沪教版（五四学制）八年级数学下册 22.3 特殊的平行四边形 练习（含详解）

22.3 特殊的平行四边形
一、单选题
1．如图，E、F、H分别为正方形的边、、上的点，连接，，且，平分交于点G．若，则的度数为（ ）
A．26° B．38° C．52° D．64°
2．如图：是边长为1的正方形的对角线上一点，且，为上任意一点，于点，于点，则的值是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在长方形中，，对角线，平分交于点，是线段上的点，连接，过点作交的延长线于点，当为等腰三角形时，（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．如下图，在菱形中，，，过菱形的对称中心分别作边，的垂线，交各边于点，，，，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，BF⊥AC交CD于点F，DE⊥AC交AB于点E，垂足分别为M、N，连接EM、FN．则下列四个结论：①；②EM//FN；③；④当时，四边形DEBF是菱形；其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论：
①；②；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④，其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①②③ C．①③④ D．②③④
7．如图，在正方形中，、是射线上的动点，且，射线、分别交、延长线于、，连接，在下列结论中：①；②；③；④若，则，
⑤，其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图，菱形ABCD中∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（ ）
①若菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为时，菱形ABCD的边长为2．
A．①②③ B．①②④⑤ C．①②⑤ D．①②③④⑤
9．如图，正方形中，，连接，的平分线交于点E，在上截取，连接，分别交于点G，H，点P是线段上的动点，于点Q，连接，以下结论：①；②；③；④的最小值是，其中正确的结论有（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知，矩形中，，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：

①；
②当点和点互相重合时，；
③；
④．正确的有( )个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
11．如图，正方形中，在的延长线上取点E，F，使，，连接分别交，于H，G．下列结论：①图中有8个等腰三角形；②；③；④．其中正确的有 （填序号）．
12．已知：边长为的菱形，过点O作两条夹角为的射线，分别交边，边于点M，N，连结，则下列命题：①S四边形OMFN，②的长度为定值，③的形状为等边三角形，的最小值为3．其中正确的有 （填序号）
13．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点F，恰出如下结论：①当时，则；②当F恰好为的中点时，则的面积为；③当时，连接，四边形是菱形，其中正确的结论为 ．（只填序号）
14．如图，菱形中，，点E在对角线上，且，点F在延长线上，连接，作．交延长线于点G，，则 ，延长，交于点H，则的长是 ．
15．当一个凸四边形的一条对角线把原四边形分割成两个等腰三角形时，我们称这个四边形为“等腰四边形”，其中这条对角线称为这个四边形的“等腰线”．如果凸四边形ABCD是“等腰四边形”，对角线AC是该四边形的“等腰线”，其中， ，那么的度数为 ．
16．如图，菱形中，，，点是上一点，将菱形沿着折叠，使点落在点处，与交于点，点是的中点，，则的长为 ．
17．如图，已知在矩形纸片中，，，点E是的中点，点F是边上的一个动点，将沿所在直线翻折，得到，连接，，则当是以为腰的等腰三角形时，的长是 ．
18．如图，矩形中，，点H在边上，，E为边上一个动点，连．以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结．
（1）当菱形为正方形时，的长为 ；
（2）在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为 ．
三、解答题
19．四边形中，对角线于点，且；
（1）如图1，若，求四边形的面积；
（2）如图2，若，，求；
（3）如图3，若，，，求四边形的面积．
20．在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边AD上一动点，以CE为边，在CE的右侧作正方形CEFG，连结BF．
（1）如图1，当点E与点A重合时，则BF的长为　 　．
（2）如图2，当AE＝1时，求点F到AD的距离和BF的长．
（3）当BF最短时，请直接写出此时AE的长．
21．在平行四边形ABCD中，，连接，已知，点在线段上，将线段绕点顺时针旋转为线段．
(1)如图1，线段与线段的交点和点重合，连接，求线段的长度；
(2)如图2，点为延长线上一点，连接交于点，连接EG，若点H为线段的中点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接，延长交于点，连接，直接写出线段长度的最小值．
22．如图1，在矩形中，，，点为边上一动点，连结，作点关于直线的对称点，连结，，，，与交于点．
（1）若，求证：．
（2）如图2，连结，，若点在矩形的对角线上，求所有满足条件的的长．
（3）如图3，连结，当点到矩形一个顶点的距离等于2时，请直接写出的面积．
23．在正方形中，点是边上点，点在的延长线上，将线段绕点顺时针旋转，到线段，连接．
(1)如图，连接，判断线段与线段的数量关系给出证明．
(2)如图，若正好经过点．
①直接用等式表示线段、和的数量关系为______．
②证明：．
(3)如图，当经过点时，若，，请直接写出此时正方形边的长度．
24．如图1，四边形为菱形，．，，．
(1)点A坐标为 ，四边形的面积为 ；
(2)如图2，点E在线段上运动，为等边三角形．
①求证：，并求的最小值；
②点E在线段上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标．若变化，请说明理由．
25．在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从A、C两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中．

(1)如图1，M、N分别是中点，当四边形是矩形时，求t的值；
(2)若G、H分别从点A、C沿折线，运动，与相同的速度同时出发．
①如图2，若四边形为菱形，求t的值；
②如图3，作的垂直平分线交于点P、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，则t的值是______．
答案
一、单选题
1．D
【分析】过点作，由正方形的性质，，，四边形为矩形，利用HL易证得，可得，进而可得，由角平分线可得的度数，即可求得得度数．
【解析】解：过点作，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，则四边形为矩形，
∴，
∵，
∴（HL），
∴，
∵，
∴，
又∵平分，
∴，
∴．
故选：D．
2．C
【分析】连接，过作，利用面积法求解，的值等于点到的距离，即正方形对角线的一半．
【解析】解：连接，过作，如图所示：
，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
，，
为中点，
，
即值是．
故选：C．
3．B
【分析】过作于，由矩形的性质并结合勾股定理确定，再证明以及为等腰三角形，即可推导，，然后由计算的长即可．
【解析】解：过作于，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵平分交于点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】先证明是等边三角形，求出EF，同理可证都是等边三角形，然后求出EH，GF，FG即可．
【解析】解：如图，连接BD，AC，
∵四边形ABCD是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵在和 BFO中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
同法可证，都是等边三角形，
∴，，
∴四边形EFGH的周长为．
故选：A．
5．D
【分析】根据矩形的性质得到AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，根据平行线的性质得到DE⊥AC，根据垂直的定义得到∠DNA=∠BMC=90°，由全等三角形的性质得到DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；证△ADE≌△CBF（ASA），得出AE=FC，DE=BF，故③正确；证四边形NEMF是平行四边形，得出EM//FN，故②正确；证四边形DEBF是平行四边形，证出∠ODN=∠ABD，则DE=BE，得出四边形DEBF是菱形；故④正确；即可得出结论．
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AB//CD，∠DAE=∠BCF=90°，OD=OB=OA=OC，AD=BC，AD//BC，
∴∠DAN=∠BCM，
∵BF⊥AC，DE//BF，
∴DE⊥AC，
∴∠DNA=∠BMC=90°，
在△DNA和△BMC中，
，
∴△DNA≌△BMC（AAS），
∴DN=BM，∠ADE=∠CBF，故①正确；
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴AE=FC，DE=BF，故③正确；
∴DE -DN=BFBM，即NE=MF，
∵DE//BF，
∴四边形NEMF是平行四边形，
∴EM//FN，故②正确；
∵AB=CD，AE=CF，
∴BE=DF，
∵BE//DF，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∵AO=AD，
∴AO=AD=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO=∠DAN=60°，
∴∠ABD=90°-∠ADO=30°，
∵DE⊥AC，
∴∠ADN=∠ODN=30°，
∴∠ODN=∠ABD，
∴DE=BE，
∴四边形DEBF是菱形；故④正确；
故选：D．
6．C
【分析】①由AAS证明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，证出OG是△ABD的中位线，得出OG=AB，①正确；
③先证明四边形ABDE是平行四边形，证出△ABD、△BCD是等边三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四边形ABDE是菱形，③正确；
②连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到△ABD三边的距离相等，则S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四边形ODGF，则S四边形ODGF=S△ABF，②错误；即可得出结论．
④∵连接CG，由O、G分别是AC，AD的中点，得到，则S△ACD＝4S△AOG，再由S△AOG＝S△BOG，得到S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，
∵CD＝DE，
∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，
，
∴△ABG≌△DEG（AAS），
∴AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG＝AB，故①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴平行四边形ABDE是菱形，故③正确；
∵连接CG，
∵O、G分别是AC，AD的中点，
∴，
∴S△ACD＝4S△AOG，
∵，
∴S△AOG＝S△BOG，
∴S△ACD＝4S△BOG，故④正确；
连接FD，如图：
∵△ABD是等边三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，
∴F到△ABD三边的距离相等，
∴S△BDF＝S△ABF＝2S△BOF＝2S△DOF＝S四边形ODGF，
∴S四边形ODGF＝S△ABF，故②错误；
正确的是①③④，
故选C．
7．B
【分析】由“”可证，可得，故正确；
如图，在上截取连接，由“”可证，可得，由“”可证，可得，
，故正确；
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，由旋转的性质可得，，，由“”可证，可得，由勾股定理可得，故正确；
如图1，设，则，利用勾股定理可求,故错误；
由三角形的面积公式可求，故正确；
【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
故正确；
如图1，在上截取，连接，
，,，
，
,，
，
，
，
又，，
，
，，
故正确；
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接，
，，
，，，
∵∠ABD=∠ADB=450，
，，
，
，
又，，
，
，
在中， ，
，
故正确；
，
设，则，
，
如图1，在上截取，连接，
由可得：，
设，则，
，
，
，
，
，
故错误；
如图1，，
，
，
故正确；
正确的结论有，共个．
故选：
8．C
【解析】试题分析：①连接AC，交BD于点O，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，BD⊥AC，AO=BO，∴点A，点C关于直线BD对称，∴M点与O点重合时AM+CM的值最小为AC的值，∵∠ABC=60，∴△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∵AB=1，∴AC=1，即AM+CM的值最小为1，故本答案正确；
②∵△ABE是等边三角形，∴BA=BE，∠ABE=60°，∵∠MBN=60°，∴∠MBN﹣∠ABN=∠ABE﹣∠ABN，即∠MBA=∠NBE，又∵MB=NB，∴△AMB≌△ENB（SAS），故本答案正确；
③∵S△ABE+S△ABM=S四边形AMBE，S△ACD+S△AMC=S四边形ADCM，且S△AMB≠S△AMC，∴S△ABE+S△ABM≠S△ACD+S△AMC，∴S四边形AMBE≠S四边形ADCM，故本答案错误；
④假设AN⊥BE，且AE=AB，∴AN是BE的垂直平分线，∴EN=BN=BM=MA，∴M点与O点重合，∵条件没有确定M点与O点重合，故本答案错误；
⑤如图，连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，∴AM=EN，∵∠MBN=60°，MB=NB，∴△BMN是等边三角形，∴BM=MN，∴AM+BM+CM=EN+MN+CM，根据“两点之间线段最短”，得EN+MN+CM=EC最短，∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，∴∠EBF=180°﹣120°=60°，设菱形的边长为x，∴BF=，EF=，在Rt△EFC中，∵，∴，解得x=2，故本答案正确．
综上所述，正确的答案是：①②⑤，故选C．
9．C
【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的性质，能够合理选择正方形的性质找到全等三角形是解题的关键.
①利用正方形的性质证明得到进而可证；②利用正方形的性质证明，得到，证明，进而可证；③求得的长度，然后求出，进而可证；④证明垂直平分，过点作，利用垂线段最短可知的长度为最小值，利用等面积法可求.
【解析】∵正方形，
∴， ，
∴，
在和中,
，
∴，
∴，
，
∴，
∴，故①正确；
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴
，
，
，
即，结论③错误；
，
，
，
∴垂直平分，
，
当时，有最小值，
过点作，
则的长度为的最小值，
，
即的最小值为，故④正确．
正确的为: ①②④，个数为3
故选：C
10．C
【分析】由四边形是矩形，线段绕点逆时针旋转得到，可证，故①正确；当点和点互相重合时，由是等腰直角三角形，是的中点，，可得∠AED=450 =∠ADE，从而，故②正确；由等腰直角三角形的三线合一和得，从而得到，故③错误；分别求出的最大值、最小值，可得，故④正确．
【解析】解：四边形是矩形，
，
线段绕点逆时针旋转得到，
，∠AED=450 =∠ADE，
，
，
，
，故①正确；
当点和点互相重合时，如图，

线段绕点逆时针旋转得到，
，，
是等腰直角三角形，
是的中点，，
，
，
，
，故②正确；
线段绕点逆时针旋转得到，
，
是的中点，，
，
，故③错误；
当与重合时，最短，如图：
，
此时与都在上，
是等腰直角三角形，是的中点，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的最小值为，
当与重合时，最大，过作于，如图：
，
，
，
，，，
，
设，则，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
，
的最大值为，
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，共3个，
故选：C．
二、填空题
11．③④
【分析】①根据正方形的性质及等腰三角形的判定，可得出图中共有9个等腰三角形；②根据正方形的性质和已知推出四边形DECB是平行四边形，得到BD=CE，BD∥CE，无法证出G为CE的中点；③由SAS可证明△GHC≌△DGE；④由上述推理可得，△DBG∽△GDE，再根据三角形的面积等于相似比的平方可得结论．
【解析】解：如图，在正方形中，
，，
和是等腰三角形；
，，
和是等腰三角形；
，，
，
，
∵ BCG和是等腰三角形；
，，
是等腰三角形，且，，
，，
∵ DHG和是等腰三角形，
综上，图中共有9个等腰三角形；故①不正确；
正方形，，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
要使，只要为的中点即可，
且，，
，
即和不全等，
点不是中点，②错误
由①分析可知，
在和中，
，
；故③正确；
如图，过点作交的延长线于点，交AF于N，
设NG=x，则MG=1-x，
∵△CDE为等腰三角形，
∴∠DCE=∠DEC=45°，
可得△CGM为等腰直角三角形，
∴CM=1-x，
∴CG=，
设正方形ABCD的边长为1，
则BC=DE=1，BD=DF=CE=，
∵△BCG为等腰三角形，
∴，
解得：，
∴，故④正确；
综上，③④正确．
故答案为：③④．
12．①③
【分析】连接，由菱形的性质得出，，，，得出是等边三角形，得出，，证明得出，证出是等边三角形，得出②不正确， 的面积的面积，得出的面积，①正确，当时，最小，等边的面积最小，求出的面积，得出，③正确；即可得出结论．
【解析】解：连接，如图所示：
四边形是菱形，
，，，，
是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
是等边三角形，②不正确， 的面积的面积，
的面积，①正确，
当时，最小，等边的面积最小，
的面积，
，③正确；
故答案为：①③．
13．②
【分析】①设AF=CF=x，构建方程求出x即可判断；②证明∠BAC=90°，利用勾股定理求出AC，求出平行四边形ABCD的面积即可判断；③当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，不符合题意．
【解析】解：①如图1中，
∵∠B=90°，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠DAC=∠CAE，
∴∠ACF=∠CAF，
∴AF=CF，设AF=CF=x，
在Rt△ABF中，则有x2=62+（8-x）2，
解得x=，
∴EF=8-=，故错误；
如图2中，
当BF=CF时，
∵AF=CF=BF，
∴∠BAC=90°，
∴AC=，
∴S平行四边形ABCD=AB AC=6×=，故正确；
如图3中，
当AE⊥BC时，四边形ABEC是等腰梯形，故错误．
故答案为：②．
14．
【分析】先根据题意求得，如图，过点作，则可的是等边三角形，由可得,,则，,进而根据AAS可证明，进而可得的长，过点作于点，过作于，根据勾股定理可得的长，设，进而求得的长由，可得是等边三角形，进而求得,根据的面积等于，据此列出方程，解方程即可求得,进而求得．
【解析】如图，过点作，
四边形是菱形，
，是等边三角形
是等边三角形
，
,
即
在和中
（AAS）
,
是等边三角形，
过点作于点，过作于，如图，
在中，
在中，
在中，设,
是等边三角形，
的面积等于
整理得
因式分解得：
解得或（舍）
故答案为：
15．
【分析】根据“等腰四边形”的定义画出图形，对角线是该四边形的“等腰线”，所以和为等腰三角形，由于，中分两种情形：①，②．当时，由于，可得为等边三角形，，则，结论可得；当时，过点作，根据等腰三角形的三线合一，，过点作，交延长线于点，根据四边形为矩形，，可得，由于，可得，从而可求．
【解析】解：凸四边形是“等腰四边形”，对角线是该四边形的“等腰线”，
和为等腰三角形．
由于，在中分两种情形：①，②．
当①时，如下图：
，．
．
为等边三角形．
．
，
．
，
．
当②时，如下图，
过点作，过点作，交延长线于点，
，，
．
，，，
四边形为矩形．
．
，
．
在中，，
．
，
．
，
．
，
．
综上，．
故答案为：．
16．
【分析】连接，过点作的平行线交于点，过点作交延长线于点，延长交于点，过点作于点，利用翻折的性质和勾股定理求出，然后证明，得，证明，再利用勾股定理求出，进而即可解决问题．
【解析】解：如图，连接，过点作的平行线交于点，过点作交延长线于点，延长交于点，过点C作于点，
由翻折可知：，
∵点是的中点，，为菱形，
∴，
设，
在中，，
由勾股定理得：，
整理得，
解得(舍去负值)，
∵HI∥BC∥AD，
∵∠AEK=∠HEI,
由翻折可知：，
∵BC∥AD,
设
∵CL⊥AD,∠D=600 ,CD=12 ,
在中，由勾股定理得：
故答案为：．
17．1或
【分析】存在三种情况：当时，连接ED，利用勾股定理可以求得ED的长，可判断三点共线，根据勾股定理即可求解；当时，可以证得四边形是正方形，即可求解；当时，连接EC，FC，证明三点共线，再用勾股定理，即可求解．
【解析】解：①当时，连接ED，如图，
∵点E是的中点，，，四边形是矩形，
∴，
由勾股定理可得，，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴，
∵，
∴，
∴三点共线，
∵，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，
∴；
②当时，如图，
∵，
∴点在线段CD的垂直平分线上，
∴点在线段AB的垂直平分线上，
∵点E是的中点，
∴是AB的垂直平分线，
∴，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴，
∴四边形是正方形，
∴；
综上所述，AF的长为1或．
故答案为：1或．
18． 1
【分析】（1）由于四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为正方形，那么∠D=∠A=∠GHE=90°，HG=HE，易证△GDH≌△HAE，得DG=AH=1；
（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG=∠MGE，同理有∠HEG=∠FGE，利用等式性质有∠AEH=∠MGF，再结合∠A=∠M=90°，HE=FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM=HA=1，进而可求△FCG的面积S的最大值和最小值，从而确定S的取值范围．
【解析】解：（1）如图1，当菱形为正方形时，，，
四边形为矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
故答案为：1；
（2）如图2，过作，交延长线于，连接，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值1，
因此，
设，则，
在中，，
，
，
，
，
的最小值为，此时，的最大值为，此时，
在点的运动过程中，的面积的取值范围为：；
故答案为：；
三、解答题
19．解：（1）如图1中，
，，
，
，
．
（2）如图2中，
，
可以假设，，则
，，
，
，，
．
（3）如图3中，过点作于，过点作于．
，
可以假设，，
∵AC⊥BD，
，，，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
整理得，
，
，
经检验：符合题意；
．
20．解：（1）如图，连接DF，
∵∠CAF=90°，∠CAD=45°，
∴∠DAF=45°，
在△CAD和△FAD中，
，
∴△CAD≌△FAD（SAS），
∴DF=CD，
∴∠ADC=∠ADF=90°，
∴C，D，F共线，
∴BF2=BC2+CF2=42+82=80，
∴BF＝，
故答案为：；
（2）如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H，FH⊥BC交BC的延长线于K，
∵四边形CFG是正方形，∴EC=EF，∠FEC=90°，
∴∠DEC+∠FEH=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=90°，
∴∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠FEH，
又∵∠EDC=∠FHE=90°，
在△ECD和△FEH中，
，
∴△ECD≌△FEH（AAS），
∴FH=ED，
∵AD=4，AE=1，
∴ED=AD -AE=4-1=3，
∴FH=3，即点F到AD的距离为3，
∴∠DHK=∠HDC=∠DCK=90°，
∴四边形CDHK为矩形，
∴HK=CD=4，
∴FK=FH+HK=3+4=7，
∵△ECD≌△FEH，
∴EH=CD=AD=4，
∴AE=DH=CK=1，
∴BK=BC+CK=4+1=5，
在Rt△BFK中，BF＝；
（3）∵当A，D，F三点共线时，BF的最短，
∴∠CBF=45°，
∴FH=DH，
由（2）知FH=DE，EH=CD=4，
∴ED=DH=4÷2=2，
∴AE=2．
21．（1）延长，过点作于点，过点作于点，过点作于点，于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，，
∴，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转为线段，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴．
（2）连接、、，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
由（1）得，，，
∴，
∴点、、、四点共圆，
∴，
∴点在的延长线上，
∴，
∴，
∵点为线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴．
（3）连接，，，，
由（2）得，，点为的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵（当且仅当点在线段上时等号成立），
∴，
∴的最小值为．
22．（1）证明：∵点关于的对称点为点，
∴，即点为的中点．
∵，，
∴点为的中点，
∴为的中位线．
∴．
（2）分两种情况：
①如图1，点在对角线上．
∵点关于的对称点为点，
∴，，．
∴AC=5
设，
∴，
∴，即．
②如图2，点在对角线上．
∵，，
∴．
∵S△ABD=
∴．
∴．
设，，
∵DG2+GE2=DE2，
∴
∵S△ADE=
∴
∴．
∴，即．
综上：或．
（3）分三种情况：
①点到矩形顶点A的距离等于2时
∵AF=AD=3＞2
∴此种情况不存在；
②当点到矩形顶点的距离等于2时，连接FB，
则BF=2，AF=AD=3
过F作FH⊥AB于H，FQ⊥BC于Q，如图，
∴∠FHB=∠ABC=∠BQF=90°
∴四边形BHFQ是矩形
∴FQ=BH
设BH=x，则AH=4-x
∵FH2=AF2-FH2=FB2-BH2
∴4-x2=9-（4-x）2
∴x=
∴FQ=BH=
∴的面积为=．
③当点到矩形顶点的距离等于2时，如图，连接BF
则FC=2
∵AF+FC≥AC，又AF+FC=5，AC=5
∴AC+FC=AC
∴A，C，F三点共线，F在线段AC上
∵
∴=
即的面积为．
④当点到矩形顶点的距离等于2时，连接BF，过F点作MNAB
则DF=2
∴DG=FG=1
∴AG=
∵
∴MF=
∴NF=MN -MF=4-
∴的面积为=．
综上①当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；②当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为；③当点到矩形顶点的距离等于2时，的面积为．
23．（1）解：，
证明：四边形是正方形，
，，
将线段绕点顺时针旋转，到线段，
，，
，
≌，
；
（2）解：；
理由如下：如图，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
；
故答案为：；
证明：，，
，
≌ ADE，
，
，
；
（3）解：如图，连接，过点作于，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
正方形的边长为．
24．（1）解：∵，，，
∴，，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：，；
（2）①证明：如图，设交于J．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴当时，的值最小．
∵，
∴，
∴
∴AF的最小值为．
②点F的横坐标不变，理由如下：
如图，过点F作于H．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点F的横坐标为，不变．
25．（1）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵M、N分别是的中点，
∴，
∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
如图1，连接，

∵四边形是矩形，M，N分别是中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵∠B=900，
∴四边形是矩形，
∵矩形中，，，
∴，，
∵四边形是平行四边形，
∴当时，四边形是矩形，
∴或，
解得：或；
（2）①由（1）知：，
如图2，连接，

∵四边形为菱形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，连接，

由①同理得：，，
由①知：，
∴，
∵G、H分别从点A、C沿折线，运动，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可证，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形的面积是矩形面积的，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．