2024-2025学年河北省沧州市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省沧州市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若抛物线上一点到焦点的距离是，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知曲线：，从上任取一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
3.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知直线：与圆：，点，在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，，当取最小值时，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆：上有一动点，圆：上有一动点，直线：上有一动点，直线与圆相切，直线与圆相切，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.设正项等差数列满足，其前项和为，若数列为等差数列，则的最小值是( )
A. B. C. D.
7.若不等式恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，曲线与有两个交点，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的前项和为，则( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.对于函数和，下列说法正确的是( )
A. 与有相同的最小正周期 B. 与一定不存在相同的零点
C. 与的图象有相同的对称轴 D. 存在区间Ⅰ，与均单调递增
11.已知抛物线：的准线为，为上的动点，过点作：的两条切线，切点分别为，，为上的动点，则( )
A. 与相离 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 四边形的面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，动直线和动直线交于点，则的取值范围为______．
13.设无论取何值，直线恒过定点，已知双曲线的左右焦点依次为，，且为双曲线右支上任意一点轴上的点除外，当点运动时，焦点三角形内切圆圆心始终在直线上运动，则双曲线的渐近线方程为______．
14.已知为等差数列的前项和，若，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在五棱锥中，，，．
证明：；
求平面与平面夹角的正弦值．
16.本小题分
已知直线过点
它在轴上的截距是在轴上截距的倍，求直线的方程．
若直线与轴，轴的正半轴分别交于点，，求的面积的最小值及此时直线的方程．
17.本小题分
设正项数列的前项和为，已知．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
若函数的极小值小于，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，且直线被双曲线的两条渐近线截得的线段长为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，点在轴上方，过点作直线，分别交椭圆于另外两点，．
求椭圆的标准方程；
若直线的倾斜角为钝角，且，的面积为，证明：；
若，证明：直线的斜率为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：在中，，
所以，
所以，即，
又，所以，
因为，，平面，
所以平面，
又平面，
所以；
连接，在中，，
所以，
在中，，
所以，所以，即，
由知，，又因为，，平面，
所以平面．
以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
过点作轴于点，
因为，所以，
又，故，
则，
故，
设平面的法向量为，
则，则，即，
不妨令，则，
则为平面的一个法向量，
依题意，为平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
又因为，
所以平面与平面夹角的正弦值为．
16.解：直线不过原点时，
它在轴上的截距是在轴上截距的倍，
可设直线的方程为：．
直线过点，
，解得．
直线的方程为，即．
当直线过原点时，符合题意，斜率，
直线方程为，即；
综上所述，所求直线方程为或．
设直线的方程为，
由直线过点得：．
，化为，
当且仅当，时取等号．
的面积，其最小值为．
此时直线的方程为．
17.解：由，得，
当时，，解得负值舍去．
当时，，
，得，
化为，
因为，，解得，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，
所以，即．
由知，所以，
从而，
则，，，，
以上个式子相加，得．
18.解：函数的定义域为，
当时，，则，
，，
切线方程为，
即．
，
当时，恒成立，函数在上单调递增，此时函数不存在极值，不合题意．
当时，令，即，则．
当时，，
当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增．
函数在处取得极小值，
且．
又，则等价于，
令，，
则，函数在上单调递减，
又，当时，，
即不等式的解集为，
故实数的取值范围是．
19.解：易知双曲线的焦点为，
因为双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，
所以，
易知双曲线的渐近线方程为，
所以，
解得，
所以，，
则椭圆的标准方程为；
证明：因为直线的倾斜角为钝角，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时恒成立，
由韦达定理得，
，
解得，
因为，
所以，
即直线的方程为，
连接，
因为，
解得，
此时
所以，，且，
所以，
则．
易知，
所以≌，
所以；
证明：因为，
所以，
设，
因为，
所以，
因为，两点均在椭圆上，
所以，
即，
整理得，
同理得，
所以直线的方程为，
此时直线的斜率为，
因为．
所以直线的斜率为定值．

第1页，共1页