第五章：集合与常用逻辑用语
（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·湖北·月考）一次函数与的图象交点组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·广东深圳·月考）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·陕西汉中·期末）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（23-24高二上·湖南·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·四川绵阳·月考）满足条件的集合有（ ）种
A．3 B．5 C．7 D．8
8．（23-24高一上·广东东莞·月考）设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一上·广东惠州·月考）对于下列四个判断，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（ ）
A．集合与集合是同一个集合
B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件
C．对于任何两个集合A，B，恒不成立
D．，，则
11．（23-24高一上·甘肃兰州·月考）如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为 ．
13．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为 ．
14．（23-24高一上·山东淄博·月考）若集合，实数的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一上·吉林·月考）已知集合，全集为实数集.
(1)求；
(2)求.
16．（23-24高一上·广东深圳·月考）用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1)任意实数的平方大于0；
(2)有的实数的平方等于它本身；
(3)两个有理数的乘积仍为有理数.
17．（23-24高一上·广东惠州·月考）求证：一元二次方程ax2＋bx＋c0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
18．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
19．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第五章：集合与常用逻辑用语
（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，则，.
2．（23-24高一上·安徽芜湖·期末）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】的否定是，.
3．（23-24高一上·湖北·月考）一次函数与的图象交点组成的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，解得，
所以两函数图象交点组成的集合为..
4．（23-24高一上·广东深圳·月考）下列元素与集合的关系中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为自然数集，为正整数集，为有理数集，为实数集，
所以，，，..
5．（23-24高一上·陕西汉中·期末）“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】由且可知一定不成立，故“且”是“”的充分条件，
又由可知中都不能为0，否则若，则必有，不满足，
故“且”是“”的必要条件.
综上，即有“且”是“”的充分必要条件..
6．（23-24高二上·湖南·期中）设；，若是的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若是的充分不必要条件，且等号不同时不成立，解得..
7．（23-24高一上·四川绵阳·月考）满足条件的集合有（ ）种
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【解析】因为，
所以集合可以为，，共个.
.
8．（23-24高一上·广东东莞·月考）设，A与B是U的两个子集，若.则称为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”（规定：当时，与是两个不同的“理想配集”）的个数是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
【答案】D
【解析】对子集分类讨论：
若,此时集合可以为
共8个结果；
若,此时集合可以为共4个结果；
若,此时集合可以为共4个结果；
若,此时集合可以为共4个结果；
若,此时集合可以为共2个结果；
若,此时集合可以为共2个结果；
若,此时集合可以为共2个结果；
若,此时集合可以为共1个结果；
所以共有个结果，故选:C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（23-24高一上·广东惠州·月考）对于下列四个判断，其中错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】A选项中元素与集合的关系是属于和不属于的关系，所以，A错误；
B选项中空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以或，B错误；
C选项中空集是任意非空集合的真子集，C正确；
D选项中是无理数，D错误.BD
10．（23-24高一上·山东菏泽·期中）下列四个命题中的假命题为（ ）
A．集合与集合是同一个集合
B．“为空集”是“与至少一个为空集”的充要条件
C．对于任何两个集合A，B，恒不成立
D．，，则
【答案】ABD
【解析】A选项，集合，集合，
所以两个集合不是同一个集合，所以命题是假命题.
B选项，当“为空集”时，可能，
此时都不是空集，所以命题是假命题.
C选项，根据交集和并集的定义可知，恒不成立，命题是真命题.
D选项，由于集合的元素不相同，所以两个集合不相等，所以命题是假命题.BD
11．（23-24高一上·甘肃兰州·月考）如图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
A选项：，则，故A正确；
B选项：，则，故B错误；
C选项：，则，故C错误；
D选项：，，故D正确.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·安徽马鞍山·月考）在即将举行的中加秋季运动会中，高一某班同学积极报名参赛，报名田赛的学生有21人，报名径赛的学生有18人，田赛和径赛都报名的有5人，另外还有4个人既不报名田赛也不报名径赛，那么该班级共有学生人数为 ．
【答案】
【解析】设该班级的总人数构成全集，报名田赛的学生构成集合，报名径赛的学生构成集合，
既不报名田赛也不报名径赛构成集合，
则，
则人.
故答案为：.
13．（23-24高一下·北京·期末）已知集合、．若是的必要不充分条件，则的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，所以.
故答案为：.
14．（23-24高一上·山东淄博·月考）若集合，实数的值为
【答案】
【解析】令,,，,,，
,,，，，
若，则，则,,，,,，满足要求；
若，则，而中元素，矛盾；
若，则，则,,，,,，满足要求；
故实数的值为.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一上·吉林·月考）已知集合，全集为实数集.
(1)求；
(2)求.
【答案】(1)；(2).
【解析】（1）由，
所以.
（2）由题设，或或，
所以.
16．（23-24高一上·广东深圳·月考）用符号语言表示下列含有量词的命题，并判断真假：
(1)任意实数的平方大于0；
(2)有的实数的平方等于它本身；
(3)两个有理数的乘积仍为有理数.
【答案】(1)，假命题；(2)，真命题；(3)，真命题
【解析】（1）“任意实数的平方大于0”用符号语言表示为：；
当时，，不合题意，所以为假命题；
（2）“有的实数的平方等于它本身”用符号语言表示为：；
当时，，所以为真命题；
（3）“两个有理数的乘积仍为有理数”用符号语言表示为：；
当时，根据有理数的性质知，所以为真命题.
17．（23-24高一上·广东惠州·月考）求证：一元二次方程ax2＋bx＋c0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【答案】见解析．
【解析】(1)必要性：因为方程有一正根和一负根，
所以为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δb2－4ac>0及x1x2<0(x1，x2为方程的两根)．
所以方程ax2＋bx＋c0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
18．（23-24高一上·北京东城·期末）已知集合，.
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若将题干中的集合改为，是否有可能使命题：“，都有”为真命题，请说明理由.
【答案】(1)；(2)；(3)不可能，理由见解析
【解析】（1）若，则，
又，
所以，解得；
（2）因为，
所以或或，
解得或或，
所以；
（3）若，，
对，都有，则，
所以，该不等式无解，
故命题：“，都有”为真命题不可能.
19．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
【答案】(1)不是，理由见解析；(2)证明见解析；(3)7
【解析】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
,
经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；
（2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知
均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同.
若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数；
若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）,
显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”，
此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数，
综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数.
（3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，
若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，
两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”，
当，设，去掉1后，，
去掉3后，，去掉5后，，
去掉7后，，去掉9后，，
去掉11后，，去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7.
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