第04讲 单位圆与三角函数线
课程标准 学习目标
1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养． 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.
知识点01 正弦线与余弦线
1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足的点做成的集合，角的终边与单位圆相交于点，如图，
则，，，则角的终边与单位圆的交点为
2、三角函数线综合图示
（1）过角的终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为；
（2）角的终边（或其反向延长线）与直线交于点。
3、正弦线的定义：为角的正弦线
的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且；
的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。
4、余弦线的定义：为角的余弦线
的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且；
的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。
【即学即练1】（2024高一上·江苏·专题练习）如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ）
A．正弦线为，正切线为
B．正弦线为，正切线为
C．正弦线为，正切线为
D．正弦线为，正切线为
【答案】D
【分析】根据三角函数线的定义得到答案.
【详解】角在第三象限，故正弦线为，正切线为.
知识点02 正切线
1、正切线的定义：为角的正切线
当角的终边在第二、三象限或轴的负半轴上，终边与直线没有交点，但终边的反向延长线与有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值。
2、三角函数线的特征
（1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外；
（2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点指向切线与的终边（或其反向延长线）的交点；
（3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；
（4）书写：起点（比如点）在前，终点（比如点）在后，写为
【即学即练2】（24-25高一上·全国·随堂练习）角和角有相同的（ ）
A．正弦值 B．余弦值 C．正切线 D．不能确定
【答案】D
【分析】根据角和角的终边在一条直线上，结合正切线的作法可得两个角有相同的正切线，得到答案.
【详解】因为，可知角和角的终边互为反向延长线，
即两个角的终边在同一条直线上，设为直线，
因此，过点作单位圆的切线，与直线有且只有一个交点，
可得，都等于有向线段的长，即两角有相同的正切线.
题型01 三角函数线的作法
【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】根据三角函数线概念，结合单位圆和三角函数概念画图即可.
【详解】（1）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线.
（2）如图，有向线段DP，OD，AT分别表示的正弦线、余弦线、正切线.
【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)答案见解析
【分析】根据正弦线的作法即可作出（1）（2）的正弦线；
（3）在上，和终边相同的角是，再作出正弦线即可.
【详解】（1）如图所示，正弦线为
（2）如图所示，正弦线为
（3）因为，所以的正弦线和的正弦线一样，如图所示，正弦线为
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】直接根据角的范围，画出的终边大概所在位置，结合三角函数线的定义即可求解.
【详解】画出图象如下图所示，由图可知，.
题型02 利用三角函数线比较大小
【典例2】（（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ．
【答案】
【分析】由三角函数的定义，利用三角函数线即可比较大小.
【详解】如图所示，在平面直角坐标系中,以为圆心作单位圆，分别作出已知角，
则，，
，．
而，
∴，
∴．
故答案为：
【变式1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，则
B．若，是第二象限角，则
C．若，是第三象限角，则
D．若，是第四象限角，则
【答案】A
【分析】根据题意，结合三角函数线，以及三角函数的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若，是第一象限角，且，作出三角函数线，如图1所示，
则，因为，所以，所以A错误；
对于B中，若，是第二象限角，且，作出三角函数线得到有向线段，
如图2所示，则，所以，所以B错误；
对于C中，若，是第三象限角，且，作出三角函数线得到有向线段，
如图3所示，则，所以，所以C错误；
对于D中，若，是第四象限角，且，作出三角函数线得到有向线段，
如图4所示，则，所以，所以D正确.
.
【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据正弦线的知识求得正确答案.
【详解】依题意，，
在单位圆中，观察正弦线可知，
在区间，的长度随着增大而增大，
所以
【变式3】（23-24高一下·北京·期中）若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，在坐标系画出单位圆，并且作出角的正弦线、余弦线和正切线，再由的范围比较三角函数线的大小即可.
【详解】由三角函数线定义作出如图：
是角的终边，圆是单位圆，
则，，，
，
，即.
题型03 利用三角函数线解不等式
【典例3】（24-25高一下·广西北海·期中）在上，使不等式不成立的x的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象，即可求解．
【详解】由，则，
又，所以所求集合为．
．
【变式1】（2024高一·全国·专题练习）使不成立的x的一个变化区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据三角函数线，即可得出相应的区间.
【详解】当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足．
【变式2】若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据单位圆及三角函数线直接求解即可.
【详解】如图所示单位圆，由于，，若终边为（不可取），
所以满足，且，，
所以的取值范围是.
故答案为：
【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；
（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；
【答案】（1）；（2）或
【分析】（1）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得.
（2）画出画出单位圆中三角函数线，结合图象可得或.
【详解】（1）由可知，角x对应的正弦线方向朝上，而且长度为，
作示意图，如图所示，
可知角的终边可能是，也可能是，
又因为，所以或，
再由图可知，如果的终边在中，则一定有，
因此，满足条件的角的取值范围.
（2）画出单位圆中三角函数线，如图．
由图可知角的范围是：
或.
题型04 利用三角函数线证明不等式
【典例4】（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则.
【答案】证明见解析
【分析】通过三角函数线可得：，，，则只需比较，，的大小，转换为面积，即可得到大小关系，得证.
【详解】证明：如图，由三角函数线得：，，，
∵，
∴，
∴，即.
【变式1】（2024高一·上海·专题练习）若，证明：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用正切线与余弦线的定义，结合三角形两边之和大于第三边即可得证；
（2）利用三角函数线的定义，结合三角形与扇形的面积大小即可得证.
【详解】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线.
由，为直角三角形，且，，，
在中，，所以.
（2）如图，，分别为角的正弦线和正切线，连结，
由，显然有，
而，，
，
所以，即.
题型05 新定义问题
【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用单位圆以及三角函数的定义可知，，，然后结合新定义简单计算可判断各个选项.
【详解】根据题意，易得，
对于A，因为，即，故A错误；
对于B，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，根据三角函数定义结合相似三角形相似比可得，故D错误.
.
【变式1】（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角形相似，即可求解.
【详解】由图象可知，，
则，即，
所以.
一、单选题
1．已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在（ ）
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
【答案】D
【分析】由题意可知角终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，即可得出答案.
【详解】因为角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，
所以角终边上的点的纵坐标和横坐标互为相反数，
所以的终边在第二、第四象限的角平分线上.
.
2．如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线 余弦线 正切线分别是（ ）
A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT
【答案】A
【分析】根据题图及三角函数线的定义判断角的正弦线 余弦线 正切线.
【详解】由题图知：圆O为单位圆，则，
且，
故角的正弦线 余弦线 正切线分别是有向线段MP，OM，AT.
3．（23-24高一下·上海·假期作业）若，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】C
【分析】作出的正弦线、余弦线，即可判断.
【详解】因为，作出的正弦线，余弦线，
所以，，所以，即．
4．如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
【答案】A
【分析】由单位圆中的余弦线即可求解.
【详解】如图：角的终边与单位圆相交于点，过点作轴于点，
由三角函数线的定义可知：，
由图知：设角的终边与单位圆相交于点，当角的终边与角的终边关于轴对称时，
过点作轴的垂线，则垂足为点，所以，
所以当角与的终边关于轴对称时，，
.
5．在上，利用单位圆，得到不成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正余弦、正切函数的定义，应用数形结合判断即可.
【详解】如图所示，
在单位圆中，设，则，，，
由图形可得在第一象限均大于0，在第一象限恒不成立，即在第一象限恒不成立，以为分界线，当时，即，当时，即；综上在第一象限无解；
由图形可得在第二象限大于0，均小于0，所以在第二象限无解；
由图形可得在第三象限小于0，大于0，所以在第三象限无解；
有图形可得在第四象限大于0，小于0，且恒不成立，即在恒不成立，所以 在第四象限的解为，
综上在的解集为，
6．,,的大小关系是
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】在单位圆中作出1弧度角的正弦线、余弦线、正切线，由图可观察出它们的大小．
【详解】如图所示,作出1弧度角的正弦线 余弦线 正切线分别为,,,由图知,,,且,所以.
.
【点睛】本题考查三角函数线的应用．三角函数线可能用来求三角函数值，解三角不等式，比较三角函数式的大小等．
7．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．∪
【答案】A
【分析】根据题意，画出三角函数线，找出角度范围，即可表示.
【详解】角α的取值范围为图中阴影部分如下所示吧：
即∪
故选：.
【点睛】本题考查由三角函数值的范围，求角度的范围，涉及三角函数线的应用，属基础题.
8．已知，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，故可得，由指数函数和幂函数的单调性即可比较大小.
【详解】因为，故可得，
根据指数函数是单调减函数，
可得，即可得；
根据幂函数是单调增函数，
可得，即可得
综上所述：.
.
【点睛】本题考查正弦函数和余弦函数在区间上的大小关系，以及指数函数和幂函数的单调性，属综合中档题.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．和有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上
【答案】AD
【分析】根据三角函数线的定义即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A，单位圆中，一定时，单位圆中的正弦线一定，所以A正确．
对于B，与有相同的正弦线，但，所以B错
对于C，和的余弦线相反，所以C错，
对于D，一三象限角的正切线相同，二四象限角的正切线相同，即具有相同正切线的两个角终边一定在同一条直线上，所以D正确．
D
10．（23-24高一下·浙江杭州·开学考试）下列不等式中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】CC
【分析】利用诱导公式及三角函数的单调性判断A、B，利用三角函数线证明当时，即可判断C、D.
【详解】对于A：，
，所以，故A错误；
对于B：因为，且在上单调递增，在上单调递减，
所以，又，
所以，故B正确；
对于C、D：首先证明当时，
构造单位圆，如图所示：
则，设，则，
过点作直线垂直于轴，交所在直线于点，
由，得，所以，
由图可知，
即，
即，
所以，，故C正确，D错误；
C
11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
【答案】AD
D．
三、填空题
12．函数ylg(2sinx－1)＋的定义域为 .
【答案】
【分析】要使函数有意义，则有，由三角函数线可得不等式组的解集，即得原函数的定义域.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，考查利用三角函数线解不等式，属于基础题.
13．已知角，则的大小关系为 ．
【答案】/
【分析】在单位圆中画出角并确定正弦线、正切线，即可判断大小关系.
【详解】如下图示，在单位圆中，轴，轴，且，
所以，，，
△的面积，
扇形的面积，
△的面积，
由图知：，故.
故答案为：
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课程标准 学习目标
1．了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切．(重点) 2．能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题． 1．通过三角函数线概念的学习，培养学生的数学抽象和直观想象核心素养． 2．借助三角函数线的应用，培养学生的逻辑推理及直观想象核心素养.
知识点01 正弦线与余弦线
1、单位圆与三角函数：在平面直角坐标系中，坐标满足的点做成的集合，角的终边与单位圆相交于点，如图，
则，，，则角的终边与单位圆的交点为
2、三角函数线综合图示
（1）过角的终边与单位圆的交点作轴的垂线，垂足为；
（2）角的终边（或其反向延长线）与直线交于点。
3、正弦线的定义：为角的正弦线
的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且；
的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。
4、余弦线的定义：为角的余弦线
的方向与轴的正方向相同时，表示是正数，且；
的方向与轴的正方向相反时，表示是负数，且。
【即学即练1】（2024高一上·江苏·专题练习）如图，在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是（ ）
A．正弦线为，正切线为
B．正弦线为，正切线为
C．正弦线为，正切线为
D．正弦线为，正切线为
知识点02 正切线
1、正切线的定义：为角的正切线
当角的终边在第二、三象限或轴的负半轴上，终边与直线没有交点，但终边的反向延长线与有交点，而且交点的纵坐标也正好是角的正切值。
2、三角函数线的特征
（1）位置：三条三角函数线中有两条在以坐标为原点的单位圆内，一条以坐标原点为圆心的单位圆外；
（2）方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向轴上的垂足；正切线由切点指向切线与的终边（或其反向延长线）的交点；
（3）正负：三条三角函数线的正负可简记为“同向为正，反向为负”；
（4）书写：起点（比如点）在前，终点（比如点）在后，写为
【即学即练2】（24-25高一上·全国·随堂练习）角和角有相同的（ ）
A．正弦值 B．余弦值 C．正切线 D．不能确定
题型01 三角函数线的作法
【典例1】（24-25高一上·全国·课前预习）作出下列各角的正弦线、余弦线与正切线.
(1)；
(2).
【变式1】（24-25高一上·上海·课前预习）请作出下列各角的正弦线：
(1)；
(2)；
(3).
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，在单位圆中角θ的正弦线、余弦线、正切线分别是，则它们的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型02 利用三角函数线比较大小
【典例2】（（24-25高一上·全国·课后作业）把，，，由小到大排列为 ．
【变式1】（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）已知，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若，是第一象限角，则
B．若，是第二象限角，则
C．若，是第三象限角，则
D．若，是第四象限角，则
【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）利用正弦线比较的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（23-24高一下·北京·期中）若，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型03 利用三角函数线解不等式
【典例3】（24-25高一下·广西北海·期中）在上，使不等式不成立的x的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（2024高一·全国·专题练习）使不成立的x的一个变化区间是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】若，且，，利用三角函数线，得到的取值范围是 .
【变式3】（23-24高一下·上海·假期作业）（1）已知，求：满足条件的角的取值范围；
（2）已知，求：满足条件的角的取值范围；
题型04 利用三角函数线证明不等式
【典例4】（24-25高一上·上海·课后作业）应用单位圆证明：若，则.
【变式1】（2024高一·上海·专题练习）若，证明：
(1)；
(2).
题型05 新定义问题
【典例5】（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数，正割函数，余割函数，正矢函数，余矢函数.如图角始边为轴的非负半轴，其终边与单位圆交点，、分别是单位圆与轴和轴正半轴的交点，过点作垂直轴，作垂直轴，垂足分别为、，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线分别交的终边于、，其中、、、为有向线段，下列表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1】（23-24高一下·湖北·期末）如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．已知角的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则的终边在（ ）
A．第一象限的角平分线上
B．第四象限的角平分线上
C．第二、第四象限的角平分线上
D．第一、第三象限的角平分线上
2．如图，已知点A是单位圆与x轴的交点，角的终边与单位圆的交点为P，PM⊥x轴于M，过点A作单位圆的切线交角的终边于T，则角的正弦线 余弦线 正切线分别是（ ）
A．有向线段OM，AT，MP B．有向线段OM，MP，AT
C．有向线段MP，AT，OM D．有向线段MP，OM，AT
3．（23-24高一下·上海·假期作业）若，，则，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．不能确定
4．如果，则角与的终边除了可能重合外，还有可能（ ）
A．关于轴对称 B．关于轴对称
C．关于直线对称 D．关于原点对称
5．在上，利用单位圆，得到不成立的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．,,的大小关系是
A． B．
C． D．
7．若0<α<2π，且sinα<，cosα>，则角α的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．∪
8．已知，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．一定时，单位圆中的正弦线也一定 B．在单位圆中，有相同正弦线的角相等
C．和有相同的余弦线 D．具有相同正切线的两角的终边在同一条直线上
10．（23-24高一下·浙江杭州·开学考试）下列不等式中，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心的圆与x轴正半轴交于点．已知点在圆O上，点T的坐标是，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．，则 D．若，则
三、填空题
12．函数ylg(2sinx－1)＋的定义域为 .
13．已知角，则的大小关系为 ．
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