2024-2025学年高一数学人教A版(2019) 下学期开学摸底考试卷

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2024-2025学年高一数学人教A版(2019)
下学期开学摸底考试卷
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．已知函数（且）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上，则（ ）
A． B．0 C．7 D．
4．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．若存在正实数x，y满足，且使不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．若是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的偶函数．，且，恒有．若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．在上单调递减
D．将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则为偶函数
10．下列说法正确的是（ ）
A．“”是“”的必要不充分条件
B．“”的一个充分不必要条件是“”
C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是
D．“”是“”的既不充分又不必要条件
11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．函数有4个零点
B．对于实数，不等式恒成立
C．关于的方程有个不同的解
D．当时，若关于的方程恰有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题
12．已知函数，则 ．
13．已知函，若，则 ．
14．已知函数，且，若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 .
四、解答题
15．已知函数，．
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；
(3)求函数的对称轴与对称中心．
16．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若不等式的解集为，求的取值范围；
(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
17．已知函数且是偶函数，函数且.
(1)求实数的值.
(2)当时，
①求的值域.
②若，使得恒成立，求实数的取值范围.
18．已知函数的定义域为，对定义域内任意的非零实数，恒有，且当时，.
(1)判断并证明函数的奇偶性；
(2)证明：函数在区间上单调递减；
(3)已知，图象关于点对称，且时，.若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围.
19．设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集．
(1)当时，写出集合的积集；
(2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值；
(3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和．
参考答案
1．B
由对数函数性质解对数不等式求出集合A，解绝对值不等式求出集合B，再根据交集定义直接计算即可得解.
因为函数是增函数，所以解得，
所以集合，
解不等式得即，
所以集合，
所以.
故选：B
2．C
根据对数函数的单调性化简，即可根据充要条件的定义求解.
因为，等价于即，解得，
所以是的充要条件.
故选：C.
3．D
根据指数运算的性质，结合三角函数的定义、同角三角函数的商关系进行求解即可.
对于函数（且），当时，，即，
因为点A在角θ的终边上，
所以，
于是，
故选：D
4．A
根据幂函数单调性分析判断即可.
因为在R上单调递增，所以，即，
又因为，又且在上单调递增，
所以，，所以.
故选：A.
5．D
利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，再借助不等式有解求出范围.
由，且，得，
当且仅当，即时取等号，依题意，，解得或，
所以的取值范围是.
故选：D
6．B
先根据平移得出，再应用函数是奇函数得出进而求出最小值即可.
根据题意可得：
为奇函数，
，
故选：B
7．C
根据题意，由奇函数的性质、函数的定义域分析，求出的值，又由，求出的值，计算可得答案.
根据题意，已知是奇函数，
当时，，
函数的定义域为，定义域不关于原点对称，
此时，函数一定不是奇函数，故，
则有，且，变形可得，
所以的根为，解可得，故，
又因为为奇函数，则有，
即，
即，所以，
即，故.
所以.
故选：C.
8．D
已知不等式转化后得出函数在上是增函数，不等式转化为，然后由偶函数与单调性求解即可．
不妨设，所以，
则，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
又是偶函数，所以，
即也是偶函数，则其在上单调递减，
因为，所以，
则，
所以，解之得．
故选：D
9．ABD
根据最小正周期可得选项A正确；根据可得选项B正确；由得，结合正弦函数的单调区间可得选项C错误；根据函数图象平移得出函数的解析式，即可说明选项D正确.
对于A，的最小正周期为，故A正确；
对于B，当时，，即，所以的图象关于点对称，故B正确；
对于C，由，得，
正弦函数的单调递减区间为，，不是，的子集，故C不正确；
对于D，，为偶函数，故D正确．
故选：ABD.
10．BC
根据必要不充分，以及充分不必要和充要条件的定义，即可结合选项逐一求解.
对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误；
对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立，
故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确；
对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确；
对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误．
故选：BC.
11．BCD
画出的图象，根据图象再逐项计算可得正确的选项.
当时，，当时，，
结合可得的图像如图所示：

对于A，考虑函数的图像与直线的交点个数，
如下图所示，直线过，结合图像可得两图像交点个数为9个，故A错误；

对于B，结合函数的图象可得在上，
的图象在图象上或在下方，故即恒成立，
故B正确；

对于C，当时，，故时，，
而为奇函数，故时，，
故在上无解，
当，则，
且此时在上为减函数，在上为增函数，
而，结合图像可得：
当时，在均有两个不同解，
在上，仅有一个解，
而当时，，故此时无解
综上，共有个不同的解，故C正确；
对于D，即为或，
结合图像可得仅有一个解，
故有6个不同的解，且与2相异，
结合图像可得，故D正确.

故选：BCD.
12．2025
根据分段函数的定义及对数、指数的运算法则计算．
由已知，
，，
所以，
故答案为：2025．
13．
根据条件，利用指数和对数的运算求得答案.
由，可得，
即，也即，
且，，
两边取对数得：，解得.
故答案为：.
14．
分和，根据复合函数单调性结合对数函数性质分析求解即可.
令，可知其图象开口向上，对称轴为，
若，则在定义域内单调递减，
由题意可知：在区间上单调递增，且在区间上恒成立，
则，解得；
若，则在定义域内单调递增，
由题意可知：在区间上单调递减，且在区间上恒成立，
则，解得；
综上所述：的取值范围是.
故答案为：.
15．(1)最小正周期为，单调递减区间是，.
(2)，此时；，此时.
(3)对称轴，；对称中心，
（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间；
（2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值.
（3）由余弦型函数的对称中心与对称轴方程，代入计算，即可得到结果.
（1）的最小正周期，
当，即，时，单调递减，
∴的单调递减区间是，.
（2）∵，则，
故，
∴，此时，即，
，此时，即．
（3）令，，解得对称轴方程为，，
令，，解得，，所以对称中心为，
16．(1)
(2)
(3)
（1）利用解不含参的一元二次不等式解法求解，即可；
（2）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解；
（3）转化为时，恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围．
（1）当时，，
由得，解集为．
（2）当时，由，得到，所以，不合题意，
当时，不等式的解集为，
得，解得，
所以实数的取值范围为，
（3）由不等式，得，
恒成立，
，
设，，则，
，
，当且仅当，即时取等号，
当时，，
．
17．(1)
(2)①；②
（1）利用函数的奇偶性得到，代入化简即可解得的值；
（2）①利用基本不等式可得，再根据对数函数的单调性即可求得的值域；
②将问题转化为恒成立，从而得到在上恒成立，利用换元法将问题转化为在上恒成立，从而得解.
（1）∵函数且是偶函数，
，即，
，
.
∵不恒为0，，即.
经检验，当时，的定义域为，关于原点对称，
且，∴函数是偶函数，满足题意.
故.
（2）①由（1）可知：当时，，
∵，∴由基本不等式可知，
当且仅当即时等号成立.
又对数函数在上单调递增，，
即函数的值域为.
②由题意得.
，使得恒成立，
，使得恒成立，
则恒成立.
由①得当时，，，
恒成立.
在上恒成立.
令，，，
则在上恒成立，即在上恒成立.
∵函数在上单调递减，，
，即实数的取值范围为.
18．(1)偶函数，证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性；
（2）任取，令，，结合已知等式和在上的正负即可得到结论；
（3）记在上的值域为，在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在、和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果.
（1）令，则，；
令，则，；
取，则；
为定义在上的偶函数.
（2）任取，由偶函数性质当时，，
令，，则，即；
，，
又当时，，，即，
在上单调递减.
（3）由（1）（2）知：在上单调递减且，又，
当时，，记；
对任意，总存在，使得，
记在上的值域为，；
的图象关于点中心对称，当时，；
①当，即时，在上单调递增，，
，即，
由得：，又，解得：；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，，即，
由得：，即，则，
又，解得：；
③当，即时，在上单调递减，，
，即，
由得：，又，解得：；
综上所述：实数的取值范围为.
19．(1)
(2)5
(3)
（1）根据题意，得到；
（2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5；
（3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，.
（1），故，
，
故；
（2）是由4个正实数构成的集合，
不妨设，
因为，故中的元素个数大于等于5，
当时，此时，
故中元素个数最小值为5；
（3）由条件可知，对于一个4元集合，
中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数，
同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数，
由此知，的绝对值互不相等，不妨设，
则中最小的与次小的两个数分别为与，
最大与次大的两个数分别为与，
从而必有，
于是，
所以，
当时，，解得，
又为有理数，不合要求，舍去，
当，解得，满足要求，
易得或，
经检验，均满足要求，故，
集合中的所有元素之和为.
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