第02讲 弧度制及其与角度制的换算
课程标准 学习目标
1.理解弧度制的概念及其在数学和物理中的应用； 2.掌握弧度与角度的换算关系； 3.能运用弧度制进行简单的计算和推理； 4.了解弧度制在解决实际问题中的应用。 1.了解弧度制的概念、表示方法及其优点； 2.掌握弧度与角度的换算公式； 3.会进行弧度制下的简单计算。
知识点01 角度制与弧度制
1．角度制
把圆周等分成380份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于80分，1分等于80秒，即1°80′，1′80″．
2．弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad．如图所示，因为的长等于半径r，所以所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．
3．弧度数
由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α．弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度．
【解读】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
【即学即练1】（24-25高一上学期课时作业）下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
知识点02 角度制与弧度制的互化
1．弧度制与角度制的换算公式
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则.
2．角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
度数×弧度数 弧度数×角度数
380°2π_rad 2π rad380°
180°π_rad π rad180°
1° rad≈0.017 45 rad 1 rad度≈57.30°
【解读】角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°π rad，
充分利用1° rad,1 rad进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad；n°n· rad．
【即学即练2】（24-25高一上山东期中）下列转化结果正确的是( )
A．72°化成弧度是
B．－π化成角度是－680°
C．－170°化成弧度是－π
D．化成角度是15°
知识点02 弧长公式与扇形面积公式
1．弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则α，变形可得lαr，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
2．扇形面积公式
圆心角为1 rad的扇形面积为r2，所以圆心角为α rad的扇形面积Sαr2，又因为lαr，代入上式可得Sαr2lr，此公式称为扇形面积公式．
【解读】(1)在应用公式lαr和Slrαr2时，要注意α的单位是弧度．
(2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入．
(3)弧度制下的扇形面积公式Slr，与三角形面积公式Sah(h是三角形底边a上的高)有类似的形式．
(4)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量．
【即学即练3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
题型01 弧度制
【典例1】（24-25高一上·河北·月考）下面关于弧度的说法，错误的是( )
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周32等分，每一份的弧长为 cm
【变式1】下列说法中正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（ ）
A．正角或者负角的弧度数都是正数
B．四分之一圆所对的圆心角是
C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于
D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关
【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．1弧度的角与1°的角一样大
B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是
C．经过5分钟分针转了30°
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
题型02 角度制与弧度制的互化
【典例2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）将化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是18°
C．化成弧度是 D．化成角度是
【变式4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）（多选）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型03 弧长公式及应用
【典例3】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）某日，分针长为的时钟从走到，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知半径为的圆上，有一条弧的长是120mm，且该弧所对的圆心角的弧度数为2，则（ ）
A．30 B．80 C．90 D．100
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式3】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知某扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为
【变式4】（24-25高一上·江苏·阶段练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若该折扇的伞骨长为，那么全部打开后的扇面弧长为多少
题型04 扇形面积公式
【典例4】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高一上·天津河北·阶段练习）半径为，圆心角为的扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知扇形的圆心角为8rad，周长为70cm，则这条弧所对的圆的半径为 cm；面积为 ．
题型05 扇形中的最值问题
【典例5】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为．
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
【变式1】（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 .
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；
(1)若，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.
【变式3】（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积;
（2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大 并求出最大值
题型06 根据坐标运算求参数
【典例6】（23-24高一下·河南·开学考试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ）
A． B． C． D．.
【变式1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.
【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为 .
【变式3】（23-24高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为 .
【变式4】（23-24高一下·河北保定·开学考试）一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧长为分米，弧长为分米，则 分米，此扇环形砖雕的面积为 平方分米.
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·随堂练习）与80°角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·江苏常州·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（25-26高一上·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
6．（23-24高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ）
①； ②的长等于；
③扇形的周长为； ④扇形的面积为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（23-24高一下·北京·阶段练习）是圆心为的单位圆上两个动点，当面积最大时，则下列判断错误的是（ ）
A． B．弧的长为
C．扇形的面积为 D．等边三角形
8．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（ ）
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
10．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（ ）
A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
B．扇形面积的最大值为
C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
D．扇形面积的最大值为
11．（23-24高一下·安徽淮南·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．上底面积和下底面积之比为1:4
C．表面积为 D．体积为
三、填空题
12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角，角，角，则角，角，角间的大小关系为 ．
13．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，其周长是 ，则该扇形的面积是
14．（24-25高一上·全国·课后作业）中国古代数学著作《五曹算经》是算经十书之一．“田曹”卷中有这样一个问题：“今有环田，外周三十步，内周一十二步，径三步，一人绕内圆行二步，问其围田几何？”意思是：有一个环形的田地，外圆周长30步，内圆周长12步，圆环宽3步，一个人绕着内圆走了2步，已知圆心与此人的起点和终点形成的射线分别与内外圆相交，问此人在内圆行走的曲线和外圆围成的田地面积为 平方步（圆周率取3）．
四、解答题
15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿．
(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
(2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径．
16．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角．
17．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，一长为，宽为1的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．（圆心角为正）
18．（24-25高一上·吉林·期中）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求：
(1)莱洛三角形的周长；
(2)莱洛三角形的面积．
19．（24-25高一上·全国·课后作业）某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第02讲 弧度制及其与角度制的换算
课程标准 学习目标
1.理解弧度制的概念及其在数学和物理中的应用； 2.掌握弧度与角度的换算关系； 3.能运用弧度制进行简单的计算和推理； 4.了解弧度制在解决实际问题中的应用。 1.了解弧度制的概念、表示方法及其优点； 2.掌握弧度与角度的换算公式； 3.会进行弧度制下的简单计算。
知识点01 角度制与弧度制
1．角度制
把圆周等分成380份，其中每一份所对应的圆心角为1度，这种用度作单位来度量角的制度称为角度制．角度制还规定1度等于80分，1分等于80秒，即1°80′，1′80″．
2．弧度制
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为1弧度的角，记作1 rad．如图所示，因为的长等于半径r，所以所对的圆心角∠AOB就是1弧度的角．这种以弧度为单位来度量角的制度称为弧度制．
3．弧度数
由弧度制的定义可知，在半径为r的圆中，若弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α．弧度的大小与所在圆的半径的大小无关，只与圆心角的大小有关．换句话说，弧度数是个比值，只和角的大小有关，弧长是半径的几倍，相对应的角的大小就是几弧度．
【解读】角度制与弧度制是两种不同的度量单位，在表示角时，二者不可混用.
角度制 用度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“°”不能省略 角的正负与方向有关 六十进制
弧度制 用弧度作为单位来度量角的单位制 角的大小与半径无关 单位“rad”可以省略 角的正负与方向有关 十进制
【即学即练1】（24-25高一上学期课时作业）下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
【答案】A
【解析】对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，只有在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以是负角或零角，故D错误．
知识点02 角度制与弧度制的互化
1．弧度制与角度制的换算公式
设一个角的角度数为n，弧度数为α，则.
2．角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
度数×弧度数 弧度数×角度数
380°2π_rad 2π rad380°
180°π_rad π rad180°
1° rad≈0.017 45 rad 1 rad度≈57.30°
【解读】角度与弧度互化的原则和方法
(1)原则：牢记180°π rad，
充分利用1° rad,1 rad进行换算．
(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad；n°n· rad．
【即学即练2】（24-25高一上山东期中）下列转化结果正确的是( )
A．72°化成弧度是
B．－π化成角度是－680°
C．－170°化成弧度是－π
D．化成角度是15°
【答案】AD
【解析】因为72°72×，所以A正确．因为－π rad－800°，所以B不正确．因为－170°－ rad，所以C不正确．因为 rad15°，所以D正确．
知识点02 弧长公式与扇形面积公式
1．弧长公式
在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α，则α，变形可得lαr，此公式称为弧长公式，其中α的单位是弧度．
2．扇形面积公式
圆心角为1 rad的扇形面积为r2，所以圆心角为α rad的扇形面积Sαr2，又因为lαr，代入上式可得Sαr2lr，此公式称为扇形面积公式．
【解读】(1)在应用公式lαr和Slrαr2时，要注意α的单位是弧度．
(2)在运用公式时，根据已知的是角度数还是弧度数，选择合适的公式代入．
(3)弧度制下的扇形面积公式Slr，与三角形面积公式Sah(h是三角形底边a上的高)有类似的形式．
(4)由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量．
【即学即练3】（24-25高一上·湖南·阶段练习）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出扇形的半径，利用扇形的面积公式可求得结果.
【详解】由题意可知，扇形的半径为，
因此该扇形的面积为.
.
题型01 弧度制
【典例1】（24-25高一上·河北·月考）下面关于弧度的说法，错误的是( )
A．弧长与半径的比值是圆心角的弧度数
B．一个角的角度数为n，弧度数为α，则
C．长度等于半径的倍的弦所对的圆心角的弧度数为
D．航海罗盘半径为10 cm，将圆周32等分，每一份的弧长为 cm
【答案】A
【解析】根据弧度数定义可知A正确；根据弧度与角度的转化关系，可知B正确；根据三角形关系可知，长度等于半径的倍的弦所对的圆心角为120°，即弧度数为，故C正确；圆周长为2πr20π cm,32等分后，每一份弧长为 cm，故D错误．
【变式1】下列说法中正确的是( )
A．1弧度是1度的圆心角所对的弧
B．1弧度是长度为半径长的弧
C．1弧度是1度的弧与1度的角之和
D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位
【答案】A
【解析】利用弧度的定义及角度的定义判断，长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度是角的一种度量单位，而不是长度的度量单位，故A、B、C错误，选D.
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）关于弧度制，下列说法正确的是（ ）
A．正角或者负角的弧度数都是正数
B．四分之一圆所对的圆心角是
C．角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，角的终边旋转一周得到的角的大小等于
D．用角度制和弧度制度量角，角的大小都与圆的半径有关
【答案】C
【分析】根据弧度制的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，A错误；
整圆的圆心角是，故四分之一圆所对的圆心角是，B正确；
角的终边顺时针旋转一周得到的角是，角的终边逆时针旋转一周得到的角是，C错误；
无论是角度制还是弧度制，角的大小都与圆的半径无关，D错误．
【变式3】（25-26高一上·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．1弧度的角与1°的角一样大
B．若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角是
C．经过5分钟分针转了30°
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
【答案】C
【分析】利用弧度制的定义对选项逐一分析即可.
【详解】对于A，根据弧度制定义可知A错误；
对于B，若圆的一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆心角为，即，故B正确；
对于C，经过5分钟分针转了，故C错误；
对于D，由弧度制的定义可知，长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，故D错误.
．
题型02 角度制与弧度制的互化
【典例2】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）（多选）将下列角度与弧度进行互化正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【分析】利用角度与弧度的换算公式计算即可一一判断.
【详解】对于A，因，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确.
CD.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）将化为弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角度制转化为弧度制的方法求得正确答案.
【详解】．
【变式2】（23-24高一下·北京房山·期中）化成弧度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据角度制与弧度制的互化公式求解
【详解】因为，所以.
【变式3】（23-24高一下·安徽淮北·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．化成弧度是 B．化成角度是18°
C．化成弧度是 D．化成角度是
【答案】AB
【分析】掌握的弧度制与角度制的数量关系计算即得.
【详解】对于A项，因，故A项正确；
对于B项，因，故B项正确；
对于C项，因，故C项错误；
对于D项，因，故D项错误.
B.
【变式4】（23-24高一下·陕西渭南·期中）（多选）下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【分析】根据弧度制与角度值不能混用即可排除AB，根据角度制与弧度制的互化以及终边相同角的概念即可判断CD.
【详解】对A,B在同一个表达式中，角度制与弧度制不能混用，所以A，B错误．
对C，，则与终边相同，而与终边相同，
且化为角度制即为，则与的终边相同，
则是与的终边相同的角的表达式，故C正确；
对D，由C得与终边相同，
则与终边相同的角可以写成的形式，则D正确．
D．
题型03 弧长公式及应用
【典例3】（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）（多选）某日，分针长为的时钟从走到，分针转动的弧度为，分针的针尖走过的弧长为，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】根据任意角定义可得弧度的大小，再由弧长公式计算可得弧长.
【详解】因为分针是按照顺时针旋转的，所以转动的弧度为负数，可得，
由分针长为可得，弧长
C
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知半径为的圆上，有一条弧的长是120mm，且该弧所对的圆心角的弧度数为2，则（ ）
A．30 B．80 C．90 D．100
【答案】C
【分析】根据弧长公式列方程，从而求得正确答案.
【详解】由弧长公式可得，，解得．
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·期末）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据题意直接利用弧长公式求解即可.
【详解】设该扇形的半径为，则由题意得，解得.
【变式3】（24-25高一上·浙江·阶段练习）已知某扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的圆心角为
【答案】
【分析】利用扇形的弧长公式即可得解.
【详解】因为扇形的半径为4，弧长为，
所以该扇形的圆心角为.
故答案为：.
【变式4】（24-25高一上·江苏·阶段练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号.当折扇所在扇形的圆心角为时，折扇的外观看上去是比较美观的，若该折扇的伞骨长为，那么全部打开后的扇面弧长为多少
【答案】
【分析】利用弧长公式进行求解.
【详解】，由弧长公式得cm.
故答案为：
题型04 扇形面积公式
【典例4】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若一个扇形的半径为3，圆心角为，则这个扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
【详解】.
【变式1】（24-25高一上·天津河北·阶段练习）半径为，圆心角为的扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据扇形的面积公式直接计算.
【详解】已知扇形的半径为，圆心角为，
则扇形弧长，
面积.
.
【变式2】（24-25高一上·黑龙江绥化·阶段练习）已知某扇形的半径为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据扇形的面积公式，即可求得此扇形的面积，得到答案.
【详解】由题意，某扇形的半径为，圆心角为，
根据扇形的面积公式，可得
所以此扇形的面积为.
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知扇形的圆心角为8rad，周长为70cm，则这条弧所对的圆的半径为 cm；面积为 ．
【答案】 5 100
【分析】根据扇形的弧长、面积公式等知识来求得正确答案.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，由题得，，
解得，故面积为．
故答案为：；
题型05 扇形中的最值问题
【典例5】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知一扇形的圆心角为（为正角），周长为，面积为，所在圆的半径为．
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)若，求的最大值及此时扇形的半径和圆心角．
【答案】(1)
(2)的最大值为，此时扇形的半径是，圆心角．
【分析】（1）根据弧度与角度的关系，用弧度表示圆心角，结合弧长公式求弧长；
（2）由条件确定弧长与半径的关系，再由扇形面积公式用表示，并求其最小值即可.
【详解】（1），
扇形的弧长；
（2）设扇形的弧长为，半径为，
则，，
则，
当时，，此时，，
的最大值是，此时扇形的半径是，圆心角．
【变式1】（24-25高一上·重庆万州·阶段练习）已知一扇形的周长为40，则这个扇形面积的最大值是 .
【答案】
【分析】根据扇形弧长和半径的关系，将扇形面积表示为关于的二次函数，求最值.
【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，则，，
则，
当时，扇形面积最大，最大值为.
故答案为：
【变式2】（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知扇形的圆心角是，半径为，弧长为；
(1)若，求扇形的弧长；
(2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？并求出此时的半径.
【答案】(1)
(2)，，
【分析】（1）利用弧长公式可得答案；
（2）利用周长和面积公式，结合二次函数可得答案.
【详解】（1），
.
（2）由已知得，，
所以，，
所以当时，面积取得最大值，
此时，所以.
【变式3】（23-24高一下·北京·阶段练习）（1）一条弦的长等于它所在圆的半径，求弦和劣弧所组成的弓形的面积;
（2）一扇形的周长为，那么扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大 并求出最大值
【答案】（1）；（2）扇形半径，扇形圆心角为，扇形面积最大值.
【分析】（1）要怕给定条件，求出劣弧所对的圆心角，再求出扇形面积及三角形面积即得.
（2）设出扇形的半径，结合已知建立函数关系，借助二次函数求解即得.
【详解】（1）如图，在圆中，弦，则是正三角形，，边上的高为，
因此，而扇形面积为，
所以弦和劣弧所组成的弓形的面积是.
（2）设扇形的半径为，则扇形弧长，
扇形面积，当且仅当时取等号，
所以扇形半径，扇形的圆心角为时，扇形面积取得最大值.
题型06 根据坐标运算求参数
【典例6】（23-24高一下·河南·开学考试）如图1是一款扇形组合团圆拼盘，其示意图如图2所示，中间是一个直径为的圆盘，四周是8个相同的扇环形小拼盘，组拼后形成一个大圆盘，寓意“八方来财，阖家团圆”.若的长为，则每个扇环形小拼盘的面积为（ ）
A． B． C． D．.
【答案】D
【分析】利用扇形面积公式即可求得每个扇环形小拼盘的面积.
【详解】如图，
设小圆的圆心为，则，
设，每个扇环形小拼盘对应的圆心角为，
则的长为，解得，
所以每个扇环形小拼盘的面积为
.
【变式1】（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期中）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积（弦×矢+矢2），弧田如图，由圆弧和所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弦长为米的弧田，按照上述方法计算弧田的矢为 米；面积为 平方米.
【答案】
【分析】如图所示，过作于，的延长线交于，利用锐角三角函数求出、，即可求出，再由弧田面积公式计算可得.
【详解】如图所示，过作于，的延长线交于.
则，，所以，，
所以，，
所以矢为，
则弧田面积是.
故答案为：；.
【变式2】（24-25高一上·上海·单元测试）勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，勒洛三角形的周长为，则该勒洛三角形的面积为 .
【答案】
【分析】,运用弧度之下的扇形面积公式，弧长公式求解即可.
【详解】因为勒洛三角形的周长为，所以每段圆弧长为，解得，
即正三角形的边长为1.由题意可得
.
故答案为：.
【变式3】（23-24高一下·辽宁本溪·期中）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，其中扇面画有着悠久的历史.某扇面画可看成一个扇环，其示意图如图所示.若，且该扇环的周长为，则该扇环的面积为 .
【答案】
【分析】利用扇形弧长公式结合题设条件列出方程，求出小扇型的半径，利用扇形面积公式计算大小扇形面积，作差即得扇环面积.
【详解】设，依题意可得，，解得，
故该扇环的面积为.
故答案为：.
【变式4】（23-24高一下·河北保定·开学考试）一扇环形砖雕如图所示，该扇环形砖雕可视为扇形截去同心扇形所得的部分，已知分米，弧长为分米，弧长为分米，则 分米，此扇环形砖雕的面积为 平方分米.
【答案】 6
【分析】根据弧长公式计算得，然后利用扇形面积公式求解砖雕面积即可.
【详解】设圆心角，则，解得分米，所以分米，
则此扇环形砖雕的面积为平方分米.
故答案为：6，
一、单选题
1．（24-25高一上·全国·随堂练习）与80°角终边相同的角可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】运用终边相同角的概念，结合弧度制可判断.
【详解】A,B弧度角度混用，错误.
与角终边相同的角可以表示，则C错误．
弧度制下表示为，则D正确.
.
2．（23-24高一下·山东威海·阶段练习）时间经过1小时40分钟，时针转过的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用弧度制定义计算即可得.
【详解】，
故时针转过的弧度数为.
.
3．（24-25高一上·吉林四平·阶段练习）已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据弧度和角度的换算得到，然后利用弧长公式和扇形面积公式计算.
【详解】圆心角，由弧长，得，
所以该扇形的面积为．
．
4．（23-24高一下·江苏常州·期中）若扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】直接根据扇形弧长公式求解即可．
【详解】由扇形弧长公式，解得，
．
5．（25-26高一上·全国·课后作业）现行的二十四节气是根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每个节气对应地球在黄道上运动15°所到达的一个位置，根据描述，从立冬到立春对应地球在黄道上运动所对圆心角的弧度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由弧度与角度的关系即可得解.
【详解】根据题意，从立冬到立春对应地球在黄道上逆时针运动所对圆心角的度数为，即弧度数为．
．
6．（23-24高一上·天津河西·期末）如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（ ）
①； ②的长等于；
③扇形的周长为； ④扇形的面积为．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解.
【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①不正确；
由，且，可得为等边三角形，所以，所以②不正确；
由扇形的弧长公式，可得的长度为，
所以扇形的周长为，所以③正确；
由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④不正确.
.
7．（23-24高一下·北京·阶段练习）是圆心为的单位圆上两个动点，当面积最大时，则下列判断错误的是（ ）
A． B．弧的长为
C．扇形的面积为 D．等边三角形
【答案】A
【分析】求出面积取最大值时，再逐项分析判断即得.
【详解】面积，当且仅当，
对于A，，A正确；
对于B，弧的长为，B正确；
对于C，扇形的面积为，C正确；
对于D，是等腰三角形，不是等边三角形，D错误.
8．（24-25高一上·河北保定·期中）水滴是刘慈欣的科幻小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中提到的由三体文明使用强互作用力（）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称为水滴．如图所示，水滴是由线段，和圆的优弧围成，其中，恰好与圆弧相切.若圆弧所在圆的半径为2，点A到圆弧所在圆圆心的距离为4，则该封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出辅助线，得到，，利用扇形面积公式和三角形面积公式得到答案.
【详解】取优弧所在圆的圆心，连接，，则⊥，⊥，
则，所以，则，
，
故优弧对应的圆心角为，对应的扇形面积为，
而，
所以该封闭图形的面积为.
二、多选题
9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列各说法，正确的是（ ）
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
【答案】ABC
【分析】根据弧度制的定义即可判断．
【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，
根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．
BC
10．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）已知一根长为L的铁丝，现在要把这根铁丝正好折成一个扇形，且使得扇形的面积最大．则下列选项中正确的是（ ）
A．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
B．扇形面积的最大值为
C．当扇形的面积最大时，扇形的半径为
D．扇形面积的最大值为
【答案】CC
【分析】由题意可知由扇形面积公式，结合基本不等式即可求解最值.
【详解】设扇形的半径和弧长分别为，由题意知：
则，当且仅当时，即时等号不成立，
故BC正确，AD错误，
C．
11．（23-24高一下·安徽淮南·阶段练习）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图1甲）图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和12，且，则该圆台的（ ）
A．高为 B．上底面积和下底面积之比为1:4
C．表面积为 D．体积为
【答案】ACD
【分析】根据题意，求得圆台的上、下底面半径和母线长、以及圆台的高，结合圆台的几何结构特征以及侧面积和体积公式，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A中，设圆台的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为，
则且，解得，
由圆台的母线长为，所以圆台的高为，故A正确；
对于B中，圆台的上、下底面面积比为，故B不正确；
对于C中，圆台的上、下底面面积为，
圆台的侧面积为，
圆台的表面积为，故C正确；
对于D中，圆台的体积为，故D正确.
CD.
三、填空题
12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角，角，角，则角，角，角间的大小关系为 ．
【答案】
【分析】将弧度转化为角度，由此确定大小关系.
【详解】因为，
所以．
故答案为：
13．（24-25高一上·天津·阶段练习）已知扇形的圆心角为 ，其周长是 ，则该扇形的面积是
【答案】
【分析】根据弧长公式以及面积公式即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为，圆心角为，则，
根据周长可得，故，
所以扇形面积为，
故答案为：
14．（24-25高一上·全国·课后作业）中国古代数学著作《五曹算经》是算经十书之一．“田曹”卷中有这样一个问题：“今有环田，外周三十步，内周一十二步，径三步，一人绕内圆行二步，问其围田几何？”意思是：有一个环形的田地，外圆周长30步，内圆周长12步，圆环宽3步，一个人绕着内圆走了2步，已知圆心与此人的起点和终点形成的射线分别与内外圆相交，问此人在内圆行走的曲线和外圆围成的田地面积为 平方步（圆周率取3）．
【答案】
【分析】先设外圆，内圆的半径分别为，步，根据题意得， ，然后利用扇形面积公式计算即可.
【详解】设外圆的半径为步，内圆的半径为步，
则，
解得
因为圆环宽3步，所以， ，
又由题意得该人所走过的弧长对应的圆心角，
所以围成的面积为:
平方步．
故答案为：.
四、解答题
15．（24-25高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有24齿，小轮有16齿．
(1)当小轮转动一周时，求大轮转动的弧度数；
(2)当小轮的转速是（转/分）时，大轮上每1s转过的弧长是，求大轮的半径．
【答案】(1)
(2)15
【分析】（1）根据已知条件列方程，求得大轮转动的周数，从而求得大轮转动的弧度数.
（2）先求得大轮的转速，根据大轮上每1s转过的弧长列方程，从而求得大轮的半径.
【详解】（1）设小轮转动一周时大轮转动周，则，
故大轮转动的弧度数为．
（2）设大轮的半径为，易知大轮的转速为，
所以大轮上每1s转过的弧长为，故．
16．（24-25高一·上海·随堂练习）已知一扇形的圆心角为，半径为，弧长为．
(1)若，，求扇形的弧长；
(2)已知扇形的周长为，面积是，求扇形的圆心角．
【答案】(1)
(2)弧度
【分析】（1）由扇形的弧长公式即可求解；
（2）由扇形的周长和面积公式即可求解.
【详解】（1）因为弧度，
所以；
（2）由题意得，
解得（舍去）或，
故扇形圆心角为弧度．
17．（24-25高一上·全国·课后作业）如图，一长为，宽为1的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为，试求点A走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．（圆心角为正）
【答案】
【分析】由已知，分别计算木块翻滚四次点A走过的路程，即三个弧长，及走过的弧所在的扇形的总面积即可．
【详解】由已知，在扇形中，圆心角恰为，
弧长，
面积．
在扇形中，圆心角也为，
弧长，
面积．
在扇形中，圆心角为，
弧长，
面积，
所以点A走过的路程长，
点A走过的弧所在的扇形的总面积．
18．（24-25高一上·吉林·期中）莱洛三角形是定宽曲线所能构成的面积最小的图形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的，故而得名．如图所示：它是分别以正三角形的顶点为圆心，以正三角形边长为半径作三段圆弧组成的一条封闭曲线，若，求：
(1)莱洛三角形的周长；
(2)莱洛三角形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出一个扇形的弧长，进一步求出勒洛三角形的周长即可；
（2）分别求出一个扇形的面积及正三角形的面积，进一步求出勒洛三角形的面积；
【详解】（1）因为，由于三角形为正三角形，
所以以为圆心的扇形的弧长是，
莱洛三角形的周长为；
（2）因为，由于三角形为正三角形，
所以以为圆心的扇形的面积是，
又的面积是，
所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，
即．
19．（24-25高一上·全国·课后作业）某单位拟建一个扇环形的花坛（如图所示），该花坛是由以点O为圆心的两个同心圆弧和通过点O的两条线段围成的．按设计要求扇环形花坛的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角（正角）为θ弧度．
(1)求θ关于x的函数关系式；
(2)已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值．
【答案】(1)
(2)，当时，y取得最大值，最大值为
【分析】（1）通过表示出扇环形花坛的周长即可得出θ关于x的函数关系式；
（2）列出y关于x的函数关系式，利用基本不等式求最大值即可.
【详解】（1）由题意得，故．
（2）花坛的面积为．
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用的比为．
令，则，则，
当且仅当，即时，
y取得最大值，最大值为，此时，．
故当时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．
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