第05讲 同角三角函数的基本关系式
课程标准 学习目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用； 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。 1.通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养； 2.通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养。
知识点01 同角三角函数基本关系式
1、平方关系
（1）公式：
（2）文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系
（1）公式：
（2）文字描述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切
【解读】（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都不成立，即与角的表达形式无关，如不成立，但是就不一定不成立．
（2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒不成立，而仅对不成立．
【即学即练1】（24-25高一上·天津·月考）已知，是第二象限角，则=
知识点02 常用等价变形
平方关系变形
商数关系变形
【解读】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．
【即学即练2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，则 ．
题型01 sinα、cosα、tanα知一求二
【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求，的值；
（2）已知，，求的值．
【变式1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，θ是第三象限角， 则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高二下·云南·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知是第三象限角，且 ，则 .
【变式4】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，且则 .
题型02 根据条件等式求正余弦
【典例2】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高三上·福建泉州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（23-24高一下·上海·期末）若，且，则 ．
题型03 根据平方关系求参数
【典例3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 .
【变式1】（24-25高三上·河南安阳·期中）当时，若存在实数，使得不成立，则实数的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ．
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ．
【变式4】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值.
题型04 正余弦齐次式的应用
【典例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知， 则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【变式2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 .
【变式4】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，求及的值.
题型05 sinα·cosα、sinα±cosα知一求二
【典例5】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（23-24高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α为锐角，且则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
题型06 三角函数式的化简求值
【典例6】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：，其中是第二象限角；
（2）化简：.
题型07 三角函数式的证明
【典例7】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：
(1)；
(2)．
【变式1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求证：
(1)；
(2).
【变式2】（24-25高一·全国·随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【变式3】（23-24高一上·江苏·课后作业）求证：.
【变式4】（24-25高一·全国·单元测试）求证:.
一、单选题
1．（24-25高三上·江西·阶段练习）若，则=（ ）
A． B．5 C． D．
2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三·全国·专题练习）若，α为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知为第二象限角，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．（23-24高一上·上海·期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C．2 D．
7．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，且为第三象限角，则（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
9．（24-25高一上·全国·课后作业）（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
10．（24-25高一下·河南南阳·期中）的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若α为第一象限角，则
12．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角的终边过点，则 .
14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 .
15．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知，且，则 ．
四、解答题
16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的方程的两个根．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
17．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
18．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值.
（2）已知，计算的值.
（3）已知，求（结果用表示）
19．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）化简：.
（2）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值.
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课程标准 学习目标
1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用； 2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。 1.通过推导三角函数的基本关系，培养逻辑推理等核心素养； 2.通过同角三角函数基本关系的应用，提升数学运算等核心素养。
知识点01 同角三角函数基本关系式
1、平方关系
（1）公式：
（2）文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1
2、商数关系
（1）公式：
（2）文字描述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切
【解读】（1）“同角”有两层含义，一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都不成立，即与角的表达形式无关，如不成立，但是就不一定不成立．
（2）是的简写，读作“的平方”，不能将写成，前者是的正弦的平方，后者是的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写．
（3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的，对一切恒不成立，而仅对不成立．
【即学即练1】（24-25高一上·天津·月考）已知，是第二象限角，则=
【答案】
【解析】由，是第二象限角，得，
所以.
知识点02 常用等价变形
平方关系变形
商数关系变形
【解读】使用变形公式，时，“±”由的终边所在的象限来确定，而对于其他形式的变形公式则不必考虑符号问题．
【即学即练2】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，则 ．
【答案】
【解析】由两边平方得：.
故答案为：.
题型01 sinα、cosα、tanα知一求二
【典例1】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）已知，求，的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）答案见解析；（2）
【分析】利用同角公式和弦切互化公式，结合不同象限角的三角函数符号来求值即可.
【详解】因为，且，所以是第二或第三象限的角．
当是第二象限角时，有，．
当是第三象限角时，同理有 ，．
由已知得
由①得，代入②得，
所以．又，所以，所以．
【变式1】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）若，θ是第三象限角， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平方关系求得，再结合正切公式运算求解即可.
【详解】因为θ是第三象限角，则，
所以.
.
【变式2】（23-24高二下·云南·期末）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】由，，
得，
所以.
.
【变式3】（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知是第三象限角，且 ，则 .
【答案】
【分析】利用三角函数同角基本关系式求解即可.
【详解】因为，且是第三象限角，
所以，，
所以.
故答案为：.
【变式4】（24-25高一上·北京·阶段练习）已知，且则 .
【答案】
【分析】根据同角关系即可求解.
【详解】由可得，
由于，故，
故，
故答案为：.
题型02 根据条件等式求正余弦
【典例2】（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接由平方关系以及商数关系化简求解即可.
【详解】由题意，所以，
化简得，因为，所以，
所以，解得.
.
【变式1】（23-24高三上·福建泉州·期末）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数关系和范围即可解出，则得到答案.
【详解】因为，则，结合，
解得，则，
.
【变式2】（23-24高三上·安徽六安·阶段练习）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系求出、，即可得解.
【详解】因为，
所以，
即，即，
显然，所以，则，
又，所以，
所以.
【变式3】（23-24高一下·上海·期末）若，且，则 ．
【答案】/
【分析】由已知条件结合平方和关系求出和即可求.
【详解】因为，所以，
又即，
故由平方和关系得即，
所以即，故，
所以.
故答案为：.
题型03 根据平方关系求参数
【典例3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，则实数k的值为 .
【答案】0或1
【分析】运用同角三角函数关系式，结合正余弦值域解题即可
【详解】由于，．根据题意得到：
，即，解得.
满足,则k的值为0或1.
故答案为：0或1.
【变式1】（24-25高三上·河南安阳·期中）当时，若存在实数，使得不成立，则实数的最小值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．16
【答案】A
【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值.
【详解】因为，所以.
由，得.
所以，
当且仅当，即时等号不成立，
所以实数的最小值为16.
.
【变式2】（23-24高一上·江苏盐城·期末）若，，则 ．
【答案】0或
【分析】根据，代入整理求解得出的值，进而得出的值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，，
整理可得，，解得或.
当时，，，；
当时，，，.
综上所述，或.
故答案为：0或.
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 ．
【答案】或
【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值.
【详解】由，可得或，
当时，，，故；
当时，，，故.
故答案为：或
【变式4】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，，其中，求的值.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的基本关系式列方程，求得的可能取值，根据为第二象限角求得的值.
【详解】解：由，
易得，
解得或1.
由，所以
①当时，，，不合题意，舍去；
②当时，，，符合题意.
综上，.
题型04 正余弦齐次式的应用
【典例4】（24-25高一上·广东惠州·阶段练习）已知， 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】因为，
所以.
【变式1】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
【答案】D
【分析】根据弦切互化求出，即可代入求解.
【详解】，解得，故.
【变式2】（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
【答案】A
【分析】根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可.
【详解】对于函数（且），当时，，即，
因为点A在角θ的终边上，
所以，
于是，
【变式3】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则 .
【答案】1
【分析】利用同角的三角函数关系式，将弦的齐次式化成正切，代入计算即得.
【详解】由.
故答案为：1.
【变式4】（24-25高一上·天津·阶段练习）已知，求及的值.
【答案】；.
【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解.
【详解】由，得；
.
题型05 sinα·cosα、sinα±cosα知一求二
【典例5】（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，所以，
又，
所以..
【变式1】（23-24高一上·广东汕头·期末）（多选）已知α为锐角，且则下列选项中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】DD
【解析】因为，所以，而α为锐角，所以，故A错误；
由，两边平方可得，故C正确；
因为α为锐角，
所以，故D正确；
由，故B错误.D
【变式2】（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）（多选）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则，
由，得，即，
解得，则，解得，故A错误；
对于B，，
因为，所以，又，所以，
则，因此，故B正确；
对于C，由，解得，
则，故C错误；
对于D，，故D正确；
D.
【变式3】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】由题意知，平方求得，结合，化简得到，进而逐项判定，即可求解.
【详解】因为，所以，
可得，
因为，所以，所以，则，
又由，所以，故D正确；
联立方程组，解得，故A、B正确，
由，故C错误.
BD.
题型06 三角函数式的化简求值
【典例6】（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化切为弦利用同角三角函数的平方关系化简得，然后根据角的范围判断，即可得解.
【详解】因为，所以，
所以，又，，则，
所以.
【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用的关系和题中条件即可求得的值，进而得到的值.
【详解】因为，且，
设，则且，
∴，
∴，即，解得（舍）或，
∴，即异号，
∴.
.
【变式2】（24-25高一上·全国·课后作业）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角关系凑出平方关系去掉根号，结合范围即可求解.
【详解】易知，
故.
【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用平方关系配方和开方，结合角的象限可确定符号，即可得解.
【详解】因为，则，
故原式，
．
【变式4】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）化简：，其中是第二象限角；
（2）化简：.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系以及象限符号即可得出答案；
（2）利用同角三角函数的关系化简计算即可.
【详解】（1）因为是第二象限角，所以，
则；
（2）
.
题型07 三角函数式的证明
【典例7】（23-24高一·上海·课堂例题）证明下列恒等式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见详解
(2)证明见详解
【分析】（1）由左边，利用同角间正弦、余弦的关系，化简变形即可的证；
（2）由右边，展开，利用同角间正弦、余弦的关系，化简后分解因式，即可得到左边，恒等式的证.
【详解】（1）左边
右边.
则恒等式不成立.
（2）右边
左边.
则恒等式不成立.
【变式1】（23-24高一上·甘肃兰州·期末）求证：
(1)；
(2).
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用平方关系和商关系可证结论；
（2）利用平方关系可证结论.
【详解】（1）证明：左边=
=右边.
（2）证明：左边= =右边.
【变式2】（24-25高一·全国·随堂练习）求证：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用平方差公式及证明.
（2）利用提取公因式及证明.
（3）利用通分，因式分解等式的运算结合证明.
【详解】（1）.
故不成立.
（2）
故不成立.
（3）
.
故不成立.
【变式3】（23-24高一上·江苏·课后作业）求证：.
【答案】证明见解析
【分析】应用作差法，结合同角三角函数平方关系化简求值，即可证结论.
【详解】∵，
∴.
【变式4】（24-25高一·全国·单元测试）求证:.
【答案】证明见解析
【分析】方法一：先将左侧分式通分，分子分母同时乘以2，结合平方关系式将分母整理成完全平方的形式，再化简求值.
方法二：在等式的左侧同时乘以，创造右侧的分母，然后把所乘代数式的分子与左侧代数式的分子相乘，再化简计算得出结果.
【详解】方法一:左边=
=
=
=
=
=右边.
方法二:左边
=
=
=
=
=
=右边.
一、单选题
1．（24-25高三上·江西·阶段练习）若，则=（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用齐次式法列式求出.
【详解】由，得，所以.
2．（25-26高一上·全国·课后作业）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用同角三角函数关系中平方和关系进行求解即可.
【详解】因为，
所以．
3．（2024高三·全国·专题练习）若，α为第四象限角，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角的三角函数的平方关系可求解.
【详解】因为，为第四象限角，所以.
.
4．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）已知为第二象限角，则的值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先根据角所在象限得到，，进而化简求值．
【详解】是第二象限角，
，，故．
．
5．（23-24高一上·上海·期末）若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值.
【详解】因为，则，所以，.
.
6．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系结合计算，并且需要分类讨论．
【详解】且，
，
又，
，
解得：或，
当，则，则；
当，则（舍去）；
．
7．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得，可求得，进而可求的值.
【详解】因为，所以，又，所以，
所以，
又，
所以.
.
8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知，且为第三象限角，则（ ）
A．2 B．3 C．或3 D．2或
【答案】A
【分析】利用同角三角函数之间的基本关系以及角的范围计算可得结果.
【详解】易知，
整理可得，解得或，
又为第三象限角，可得，即，（舍去）；
9．（24-25高一上·全国·课后作业）（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据，代入化简求解.
【详解】原式
.
二、多选题
10．（24-25高一下·河南南阳·期中）的值可能为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】CD
【分析】根据角所在的象限分类讨论即可.
【详解】因为，
所以且，
若在第一象限，则，故原式，
若在第二象限，则，原式，
若在第三象限，则，原式，
若在第四象限，则，原式
D
11．（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）下列计算或化简结果正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若α为第一象限角，则
【答案】AD
【分析】由同角三角函数的商数关系可判断A、D，由同角三角函数的商数关系结合平方关系可判断B，由三角函数的符号可判断C.
【详解】对于A，，A正确，,；
对于B，，B不正确，；
对于C，∵的范围不确定，∴的符号不确定，故C不正确．
对于D，∵α为第一象限角，
∴原式，D正确．
D.
12．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）设，已知，是方程的两根，则下列等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得关于，的方程，结合同角三角函数的关系，完全平方公式，平方差公式，逐项判断即可.
【详解】对于A，由题意，，是方程的两根，则，
由，得，即，
解得，则，解得，故A错误；
对于B，，
因为，所以，又，所以，
则，因此，故B正确；
对于C，由，解得，
则，故C错误；
对于D，，故D正确；
D.
三、填空题
13．（24-25高一上·全国·课后作业）已知角的终边过点，则 .
【答案】
【分析】由三角函数的定义求得，然后将齐次式化简求解即可.
【详解】由题得，
.
故答案为：.
14．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则 .
【答案】
【分析】根据同角三角函数的关系求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
又，
则，故.
故答案为：.
15．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知，且，则 ．
【答案】
【分析】利用同角三角函数的平方关系计算即可.
【详解】由可知，
又
，即，
则，
所以，
故.
故答案为：.
四、解答题
16．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知是关于的方程的两个根．
(1)求实数的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）计算，根据韦达定理结合同角三角函数的关系式，可得，求解可得答案；
（2）根据同角三角函数的关系式化简，代入数据计算即可．
【详解】（1）∵是关于的方程的两个根，
∴，解得或，
由韦达定理得，
∵，
解得或（舍），
故．
（2）
．
17．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）（1）已知，在第二象限，求，的值；
（2）已知，求的值；
【答案】（1），；（2）
【分析】（1）利用三角函数的基本关系式即可得解；
（2）利用正余弦的齐次式法即可得解.
【详解】（1）因为，在第二象限，
所以，；
（2）因为，
所以.
18．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值.
（2）已知，计算的值.
（3）已知，求（结果用表示）
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）首先根据题意得到，再根据求解.
（2）根据已知条件得到，再根据求解.
（3）根据已知条件得到，再根据求解.
【详解】由角的终边经过点，可知，
则可得.
（2）由，化简得，因此.
所以.
（3），
所以.
19．（24-25高一上·江苏·阶段练习）（1）化简：.
（2）已知是第三象限角，且是方程的一个实根，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用平方关系计算可得；
（2）依题意可得，再求出，最后由同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得.
【详解】（1）
；
（2）因为是第三象限角，所以，
又是方程的一个实根，由，解得，，
所以，
所以
.
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