2024-2025学年湖北省“楚天教科研协作体”高一（下）2月收心考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年湖北省“楚天教科研协作体”高一（下）2月收心考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若命题“，”是假命题，则( )
A. B. C. D.
3.如果，，那么角所在象限是( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在平面直角坐标系中，动点在单位圆上从出发沿顺时针方向做匀速圆周运动，每秒，则经过秒，的位置为( )
A. B. C. D.
5.荀子劝学中说：“不积跬步，无以至千里不积小流，无以成江海”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是而把看作是每天“退步”率都是，一年后是这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍那么当“进步”的值是“退步”的值的倍，大约经过天参考数据：，，
A. B. C. D.
6.函数在上不是单调函数，则的范围是( )
A. 或 B. 或 C. D.
7.不等式，且对恒成立，则的范围是( )
A. B. C. D.
8.已知正实数，满足，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若，则角终边在第三象限或第四象限
B. 与表示同一个函数
C. 函数的对称中心是，
D. 的减区间为
10.已知函数与两个交点的横坐标分别为，，且，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 的最小值为 D. 最小值为
11.已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则( )
A.
B. 的解集为或
C. 方程有个根
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.若函数在上有且仅有一个零点，则的范围是 ．
14.已知函数是定义在上的奇函数，是函数的一条对称轴，当时，，方程恰有 个根．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数且恒过定点，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，化简求值
已知，且，求的值．
16.本小题分
已知集合，为非空集合，
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围
求集合．
17.本小题分
某乡镇水果资源丰富，积极打造水果生态小镇经调研发现，种植某种水果，当施肥量单位：千克时，单株产量单位：千克满足，此时全部交于收购商打理，无额外支出，最后以元千克全部卖于收购商，已知施肥量为千克时，单株产量为千克后来改进措施，加大施肥量，当施肥量时，单株产量，模式变为自我管理、改善水果品质，单株额外增加了成本元如肥料、人工、机器等，最后以元千克全部卖出．
写出单株利润元关于施肥量千克的关系式
当施肥量为多少千克时，该水果单株利润最大最大是多少元
18.本小题分
已知函数是偶函数
求的值
直接指出函数的单调性不证明，并解不等式
证明：方程在有唯一实根，且．
19.本小题分
已知是的反函数。定义：若函数对定义域内每个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“型函数”．
判断是否为“型函数”，并说明理由
若函数在定义域上为“型函数”，试证明：
已知函数，在为“型函数”，若存在，，成立，求的取值范围．
参考答案
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15.解：，，
终边过，，
原式．
，，，
又，，，，，
，
．
16.解：“”是“”的必要不充分条件，
是的真子集，
为非空集合，，，
后两者“”不同时成立，
解得；
，，
，
，即
，

17.解：将代入得，
．
当时，令，则，
，时，，
当时，，
，
当且仅当即取等号，
，当施肥量为千克时，单株利润最大为元．
18.解为偶函数对恒成立，
，成立，
．
在单调递减，单调递增，
由且为偶函数，，
或，解得或
记
，
在为减函数，在其定义域上为增函数，
在为减函数，
在为增函数，在为减函数，
在为减函数，
又，，
由零点存在定理和单调性知，存在唯一，
使即方程在有唯一实根，
此时，，
．
19.解：，不是“型函数”，
当时，，此时不存在，使成立，
不是“型函数”；
法一：易知在为增函数，
又为“型函数”，则有，，
若，则；
若，则，两者矛盾，
，即，，
，
法二：由在为增函数，为“型函数”，
，，，
，
又，
，
，即，，
；
开口向上，对称轴，
当，，则必有，
此时不存在，使成立，不是“型函数”
当，在为增函数，由知，只需，
，即，解得，
，
当时，，
当且仅当，即取等号，
存在，，有成立，
，
，
令，在单调递增，，
．
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