2024--2025学年中考数学上第二轮专题复习 专题三 方程（组）与不等式的实际应用（含答案）

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2024--2025学年中考数学上第二轮专题复习
专题三 方程（组）与不等式的实际应用
方程（组）与不等式应用题以实际问题为背景，一般为生活中常见的分析决策问题，且情境真实、贴近学生生活。方程（组）与不等式应用题考查数学抽象和数学建模以及阅读能力，让学生学会把实际问题转化成数学问题，用数学符号建立方程（组）、不等式等表示数学问题中的数量关系，并设计出适当的解决问题的方案，培养应用意识和模型思想，提高解决实际问题能力。
一、知识总结
建立方程、不等式模型解决问题的一般步骤：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式，结合实际确定最优方案．
二、真题演练
1．[2024年山西中考真题]为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
2．[2024年山西中考真题]当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加，科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
3．[2023年山西中考真题]风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.
（1）1个A部件和1个B部件的质量分别是多少？
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备？
4．[2022年山西中考真题]2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.6元.若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费.
5．[2021年山西中考真题]2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
6．[2021年山西中考真题]太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟.求走路线一到达太原机场需要多长时间.
7．[2018年山西中考真题]2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南——北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.
8．[2024年北京中考真题]为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
9．[2024年江苏连云港中考真题]我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
10．[2024年安徽中考真题]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元.问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
11．[2024年江西中考真题]如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚.
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
12．[2024年陕西中考真题]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间.
13．[2024年河南中考真题]为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
14．[2022年山西中考真题]某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价___________元.
三、中考预测
预测2025年中考中这部分内容的以考查一元一次方程（组）实际应用、分式方程实际应用、一元二次方程应用为重点，综合应用综合应用方程与不等式，注重在实际情境中对学生解决实际问题的考查，注重学生思维认知能力的考查。1．为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积.
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成.
哪一种方案的施工费用最少？
2．根据以下素材,探索完成任务.
素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷.图②是其侧面示意图,已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上,篷面安装点A离地面4米,篷面与墙面的夹角,篷面宽米.除此之外,为了保障遮阳篷的稳定性,还加装了支架MN稳定篷面.支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上,位于点A的正下方,即点A,M,B共线；点N固定在篷面上离A点1米处(点A,N,D共线),即米,支架MN与墙面的夹角.
素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角(太阳光线与地面的夹角)的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值432.52
素材3 宁宁养了一株龙舌兰(图③),该植物喜阳,所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方,以保证龙舌兰有充足的光照,如图②,这株龙舌兰摆放的位置记为点E.
任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长.
任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度.
任务3 判断能否照射到 这天14点,宁宁将龙舌兰摆放到点E处,为了保证龙舌兰能被太阳光照射到,请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围.
3．某科学研究实验基地内装有一段长的笔直轨道,现将长度为的金属滑块在上面往返滑动一次.如图,滑块首先沿方向从左向右匀速滑动,滑动速度为,滑动开始前滑块左端与点A重合,当滑块右端到达点B时,滑块停顿,然后再以小于的速度匀速返回,直到滑块的左端与点A重合,滑动停止.设滑动时间为时,滑块左端离点A的距离为,右端离点B的距离为.
(1)当时,的值为；
(2)记,d与t具有函数关系.已知整个滑动过程总用时(含停顿时间).
①滑块返回的速度为______；
②滑块从点B到点A的滑动过程中,求d与t的函数解析式(不写t的取值范围)；
③若,直接写出t的值.
4．某酒店有A，B两种客房、其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.
（1）求A，B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
5．根据以下学习素材,完成下列两个任务：
学习素材
素材一 某校组织学生去农场进行学农实践,体验草莓采摘、包装和销售.同学们了解到该农场在包装草莓时,通常会采用精包装和简包装两种包装方式.
素材二 精包装 简包装
每盒2斤,每盒售价25元 每盒3斤,每盒售价35元
问题解决
任务一 在活动中,学生共卖出了350斤草莓,销售总收入为4250元,请问精包装和简包装各销售了多少盒？
任务二 现在需要对50斤草莓进行分装,既有精包装也有简包装,且恰好将这50斤草莓整盒分装完,每个精包装盒的成本为2元,每个简包装盒的成本为1元.若要将购买包装盒的成本不超过20元,请你设计出一种符合要求的分装方案,并说明理由.
6．背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单,最快仅用时10分钟,便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点,这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕.从理想照进现实,低空经济如今从概念逐渐落地,成为城市新质生产力的一部分,助力深圳竞飞“低空经济第一城”.
素材1 某商店在无促销活动时,若买5件A商品,8件B商品,共需要2400元；若买8件A商品,5件B商品,共需2280元.
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务,开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡,商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品,一律按照标价的八折出售.
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时,求A,B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A,B两款商品共30件,其中A商品购买a件()；①若使用无人机配送商品,共需要_________元；②若不使用无人机配送商品,共需要_________元.(结果均用含a的代数式表示)；
任务3 请你帮该科技公司算一算,在任务2的条件下,购买A产品的数量在什么范围内时,使用无人机配送商品更合算？
7．小明一家为践行“低碳生活,绿色出行”,决定以骑行的方式去湖边游玩.已知小明骑单人自行车的速度比爸爸妈妈骑双人自行车速度快,小明骑行与爸爸妈妈骑行的时间相同.
(1)小明骑单人自行车的速度是多少？
(2)某自行车租赁商店计划购买单人自行车和双人自行车共40辆,已知每辆单人自行车和双人自行车的单价分别为200元、360元,若总费用不超过10000元,则该商店最多可购买多少辆双人自行车？
8．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示,载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
9．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车.新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需万元.
（1）求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
（2）经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次.公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过万元.为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值.
10．金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
燃油车油箱容积：升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：千瓦时电价：元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用：_____元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元.
分别求出这两款车的每千米行驶费用.
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元.问：每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用)
11．《花卉装点校园,青春献礼祖国》项目学习方案：
项目情景 国庆将至,向阳中学购买花卉装点校园,向祖国母亲生日献礼.同学们需完成了解花卉知识(包括花语等知识),购买花卉,插花,摆放盆栽等任务
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元,用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍
任务一 小组成员甲设用240元购买的A种花卉的数量为x,由题意得方程：①；小组成员乙设②,由题意得方程：
素材二 插花时,技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务,并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务二 求m的值
(1)任务一中横线①处应填________,横线②处应填________.
(2)完成任务二.
12．综合与实践
如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物,地块一边靠墙,另外三边用木栏围住,木栏总长为.
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若,能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题：
设为,为.由矩形地块面积为,得到,满足条件的可看成是反比例函数的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为,得到,满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标,同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标.
如图2,反比例函数()的图像与直线：的交点坐标为和______,因此,木栏总长为时,能围出矩形地块,分别为：,；或______m,______m.
(1)根据小颖的分析思路,完成上面的填空；
【类比探究】
(2)若,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法,在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______.
【问题延伸】
(3)当木栏总长为时,小颖建立了一次函数.发现直线可以看成是直线通过平移得到的,在平移过程中,求出直线与反比例函数()的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值.
13．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下,积极参加体育锻炼,阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动.学生坚持长跑,不仅能够帮助身体健康,还能够收获身心的愉悦.周末,小明和小齐相约一起去天府绿道跑步.若两人同时从A地出发,匀速跑向距离处的B地,小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍,那么小明比小齐早5分钟到达B地.
根据以上信息,解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后,小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息).据了解,从他跑步开始,前30分钟内,平均每分钟消耗热量10卡路里,超过30分钟后,每多跑步1分钟,平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里,在整个锻炼过程中,小明共消耗2300卡路里的热量,小明从A地到C地锻炼共用多少分钟.
14．项目化学习
项目主题：
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具,是指笔、墨、纸、砚,文房四宝之名,起源于南北朝时期.
项目背景：
某中学为丰富学生的课后服务活动,开设了书法社团,计划给学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”
驱动任务：
探究甲、乙两种型号的“文房四宝”的售价.
收集数据：
综合实践小组的同学到文具店进行数据收集,数据如下表：
第一次 第二次
甲型号“文房四宝”(套) 3 5
乙型号“文房四宝”(套) 5 2
需付款(元) 700 660
问题解决：
(1)求甲、乙型号“文房四宝”每套的售价；
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套,总费用不超过9000元,求最多可购买甲型号“文房四宝”的套数.
2024--2025学年中考数学上第二轮专题复习
专题三 方程（组）与不等式的实际应用（解析版）
方程（组）与不等式应用题以实际问题为背景，一般为生活中常见的分析决策问题，且情境真实、贴近学生生活。方程（组）与不等式应用题考查数学抽象和数学建模以及阅读能力，让学生学会把实际问题转化成数学问题，用数学符号建立方程（组）、不等式等表示数学问题中的数量关系，并设计出适当的解决问题的方案，培养应用意识和模型思想，提高解决实际问题能力。
一、知识总结
建立方程、不等式模型解决问题的一般步骤：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立方程模型、不等式(组)模型；
④解题，求解上述建立的方程、不等式，结合实际确定最优方案．
二、真题演练
1．[2024年山西中考真题]为加强校园消防安全，学校计划购买某种型号的水基灭火器和干粉灭火器共50个.其中水基灭火器的单价为540元/个，干粉灭火器的单价为380元/个.若学校购买这两种灭火器的总价不超过21000元则最多可购买这种型号的水基灭火器多少个？
答案：最多可购买这种型号的水基灭火器12个
解析：设可购买这种型号的水基灭火器x个，
根据题意，得.
得.
因为x为整数，且x取最大值，所以.
答：最多可购买这种型号的水基灭火器12个.
2．[2024年山西中考真题]当下电子产品更新换代速度加快，废旧智能手机数量不断增加，科学处理废旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其中的可利用资源据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
答案：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金210克，白银1000克
解析：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金x克，白银y克.
根据题意，得.
解得.
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金210克，白银1000克.
3．[2023年山西中考真题]风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.
（1）1个A部件和1个B部件的质量分别是多少？
（2）该卡车要运输这种成套设备通过此大桥，一次最多可运输多少套这种设备？
答案：（1）1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨.
（2）该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.
解析：（1）设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨.
根据题意，得解得
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨.
（2）设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥.
根据题意，得，解得.
因为m为整数，所以m的最大值为6.
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.
4．[2022年山西中考真题]2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势.经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每千米的充电费比燃油车平均每千米的加油费少0.6元.若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每千米的充电费.
答案：0.2元
解析：设这款电动汽车平均每千米的充电费为x元.
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根.
答：这款电动汽车平均每干米的充电费为0.2元.
5．[2021年山西中考真题]2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数（请用方程知识解答）.
答案：这个最小数为5
解析：设这个最小数为x.
根据题意，得.
解得，（不符合题意，舍去）.
答：这个最小数为5.
6．[2021年山西中考真题]太原武宿国际机场简称“太原机场”，是山西省开通的首条定期国际客运航线.游客从太原某景区乘车到太原机场，有两条路线可供选择，路线一：走迎宾路经太榆路全程是25千米，但交通比较拥堵；路线二：走太原环城高速全程是30千米，平均速度是路线一的倍，因此到达太原机场的时间比走路线一少用7分钟.求走路线一到达太原机场需要多长时间.
答案：走路线一到达太原机场需要25分钟.
解析：设走路线一到达太原机场需要x分钟.
根据题意，得.
解得.
经检验，是原方程的解.
答：走路线一到达太原机场需要25分钟.
7．[2018年山西中考真题]2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好.已知“太原南——北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）.经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.
答案：解法一
设乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要x小时，
由题意，得，
解得.
经检验，是原方程的根.
答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时.
解法二
设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x小时，
由题意，，
解得.
经检验，是原方程的根.
（时）.
答：乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要小时.
解析：
8．[2024年北京中考真题]为防治污染，保护和改善生态环境，自2023年7月1日起，我国全面实施汽车国六排放标准6b阶段（以下简称“标准”）.对某型号汽车，“标准”要求A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过.已知该型号某汽车的A，B两类物质排放量之和原为.经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为，判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合“标准”，并说明理由.
答案：符合，理由见详解
解析：设技术改进后该汽车的A类物质排放量为，则B类物质排放量为，
由题意得：，
解得：，
，
这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是符合“标准”.
9．[2024年江苏连云港中考真题]我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”.活动主办方分两次共邮购了200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品.折扇单价为8元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 100以上（含100）
邮寄费用 总价的 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1504元，求两次邮购的折扇各多少把？
答案：两次邮购的折扇分别是40把和160把
解析：若每次购买都是100把，则.
一次购买少于100把，另一次购买多于100把.
设一次邮购折扇把，则另一次邮购折扇把.
由题意得：，
解得.
.
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把.
10．[2024年安徽中考真题]乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业.某村有部分返乡青年承包了一些田地.采用新技术种植A，B两种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共60万元.问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
答案：A农作物的种植面积为3公顷,B农作物的种植面积为4公顷
解析：设A种农作物的种植面积是x公顷,B种农作物的种植面积是y公顷,
根据题意得:.
解得:.
答:A种农作物的种植面积是3公顷,B种农作物的种植面积是4公顷.
11．[2024年江西中考真题]如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚.
（1）数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？
答案：（1）书架上有数学书60本，语文书30本
（2）数学书最多还可以摆90本
解析：（1）设书架上数学书有x本，由题意得：
，
解得：，
.
书架上有数学书60本，语文书30本.
（2）设数学书还可以摆m本，
根据题意得：，
解得：，
数学书最多还可以摆90本.
12．[2024年陕西中考真题]星期天，妈妈做饭，小峰和爸爸进行一次家庭卫生大扫除.根据这次大扫除的任务量，若小峰单独完成，需；若爸爸单独完成，需.当天，小峰先单独打扫了一段时间后，去参加篮球训练，接着由爸爸单独完成剩余的打扫任务.小峰和爸爸这次一共打扫了，求这次小峰打扫了多长时间.
答案：小峰打扫了
解析：设总工作量为1，小峰打扫了，爸爸打扫了，则小峰打扫任务的工作效率为，爸爸打扫任务的工作效率为，
由题意，得：，
解得：，
答：小峰打扫了.
13．[2024年河南中考真题]为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐.这两种食品每包质量均为，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于，且热量最低，应如何选用这两种食品？
答案：（1）选用A种食品4包，B种食品2包
（2）选用A种食品3包，B种食品4包
解析：(1)设选用A种食品x包,B种食品y包
根据题意,得
解得.
答:选用A种食品4包，B种食品2包.
(2)设选用A种食品m包,则选用B种食品包，
根据题意,得.
解得.
设每份午餐的总热量为,则
,随m的增大而减小.
当时,w取得最小值,此时.
答:选用A种食品3包,B种食品4包.
14．[2022年山西中考真题]某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售.“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价___________元.
答案：32
解析：设降价x元，根据题意，得，解得，故该护眼灯最多可降价32元
三、中考预测
预测2025年中考中这部分内容的以考查一元一次方程（组）实际应用、分式方程实际应用、一元二次方程应用为重点，综合应用综合应用方程与不等式，注重在实际情境中对学生解决实际问题的考查，注重学生思维认知能力的考查。1．为了美化环境，建设生态桂林，某社区需要进行绿化改造，现有甲、乙两个绿化工程队可供选择，已知甲队每天能完成的绿化改造面积比乙队多200平方米，甲队与乙队合作一天能完成800平方米的绿化改造面积.
（1）甲、乙两工程队每天各能完成多少平方米的绿化改造面积？
（2）该社区需要进行绿化改造的区域共有12000平方米，甲队每天的施工费用为600元，乙队每天的施工费用为400元，比较以下三种方案：
①甲队单独完成；②乙队单独完成；③甲、乙两队全程合作完成.
哪一种方案的施工费用最少？
答案：（1）工程队每天能完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积
（2）方案①的施工费用最少
解析：（1）设乙工程队每天能完成x平方米的绿化改造面积，则甲工程队每天能完成平方米的绿化改造面积.
依题意得，解得，所以.
答：甲工程队每天能完成500平方米的绿化改造面积，乙工程队每天能完成300平方米的绿化改造面积.
（2）方案①所需施工费用为（元）；
方案②所需施工费用为（元）；
方案③所需施工费用为（元）.因为，所以方案①的施工费用最少.
2．根据以下素材,探索完成任务.
素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷.图②是其侧面示意图,已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上,篷面安装点A离地面4米,篷面与墙面的夹角,篷面宽米.除此之外,为了保障遮阳篷的稳定性,还加装了支架MN稳定篷面.支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上,位于点A的正下方,即点A,M,B共线；点N固定在篷面上离A点1米处(点A,N,D共线),即米,支架MN与墙面的夹角.
素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角(太阳光线与地面的夹角)的正切值参照表：时刻12点13点14点15点角的正切值432.52
素材3 宁宁养了一株龙舌兰(图③),该植物喜阳,所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方,以保证龙舌兰有充足的光照,如图②,这株龙舌兰摆放的位置记为点E.
任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长.
任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度.
任务3 判断能否照射到 这天14点,宁宁将龙舌兰摆放到点E处,为了保证龙舌兰能被太阳光照射到,请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围.
答案：任务1：米
任务2：米
任务3：大于米
解析：任务1：如图,过N作于H,
∴,
又∵,,
∴(米),
(米),
(米),
∴(米),
任务2：如解图2,过D作于G,过B作于K,
则,
四边形为矩形,
,,
∵米,,
∴(米),
(米),
(米),
∵由题意可知：米,
∴(米)
∴(米),(米),
∵13点时,太阳高度角,
∴,
∴(米)
∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度(米)
任务3：由表格可知,在12时时,角的正切值逐渐减小,即逐渐较小,
当14时,此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离,
如解图3,在中,,
即(米),
(米),
答：龙舌兰能被太阳光照射到,此时摆放点离墙角距离的大于米.
3．某科学研究实验基地内装有一段长的笔直轨道,现将长度为的金属滑块在上面往返滑动一次.如图,滑块首先沿方向从左向右匀速滑动,滑动速度为,滑动开始前滑块左端与点A重合,当滑块右端到达点B时,滑块停顿,然后再以小于的速度匀速返回,直到滑块的左端与点A重合,滑动停止.设滑动时间为时,滑块左端离点A的距离为,右端离点B的距离为.
(1)当时,的值为；
(2)记,d与t具有函数关系.已知整个滑动过程总用时(含停顿时间).
①滑块返回的速度为______；
②滑块从点B到点A的滑动过程中,求d与t的函数解析式(不写t的取值范围)；
③若,直接写出t的值.
答案：(1)
(2)①6；②；③t的值为6或18
解析：(1)∵轨道长为,长度为的滑块从点A到点B的速度为,
∴从点A到点B的速度所用的时间为,
∴当时,滑块右端刚好与点B重合,,
答：当时,的值为；
(2)①∵整个过程用时,当滑块右端与点B重合时,滑块停顿,
∴从点B到点A所用的时间为,
∴滑块返回的速度为,
②分析可得：,
故当滑块从右向左滑动,即时,
,
；
③当时,显然停顿时不满足,所以分两种情况：
当滑块从左向右滑动,即时,,,.
即,解得；
当滑块从右向左滑动,即时,
即,
解得：.
综上所述,t的值为6或18.
4．某酒店有A，B两种客房、其中A种24间，B种20间.若全部入住，一天营业额为7200元；若A，B两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元.
（1）求A，B两种客房每间定价分别是多少元？
（2）酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？
答案：（1）A种客房每间定价为元，B种客房每间定价为元
（2）当A种客房每间定价为元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为元
解析：（1）设A种客房每间定价为x元，B种客房每间定价为y元，
由题意可得，，
解得，
答：A种客房每间定价为元，B种客房每间定价为元；
（2）设A种客房每间定价为a元，
则，
，
当时，W取最大值，元，
答：当A种客房每间定价为元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为元.
5．根据以下学习素材,完成下列两个任务：
学习素材
素材一 某校组织学生去农场进行学农实践,体验草莓采摘、包装和销售.同学们了解到该农场在包装草莓时,通常会采用精包装和简包装两种包装方式.
素材二 精包装 简包装
每盒2斤,每盒售价25元 每盒3斤,每盒售价35元
问题解决
任务一 在活动中,学生共卖出了350斤草莓,销售总收入为4250元,请问精包装和简包装各销售了多少盒？
任务二 现在需要对50斤草莓进行分装,既有精包装也有简包装,且恰好将这50斤草莓整盒分装完,每个精包装盒的成本为2元,每个简包装盒的成本为1元.若要将购买包装盒的成本不超过20元,请你设计出一种符合要求的分装方案,并说明理由.
答案：任务一：精包装销售了100盒,简包装销售了50盒
任务二：装成1盒精包装,16盒简包装,理由见解析
解析：任务一：设精包装销售了x盒,简包装销售了y盒,
根据题意得：,解得：.
答：精包装销售了100盒,简包装销售了50盒；
任务二：装成1盒精包装,16盒简包装.理由如下：
设：可以分装成m盒精包装,则分装成盒简包装,
根据题意得：,解得：,
又∵m,为正整数,
∴.m为1,
∴仅有1种分装方案,即为装成1盒精包装,16盒简包装.
6．背景 【竞飞“低空经济第一城”】打开手机外卖软件下单,最快仅用时10分钟,便有无人机将奶茶、汉堡等商品“空投”到指定地点,这是记者日前在深圳中心公园亲身体验到的一幕.从理想照进现实,低空经济如今从概念逐渐落地,成为城市新质生产力的一部分,助力深圳竞飞“低空经济第一城”.
素材1 某商店在无促销活动时,若买5件A商品,8件B商品,共需要2400元；若买8件A商品,5件B商品,共需2280元.
素材2 该商店为了鼓励消费者使用无人机配送服务,开展促销活动：①若消费者用250元购买无人机配送服务卡,商品一律按标价的七五折出售；②若消费者不使用无人机配送服务：凡购买店内任何商品,一律按照标价的八折出售.
问题解决
任务1 在该商店在无促销活动时,求A,B商品的销售单价分别是多少元？
任务2 某南山科技公司计划在促销期间购买A,B两款商品共30件,其中A商品购买a件()；①若使用无人机配送商品,共需要_________元；②若不使用无人机配送商品,共需要_________元.(结果均用含a的代数式表示)；
任务3 请你帮该科技公司算一算,在任务2的条件下,购买A产品的数量在什么范围内时,使用无人机配送商品更合算？
答案：任务1：在该商店在无促销活动时,A商品的销售单价是160元,B商品的销售单价是200元
任务2：①；②
任务3：当时,使用无人机配送商品更合算
解析：任务1：在该商店在无促销活动时,设A商品的销售单价是x元,设B商品的销售单价是y元,
根据题意得：,
解得：.
答：在该商店在无促销活动时,A商品的销售单价是160元；
任务2：∵某南山科技公司计划在促销期间购买A,B两款商品共30件,
∴B商品购买件.
①若使用无人机配送商品,共需要元；
②若不使用无人机配送商品,共需要元.
故答案为：①；②；
任务3：根据题意得：,
解得：,
又∵,
∴.
答：当时,使用无人机配送商品更合算.
7．小明一家为践行“低碳生活,绿色出行”,决定以骑行的方式去湖边游玩.已知小明骑单人自行车的速度比爸爸妈妈骑双人自行车速度快,小明骑行与爸爸妈妈骑行的时间相同.
(1)小明骑单人自行车的速度是多少？
(2)某自行车租赁商店计划购买单人自行车和双人自行车共40辆,已知每辆单人自行车和双人自行车的单价分别为200元、360元,若总费用不超过10000元,则该商店最多可购买多少辆双人自行车？
答案：(1)
(2)12辆
解析：(1)设小明骑单人自行车的速度是,
,
经检验：是原方程的解且符合题意；
答：小明骑单人自行车的速度是；
(2)设该商店购买m辆双人自行车,
则,
是正整数,最大值为12,
答：该商店最多可购买12辆双人自行车.
8．风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示,载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车,要运输若干套某种设备,每套设备由1个A部件和3个B部件组成,这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨,2个A部件和3个B部件的质量相等.
(1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少；
(2)卡车一次最多可运输多少套这种设备通过此大桥？
答案：(1)一个A部件的质量为1.2吨,一个B部件的质量为0.8吨
(2)6套
解析：(1)设一个A部件的质量为x吨,一个B部件的质量为y吨.
根据题意,得,
解得.
答：一个A部件的质量为1.2吨,一个部件的质量为0.8吨.
(2)设该卡车一次可运输m套这种设备通过此大桥.
根据题意,得.
解得.
因为m为整数,m取最大值,所以.
答：该卡车一次最多可运输6套这种设备通过此大桥.
9．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车.新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需万元.
（1）求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
（2）经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次.公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过万元.为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值.
答案：（1）购买A型新能源公交车每辆需万元，购买B型新能源公交车每辆需万元；
（2）方案为购买A型公交车8辆，B型公交车2辆时.线路的年均载客总量最大，最大载客量为万人.
解析：（1）设购买A型新能源公交车每辆需x万元，购买B型新能源公交车每辆需y万元，
由题意得：，
解得，
答：购买A型新能源公交车每辆需万元，购买B型新能源公交车每辆需万元；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车辆，该线路的年均载客总量为w万人，
由题意得，
解得：，
，
，
a是整数，
，9，；
线路的年均载客总量为w与a的关系式为，
，
w随a的增大而减小，
当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次）
（辆）
购买方案为购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次，
10．金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
燃油车油箱容积：升油价：9元/升续航里程：a千米每千米行驶费用：元 新能源车电池电量：千瓦时电价：元/千瓦时续航里程：a千米每千米行驶费用：_____元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元.
分别求出这两款车的每千米行驶费用.
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元.问：每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低？(年费用年行驶费用年其它费用)
答案：(1)新能源车的每千米行驶费用为元
(2)①燃油车的每千米行驶费用为元,新能源车的每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于时,买新能源车的年费用更低
解析：(1)由表格可得,
新能源车的每千米行驶费用为：(元),
即新能源车的每千米行驶费用为元；
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元,
,
解得：,
经检验,是原分式方程的解,
,,
答：燃油车的每千米行驶费用为元,新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为,
由题意得：,
解得,
答：当每年行驶里程大于时,买新能源车的年费用更低.
11．《花卉装点校园,青春献礼祖国》项目学习方案：
项目情景 国庆将至,向阳中学购买花卉装点校园,向祖国母亲生日献礼.同学们需完成了解花卉知识(包括花语等知识),购买花卉,插花,摆放盆栽等任务
素材一 采购小组到市场上了解到每枝A种花卉比每枝B种花卉便宜3元,用600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍
任务一 小组成员甲设用240元购买的A种花卉的数量为x,由题意得方程：①；小组成员乙设②,由题意得方程：
素材二 插花时,技术小组成员丙发现自己单位时间内可完成m盆小盆栽的插花任务或完成盆大盆栽的插花任务,并且完成25盆小盆栽所用时间与完成10盆大盆栽的时间相同
任务二 求m的值
(1)任务一中横线①处应填________,横线②处应填________.
(2)完成任务二.
答案：(1),A种花卉的单价为y元
(2)
解析：(1)小组成员甲设用240元购买的A种花卉的数量为x,由题意得方程：；
∵表示600元购买的B种花卉数量为用240元购买的A种花卉数量的2倍,
∴乙设的是A种花卉的单价为y元；
故答案为：；A种花卉的单价为y元；
(2)由题意,得：,
解得：,
经检验,是原方程的解.
12．综合与实践
如图1,某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物,地块一边靠墙,另外三边用木栏围住,木栏总长为.
【问题提出】
小组同学提出这样一个问题：若,能否围出矩形地块？
【问题探究】
小颖尝试从“函数图像”的角度解决这个问题：
设为,为.由矩形地块面积为,得到,满足条件的可看成是反比例函数的图像在第一象限内点的坐标；木栏总长为,得到,满足条件的可看成一次函数的图像在第一象限内点的坐标,同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图像交点的坐标.
如图2,反比例函数()的图像与直线：的交点坐标为和______,因此,木栏总长为时,能围出矩形地块,分别为：,；或______m,______m.
(1)根据小颖的分析思路,完成上面的填空；
【类比探究】
(2)若,能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法,在图2中画出一次函数图像并说明理由；理由为______.
【问题延伸】
(3)当木栏总长为时,小颖建立了一次函数.发现直线可以看成是直线通过平移得到的,在平移过程中,求出直线与反比例函数()的图像有唯一交点时的交点坐标及a的值.
答案：(1)；4；2
(2)与函数图像没有交点
(3)
解析：(1)将反比例函数与直线：联立得,
∴,
∴,
∴,,
∴方程组的解为或
∴另一个交点坐标为,
∵为,为,
∴,.
故答案为：；4；2；
(2)不能围出面积为的矩形；理由如下：
将反比例函数与直线：联立得,
∴,
∴,
∵,
∴无解,
故两个函数图像无交点；
的图像,如图中所示：
∵与函数图像没有交点,
∴不能围出面积为的矩形.
故答案为：与函数图像没有交点；
(3)如图中直线：所示,
∵直线与反比例函数的图像有唯一交点,
∴有唯一解,即：方程只有一个解,
∴,
解得：,(舍去),
此时：,
解得：,
当时,,
∴此时交点坐标为.
13．为切实推进广大青少年学生走向操场、走进大自然、走到阳光下,积极参加体育锻炼,阳光体育长跑是如今学校以及当代年轻人选择最多的运动.学生坚持长跑,不仅能够帮助身体健康,还能够收获身心的愉悦.周末,小明和小齐相约一起去天府绿道跑步.若两人同时从A地出发,匀速跑向距离处的B地,小明的跑步速度是小齐跑步速度的1.2倍,那么小明比小齐早5分钟到达B地.
根据以上信息,解答下列问题：
(1)小明每分钟跑多少米？
(2)若从A地到达B地后,小明以跑步形式继续前进到C地(整个过程不休息).据了解,从他跑步开始,前30分钟内,平均每分钟消耗热量10卡路里,超过30分钟后,每多跑步1分钟,平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里,在整个锻炼过程中,小明共消耗2300卡路里的热量,小明从A地到C地锻炼共用多少分钟.
答案：(1)480米
(2)70分钟
解析：(1)设小齐每分钟跑x米,则小明每分钟跑米,
由题意得：,
解得：,
经检验,既是所列分式方程的解也符合题意,
则,
答：小明每分钟跑480米.
(2)设小明从A地到C地锻炼共用y分钟,
由题意得：,
解得：,(不符合题意,舍去),
答：小明从A地到C地锻炼共用70分钟.
14．项目化学习
项目主题：
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具,是指笔、墨、纸、砚,文房四宝之名,起源于南北朝时期.
项目背景：
某中学为丰富学生的课后服务活动,开设了书法社团,计划给学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”
驱动任务：
探究甲、乙两种型号的“文房四宝”的售价.
收集数据：
综合实践小组的同学到文具店进行数据收集,数据如下表：
第一次 第二次
甲型号“文房四宝”(套) 3 5
乙型号“文房四宝”(套) 5 2
需付款(元) 700 660
问题解决：
(1)求甲、乙型号“文房四宝”每套的售价；
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套,总费用不超过9000元,求最多可购买甲型号“文房四宝”的套数.
答案：(1)每套甲型号“文房四宝”的价格为100元,每套乙型号“文房四宝”的价格为80元
(2)最多可购买甲型号“文房四宝”50套
解析：(1)设每套甲型号“文房四宝”的价格为x元,每套乙型号“文房四宝”的价格为y元.
根据题意,得.
解得.
答：每套甲型号“文房四宝”的价格为100元,每套乙型号“文房四宝”的价格为80元.
(2)设可购买甲型号“文房四宝”a套,购买乙型号“文房四宝”套.……7分
根据题意,得.
解得.
∵a取最大的正整数,
∴.
答：最多可购买甲型号“文房四宝”50套.
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