活用二次函数图像与系数符号的关系解题

活用二次函数图像与系数符号的关系解题
二次函数的图像与其系数的符号有着十分密切的关系：
a、b、c的代数式 决定图象的特征 说明
a 决定抛物线的开口方向 a>0 开口向上
a<0 开口向下
c 决定抛物线与y轴交点的位置，交点的坐标为(0,c) c>0 与y轴交点在x轴上方
c=0 抛物线过原点
c<0 与y轴交点在x轴下方
决定对称轴的位置，对称轴为x=- ab>0 对称轴在y轴左侧
ab<0 对称轴在y轴右侧
b=0 对称轴是y轴
我们既可以根据的符号判定抛物线的位置，也可以根据抛物线的位置确定的符号或关系．下面以中考试题为例，谈谈这类问题的解法，供同学们学习时参考．
　一、由系数符号确定抛物线的位置
例1　（2007年吉安市）已知，，，那么抛物线的顶点在（　　）
　（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
分析：欲确定抛物线的顶点位置，只需判定、的符号即可．
解：由，，知，又由，知，所以，所以抛物线的顶点在第一象限内，故选（A）．
二、由抛物线的位置确定的符号
例2 （2007年兰州市）二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图1所示，则点A(ac，bc)在（ ）．
（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限
分析：通过观察图像，可直接得到，再结合对称轴，可判断出，从而问题得解．
解：由二次函数y＝ax2＋bx＋c图象可知： ，∵对称轴，在轴右侧，即，所以，∴，即点A(ac，bc)在第二象限，故选（B）．
例3 （2007年济南市）已知y＝ax2+bx的图象如图2所示，则y＝ax－b的图象一定过（ ）．
（A）一、二、三象限 （B）第一、二、四象限
（C）第二、三、四象限 （D）第一、三、四象限
分析：通过观察图象可以知道a和b的符号，从而可以判断出y＝ax－b的图象一定的象限．
解：由图可知a＜0，又由顶点可知－＞0，所以b＞0．所以y＝ax－b的图象一定过第二、三、四象限，故应选（C）．
三、综合运用图像和的符号特征解决相关问题
例4 （2007年南充市）如图3是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．给出四个结论：①b2＞4ac；②2a＋b=0；③a－b＋c=0；④5a＜b．其中正确结论是（　　）．
（A）②④ （B）①④ （C）②③ （D）①③
分析：观察所给的抛物线图象，开口向下知，对称轴在y轴左侧，知，可得；抛物线与x轴交于不同两点，知，由图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1，可推得与x轴另一交点为（1，0），故当x=1时，a+b＋c=0．由得于是一定有5a＜b．
解：由已上分析知②、③有误，应该选（B）．
O
图1
x
y
x
O
图2
图3