图，延长交直线l于点C，延长交于点F，
∵直线l，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵图形是正六边形，
∴，
∴，
故答案为：；．
三、解答题
19．（1）设正多边形的外角为，则内角为，由题意，得
，
解得．
正多边形的内角为，外角为．
（2）这个正多边形的边数为：．
20．解：∵五边形的内角都相等，
∴五边形的外角都相等，
∴，
∴五边形的每个内角度数为：，
∵，
∴，
∴．
21．（1）解：∵正五边形的每一个内角的度数为：，
∴；
（2）解：∵五边形是正五边形，
∴，，
∴在和中，
，
∴，
∴．
22．（1）解：正五边形内角和为，
故；
（2）解：∵，
∴；
（3）解：由题意得：，
解得：．
23．（1）解：如图：在四边形中，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：如图2，过点A作于点，作的延长线于点E，
，，，
，，
，
又，
，
又∵AF⊥BC，，
，，
，
，
．

（3）解：如图2：作轴于点.
，，，
.
，.
．
24．（1）解：嘉嘉的说法不正确；
理由：多边形的外角和始终为，与多边形的边数无关；
（2）①，
解得，
即的值为；
②，
整理得，
解得．
∴无论取何值，的值始终不变．
25．（1）如图1：
经过1个顶点做1条对角线，它把四边形分为2个三角形，
故答案为：1，2
（2）如图2：
经过五边形一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
故答案为：2，3．
（3）∵经过四边形的一个顶点可以作条对角线，它把四边形分成个三角形；
经过五边形的一个顶点可以作条对角线，它把五边形分成个三角形；
经过六边形的一个顶点可以作条对角线，它把六边形分成个三角形；
经过七边形的一个顶点可以作条对角线，它把七边形分成个三角形；
……
∴经过n边形的一个顶点可以作条对角线，它把n边形分成个三角形；
故答案为：，．
（4）∵过多边形的一个顶点可以作100条对角线，
∴根据（3）中结论可得，，
∴，
故答案为：103．