《1.1.3幂的乘除》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
预备性知识：
1. 回顾已学的有关幂的运算及法则，尝试用字母表示.
同底数幂相乘法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
用字母表示：
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
用字母表示：
2. 地球可以近似地看成是球体，地球的半径约为6×103千米，尝试用已有知识进行计算，它的体积大约是多少立方千米 （V球 =πr3，其中 V 是球的体积，r 是球的半径）
解：=2.88
答：它的体积为2.88
活动1：（基础性目标1）
问题1：根据乘方的意义，试做下列各题：
解：（1）原式=35=33335555=50625
（2）原式===
问题2：根据上述的运算过程，你有什么样的猜想？请尝试验证你的猜想.
猜想：
验证：
=
总结：积的乘方的法则：
积的乘方等于_把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘_.
数学符号语言:______ （正整数_）____________________.
活动2： （基础性目标2）
问题3：计算下列各式.
解（1）原式= （2）原式=（3）原式= （4）原式=
活动3：（拓展性目标1）
问题4：计算下列各式.
解：（1）原式==0
解：（2）原式=105=-113
解：（3）原式==
解：（4）原式==10
活动4：（拓展性目标2）
问题5：根据积的乘方的法则，尝试解决下面问题：
解（1）原式= 解（2）原式=
小组合作活动5：（挑战性目标）
问题6：小组合作总结有关幂的相关运算，并分析他们之间的相同点和不同点。
运算种类 公式 法则中的运算 计算结果
底数 指数
同底数幂乘法 乘法运算 不变 相加
幂的乘方 乘方运算 不变 相乘
积的乘方 乘方运算 把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
问题7：尝试编写两道有关积的乘方的运算，并小组合作交流过程与结果.
当堂检测
1．（基础性知识）举出两个同底数幂相乘的例子.
2. (基础性知识)计算的结果是（ A）
A. B. C. D.
3.(拓展性知识) 下列四个算式中正确的算式有（ C ）
①（a4）4＝a4+4＝a8；②[（b2）2]2＝b2×2×2＝b8；③[（﹣x）3]2＝（﹣x）6＝x6；④（﹣y2）3＝y6．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4.(拓展性知识)计算：
（﹣2x2）3﹣x x5+（﹣3x3）2．
解 （1）原式= 解 （2）原式=+9 =0
5. (挑战性知识)回顾同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的学习，你经历了怎样的探究过程？幂的运算与数的运算有什么联系？你还想探究幂的什么运算？
课后练习（可根据实际选做）
基础性作业：
1．下列计算正确的是（ C）
A．a5+a5＝2a10 B．a3 a5＝a15
C．（﹣a2）4＝a8 D．（﹣4a2b）3＝﹣12a6b3
2．计算的结果为（ C ）
A．2 B． C．1 D．﹣2
3．计算：（﹣2m4）3＝（ D ）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
3.计算：
（1）； （2）
解（1）原式= 解（2）原式=
拓展性作业：
4. 计算：（1）（﹣2x2）3﹣x x5+（﹣3x3）2． （2）（﹣3x3）3﹣x2 x4﹣（x2）3．
解 (1)原式=0 解 (2)原式=
挑战性作业：
同学们，对于《幂的乘除》的学习，我们学习了哪种幂的运算？运算时要注意什么？思考后尝试编写两道题目与同桌分享你的结果.
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" 原创名校精品资源21世纪教育网独家享有版权，侵权必究《1.1.3幂的乘除》教学设计
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
一、课型
新授课
二、内容分析
（一）课标要求
《义务教育数学课程标准（2022年版）》对幂的乘法的内容要求是：了解整数指数幂的意义和基本性质;会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）.会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质，能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算；是本节课的学业要求.因此，作为继同底数幂乘法、幂的乘方两种幂的运算性质之后的第三种幂的运算，是幂指数运算不可或缺的一部分。同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方成了幂的运算的体系，研究方法类同，即：从“数”的相应运算入手，类比过渡到“式”的运算，从中探索、归纳“式”的运算法则.有前两节课做基础，本节课以问题为指导，放手让学生自主学习，引导学生归纳总结，从而真正理解积的乘方的运算方法；再运用性质进行计算，注重类比，辨析知识间的区别与联系. 进一步培养学生的推理验证能力与运用法则运算能力，感受数学知识间的转化关系。来落实课标要求内容.积的乘方包含的核心素养有运算能力、符号意识、抽象能力等.要重视引导学生理解并掌握积的乘方运算法则和背后的算理，并能运用新知进行相关的计算。因此，在教学中，让学生在观察、计算、思考、自主探索、合作交流、总结归纳中经历法则形成的过程，会用概念判断一个算式是否属于积的乘方，来发展学生的符号意识；引导学生能根据乘方的意义、乘法运算律和同底数幂的乘法法则解释积的乘方，发展学生的思维能力和有条理的语言表达能力；引导将新知幂的乘方转化为旧知已学的幂的运算进行探究，体会转发的思想；从建立法则到运用法则，初步形成从特殊到一般再到特殊的认知规律，增强学生的抽象能力.
（二）教材分析
《幂的乘除》是本章《整式的乘法》的第一节课.《积的乘方》是在学生学习了同底数幂的运算性质和幂的乘方运算性质的基础上的第三种运算性质，它同有理数的乘方、乘法交换律、结合律有着紧密的联系,结合同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项等概念将幂的运算部分内容自然的引入到整式的运算，它是幂指数运算不可缺少的重要性质之一，它将为整式的运算打下基础和提供依据，是后继学习整式的运算的基础和桥梁。由此可见本节课的内容起着承上启下的重要作用。教学中，采用先复习幂的相关运算法则，使学生学生能用已学知识判断一个算式是否属于积的乘方；学生能根据乘方的意义、乘法运算和幂的乘方法则解释积的乘方，能运用法则解决基本的积的运算，培养学生使用一般原理进行演绎推理的能力；在探究法则阶段，要充分发挥学生的主观能动性，用已有的旧知通过计算观察归纳总结（合情推理：从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果）→一般情况的推理证明（演绎推理：从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算）→得出性质法则→表述法则（强化指数为正整数），能用文字语言概括出法则，用符号语言简洁规范的表述法则的内容.在运用法则阶段，通过解决简单的问题，感知从一般到特殊和转化的思想.将进一步丰富学生的数学活动经验，促进学生观察、分析、归纳、概括的能力.积的乘方法则的推导以及算法背后的算理是本节课需要突破的重点，对法则的归纳、理解及与其他幂的运算的区别是本节课需要突破的难点.为此，本节课运用了引导探究教学策略，通过复习幂的相关运算的法则，而得到积的乘方的逻辑基础，按照积的乘方可以化成已学习的幂相关运算的逻辑顺序展开学习；通过创设情境，埋下伏笔，引导学生在实际问题中抽象出积的乘方的数学模型，然后根据已学习的来进行计算，通过问题串的追问，使学生初步感受积的乘方的生长点是乘方的意义、乘法运算律和幂的相关运算.为下阶段探究积的乘方的法则埋下了伏笔；通过学生的自主探究、小组合作，引导学生从具体的例子出发，在观察、发现、归纳一般化的过程中，经历法则形成的全过程，感受从特殊到一般的研究问题的方法，发展学生的抽象思维能力和数学语言表达能力.
三、学情分析
1.基础知识
学生在七年级时已经学习过有理数的乘方运算，能够理解乘方的意义；学习了从数到式的学习，学习了整式的概念与整式的加减运算，具备用字母表示数的思想，也感受到了数与式的通性。此外，前两节课学生还经历了探索同底数幂的乘法的运算性质、幂的乘方的过程，初步具备了分析问题、探究问题的能力。这些都为本节课的学习奠定了基础.因此，教学过程中,要采用自主探索和合作交流的方法，充分利用具体数字到一般字母的相应计算，通过观察、类比、自主探究规律、合作交流，小组讨论探索规律的过程，培养学生的合作能力和逻辑思维能力，促使他们主动参与、积极探究.
2.行为习惯
学生已经养成提前预习的习惯，在课堂上也能认真听讲、及时整理笔记，但是在主动反思、大关胆质疑问、有效表达等方面还稍有欠缺.
具体措施为：一是给给学生留出思考、整理的时间，提醒学生根据老师要求，简要做好笔记；二是关注学生的表现，引导学生自己提出问题；三是让更多的学生特别是学习薄弱学生，参与到课堂交流、展示、表达的过程。
3、关键能力
七年级学生对数学的学习热情较高，且初步具备了分析问题和探究问题的能力，这些都为本节课的学习奠定了基础。但由于七年级学生的抽象思维能力和知识迁移能力还处于发展中的水平，因此在抽象概括法则方面可能存在困难；比如题目中的关键信息的提取、思维建模能力可视化程度、语言表达的专业性简洁性和规范性上都需要提高. 另外，乘方与同底数的幂相乘的区分，运算性质的逆用，都可能存在困难。希望通过本节课的教学在这些方面有所突破.
四、学习目标
基础性目标 我能说出积的乘方的法则，进一步体会幂的意义.我能运用积的乘方法则解决简单的问题.
拓展性目标 我能运用幂的相关运算则解决问题.我能利用积的乘方法则的逆用解决简单的问题
挑战性目标 我能总结幂的相关运算的区别和联系，进一步体会幂运算的意义以及类比、归纳等方法的作用.
五、实现路径
基础性目标实现路径 课前：自主完成基础性目标
课堂：学生展示基础性目标活动，学生互相补充，教师点评
拓展性目标实现路径 课前：阅读拓展性目标材料
课堂：自主完成拓展性目标，展示分享，学生相互补充，学生互评，教师点评
挑战性目标实现路径 课前：阅读挑战性目标材料，尝试总结
课堂：学生独立思考后，小组合作总结形式，完成挑战性目标，展示分享，教师点评
课后：补充完善，形成设计作品
六、课堂流程
流程 时间 教师活动 学生活动
明确目标拉齐基础 1分钟 展示本节课的三层学习目标向学生交待本节课的学习任务 明确本节课的学习任务
整体出发逐渐分化 3分钟 回顾已学数与式的运算，类比单元整体教学中整式的运算 明确单元整体学习脉络
创设情境基础过关 4分钟 提出基础性目标问题，及时点拨 自主探究问题，回答基础性目标问题
自主探讨个人展评 5分钟 组织学生探究拓展性目标问题并进行及时指导，帮助汇报学生规范数学语言 自主探究拓展性目标问题，指定汇报者汇报，其他同学互相补充
合作探讨挑战突破 12分钟 指导学生完成挑战性目标问题结论的描述，指定学生进行展讲，及时点拨，并对表现优异的学生进行表扬 学生完成挑战性目标问题结论，重点如何理清思路，互相补充，并记录不懂的问题
答疑解惑拓展能力 12分钟 组织学生展示不懂的问题，对当堂练习进行点拨 学生展示不懂的问题，完成当堂练习
对照目标检测效果 2分钟 再次展示本节课的三层学习目标 对照本节课的基础目标和拓展性目标，检测自己的学习效果，分享目标达成度
自我小结挑战点拨 1分钟 请学生分享课堂收获体会、点评、肯定、补充 分享课堂收获，互相补充
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第一章 整式的乘除
1.1.3积的乘方
郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
一 学习目标
三 新知讲解
五 当堂检测
二 复习回顾
四 课堂总结
六 作业布置
一 学习目标
基础性目标 1. 我能理解积的乘方的法则，进一步体会幂的意义.
2.我能运用积的乘方法则解决简单的问题.
拓展性目标 我能运用幂的相关运算则解决问题.
我能利用积的乘方法则的逆用解决简单的问题
挑战性目标 我能总结幂的相关运算的区别和联系，进一步体会幂运算的意义以及类比、归纳等方法的作用.
二 复习回顾
二 复习回顾
预备性知识：
回顾已学的有关幂的运算及法则，尝试用字母表示.
同底数幂相乘法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；
用字母表示：
幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；
用字母表示：
二 复习回顾
预备性知识：
解：=2.88
答：它的体积为2.88
三 新知讲解
解：（1）原式=35=33335555=
（2）原式===
三 新知讲解
把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
（正整数）
问题2. 如果n是正整数，那么(ab)n等于什么？为什么？
你能说明理由吗？
总结：积的乘方的法则：
积的乘方等于____________________.
数学符号语言:________________________________.
三 新知讲解
解（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
三 新知讲解
解：（1）原式=
=0
解：（2）原式=105
=-113
解：（3）原式=
=
解：（4）原式=
=10
三 新知讲解
解（1）原式=
解（1）原式=
三 新知讲解
同底数幂相乘
乘法运算
不变
相加
幂的乘方
乘方运算
不变
相乘
积的乘方
乘方运算
把积中的每一个因式分别乘方，
再把所得的幂相乘
四 课堂总结
结合本节课的目标，说说本节课你的收获
基础性目标 1. 我能理解积的乘方的法则，进一步体会幂的意义.
2.我能运用积的乘方法则解决简单的问题.
拓展性目标 我能运用幂的相关运算则解决问题.
我能利用积的乘方法则的逆用解决简单的问题
挑战性目标 我能总结幂的相关运算的区别和联系，进一步体会幂运算的意义以及类比、归纳等方法的作用.
五 当堂检测
A
C
五 当堂检测
解 （1）原式=
解 （2）原式=+9 =0
六 作业布置
C
D
D
解（1）原式=
解（2）原式=
六 作业布置
解 (1)原式=0
解 (2)原式=
六 作业布置
Thanks!
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 刘瑞营
预备性知识：
1. 回顾已学的有关幂的运算及法则，尝试用字母表示.
2. 地球可以近似地看成是球体，地球的半径约为6×103千米，尝试用已有知识进行计算，它的体积大约是多少立方千米 （V球 =πr3，其中 V 是球的体积，r 是球的半径）
活动1：（基础性目标1）
问题1：根据乘方的意义，试做下列各题：
问题2. 如果n是正整数，那么(ab)n等于什么？为什么？ 你能说明理由吗？
总结：积的乘方的法则：
积的乘方等于____________________.
数学符号语言:________________________________.
活动2： （基础性目标2）
问题3：计算下列各式.
活动3：（拓展性目标1）
问题4：计算下列各式.
活动4：（拓展性目标2）
问题5：根据积的乘方的法则，尝试解决下面问题：
小组合作活动5：（挑战性目标）
问题6：小组合作总结有关幂的相关运算，并分析他们之间的相同点和不同点。
运算种类 公式 法则中的运算 计算结果
底数 指数
问题7：尝试编写两道有关积的乘方的运算，并小组合作交流过程与结果.
当堂检测
1．（基础性知识）举出两个同底数幂相乘的例子.
2. (基础性知识)计算的结果是（）
A. B. C. D.
3.(拓展性知识) 下列四个算式中正确的算式有（ ）
①（a4）4＝a4+4＝a8；②[（b2）2]2＝b2×2×2＝b8；③[（﹣x）3]2＝（﹣x）6＝x6；④（﹣y2）3＝y6．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4.(拓展性知识)计算：
（﹣2x2）3﹣x x5+（﹣3x3）2．
5. (挑战性知识)回顾同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方的学习，你经历了怎样的探究过程？幂的运算与数的运算有什么联系？你还想探究幂的什么运算？
课后练习（可根据实际选做）
基础性作业：
1．下列计算正确的是（ ）
A．a5+a5＝2a10 B．a3 a5＝a15
C．（﹣a2）4＝a8 D．（﹣4a2b）3＝﹣12a6b3
2．计算的结果为（ ）
A．2 B． C．1 D．﹣2
3．计算：（﹣2m4）3＝（ ）
A．﹣6m7 B．﹣8m7 C．﹣2m12 D．﹣8m12
3.计算：
（1）； （2）
拓展性作业：
4. 计算：（1）（﹣2x2）3﹣x x5+（﹣3x3）2． （2）（﹣3x3）3﹣x2 x4﹣（x2）3．
挑战性作业：
同学们，对于《幂的乘除》的学习，我们学习了哪种幂的运算？运算时要注意什么？思考后尝试编写两道题目与同桌分享你的结果.
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