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【专题突破】2024-2025七年级下册数学新人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题意可得，则表示的数为，
，
表示的数为，
，
同理可得;
；
；
；
；
，
故选：A．
【题组训练2】有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由题知，
数列中的数按负数、正数循环出现，即奇数项为负，偶数项为正，
因为是奇数，
所以第个数是负数．
将改写成可发现，
分母依次扩大2倍，且第一个数的分母是2，
所以第2023个数的分母是；
分子上的被开方数依次增加1，且第一个数分子上的被开方数是2，
所以第2023个数的分子上的被开方数是2024，
所以第2023个数是．
故选：A．
【题组训练3】观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵…
∴用含的等式表示为，
∴第2021个等式为．
故选：C．
【题组训练4】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；；
计算式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由，，；；
则原式，
，
故选：．
【题组训练5】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：，，，，
∴第个数为，
∴第8个数为；
故选C．
【题组训练6】观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（ ）．
A． B．4 C． D．
【答案】D
【详解】解：∵，…，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故选D．
【题组训练7】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（ ）
A． B． C． D．2024
【答案】C
【详解】解：由题意得，，；，，；，，；，
每三个相邻的数为一组，
由于，
2024处在第674组后的第2个数，因此可得，
第2024个数应是．
故选：C．
【题组训练8】若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ．
【答案】2024
【详解】解：由题意得：，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
；
，
．
分母的规律是从1开始到44；分子的规律从0开始，到分数的值为2结束．
，
故答案为：2024．
【题组训练9】观察下列等式：
……
则的值为 ．
【答案】/
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【题组训练10】将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得，每五个数为一行，且被开方数是3的倍数，
的被开方数是的被开方数3的30倍，
，
所以位于第六行第五个数，记为．
故最大的有理数位于第6行第2个数，记为．
故答案为：．
【题组训练11】观察下列算式：，则的末尾数字是 ．
【答案】0
【详解】解：∵的个位数字是四个一循环，，
∴的个位数字与的个位数字相同是6，
故的末位数字是的尾数，
则的末位数字是：末尾为0，
故答案为：0．
【题组训练12】将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ．
【答案】
【详解】第一排的个数为：，前一排的总数为：；
第二排的个数为：，前两排的总数为：，从右往左依次增大排列；
第三排的个数为：，前三排的总数为：，从左往右依次增大排列；
第四排的个数为：，前四排的总数为：，从右往左依次增大排列；
……，
∴第排的个数为：个，前排的总数为：个；奇数排从左往右依次增大排列；偶数排从右往左依次增大排列，
∵，，
∴在第排，即；第排为奇数排，从左往右依次增大排列；
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【题组训练13】已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ．
【答案】
【详解】解：第1个数：；
第2个数：；
第3个数：；
第4个数：；
故第6个数：；
故答案为：．
【题组训练14】先观察等式，再解答问题：
①；②；
③．
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）；
(3)应用上述结论，请计算的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：的结果为；
故答案为：；
（2）解：∵①；
②；
③，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
，
，
，
，
∴
．
【题组训练15】先阅读材料，再回答问题：
……
(1)请根据以上规律写出第七个等式；
(2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式；
(3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵，
，
，
，
……
∴第七个等式为；
（2）解：∵，
∴当一个等式的最右边的值是，这个等式为；
（3）解：由题意可推导一般性规律为，第n个等式为，
∴第n个等式为．
【题组训练16】方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题：
(1)求，，的平方根；
(2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来．
【答案】(1)；；(2)见详解
【详解】（1）解：∵，
∴的平方根是．
，
∴的平方根是．
，
∴的平方根是．
（2）解：∵，
，
，
，
，
，
规律：i每四个相邻次方为一个循环，若指数是4的整数倍，值为1；
若指数除以4余1，值为；
若指数除以4余2，值为；
若指数除以4余3，值为．
【题组训练17】观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，猜想：
(1)______；
(2)______（n为正整数）；
(3)利用上面的规律计算：．
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）解：根据规律可得：,
故答案为：；
（2）解：根据规律可得：，
故答案为：；
（3）解：．
【题组训练18】观察下列等式：
①；②；③
(1)类比上述等式，写出第④个等式：
(2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明．
【答案】(1)
(2)，证明见解析
【详解】（1）解：由题意知，第④个等式为，
故答案为：；
（2）解：由题意知，第个等式为，
证明：左式，
右式，
左式右式，等式成立．
【题组训练19】先观察下列各式4；
(1)计算：
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：
(3)应用上述结论，请计算的值．
【答案】(1)6(2)(3)52
【详解】（1）解：，
故答案为：6；
（2），
故答案为：；
（3）
．
【题组训练20】先观察下列等式，再回答问题：
①
②；
③
……
(1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________；
(2)请利用上述规律，猜想_________=_________；
(3)计算：的值．
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【详解】（1）解：根据题意可得：；
（2）解：①
②；
③
……
；
（3）解：
．中小学教育资源及组卷应用平台
【专题突破】2024-2025七年级下册数学新人教版 能力提升
本题组共20道题，每道题针对此个专题进行复习巩固，选择题则需要从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【题组训练1】如图，通过画边长为1的正方形，就能准确的把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练2】有一列数按如下规律排列：，，，，，，，则第2023个数是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练3】观察下列各式：，依次类推请你用发现的规律表示第2021个等式的结果，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【题组训练4】数学活动课上，陈老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探求规律：
，，；；
计算式子 的值为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练5】按一定规律排列的一列数，，，，其第8个数为（ ）
A． B． C． D．
【题组训练6】观察下列各式：，…，根据你发现的规律，若式子（a、b为正整数）符合以上规律，则的平方根是（ ）．
A． B．4 C． D．
【题组训练7】已知按照一定规律排成的一列实数：，，，，，，，，，，…则按此规律可推得这一列数中的第2024个数应是（ ）
A． B． C． D．2024
【题组训练8】若一个数等于某个整数的平方，则称这个数为完全平方数．对任意正整数n，记表示不大于n的最大完全平方数，记．例如：．则 ．
【题组训练9】观察下列等式：
……
则的值为 ．
【题组训练10】将一组数，，3，，，…按如图所示的方法进行排列，若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为 ．
【题组训练11】观察下列算式：，则的末尾数字是 ．
【题组训练12】将，，，，…，按如图的方式排列．规定表示第排从左向右第个数，若表示的数为时， ．
【题组训练13】已知数列：，，，，，……那么第6个数是 ．
【题组训练14】先观察等式，再解答问题：
①；②；
③．
(1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想______；
(2)请你按照以上各等式反映的规律，写出用含的式子表示的等式：____（为正整数）；
(3)应用上述结论，请计算的值．
【题组训练15】先阅读材料，再回答问题：
……
(1)请根据以上规律写出第七个等式；
(2)根据以上规律，若一个等式的最右边的值是，请写出这个等式；
(3)根据以上规律，写出第n个等式．（用含有n的式子表示，n为整数，且）
【题组训练16】方明是一位勤于思考、勇于创新的同学．在学了平方根的有关知识后，他知道负数没有平方根．例如：因为没有一个数的平方等于，所以没有平方根．有一天，方明产生了这样的想法：假设存在一个数，使，那么，因此就有两个平方根和了．进一步方明想到：，的平方根是；，的平方根是．请你根据上面提供的情景解答下列问题：
(1)求，，的平方根；
(2)求，，，，，的值，你发现了什么规律？将你发现的规律用文字表达出来．
【题组训练17】观察下列各式：
；
；
；
请你根据上面三个等式反映的规律，猜想：
(1)______；
(2)______（n为正整数）；
(3)利用上面的规律计算：．
【题组训练18】观察下列等式：
①；②；③
(1)类比上述等式，写出第④个等式：
(2)观察这类等式的规律，写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示，为正整数），并给出证明．
【题组训练19】先观察下列各式4；
(1)计算：
(2)已知n为正整数，通过观察并归纳，请写出：
(3)应用上述结论，请计算的值．
【题组训练20】先观察下列等式，再回答问题：
①
②；
③
……
(1)请根据上面三个等式提供的信息，则_________=_________；
(2)请利用上述规律，猜想_________=_________；
(3)计算：的值．
