2.2.3一元二次不等式的解法
课程标准 学习目标
1、掌握用因式分解法解决一元二次不等式. 2、掌握用配方法解决一元二次不等式. 一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方法、因式分解法. 掌握一元二次不等式的的运算法则，探究运算思路，选择相对应的运算方法。 一般一元二次不等式有两个解，需要验证其有效性。
知识点01一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
注：一元二次不等式的二次项系数a有a>0和a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
【即学即练1】下列不等式中是一元二次不等式的是( )
A．a2x2＋2≥0 B．＜3
C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1＞0
【解析】选项A中，a20时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．
答案：C
知识点02一元二次不等式的解法
（1）用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x1
0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．
②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．
依据是：ab>0当且仅当或；
ab<0当且仅当或
（2）用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．
(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．
【即学即练2】（2024·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)无解
(3)
【分析】根据十字相乘法、配方法，可得答案.
【详解】（1），，，.
（2），，，无解.
（3），，，解得.
【即学即练3】（2024·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式
【答案】答案见解析
【分析】原不等式可化为，分、、三种情况求解即可.
【详解】原不等式可化为.
当，即时，或；
当，即时，；
当，即时，或.
综上，当时，解集为或；
当时，解集为；
当 时，解集为或.
知识点03二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ0 Δ＜0
yax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
【即学即练4】【多选】（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
【答案】CD
【分析】根据给定的解集，用表示出，再逐项判断作答.
【详解】不等式的解集为，则是方程的根，且，
则，即，A错误；
不等式化为，解得，即不等式的解集是，B正确；
，C错误；
不等式化为，即，解得或，
所以不等式的解集为，D正确.
D
知识点04分式不等式
分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．
注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．
【即学即练5】（2024·全国·高三对口高考）已知集合，则 ．
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法求解即可.
【详解】解：原不等式等价于，化简得，
所以，又等价于，解得：
所以，
故答案为：．
难点：含参数的一元二次不等式的解法
示例：解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
【解析】 对于方程2x2＋ax＋20，其判别式Δa2－16(a＋4)(a－4)．
①当a>4或a<－4时，Δ>0，方程2x2＋ax＋20的两根为x1(－a－)，x2(－a＋)．
∴原不等式的解集为
.
②当a4时，Δ0，方程有两个相等实根，x1x2－1，
∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．
③当a－4时，Δ0，方程有两个相等实根，x1x21，
∴原不等式的解集为{x|x≠1}．
④当－4注：二次项系数为2，Δa2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．
方法小结：含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；
(3)当Δ＞0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
【题型1：解不含参数的一元二次不等式】
例1．（2024·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式的解集为（ ）
A．或B． C．D．或
【答案】A
【分析】利用“三个二次”的关系解二次不等式.
【详解】不等式的解集为或.
.
【点睛】二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．
变式1.（2024·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，即，解得，
所以不等式的解集为.
变式2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直接根据一元二次不等式的解法求解．
【详解】解：∵，∴，无解
．
【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，注意三个二次——二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的联系，属于基础题．
变式3．（2024·上海·高一专题练习）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】先将二次项系数化为正数，再因式分解，即可求得不等式解集.
【详解】（1）等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；
（2）等价于，解得：或，所以不等式的解集为；
（3）等价于等价于，解得：，所以不等式的解集为.
【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查计算求解能力，属于基础题.
变式4．（2024·高一校考课时练习）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）（2）（3）（4）
【分析】（1）根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案；
（2）根据配方法将不等式转化为，进而分析可得答案；
（3）根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案；
（4）根据题意原不等式变形可得，进而分析可得答案.
【详解】（1）
原不等式变形可得
则该不等式的解集为；
（2）
因为恒不成立，
所以该不等式的解集为；
（3）
原不等式变形可得
则该不等式的解集为；
（4）
原不等式变形可得
则该不等式的解集为.
变式5.（2024·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】（1）不等式，即，
解得，所以不等式的解集为.
（2）不等式，即，配方得，
又，所以，解得，
所以原不等式的解集为.
（3）不等式，即，即，
又，∴原不等式的解集是.
（4）不等式，∵，
又∵的两个实数根为，，
∴原不等式的解集是
变式6.【多选】（2024·全国·高一专题练习）下列不等式的解集是空集的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】DD
【解析】对于A：恒不成立，
即不等式的解集为，故A错误；
对于B：不等式，即，即，
解得，所以不等式的解集为，故B错误；
对于C：不等式，即，因为恒不成立，
所以不等式的解集为空集，故C正确；
对于D：不等式，即，因为恒不成立，
所以不等式的解集为空集，故D正确；D
变式7．【多选】（2024·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】由一元二次不等式的性质，结合各一元二次不等式的判别式、函数开口方向即可判断各选项是否为空集.
【详解】A选项，，所以的解集不可能为空集；
B选项，，而开口向上，所以解集为空集；
C选项，的解集为，所以不为空集；
D选项，当且仅当 a = 2时等号不成立，而开口向下，所以为空集；
D
【方法技巧与总结】
一元二次不等式的解法：
(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c0的解；②画出对应函数yax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x－p)(x－q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
【题型2：含参数的一元二次不等式的解法】
例2．（2024·全国·高一假期作业）若，解不等式．
【答案】
【分析】根据题意，，转化不等式，求解即可．
【详解】解：∵，∴，
原不等式可化为，
解得．
故原不等式的解集为．
变式1．（2024·高一校考课时练习）解关于x的不等式: .
【答案】答案见解析
【分析】对，，进行分类讨论进而解方程即可.
【详解】①当时，不等式化为，解得，
此时不等式的解集为;
②当时，原不等式化为，
解得不等式的解集为:；
③当时，原不等式化为: ，
解得不等式的解集为:.
综上所述，当时，解集为;
当时，解集为;
当时，解集为
变式2．（2024·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式.
【答案】当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．
【分析】需要分类讨论，先讨论，和，时，相应方程的两根大小易判断，可直接得出不等式的解集，时，相应方程的两根的大小不确定，需按两根大小分类．
【详解】当，原不等式等价于，解得．
当时，原不等式
1）当时，原不等式，此时，原不等式解集为
2）当时，原不等式
①当，即时，原不等式解集为
②当，即时，易得原不等式解集为
③当，即时，易得原不等式解集为
综上所述得：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
【点睛】思路点睛：本题考查解含参数的一元二次不等式，解题时要注意分类讨论，分类讨论有三个层次：第一层次是最高次项系数是否为0，在最高次项系数不为零时，还应分正负，第二层次是相应的二次方程有无实根，在有实根的前提下，第三层次就是比较两根的大小．
变式3.（2024·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：，
当时，可知，对应的方程的两根为1，，
所以不等式的解集为：..
变式4．（2024·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【分析】将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，结合一次、二次不等式的解法解原不等式，即可得解.
【详解】解：由可得.
（1）当时，原不等式即为，解得；
（2）当时，解方程可得或.
①当时，，解原不等式可得或
②当时，则，解原不等式可得；
③当时，原不等式即为，解得；
④当时，，解原不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
变式5．（2024·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知， ，求关于的不等式的解集.
【答案】答案见解析
【分析】讨论，、、且三种大情况，解不等式得到答案.
【详解】①当时，不等式的解为.
②当时，令解得；
当时，，解得；
当时，，不等式的解集为R；
当且时，由基本不等式得，
解得或.
综上：当时，不等式解集为；
当时， 不等式解集为；
当时， 不等式的解集为R；
当且时，不等式的解集为或.
变式6.（2024·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：（）；
【答案】答案见解析
【解析】，
当时，，无实数解，
当时，，的无实数解，
当时，，的解为，
综上，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
【方法技巧与总结】
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
【题型3：利用不等式的解集求参数】
例3.（2024·山东临沂·高一校考开学考试）若不等式的解集是，则 ， ．
【答案】；
【解析】因为不等式的解集是，
所以是的根，
所以，
所以故答案为：
变式1．（2024·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式的解集是，则（ ）
A．-10 B．-6 C．0 D．2
【答案】A
【解析】由一元二次方程根与系数的关系求得即可得出结果.
【详解】因为不等式的解集是,
所以的两根为，则，即，
所以.
【点睛】本题考查由一元二次不等式的解集求解参数，一元二次不等式的解法，属于基础题.
变式2．（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可知，是方程的两根，根据韦达定理便可求解．
【详解】关于的不等式的解集是，
，是方程的两根，
，
解得，
，
．
变式3.（2024·上海徐汇·高一校考期中）已知关于的不等式的解集为，则 .
【答案】16
【解析】因关于x的不等式的解集为，
则是方程的二根，
则有，解得，所以.
故答案为：16.
变式4.（2024·河南南阳·高一校考阶段练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】首先利用一元二次不等式和方程的关系，列出根与系数的关系，得到的关系，代入不等式化简求解.
【详解】的解集是，，得，
则不等式，
即，解得：，
所以不等式的解集是.
变式5.【多选】（2024·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CCD
【解析】因为不等式的解集为，
故相应的二次函数的图像开口向下，所以，故A错误；
易知2和是方程的两个根，则有，，
又，故，，故BC正确；
因为，所以，故D正确．CD
变式6．（2024·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为.
【详解】关于的不等式的解集为，
，，
可化为，
即
，
关于的不等式的解集是.
.
变式7．（2024·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集是，求的值.
(2)若，求关于的不等式的解集.
【答案】(1)，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得，再求解二次不等式可得；
（2）将二次不等式因式分解，再分情况讨论二次方程的根的大小求解即可.
【详解】（1）由于不等式的解集是，
则是的两根，且，
代入得，解得，
于是原不等式可转化为，
此时解集为，所以.
（2）由得，即.
因为，令，得或，
①当时，，此时不等式解集为；
②当时，，此时不等式解集为；
③当时，，此时不等式解集为；
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为.
变式8．（2024·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式的解集为，则 .
【答案】2
【分析】根据不等式的解集为可知和是方程的两根，从而求出c．
【详解】∵不等式的解集为，
∴和是方程的两根，
∴，
∴．
故答案为：2．
变式9．（2024·全国·高三专题练习）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（ ）
A．[－4，3] B．[－4，2]
C．[－1，3] D．[－2，2]
【答案】A
【分析】原不等式可化为，后通过讨论与1的大小解不等式，结合解集是的子集可得答案.
【详解】原不等式可化为.
当a＜1时，不等式的解集为[a，1]，此时只要即可，即；
当a1时，不等式的解为x1，此时符合要求；
当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要即可，即.
综上可得：.
.
变式10.（2024·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】由不等式，可得，
当时，即时，可得，即不等式的解集为，
若满足解集中恰好有2个整数，则，解得；
当时，即时，可得，即不等式的解集为，
若满足解集中恰好有2个整数，则，解得；
当时，即时，即不等式的解集为，显然不不成立，
综上可得，实数的取值范围是..
变式11．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】DD
【分析】由题意先判断出，写出不等式的解集，由不等式的解集中恰有3个正整数，分析的这3个正整数为,计算求解即可.
【详解】不等式化简为的解集中恰有3个正整数，
当时，不等式化为，则解集中有无数个整数.
当时，不等式的解集中有无数个正整数，故A错误；
所以，，，所以
所以不等式的解集为：， 根据0一定属于此集合，
则由不等式的解集中恰有3个正整数，
则这3个整数中一定为：，
则，解得
故可取和2，故C,D正确，AB错误；
D.
变式12.（2024·福建福州·高一校考开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个正整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
因为关于的一元二次不等式的解集中有且仅有4个正整数，
所以，不等式的解为，且，．
【方法技巧与总结】
三个“二次”之间的关系
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒不成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
【题型4：简单的分式不等式的解法】
例4．（2024·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集是 ．
【答案】或
【分析】分式不等式转化为一元二次不等式，求出答案.
【详解】等价于，解得或，
故解集为或.
故答案为：或
变式1．（2024·陕西渭南·高二统考期末）不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据分式不等式的解法，结合一元二次不等式的解法求解.
【详解】不等式等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
变式2．（2024·河南商丘·高一统考期中）不等式 的解集是 ．
【答案】
【分析】分式不等式可转化为整式不等式求解，但要注意分母不为零.
【详解】不等式等价于 ，解得.
故解集为：.
故答案为：
变式3．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解；
（2）根据一元二次不等式的解法求解；
（3）根据分式不等式的解法求解.
【详解】（1）可化为，即，解得，
∴原不等式的解集为.
（2），
∴原不等式的解集为.
（3）
∴原不等式的解集为.
【方法技巧与总结】
简单的分式不等式的解法
对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
注：设A、B均为含x的多项式
（1） （2）
（3） （4）
【题型5：一元二次不等式的恒不成立有解问题】
例5.（2024·全国·高一期中）已知不等式，对任意实数都不成立，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】①当时，不等式不成立，∴；
②当时，则有，解得；
综上，．．
变式1.（2024·江西南昌·高一校考阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，不等式的解集为，
即为不等式在上恒不成立，
当时，即时，不等式恒不成立，满足题意；
当时，即时，则满足，
即，解得，
综上可得，实数的取值范围是..
变式2．（2024·高一单元测试）设.
(1)若不等式对一切实数恒不成立，求实数的取值范围;
(2)解关于的不等式.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）由题意等价于对于一切实数x恒不成立，由可得答案；
（2）转化为不等式，分、、讨论解不等式可得答案.
【详解】（1）由题意，不等式对于一切实数x恒不成立，
等价于对于一切实数x恒不成立，
所以，解得，
故实数a的取值范围为；
（2）不等式，
即，
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为.
综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.
变式3．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设．
(1)若不等式对一切实数恒不成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒不成立求解作答.
(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.
【详解】（1），恒不成立等价于，，
当时，，对一切实数不恒不成立，则，
此时必有，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）依题意， ，可化为，
当时，可得，
当时，可得，又，
解得，
当时，不等式可化为，
当时，，解得，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或.
变式4.（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）函数类型不定，需对的系数分类讨论，结合图象即得答案.
（2）对应函数类型不定，需对的系数分类讨论，对应方程有根大小不定，需分类讨论，结合图象即得答案.
【详解】（1）由已知得，在R上恒不成立.
①当时，显然不满足题意.
②当时，只需满足，解得.
综上所述，实数的取值范围为.
（2）不等式，即为，
即，可化为.
①当，即时，，解集为；
②当，即时，，解集为或;
③当，即时，
i 当，即时，解集为；
ii 当，即时，解集为；
iii 当，即时，解集为.
综上所述：
当时，解集为；
当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为.
变式5.（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设．
(1)若不等式对一切实数恒不成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）对进行分类讨论来分析恒不成立问题.
（2）解不等式时要对进行分类讨论.
【详解】（1）不等式.
当时，，即不等式仅对不成立，不满足题意，舍.
当时，要使对一切实数恒不成立.
则解得.
综上，实数的取值范围为.
（2）当时，解得.
当时，.
①若，的解为；
②若，当即时，解得.
当时，，的解为或.
当时，，的解为或.
综上，当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
变式6.（2024·高一课时练习）已知不等式有解，求m的取值范围．
【答案】或
【解析】（1）当时，原不等式化为，解集为空集，故不满足题意；
（2）当时，一元二次不等式对应二次函数开口向上，显然满足题意；
（3）当时，由题意可得：，
因为，解得；
综上所述：当或时，不等式有解.
变式7.（2024·高一课时练习）已知函数，，.
(1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
(3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据二次函数与一元二次方程、不等式的关系，即可求出，的值；
（2）将不等式有解（能不成立）问题转化为二次函数最值问题解决即可；
（3）构造函数，讨论的解集恰有个整数即可.
【详解】（1）∵关于的不等式的解集为或，
∴方程的两根为，，
∴，
∴解得，.
（2）令，
若关于的不等式在上有解，则在上有解，
∴只需使在区间上的最小值.
图象是开口向上，对称轴为的抛物线，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
①当，即时，在区间上单调递增，
∴，解得，
此时，；
②当，即时， 在区间上单调递减，
∴，解得，
此时，；
③当，即时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴，解得或，
此时，；
综上所述，实数的取值范围是.
（3）令
若关于的不等式的解集中恰有个整数，
则的解集中恰有个整数，
，
①当，即时，解集为，不合题意；
②当，即时，解集为，
若解集中恰有个整数，则这个整数为，，，
∴，解得，
∴此时；
③当，即时，解集为，
若解集中恰有个整数，则这个整数为，，，
∴，解得，
∴此时；
综上所述，实数的取值范围是.
【方法技巧与总结】
1、不等式恒不成立问题：不等式恒不成立时对未知量来说，因此也称不等式解集为R
（1）恒不成立
（2）恒不成立
（3）恒不成立
（4）恒不成立
2、不等式有解问题
（1）有解或
（2）有解或
（3）有解或
（4）有解或
【题型6：一元二次不等式的实际应用】
例6．（2024·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，建立利润函数，列出不等式，可得答案.
【详解】由题意，得，，
令，得，，
，.
.
变式1.（2024·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价（元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定信息，求出利润关于的函数关系，再列出不等式并求解作答.
【详解】设该厂每天获得的利润为元，则，，，
依题意，，解得，
所以当，且时，每天获得的利润不少于1300元.
变式2.（2024·全国·高一专题练习）某商品在最近天内的价格与时间 (单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由日销售金额为，即，
解得.
变式3.（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，列出不等式，即可求解.
【详解】由题意，每年消耗木材为万立方米，所以每年税金为，
要保证税金收入每年不少于万元，可得且，
解得，即实数的取值范围为.
.
35．（2024·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m)
【答案】
【分析】由每件衬衫的售价是元，可知每天的销售量为件，那么可以得到每天出售衬衫的净收入，令其大于等于，构建不等式解不等即可.
【详解】假设每件衬衫的售价是元，则每天的销售量为件，
每天出售衬衫的净收入，
令,
，
，
解得,
故答案为：.
变式4.（2024·全国·高一专题练习）商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
【答案】，
【解析】若提价后商品的售价为x元，由于要赚取利润，故，
则销售量减少件，故每天可销售，
同样由于要赚取利润，故，则，
综上：，
因此，每天的利润为元，，
则“每天的利润不低于300元”可以表示为不等式，.
【方法技巧与总结】
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
一、单选题
1．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式的解与二次方程的根的关系，利用韦达定理即可求解.
【详解】由于不等式的解集为，
所以和是方程的两个实数根，
故且，解得，，
2．（2024高一上·江苏南通·开学考试）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【分析】转化为求解即可.
【详解】，即，即，解得或.
.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
【答案】A
【分析】根据一元二次函数的图象与轴的交点的横坐标，结合二次函数与一元二次不等式的关系，即可求解.
【详解】由题图知抛物线开口向上，所以，
抛物线与轴交点纵坐标为正，所以，
因为，所以，
由韦达定理，
即，，对称轴，
则.所以A错误，B,C正确.
不等式 可化为，
即，解得 或.
所以不等式的解集是.D正确.
.
4．（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先解分式不等式求出集合A，再求交集即可.
【详解】因为,
所以.
.
5．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解不等式，根据充分、必要条件判断即可.
【详解】由解得，
则A项是命题p的充要条件，故A错误；
由，
则B项是命题p的充分条件，故B错误；
由，且，
则C项是命题p的一个必要不充分条件，故C正确；
由，且，
则D项是命题p的既不充分也不必要条件，故D错误；
.
6．（2024高三·全国·专题练习）在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据规定的新定义运算法则化简不等式，然后直接求解一元二次不等式就可以得到正确答案
【详解】根据给出在上定义运算，
由得，解之得，
故该不等式的解集是．
7．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将不等式化为，即的两个根为，，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解.
【详解】不等式可转化为，
其解集为或，
所以，且方程的两个根为，，
则 或，解得或（舍去），
即有，即，解得.
所以不等式的解集为.
.
8．（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒不成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分和两种情况讨论，时，结合二次函数图象得到的取值范围.
【详解】时，原不等式化为，解得，不对所有的恒不成立，不符合题意；
时，原不等式为一元二次不等式，要对所有实数恒不成立，
则二次函数的图象开口向下且与轴无交点，
从而，解得，
所以，的取值范围为，
.
二、多选题
9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．（m为任意实数）
D．
【答案】ABC
【分析】根据题目中的函数图象和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题.
【详解】因为抛物线开口向下，则，
又因为抛物线的对称轴为直线，则，可得，
且抛物线与y轴的交点在x轴上方，则，
对于选项A：可得，故A正确；
对于选项B：因为，则，
所以，故B正确；
对于选项C：抛物线的对称轴为直线，可知当时，y有最大值，
则（m为任意实数），
所有（m为任意实数），故C正确；
对于选项D：因为抛物线的对称轴为直线，且抛物线与x轴的一个交点在点和之间，
则抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，
可知当时，，所以，故D错误．
BC.
10．（24-25高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知不等式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不等式的解集为
B．若不等式的解集为，则
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，
【答案】ABD
【分析】对于A解一元二次不等式即可判断，对于BC根据不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数的关系求解即可判断，对于D，根据根与系数的关系及绝对值不等式即可判断.
【详解】对于A，时，不等式，即，即，解得，所以不等式的解集为，A正确；
对于B，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即，
且方程的两根为，故，所以，B正确；
对于C，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即，
且方程的两根为，故，C错误；
对于D，若不等式的解集为，则二次函数的图象开口向下，即，
且方程的两根为，故，
所以，
当且仅当时，等号不成立，D正确.
BD.
11．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
【答案】CCD
【分析】解含参的一元二次不等式判断A,B,根据含参的一元二次不等式解集得出参数范围判断C,D.
【详解】对A，若不等式的解集是，则且，得，
而当，时，不等式，即，得，与矛盾，故A错误；
对B，取，，此时不等式的解集为，故B正确；
对C，取，，则由，得或3，故C正确；
对D，若关于x的方程有一个正根和一个负根，则，得，
若，则，故关于x的方程有两个不等的实根，，
且，关于x的方程有一个正根和一个负根.
因此“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”，故D正确.
CD.
三、填空题
12．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】由题可知，对应的一元二次函数开口向上，因此根据口诀“大于取两边，小于取中间”即可一元二次不等式.
【详解】因为，
所以,
所以由，
得,
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
13．（24-25高三上·北京·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的值 .
【答案】3
【分析】对原不等式等价变形，分是否等于2进行讨论，根据一元二次不等式、方程之间的关系即可求解.
【详解】，
当时，原不等式等价于，故不符合题意，
当时，根据一元二次不等式解集可得，解得，
而当时，原不等式等价于或，故符合题意；
综上所述，的值为3.
故答案为：3.
14．（2024高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ．
【答案】
【分析】设这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，求的范围可得．
【详解】设这辆汽车刹车前的车速为，
根据题意，有，
整理得，
解得或（舍去），
所以这辆汽车刹车前的速度至少为．
故答案为：
15．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）若存在，使得不成立，则实数的取值范围 .
【答案】或
【分析】借助一元二次函数图像位置即可求解.
【详解】根据题意即不等式有解，
由
得或
故答案为：或
四、解答题
16．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为70元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）．
(1)求的最大值;
(2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按80元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值．
【答案】(1)2470元
(2)元/件
【分析】（1）表达出，配方后得到最大值；
（2）表达出A与的总利润为，从而得到不等式，求出A售价的最小值.
【详解】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元），
所以
，
当时，取到最大值，最大值为2470元．
（2）设A与的总利润为（单位：元），
则，
得，得．
故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件．
17．（2024高三上·广东梅州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)求关于的不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用方程的系数与根的关系求参数即可；
（2）代入参数，解一元二次不等式即可.
【详解】（1）关于的不等式的解集为或，
∴，且和4是方程的两实数根，
由根与系数的关系知，，解得；
（2）由（1）知，时，
不等式为，
∴不等式的解集是.
18．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题:“实数满足”命题:“都有意义”.
(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果.
（2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果.
【详解】（1）当时，由，得，
即：若为真命题，则；
若为真命题，即恒不成立，
则当时，满足题意；
当时，，解得，
故．
故若为假命题，为真命题，
则，解得，
即实数的取值范围为．
（2）对于，且．
对于，，则：或．
因为是的充分不必要条件，
所以，解得．
故的取值范围是.
19．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围；
（2）解关于的不等式．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】（1）通过讨论的系数，即可求解.
（2）因式分解，通过讨论根的个数及大小即可求解.
【详解】当，不等式为恒不成立，符合题意；
当时，由题意可得：，即，
解得：，
综上可知：的取值范围是
（2）由, 整理得 ，
当时，得，解集为；
当时，得，解集为；
当时，，得或，解集为；
当时，，得，解集为；
当时，，得或，解集为.
综上所述：当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20．（2024高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数．
(1)若对于任意，不等式恒不成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，解关于x的不等式．
【答案】(1)；
(2)答案见解析
【分析】（1）讨论或两种情况，由不等式恒不成立，求参数的取值范围；
（2）首先不等式整理为，讨论对应方程的两根大小关系，解不等式.
【详解】（1）即为，
所以不等式对于任意恒不成立，
当时，得，显然符合题意；
当时，得，解得．
综上，实数a的取值范围是．
（2）不等式即为，
即．
又，不等式可化为，
若，即时，得或，即解集为或；
若，即时，得，即解集为；
若，即时，得或，即解集为或．
综上可知，当时，解集为或；
当时，解集为；
当时，解集为或．
21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（）只能同时满足下列三个条件中的两个：
①y＜0的解集为；
②；
③y的最小值为．
(1)请写出这两个条件的序号，求y的解析式；
(2)求关于x的不等式（）的解集．
【答案】(1)①③；
(2)答案见解析
【分析】（1）依次考虑组合①②；①③和②③，排除不符题意的，确定①③，即得解析式；
（2）由（1）确定的解析式，整理待求不等式，得，就参数进行分类讨论不等式的解集.
【详解】（1）若选①②，由a－1知函数图象开口向下，
此时y＜0的解集不可能为，故不符合题意；
若选①③，∵函数y＜0的解集为，
∴－1，3是方程的根，
∴函数图象对称轴为x1，
由，
则b－2a，c－3a，
又∵y的最小值为－4，
∴当x1时，，
解得a1，所以，
则；
若选②③，a－1，函数图象开口向下，
则y无最小值，不符合题意．
综上，应选：①③，且．
（2）由，
化简得，
即，
若m＜0，则不等式的解集为或；
若m0，则不等式的解集为R；
若m＞0，则不等式的解集为或；
综上，当m＜0时，不等式的解集为或；
当m0时，不等式的解集为R；
当m＞0时，不等式的解集为或．
22．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：
(1)已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由；
(2)已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒不成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)存在，、或、
(2)
【分析】（1）由题意可得：，根据真子集关系求实数的取值范围，根据子集关系求实数的取值范围，进而得解；
（2）对于命题：根据韦达定理求得，进而结合恒不成立问题求实数的取值范围；对于命题：根据二次不等式分类讨论求解；进而得解.
【详解】（1）因为，
因为A，则或或，
若，则，的值不存在；
若，则，解得；
若，则，无解；
综上所述：；
因为，则或或或，
若，则，解得；
若，则，无解；
若，则，无解；
若，则，解得；
综上所述，或；
所以存在、的值，当、或、时，满足A、.
（2）因为、是方程的两个实根，则，
可得，
当时，，
由不等式对任意实数恒不成立可得：，
即，解得或，
所以命题为真命题时，，
命题：不等式有解，
当时，原不等式一定有解，
当时，只需，解得，
不等式有解时，
又命题是假命题，则，
所以命题是真命题且命题是假命题时，实数的取值范围为.
23．（2024高一·上海·课堂例题）方程的三个根1、2、3将数轴划分为四个区间，即，，，．试在这四个区间上分别考察的符号，从而得出不等式与的解集．一般地，对、、，且，试分别求不等式与的解集．（提示：、、相互之间可能相等，需要分情况讨论）
【答案】答案见解析
【分析】对于不等式与根据题设方法即可得解；对于不等式与分，，，讨论，结合条件即可得解.
【详解】由可得或，
所以不等式的解集为，
由可得或，
所以不等式的解集为；
对于不等式和，：
①当时，
由可得，解得，
所以不等式的解集为，
由可得，解得且，
所以不等式的解集为；
②当时，
由可得，解得且，
所以不等式的解集为，
由可得，解得，
所以不等式的解集为；
③当时，
由可得，解得，
所以不等式的解集为，
由可得，解得，
所以不等式的解集为；
④当时，
由可得或，
所以不等式的解集为，
由可得或，
所以不等式的解集为；
【点睛】方法点睛：对于解高次不等式或，，先求对应方程的n个根（可能有相等的根），这n个根将数轴划分为个区间，即，，，试在这个区间上分别考察的符号即可根据不等式求解.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2.3一元二次不等式的解法
课程标准 学习目标
1、掌握用因式分解法解决一元二次不等式. 2、掌握用配方法解决一元二次不等式. 一元二次不等式的解法，由特殊到一般的配方法、因式分解法. 掌握一元二次不等式的的运算法则，探究运算思路，选择相对应的运算方法。 一般一元二次不等式有两个解，需要验证其有效性。
知识点01一元二次不等式的概念
一般地，形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为一元二次不等式，其中a，b，c是常数，而且a≠0.一元二次不等式中的不等号也可以是“<”“≥”“≤”等．
注：一元二次不等式的二次项系数a有a>0和a<0两种，注意a≠0.当a<0时，我们通常将不等式两边同乘以－1，化为二次项系数大于0的一元二次不等式，但要注意不等号要改变方向，这样我们只需要研究二次项系数大于0的一元二次不等式．
【即学即练1】下列不等式中是一元二次不等式的是( )
A．a2x2＋2≥0 B．＜3
C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1＞0
知识点02一元二次不等式的解法
（1）用因式分解法解一元二次不等式
一般地，如果x10的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞).
①这种方法只有在一元二次不等式左边能够因式分解(一般用十字相乘法)时才能使用，简记为“小于零取中间，大于零取两边”．
②因式分解法就是将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组来求解．
依据是：ab>0当且仅当或；
ab<0当且仅当或
（2）用配方法解一元二次不等式
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)通过配方总是可以变为(x－h)2>k或(x－h)2注：(1)因式分解法只适用于特殊类型的一元二次不等式，一般的一元二次不等式可以通过配方法求得解集．
(2)用配方法解一元二次不等式的关键是熟练掌握二次三项式的配方技巧．
【即学即练2】（2024·广东佛山·高一佛山市第二中学校考开学考试）解下列一元二次不等式：
(1)；
(2)；
(3)．
【即学即练3】（2024·江苏·高一假期作业）解关于x的不等式
知识点03二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
Δ＞0 Δ0 Δ＜0
yax2＋bx＋c(a＞0)的图像
ax2＋bx＋c0(a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} {x|x≠－} R
ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
【即学即练4】【多选】（2024·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）已知关于x的不等式的解集为，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
知识点04分式不等式
分式不等式的概念
分母中含有未知数的不等式称为分式不等式．
注：当分式不等式等价转化为整式不等式时，其分母不为零最容易被忽略，这一点一定要注意．
【即学即练5】（2024·全国·高三对口高考）已知集合，则 ．
难点：含参数的一元二次不等式的解法
示例：解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0.
【题型1：解不含参数的一元二次不等式】
例1．（2024·安徽合肥·高二校考学业考试）不等式的解集为（ ）
A．或B． C．D．或
变式1.（2024·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）不等式的解集为
A． B． C． D．
变式3．（2024·上海·高一专题练习）解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）
变式4．（2024·高一校考课时练习）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）
（4）
变式5.（2024·全国·高一专题练习）求下列不等式的解集.
（1）； （2）；
（3）； （4）；
变式6.【多选】（2024·全国·高一专题练习）下列不等式的解集是空集的是（ ）
A． B． C． D．
变式7．【多选】（2024·江苏淮安·高一校考阶段练习）下列四个不等式中，解集为的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
一元二次不等式的解法：
(1)图像法：一般地，当a＞0时，解形如ax2＋bx＋c＞0(≥0)或ax2＋bx＋c＜0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：
①确定对应方程ax2＋bx＋c0的解；②画出对应函数yax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．
对于a＜0的一元二次不等式，可以直接采取类似a＞0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p＜q时，若(x－p)(x－q)＞0，则x＞q或x＜p；若(x－p)(x－q)＜0，则p＜x＜q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．
【题型2：含参数的一元二次不等式的解法】
例2．（2024·全国·高一假期作业）若，解不等式．
变式1．（2024·高一校考课时练习）解关于x的不等式: .
变式2．（2024·北京·高一北京市第五十中学校考阶段练习）解不等式.
变式3.（2024·全国·高一专题练习）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·北京西城·高一北京铁路二中校考期中）设，解关于的不等式：．
变式5．（2024·黑龙江鹤岗·高一鹤岗一中校考期中）已知， ，求关于的不等式的解集.
变式6.（2024·全国·高一专题练习）解下列关于的不等式：（）；
【方法技巧与总结】
含参数一元二次不等式求解步骤
(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向；
(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x轴交点的个数；
(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；
(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．
【题型3：利用不等式的解集求参数】
例3.（2024·山东临沂·高一校考开学考试）若不等式的解集是，则 ， ．
变式1．（2024·福建福州·高一福州三中校考阶段练习）已知不等式的解集是，则（ ）
A．-10 B．-6 C．0 D．2
变式2．（2024·福建泉州·高一校考阶段练习）若关于的不等式的解集是，则 （ ）
A． B． C． D．
变式3.（2024·上海徐汇·高一校考期中）已知关于的不等式的解集为，则 .
变式4.（2024·河南南阳·高一校考阶段练习）关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式5.【多选】（2024·湖南株洲·高一校考阶段练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式6．（2024·广西柳州·高一柳铁一中校联考阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C．或 D．
变式7．（2024·江苏常州·高一江苏省前黄高级中学校考期中）已知函数.
(1)若关于的不等式的解集是，求的值.
(2)若，求关于的不等式的解集.
变式8．（2024·湖南永州·高二统考阶段练习）若不等式的解集为，则 .
变式9．（2024·全国·高三专题练习）若不等式的解集是的子集，则a的范围是（ ）
A．[－4，3] B．[－4，2]
C．[－1，3] D．[－2，2]
变式10.（2024·全国·高一专题练习）关于的不等式的解集中，恰有2个整数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．或 D．或
变式11．【多选】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）关于x的不等式的解集中恰有3个正整数解，则a的值可以为（ ）
A． B． C． D．2
变式12.（2024·福建福州·高一校考开学考试）已知关于的一元二次不等式的解中有且仅有4个正整数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
三个“二次”之间的关系
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．
(2)若一元二次不等式的解集为R或 ，则问题可转化为恒不成立问题，此时可以根据二次函数图像与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．
【题型4：简单的分式不等式的解法】
例4．（2024·云南曲靖·高一校考阶段练习）不等式的解集是 ．
变式1．（2024·陕西渭南·高二统考期末）不等式的解集为 ．
变式2．（2024·河南商丘·高一统考期中）不等式 的解集是 ．
变式3．（2024·陕西西安·高三西北工业大学附属中学校考阶段练习）解不等式：
(1)；
(2)；
(3).
【方法技巧与总结】
简单的分式不等式的解法
对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．
注：设A、B均为含x的多项式
（1） （2）
（3） （4）
【题型5：一元二次不等式的恒不成立有解问题】
例5.（2024·全国·高一期中）已知不等式，对任意实数都不成立，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
变式1.（2024·江西南昌·高一校考阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·高一单元测试）设.
(1)若不等式对一切实数恒不成立，求实数的取值范围;
(2)解关于的不等式.
变式3．（2023春·江苏南京·高二南京市中华中学校考阶段练习）设．
(1)若不等式对一切实数恒不成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
变式4.（2024·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）已知函数．
(1)若不等式的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式．
变式5.（2024·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）设．
(1)若不等式对一切实数恒不成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
变式6.（2024·高一课时练习）已知不等式有解，求m的取值范围．
变式7.（2024·高一课时练习）已知函数，，.
(1)若关于的不等式的解集为或，求实数，的值；
(2)若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围；
(3)若关于的不等式的解集中恰有个整数，求实数的取值范围．
【方法技巧与总结】
1、不等式恒不成立问题：不等式恒不成立时对未知量来说，因此也称不等式解集为R
（1）恒不成立
（2）恒不成立
（3）恒不成立
（4）恒不成立
2、不等式有解问题
（1）有解或
（2）有解或
（3）有解或
（4）有解或
【题型6：一元二次不等式的实际应用】
例6．（2024·高一校考单元测试）某小型雨衣厂生产某种雨衣，售价（单位：元/件）与月销售量（单位：件）之间的关系为，生产件的成本（单位：元）.若每月获得的利润（单位：元）不少于元，则该厂的月销售量的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式1.（2024·全国·高一假期作业）某小型服装厂生产一种风衣，日销售量（件）与单价（元）之间的关系为，生产件所需成本为（元），其中元，若要求每天获利不少于1300元，则日销售量的取值范围是（ ）.
A． B．
C． D．
变式2.（2024·全国·高一专题练习）某商品在最近天内的价格与时间 (单位：天)的函数关系是；销售量与时间的函数关系是，则使这种商品日销售金额不小于元的的范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式3.（2023春·河南安阳·高二林州一中校考阶段练习）某地每年消耗木材约20万立方米，每立方米售价480元，为了减少木材消耗，决定按征收木材税，这样，每年的木材消耗量减少万立方米，为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于180万元，t的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
35．（2024·四川绵阳·高一绵阳中学校考阶段练习）某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是 ．(假设每件衬衫的售价是m)
变式4.（2024·全国·高一专题练习）商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润．已知这种商品的售价每提高1元，销售量就可能相应减少10件．若把提价后的商品售价设为x元，怎样用不等式表示每天的利润不低于300元？
【方法技巧与总结】
解不等式应用题的四步骤
(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．
(2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系．
(3)求：解不等式．
(4)答：回答实际问题．
特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
一、单选题
1．（2024高一上·山西朔州·阶段练习）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·江苏南通·开学考试）不等式的解集为（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是
4．（24-25高三上·江苏无锡·开学考试）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·重庆南岸·阶段练习）已知p：，那么命题p的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三·全国·专题练习）在上定义运算“”：，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·江苏苏州·阶段练习）不等式的解集为或，则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·安徽·学业考试）若不等式对所有实数恒不成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．
C．（m为任意实数）
D．
10．（24-25高一上·重庆沙坪坝·开学考试）已知不等式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则不等式的解集为
B．若不等式的解集为，则
C．若不等式的解集为，则
D．若不等式的解集为，
11．（24-25高一上·浙江温州·开学考试）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．关于x的不等式的解集可以是
B．关于x的不等式的解集可以是
C．函数在上可以有两个零点
D．“关于x的方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”
三、填空题
12．（24-25高一上·全国·随堂练习）若，则不等式的解集为 ．
13．（24-25高三上·北京·开学考试）已知关于的不等式的解集为，则的值 .
14．（2024高一下·江苏盐城·开学考试）某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：）和汽车刹车前的车速（单位：）之间有如下关系：，在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于，则这辆汽车刹车前的车速至少为 ．
15．（2024高三上·陕西榆林·阶段练习）若存在，使得不成立，则实数的取值范围 .
四、解答题
16．（2024高一上·河南郑州·阶段练习）夏秋交替时节， 某商家为了尽快清仓销货， 决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位: 件）与折扣（单位: 折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为70元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位: 元）．
(1)求的最大值;
(2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按80元/件销售， 若每销售1件可销售1件， 要求A与的总利润不低于3000元， 求A售价的最小值．
17．（2024高三上·广东梅州·阶段练习）已知关于的不等式的解集为或．
(1)求的值；
(2)求关于的不等式的解集．
18．（2024高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题:“实数满足”命题:“都有意义”.
(1)已知为假命题，为真命题，求实数的取值范围;
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
19．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）（1）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围；
（2）解关于的不等式．
20．（2024高二下·黑龙江绥化·期末）已知函数．
(1)若对于任意，不等式恒不成立，求实数a的取值范围；
(2)当时，解关于x的不等式．
21．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（）只能同时满足下列三个条件中的两个：
①y＜0的解集为；
②；
③y的最小值为．
(1)请写出这两个条件的序号，求y的解析式；
(2)求关于x的不等式（）的解集．
22．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：
(1)已知，集合、集合、集合，则同时满足A且的实数、是否存在？若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由；
(2)已知，命题：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒不成立；命题：不等式有解；若命题是真命题，命题是假命题，求实数的取值范围.
23．（2024高一·上海·课堂例题）方程的三个根1、2、3将数轴划分为四个区间，即，，，．试在这四个区间上分别考察的符号，从而得出不等式与的解集．一般地，对、、，且，试分别求不等式与的解集．（提示：、、相互之间可能相等，需要分情况讨论）
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