2024-2025学年四川省自贡市高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省自贡市高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线：，：两直线之间的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知，则的最大值( )
A. B. C. D.
3.已知平行六面体( )
A. B. C. D.
4.已知为等差数列，为其前项和，，则( )
A. B. C. D.
5.已知平面内两定点，，动点满足，面积的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆，过点的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，则直线的斜率为( )
A. B. C. D.
7.已知为各项均为正数的等比数列，为其前项积，，当取得最大值时，为( )
A. B. C. D.
8.设，为双曲线的左右焦点，为坐标原点，为的一条渐近线上一点，且成等差数列，则的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的图象为双曲线，下列关于该双曲线的说法正确的是( )
A. 焦距长为 B. 实轴长为 C. 对称轴为 D. 离心率为
10.在正方体中，下列说法正确的是( )
A. 异面直线与所成的角为 B. 直线与底面所成的角为
C. 直线与垂直 D. 二面角大小为
11.已知椭圆为左，右焦点为原点，为椭圆上一点，，下列说法正确的是( )
A. 满足条件的点总共有个 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的两条渐近线所成的锐角为______．
13.已知是，的等差中项，直线恒过定点，则定点坐标______．
14.在四面体中，且，，，则四面体外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的顶点，边上的高所在的直线方程为．
求直线的方程；
若边上的中线所在的直线方程为，求直线的方程．
16.本小题分
已知数列，为其前项和，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知椭圆，长轴长为，离心率为．
求椭圆方程；
过点倾斜角为的直线与椭圆相交于、，求．
18.本小题分
在长方体中，点，分别在，上，且，D.
求证：；
当，，时．
求到平面的距离；
求平面与平面的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知抛物线：上横坐标为的点到焦点的距离为．
求抛物线的方程；
设直线与抛物线交于两点、，且，且为常数，我们把叫做抛物线的弦，若是弦中点，过作平行于轴的直线交抛物线于点，得到，求证：的面积为定值；
在的条件下，再分别过弦、的中点作平行于轴的直线依次交抛物线于点、，得到和，按此方法继续下去，若设，，，是第次操作时得到的个三角形面积的和，记，试比较与大小并说明理由．
参考答案
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15.解：因为边上的高所在的直线方程为，可得斜率为，
可得直线的斜率，又因为的顶点，
所以直线的方程为，即；
所以直线的方程为．
直线边上的中线所在的直线方程为，
由方程组，解得，所以点，
设点，则的中点在直线上，所以，即，
又点在直线上，，解得，所以，
所以的斜率，所以直线的方程为，
即直线的方程为．
16.解：数列，为其前项和，，
可得时，，
当时，
，
上式对也成立，
所以，；
，
数列的前项和，
，
相减可得
，
则．
17.解：由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为；
因为直线过点，倾斜角为，
则直线的方程为，即，
联立，化简得，
设，，
则，
所以
．
18.解：证明：平面，且平面，
，，，
平面，平面，，
，，平面，
平面，，
，平面，
平面，；
当，，时．
以点为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
，，，，，
设，，则，，
，，
，，
，解得，
，解得，
，，
，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，
到平面的距离为；
，，
设平面的一个法向量为，
则，取，得，
设平面与平面的夹角为，
则平面与平面的夹角的余弦值为：
．
平面与平面的夹角的余弦值为．
19.解：根据题意得，解得因此抛物线方程为．
如果，所以垂直于轴，设，根据，
又根据抛物线对称性可得，
又因为，得，所以．
如果，设方程：，根据方程组
化简得，根据题意可知，根据韦达定理可得．
根据，可得，即，整理得．
因此中点，因此点
根据题意知．
又由于方程根的判别式，得因此，
又，因此．
又因为为常数，所以的面积为定值．
依题意得．
故．
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