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7.2.2 平行线的判定
学习目标
运算能力：在丰富的现实情境中进一步了解两条直线的平行关系,掌握有关的符号表示.
推理能力：在实践操作中,探索并了解平行线的判定方法1，2，3.
自主探索
任务一 平行线的判定方法1
活动1 我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法.
画出一条直线b和直线外一点A，过点A画出直线a，使a∥b.
思考: (1) 画图过程中，三角尺起着什么作用？什么角始终保持相等？
(2) 直线 a，b 位置关系如何？
总结：
判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果 相等，那么这两条直线平行.
简单说成： , .
【即时测评】
如图所示，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
任务二 平行线的判定方法2
活动2 如图所示，两条直线a,b被直线c所截.除去同位角外，还有哪些关系的角？举例说明.
问题1 由∠1=∠2 可以得到 a∥b，依据是什么？
问题2 如果∠2 =∠3，能得出 a∥b 吗？
总结：
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果 相等，那么这两条直线平行.
简单说成： , .
【即时测评】
根据条件完成填空.
(1)因为∠2 = ∠6 (已知)，所以 ∥ . ( ).
(2)因为∠3 = ∠5 (已知)，所以 ∥ . ( ).
(3)因为∠4 = (已知)，所以 AB∥CD. ( ).
任务三 平行线的判定方法3
活动3 如图所示，如果∠1+∠2 = 180°，能得出 a∥b 吗？
总结：
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角 ，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角 ，两直线平行.
【即时测评】
1.如图所示，铺设水管至拐角处，要用弯形管ABCD，测得拐角∠ABC＝109°，∠BCD＝71°，则说明AB∥CD，其依据是 ．
2.如图所示，四边形ABCD中，当∠A+ =180°时AD∥BC，当∠A+ =180°时AB∥CD.
【范例应用】
例1 同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，这两条直线平行吗？为什么？
例2 如图所示，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC延长线 上一点.
（1）如果∠B=∠DCG,可以判断哪两条直线平行？为什么？
（2）如果∠D=∠DCG,可以判断哪两条直线平行？为什么？
（3）如果∠D+∠DFE=180°,可以判断哪两条直线平行？为什么？
当堂达标
1. 如图所示,已知∠1=70°,要使AB∥CD,则需具备另一个条件是( )
A.∠2=70° B.∠2=100° C.∠2=110° D.∠3=110°
2.如图所示,不能推出a∥b的条件是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠4 C.∠2=∠3 D.∠2+∠3=180°
3.如图所示.(1)如果∠C+ =180°，那么DE∥BC；
(2)如果∠B= ,那么DE∥BC.
4.如图所示,请根据图形填空.
∵∠1+∠2=180°(已知),
∴a∥ ( );
∵∠2=∠3(已知),
∴b∥ ( ).
∴a∥c( ).
5.如图所示，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A=∠FEC,试说明CD∥EF．
参考答案
当堂达标
1.C 2.C 3.(1)∠CAD (2)∠BAD
4.b 同旁内角互补,两直线平行 c 同位角相等,两直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行
5.解：因为AB⊥BG，CD⊥BG，
所以∠B+∠CDB=180°，
所以AB∥CD，
因为∠A=∠FEC，
所以AB∥EF，
所以CD∥EF．
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7.2.2 平行线的判定
课标摘录 1.掌握平行线基本事实Ⅱ:两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 2.探索并证明平行线的判定定理:两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等(或同旁内角互补),那么这两条直线平行.
教学目标 1.掌握平行线的判定方法1、2、3,能灵活地选用平行线的判定方法进行说理. 2.经历探究直线平行的条件的过程,领悟归纳、演绎、类比和转化的数学思想方法以及数学公理化的方法. 3.在自主探索和合作交流的过程中,丰富学生的基本活动经验,培养学生实事求是的科学态度,培养学生学习数学的兴趣.
教学重难点 重点:理解直线平行的判定方法1、2、3,并会根据判定方法进行简单的推理应用. 难点:平行线判定方法的灵活运用和其推导过程中的转化思想的认识.
教学策略 教学中通过回顾用直尺和三角尺过一点作已知直线的平行线,引导学生发现该平行线作图方法的原理,从而自发感悟出平行线的判定方法1,再由同位角开始,循序渐进地探讨平行线的判定方法2和判定方法3,通过练习巩固所学新知,灵活运用平行线的三种判定方法解决问题,并在此过程中训练学生的推理能力和逻辑思维能力.
情境导入 回顾思考 问题1:两条不重合的直线的位置关系有哪几种 问题2:上节课你学了平行线的哪些知识 一个长方形工件,如果需要检验它是否符合设计要求,除了度量它的长和宽的尺寸外,还要检查各面的长宽是否分别平行.根据平行线的定义,如果平面内的两条直线不相交,就可以判断这两条直线平行.但是,由于直线无限延伸,检验它们是否相交有困难,所以难以直接根据两条直线不相交来判断它们是否平行.那么,有没有其他的判定方法呢 设计意图:通过展示日常生活中的实例,让学生认识到用平行线的定义来解决两直线平行关系的困难性,从而激发探求新的判断两直线平行方法的需求.
新知初探 探究一 探究平行线的判定方法1 活动1 我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法. 在练习本上画出一条直线b和直线外一点A,过点A画出直线a,使a∥b. 思考: (1)画图过程中,三角尺起着什么作用 哪个角始终保持相等 师生活动:学生独立完成平行线作图;在教师的引导下,画出三角尺的平移轨迹(如图所示,直线AB),并观察三角尺的作用;小组讨论后,选代表回答问题. (2)直线a,b位置关系如何 追问:∠1和∠2是一对什么关系的角 根据用三角尺和直尺画平行线的过程,你能得出平行线的一个判定方法吗
归纳总结:见课件. 【即时测评】见课件、导学案. 探究一 意图说明 通过独立画图,在实践中观察分析,培养学生的自主学习能力,通过设问引导学生发现该平行线作图方法的原理,从而自发感悟出平行线的判定方法,发展知其然更知其所以然的好奇心和创新精神.通过设计一个实际问题,进一步理解平行线的判定方法1,既让学生感受到生活处处有数学,又能使学生利用已有的知识解决问题,体会到成功的喜悦. 探究二 探究平行线的判定方法2 活动2 如图所示,两条直线a,b被直线c所截.除去同位角外,还有哪些关系的角 举例说明. 问题1:由∠1=∠4可以得到a∥b,依据是什么 问题2:如果∠1=∠2,能得出a∥b吗 教师引导学生分析问题:要证明a∥b,就要证明∠1=∠4;已知∠1=∠2,又∠2=∠4,那么将其转化成同位角相等,即可判定两直线平行. 由学生独立完成求解过程,教师指导使用几何语言. 追问:根据以上问题的解决,你能得出平行线的另一个判定方法吗 归纳总结:见课件. 【即时测评】见课件、导学案. 探究二 意图说明 用问题串的方式,帮助学生分析问题,学生在教师的引导下,运用转化的思想把新知一步步转化成旧的问题解决,注重培养这种思想来解决推理论证的问题,进而培养学生初步的逻辑推理的能力.学生此时的证明基础很少,要细心帮助学生建立证明方面的思维逻辑. 探究三 探究平行线的判定方法3 活动3 如图所示,如果∠1+∠3=180°,能得出a∥b吗 请分组讨论. 师生活动:学生独立思考并完成证明,选一位学生板书;完成证明后分组讨论,选派代表回答问题,教师完成总结. 追问:通过问题的解决你能得出平行线的另一种判定方法吗 归纳总结:见课件. 【即时测评】见课件、导学案. 探究三 意图说明 采用探讨问题的方式,引导学生去发现利用同旁内角判定两条直线平行;课堂上教师有意识地引导学生这样分析和思考,根据平行线的判定方法1或平行线的判定方法2来推出平行线的判定方法3.对学生进行说理训练,包括后面例题的设计都是要求学生能进行一些简单推理,而不仅仅是观察、实验、探究得出一些结论. 【例1】见教材P14例1或课件、导学案. 师生活动:学生独立思考,举手作答,师生交流心得和方法. 追问1:你能用3种不同的方法说明b∥c吗 追问2:根据以上问题,你能用数学语言说明你得到的结论吗 归纳总结:同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
设计意图:学生通过观察直角的特殊性,发现平行线判定定理的推论,培养观察总结能力和推理能力.学生在证明过程中规范证明步骤,在解题中获得成就感和自信心,培养发散性思维,能够灵活运用多种判定方法解决实际问题. 【例2】见教材P14练习题1或课件、导学案. 追问:由两个角的关系判断两条直线平行,体现了一种什么样的数学思想 为什么
当堂达标 见课件、导学案
课堂小结 1.本节课你学习了哪些判定两直线平行的方法 2.你认为判断两直线平行的关键是什么 说出你的看法. 3.通过判定两直线平行你学到了怎样的数学思想方法 4.本节课你还有哪些疑惑
板书设计 7.2.2 平行线的判定 平行线的判定两直线平行
教学反思
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第7章 相交线与平行线
7.2.2 平行线的判定
学习目标
运算能力：在丰富的现实情境中进一步了解两条直线的平行关系,掌握有关的符号表示.
推理能力：在实践操作中,探索并了解平行线的判定方法1，2，3.
情境导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂达标
叁
新知初探
贰
情境导入
壹
情境导入
问题1 在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系有哪几种？
问题2 怎样的两条直线平行？
问题3 上节课你学了平行线的哪些内容？
相交（包括垂直）和平行两种.
在同一平面内，不相交的两条直线平行.
2.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.
1.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
回顾与思考
一个长方形工件,如果需要检验它是否符合设计要求,除了度量它的长和宽的尺寸外,还要检查各面的长宽是否分别平行.
有没有其他判定方法呢？
能根据平行线的定义进行判定吗？
新知初探
贰
新知初探
任务一 平行线的判定方法1
●
一、放
二、靠
三、推
四、画
我们已经学习过用三角尺和直尺画平行线的方法.
b
A
2
1
a
B
（1）画图过程中，三角尺起着什么作用？什么角始终保持相等？
（2）直线 a，b 位置关系如何？
思考
(3) 将其最初和最终的两种特殊位置抽象成几何图形：
1
2
l2
l1
A
B
(4) 由上面的操作过程，你能发现判定两直线平行的方法吗？
判定方法1：两条直线被第三条直线所截 ,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
几何语言：
因为∠1=∠2(已知)，
所以l1∥l2 ，（同位角相等，两直线平行）
1
2
l2
l1
A
B
总结归纳
即时测评
同位角相等，两直线平行
你能说出木工师傅用图中这种角尺的工具画平行线的道理吗？
任务二 平行线的判定方法2
活动2 如图所示，两条直线a,b被直线c所截.除去同位角外，还有哪些关系的角？举例说明.
2
b
a
1
3
4
c
问题1 由∠1=∠2 可以得到 a∥b，依据是什么？
问题2 如果∠2 =∠3，能得出 a∥b 吗？
2
b
a
1
3
4
c
解：因为 1 = 3 (对顶角相等)，
3 = 2（已知），
所以 1 = 2.
所以 a∥b(同位角相等，直线平行).
判定方法2：两条直线被第三条直线所截 ,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
因为∠3=∠2(已知)
所以a∥b（内错角相等，两直线平行）
总结归纳
2
b
a
1
3
4
c
几何语言：
即时测评
根据条件完成填空.
(1)因为∠2 = ∠6 (已知)，
所以 ∥ . ( )
(2)因为∠3 = ∠5 (已知)，
所以 ∥ . ( )
(3)因为∠4 = (已知)，
所以 AB∥CD. ( )
同位角相等，两直线平行
AB
CD
AB
CD
∠6
内错角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
任务三 平行线的判定方法3
活动3 如图所示，如果 1+ 2=180° ，能得出a//b吗
解:能,
因为 1+ 2=180°（已知）
1+ 3=180°（邻补角定义）
所以 2= 3（同角的补角相等）
所以 a//b （同位角相等，两直线平行）
c
2
b
a
1
3
判定方法3：两条直线被第三条直线所截 ,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
2
b
a
1
3
因为∠1+∠2=180°(已知)
所以a∥b（同旁内角互补，两直线平行）
总结归纳
几何语言：
即时测评
1.如图所示，铺设水管至拐角处，要用弯形管ABCD，测得拐角∠ABC＝109°，∠BCD＝71°，则说明AB∥CD，
其依据是 ．
2.如图所示，四边形ABCD中，当∠A+ =180°时AD∥BC，当∠A+ =180°时AB∥CD.
∠D
∠B
同旁内角互补，两直线平行
例1 在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线，
这两条直线平行吗？为什么？
a
b
c
b⊥a,c⊥a
b∥c
？
垂直与直角联系在一起，你能得到哪些角的关系？
范例应用
解：这两条直线平行.
理由：如图所示，
∵ b⊥a,c⊥a(已知)
∴∠1=∠2=90°(垂直定义)
∴b∥c(同位角相等，两直线平行)
a
b
c
1
2
你还能利用其他方法说明b//c吗？
（3）如果∠D+∠DFE=180°,可以判断哪两条直线平行？为什么？
例2 如图所示，E是AB上一点，F是DC上一点，G是BC延长线上一点.
（1）如果∠B=∠DCG,可以判断哪两条直线平行？
为什么？
（2）如果∠D=∠DCG,可以判断哪两条直线平行？
为什么？
A
B
D
C
E
F
G
解 :(1)AB//CD, 同位角相等，两直线平行；
(2)AD//BC, 内错角相等，两直线平行；
(3)AD//EF, 同旁内角互补，两直线平行.
范例应用
当堂达标
叁
当堂达标
1. 如图所示,已知∠1=70°,要使AB∥CD,
则需具备另一个条件是( )
A.∠2=70° B.∠2=100°
C.∠2=110° D.∠3=110°
2.如图所示,不能推出a∥b的条件是( )
A.∠1=∠3 B.∠2=∠4
C.∠2=∠3 D.∠2+∠3=180°
当堂达标
C
C
3.如图所示，(1)如果∠C+ =180°，那么DE∥BC；
(2)如果∠B= ,那么DE∥BC.
∠CAD
∠BAD
4.如图所示,请根据图形填空.
∵∠1+∠2=180°(已知),
∴a∥ ( );
∵∠1+∠3=180°(已知),
∴a∥ ( ).
∴b∥c( ).
b
c
同旁内角互补，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行于同一条直线的两直线平行
5.如图所示，AB⊥BG，CD⊥BG，∠A=∠FEC,试说明CD∥EF．
解：因为AB⊥BG，CD⊥BG，
所以∠B+∠CDB=180°，
所以AB∥CD，
因为∠A=∠FEC，
所以AB∥EF，
所以CD∥EF．
课堂小结
肆
课堂小结
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
在同一平面内
平行
课后作业
基础题：1.课后习题 第1、2题。
提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第3、4题(共16张PPT)
7.2.2 平行线的判定
预习导学
课堂互动
中档题
素养题
基础题
预习导学
1.利用同位角(判定方法1)
(1)内容:两条直线被第三条直线所截,如果同位角 ,那么这两条直线 ;
(2)简单说成:同位角 ,两直线 ;
(3)符号语言:如图(1)所示,
∵∠1=∠2,
∴ .
相等
图(1)
平行
相等
平行
AB∥CD
2.利用内错角(判定方法2)
(1)内容:两条直线被第三条直线所截,如果内错角 ,那么这两条直线 ;
(2)简单说成:内错角相等,两直线 ;
(3)符号语言:如图(1)所示,
∵∠1= ,∴AB∥CD.
相等
平行
平行
∠3
图(1)
3.利用同旁内角(判定方法3)
(1)内容:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线 ;
(2)简单说成:同旁内角互补,两直线 ;
(3)符号语言:如图(2)所示,
∵∠2+∠1=180°,∴AB∥CD.
平行
图(2)
平行
4.利用垂直
(1)内容:在同一平面内,如果两条直线都 于同一条直线,那么这两条直线 ;
(2)符号语言:
∵a⊥b,c⊥b,∴ ∥ .
垂直
平行
a
c
课堂互动
知识点一 同位角相等,两直线平行
例1 如图所示是小星探索两直线平行的条件时所用的学具,木条a,b,c在同一平面内,经测量∠1=65°,要使木条a∥b,则∠2的度数应为( )
A.25° B.55°
C.65° D.75°
C
知识点二 内错角相等,两直线平行
例2 如图所示,已知∠AED=62°,∠2=31°,EF平分∠AED,可以判断BD∥EF吗 为什么
知识点三 同旁内角互补,两直线平行
例3 如图所示,已知∠ABC=∠FCD=130°, ∠BCD=80°, ∠D=50°,试说明:AB∥ED.
解:∵∠FCD=130°, ∠D=50°,
∴∠FCD+∠D=180°.∴FC∥ED.
∵∠FCB=∠FCD -∠BCD =50°,
∠ABC =130°,∴∠ABC+∠FCB=180°.
∴FC∥AB.∴AB∥ED.
基础题
1.如图所示是一款教室护眼灯AB,用两根电线AC,BD吊在天花板EF上,已知∠ACD=90°,为保证护眼灯AB与天花板EF平行,下列条件中,正确的是( )
A.∠BDC=90° B.∠BDF=90°
C.∠BAC=90° D.∠ACE=90°
C
2.如图所示,下列不能判定AB∥CD的条件是( )
A.∠1=∠2
B.∠B+∠BCD=180°
C.∠3=∠4
D.∠B=∠5
3.如图所示,请你添加一个条件,使AB∥CD,这个条件是
.
A
∠CDA=∠DAB
(答案不唯一)
4.如图所示,已知∠1=∠2,AC平分∠DAB,试说明:DC∥AB.
解:∵AC平分∠DAB(已知),
∴∠1= (角平分线的定义).
又∵∠1=∠2(已知),
∴ = (等量代换).
∴DC∥AB( ).
∠CAB
∠CAB
∠2
内错角相等,两直线平行
中档题
5.(教材练习变式)如图所示,工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b,得到a∥b.理由是( )
A.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线互相平行
C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D.过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
B
6.如图所示,把AB,CD,EF三根木条钉在一起,使之可以在连接点P,Q处自由旋转,若∠1=70°,∠2=50°,则如何旋转木条CD,才能使它与木条AB平行( )
①把木条CD绕点P逆时针旋转20°;②把木条CD绕点P顺时针旋转160°.
A.①操作正确,②操作错误
B.①②操作都正确
C.①操作错误,②操作正确
D.①②操作都错误
B
素养题
7.(推理能力)如图所示,∠1=∠B,∠B+∠BFD=90°.
(1)若∠2=125°,求∠C的度数;
解:(1)∵∠1=∠B,∴CF∥EB,
∴∠C+∠2=180°.
又∵∠2=125°,∴∠C=55°.
(2)若∠1和∠D互余,判断AB与CD是否平行,并说明理由.
解:(2)平行,理由如下:
∵∠1=∠B,∠B+∠BFD=90°,
∴∠1+∠BFD=90°.
又∵∠1和∠D互余,即∠1+∠D=90°,
∴∠BFD=∠D,∴AB∥CD.
