大联考雅礼中学 2025届高三月考试卷（五）
数 学
命题人:李斑 郝楠楠 审题人:李云皇
本试卷分第 I卷(选择题)和第 II卷(非选择题)两部分,共 8页.时量 120分钟,满分 150分.
第 I卷
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
1.已知复数 z满足: 2 i z m (其中 i为虚数单位,m为正实数),则 z的共轭复数 z在复平面
内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设全集U R,A {x | 3 x 4},B x | y x 2 ,则图中阴影部分表示的集合为( )
A. x | x 2 B.{x | x 2} C. x | x 4 D. x | x 4
cos 3 cos 3.已知 ,则 的值为( )
1 sin sin 1
3 3
A. B. C. 3 D. 3
3 3
4.已知向量a 2,1 , a b 3 ,若b b 2a ,则 cos a,b ( )
5 10 5 5
A. B. C. D.
10 10 10 5
ln 1 x , x 1,
5.已知函数 f x 若方程 f x m 0有 4个不相同的解,则实数m的
x 2
2 , x 1,
取值范围为( )
A. 0,1 B. 0,1 C.(0,1) D. 0,1
6.某圆锥母线长为 6 ,底面半径为 2,则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面的面积最大时,
此截面将底面圆周所分成的两段弧长之比(较短弧与较长弧之比)为( )
1
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}
A1:1 B.1: 2 C.1: 3 D.1: 5
2 2
7. 已知椭圆 E : x y2 2 1 a b 0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,P为椭上不与顶点重合的a b
3
任意一点, I 为 PF1F2的内心,O为坐标原点,记直线OP,OI 的斜率分别为 k1,k2 ,若 k1 k2 ,2
则椭圆 E的离心率为( )
1 1 3 2
A. B. C. D.
3 2 3 2
8.已知 a1,a2 , ,a5 为 1,2,3,4,5的任意一个排列.则满足:对于任意 n 1,2,3,4,5 ,都有
a1 a2 an na1的排列 a1,a2 , ,a5 有( )
A.49个 B.50个 C.31个 D.72个
二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项有多项符合题目要求,全
部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选得 0分.
9.已知函数 f x 4tan x 0,0 的部分图象如示,则( )
A. 2
B.
3
f x y 0, 4 3
C.函数 的图象与 轴的交点坐标为 3
D.函数 y f x 的图象关于直线 x 7 对称
12
2
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}
10.某机构抽样调查一批零件的尺寸 x和质量 y ,得到样本数据 xi , yi
i 1,2,3, , 20 ,并计算得该批零件尺寸和质量的平均值分别为 3和 60,方差分别为 4和 400,
20
且 xi yi 4320 ,则( )
i 1
n
xi x yi y
(参考公式:相关系数 r i 1 .经验回归方程 y b x a ，
n
2
n 2
xi x yi y
i 1 i 1
n
xi x yi y
其中b i 1 n ,a y b x )
2xi x
i 1
9
A.样本数据的相关系数为
10
B.样本数据 y关于 x的经典解归方程为 y 9x 33
C.样本数据所得经验回归直线的残差平方和为 0
D.若数据 x、y ,均满足正态分布,则估计P x 5 P y 40
11.已知函数 f x 及其导函数 f x 的定义域均为 R ,若 f 1 x f (3 x) x 1 ,且
f (2x 1)是奇函数,令 g x f (x) ,则下列说法正确的是( )
A.函数 h x 1 x f x 2 1 是奇函数 B. g 0
2 2
24 24
C. f i 138 D. g i 12
i 1 i 1
3
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}
第 II卷
三.填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分.
12.若 an 是公比不为 1的等比数列 Sn为 an 的前 n项和,且 a1,S2 ,3a3成等差数列,则数列
an 的公比为_____
13.曲线 f x ex 2 sinx ( e 2为自然对数的底数)在 x 0处的切线与圆 x 2 y 9
相交于点M ,N ,则 MN _____.
2 2
14.已知双曲线C1 :
x y
2 2 1 a 0,b 0 ,F1 为左焦点,曲线C1上的点到左焦点的距离最小a b
值为 2 3 ,点 A1, A2 在C1上,且关于原点O对称, P是C1上一点,直线 PA1和PA2 满足
k 1 2PA kPA ,则双曲线C1的渐近线方程为 ；过点 P作圆C2 : x y 2 2的1 2 3
两条切线 PM ,PN ,切点分别为M ,N ,则C2M C2N 的最大值为 .
4
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}
四、解答题:本题共 5小题,共 77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时成写出文字说明、证
明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13分)
2
从①点(A,0)是函数 f x sin2x 3 2cos x 1 的图象的一个对称中心:
2c b sinB bsinA B C
② ;③ csin asinC 这三个条件中选一个补充到下面的横线并作
cosB cosA 2
答.
问题:
在锐角 ABC中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c ,且 .
(1)求 A ;
2sinB
(2)求 的取值范围;
sinC
注:若选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
5
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}
16.(本小题满分 15分)
在平面直角坐标系 xOy中,M 为直线 y x 3 2上的动点,过点M 作抛物线C : x 2y 的两条
切线MA ,MB ,切点分别为 A , B , N 为 AB的中点.
(1)证明:MN x轴；
(2)直线 AB是否恒过定点 若是,求出这个定点的坐标；若不是,请说明理由.
6
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}
17.(本小题满分 15分)18.在某市举行的一次质检考试中,为了调查考试试题的有效性以及试卷
的区分度,该市教研室随机抽取了参加本次质检考试的 100名学生的数学考试成绩,并将其统计
如下表所示.
成绩 X 75,85 85,95 [95,105) 105,115 115,125
人数 Y 6 24 42 20 8
(1 2 2)已知本次质检考试中的数学成绩 X N , ,其中 近似为样本的平均数, 近似为样
s2本方差 ,若该市有 5万考生,试估计数学成绩介于 90~120分的人数；(以各组区间的中点值代
表该组的取值)
(2)现按分层抽样的方法从成绩在[75,85)以及[115,125]之间的学生中随机抽取 7人,再从这 7
人中随机抽取 3人进行试卷分析,记被抽取的 3人中成绩在 75,85 之间的人数为 ,求 的分
布列以及期即 E .
2
参考数据:若 X N , ,则
P X 0.6827,P ( 2
X 2 ) 0.9545,P 3 X 3 0.9973 .
7
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}
17.(本小题满分 17分)
如图,菱形 ABCD中 ABC 120 ,动点 E,F分别在边 AD, AB上(不含端点),且存在实数
使 EF BD ,沿 EF 将 AEF向上折起得其 PEF ,使得平面 PEF 平面 BCDEF ,如图 2
所示.
(1)若 BF PD ,设三棱锥 P BCD和四棱锥 P BDEF 的体积分别为V1,V
V
2 ,求
1 ;
V2
(2)当点 E的位置变化时,平面 EPF与平面 BPF的夹角的余弦值是否为定值,若是,求出该余
弦值；若不是,说明理由；若 AB 2 ,求四棱锥 P BDEF 的外接球半径的最小值.
8
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}
19(本小题满分 17分)
给定正整数 n 2 ,设数列 a1,a2 , ,an是1,2, , n的一个排列,对 i 1,2, ,n , xi表示以 ai
为首项的递增子列的最大长度(数列的项数叫做数列的长度), yi表示以ai 为首项的递减子列的
最大长度.我们规定:当 ai 后面的项没有比 ai大时, xi 0 ,当 ai 后面的项没有比 ai 小时, yi 0.
例如数列: n 3,a1 2,a2 1,a3 3 ,则 x1 2, y1 2 , x2 2, y2 0, x3 0, y3 0.
n
(1)若 n 4,a1 1,a2 4,a3 2,a4 3 ,求 x1, y2 和 xi yi ;
i 1
(2)求证: i 1,2, ,n 1 , xi y
2 2
i xi 1 y i 1 0 ;
n
(3)求 xi yi 的最值.
i 1
9
{#{QQABLYYo4ggQgBbACD4qUUHmCQkQkIGgLcgMgRAeqAwqCYNIBIA=}#}炎德·英才大联考雅礼中学2025届高三月考试卷（五）
数学参考答案
一、二、选择题
题马
2
3
5
6
7
8
9
10
11
答案
A
A
A
B
B
A
ACD
ABD BCD
1.Λ【解桥】：2十Dg=m=行二号，=+骨义m为正实数故复教8在复个西内对应的点位子第
5
5
一象限，
2.C【解析】因为B={xy=√x+2}={.x.x≥-2)，又A={.x-3≤x<4},所以A∩B={x-2≤x<4.
所以图中阴影部分表示的集合为Cu(A∩B)={xx≥4}.
3A【g折]调为品。·马9=-1里竿品。=，所以马-号
4.B【解析】因为a=(2.1),所以a=√5，所以a十b =a2+6+2a·b=9,整理得6+2a·b=4①，
又b⊥(b-2a),所以b·(b-2a)=b-2a·b=0②，联立①②求解得|b1=√2，a·b=1,
以wa-治文后
10
5.A【解析】画出函数()的图象，如图所示，
。
4-321123
-1
若方程∫(x)一m=0有4个不相同的解，则y=m和∫(x)的图象有4个不相同的交，点，结合图象可知0<≤1.
6,B【解析】该國维抽截面是等腰三角形，腰长为√6，底边长4，所以项角为纯角.
设截面为△SMN,其中S为顶点，显然，当∠MSN=90°时，龙面三角形面积最大，
此时MN=2SM=23,OM=ON=2(其中0为底面圆國心)，此时∠MON=经，所以我得的两段孤长之比为1：2.
3
7.B【解析】解法一：设P(x),I(y),设圆I与PF1,PFx轴分别相切于点M,N,T,
PM=PN,F M=FT.FN=F:T,
∴.F,T+PN+NF2=a十c,即F,T+PF2=u十c,∴.F,T=x,+c=a十c-(a-e.xo),∴x=exo,
哈2如+2=台×2=类尝-号×安
∴a=2,脚符e=号
解法二：延长P1交x轴子点D,则册=PEPE==。
设P)则y克由=得(2西片小
数学参考答案（雅礼版）一】
由品-器-中受00，由P,人D三点共成
e+1
】
3e
解法三取P为特珠点加右焦点上方则P(名)e一-名号十（一d小
由=号，得(e-1D2e-1)=0,解得e=分
8.A【解析】因为1+2+3+4+5=15，所以n=5时，a1+2十a+a,+a=15≤5a1,所以a1≥3，
当4=5时，任意排列均满足题意，共有A=24个，
当a1=4时，只要a2≠5，其他排列均满足题意，共有3X3×2×1=18个，
当41=3时，a2只能取」或2，所有的情况如下：
排列32145，满足题意：排列31245，满足题意，
排列32154.满足题意，排列31254.满足题意，
排列32415.满足题滋，排列31425，满足题意，
排列32451.不满足题意，排列31452，不满足题意，
排列32514.不满足题意，排列31524，满足题意，
排列32541，不满足题意，排列31512，不满足题意，共7个满足题意，
综上，满足题党的排列共有24十18十7=49个.
9.ACD【解析】由图可知，函数八)的最小正网期T=恶=受，则山=2，A正确：
由图象可知=吾时，函教无意义，故弩-9登+mk∈么
由0/0)=-45.c正确：
由()=an(爱-晋）=0，则)的图象关于点（爱0对称，
由图象对称变换可得函数y=川的图象关于直线x=爱对称，D正确.
10.ABD【解析】r=
(红-x0y-y
含2y一u四
√含(x-x·2y,-√含x,-)·2y-y
0器-器-品故Λ
√20×4×20×400
正确：
C--94320-20X3X80=9.8=y-hr=60-9X3=33.所以=9
4-0
20×4
残差平方和表示随机误差的效应，一组数据的残差平方和越小，其拟合程度越好，不一定等于0，故C错议：
由题意可知，.x~N(3,2),yN(60,202),P(z≤5)=P(x≤μ十a),
P=(y≥40)=P(y≥μ-a),利用对称性可知，P(x≤5)=P(y≥40)，故D正确.
11.BCD【解析】因为f(1十x)一f(3-x)=x-1,把x换成x十1，则(2十)-(2-x)=x,
移项化简可得分x-x+2)=一司一2-，即)=h(-,为偶函数，故A储误：
由A中(2+)-f(2-x)=x求导可得g(2+.x)+g(2-)=1.令x=0.可得g2)=,又2x+1)是奇函数。
仰(2x十1)=-(-2.x十1)，求导可得g(2x十1)=g(-2x十1).即g(x+1)-g(-x+1)=0,
令x=1,则g2)一g《0=0,所以g<0=g(2)=是，故B正确：
由B中f2.x+1)=-(-2x+1)可得f(x+1)+(-x+1)=0.①
由A中∫(2十x)-f(2-x)=x,②
数学参考答案（雅礼版）一2
