第二章：等式与不等式章末重点题型复习
题型一 一元二次方程根与系数关系
1．（23-24高一上·北京·月考）已知方程的两根为和，则
【答案】14
【解析】方程的两根为和，则
，，则.
故答案为：14.
2．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ．
【答案】
【解析】因为一元二次方程的两个实根为，（），
则或，
由韦达定理得，
而，解得，
综上，a的取值集合是
故答案为：
3．（23-24高一上·安徽铜陵·月考）（多选）已知二次函数有两个零点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】的两个零点，，且，
因此，由于，所以恒不成立
故，对于A，，故A正确，
对于B，，故B正确，
对于C，，故C正确，
对于D，由于二次函数的开口向下，且对称轴为，
，且因此两个根，，故D错误，BC
4．（22-23高一上·浙江台州·月考）已知一元二次方程的两根分别是，求下列各式的值.
(1)； (2)； (3) (4)
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)
【解析】（1）方程的判别式，
则，，所以；
（2）
（3）由题意，，即，
由（2）得，则，
所以；
（4）.
题型二 多元方程组的解集
1．（22-23高一上·辽宁沈阳·月考）方程组的解集为 .
【答案】
【解析】由
①②，可得，解得，
所以不等式组的解集为.
故答案为：
2．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
【答案】2
【解析】由题意得，即，
关于，的二元一次方程组的解集为，
关于的方程的无解，
，即，
故答案为：2．
3．（23-24高一上·北京·月考）求下列关于的方程（方程组）的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)
【解析】（1）由方程，即，
解得或，即方程的解集为.
（2）由方程，即
解得或，即方程的解集为.
（3）由方程，即，解得，即，
所以方程的解集为.
（4）由不等式组，
①+②，可得，②-③，可得，
联立方程组，解得，代入①式，可得，
所以不等式组的解集为.
（5）由方程组，整理得，解得或，
当时，可得；时，可得，
所以方程组的解集为.
4．求下列方程组的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）由第一个式子可得
代入第二个、第三个式子可得：
，两个式子作差可得
代入可得
故方程组的解集为
（2）由第一个式子可得
代入第二个式子可得解得
代入，可得
故方程组的解集为
（3）由第一个式子可得
代入第二个式子可得
即解得
代入可得
故方程组的解集为
题型三 不等式的性质及应用
1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）已知，且，，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对A，取，则满足，但，故A错误；
对B，根据不等式性质，故B正确；
对C，取，则，故C错误；
对D，取，则，故D错误..
2．（23-24高一上·北京·期中），则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A，因为，所以由不等式的性质可得，故A正确；
对于B，令，满足，但是，故B错误；
对于C，令，满足，但是，故C错误；
对于D，可能是负数，此时无意义，故D错误；.
3．（23-24高一下·湖北·月考）（多选）若实数满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】对于A，若，则当时，有，故A错误；
对于B，因为，则，故，故B正确.
对于C，不成立，但，故C错误.
对于D，由不等式的性质可得不成立，D.
4．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，所以，故A符合题意；
对于B，因为，所以，所以，即，故B符合题意；
对于C，因为，所以，即，故C符合题意；
对于D，取，但有，故D不符合题意.BC.
题型四 作差法与作商法比较大小
1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知，，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】因为，所以..
2．（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，且，，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
【答案】A
【解析】已知，且，，则，
所以，
，
因此，..
3．（23-24高一上·新疆·月考）（1）比较与的大小：
（2）已知，都是正实数，比较与的大小．
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1），
故；
（2），
因为，，故，，
当时，，即；
当时，，即；
4．试比较下列组式子的大小：
(1)与，其中；
(2)与，其中，；
(3)与，．
【答案】(1)；(2)；(3).
【解析】（1），，
因为，
所以，
即；
（2）
．
因为，，所以，，
所以，即；
（3）方法一（作差法）
．
因为，所以，，，．
所以，所以．
方法二（作商法） 因为，所以，，，
所以，
所以．
题型五 利用不等式求取值范围
1．（23-24高一上·云南·月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又因为，
所以.即的取值范围为..
2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）若实数满足：，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，得，由，得，而，
因此，所以的取值范围为.
3．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，
所以，解得，则，
因为，，所以..
4．（23-24高一上·河北保定·月考）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．的最大值为24
【答案】AC
【解析】由题意可得，即A正确；
由，可得，又，则，即，B错误；
设，则，解得，
因为，所以C正确；
由以及，若的最大值为24，
则，此时，D错误，C
题型六 含绝对值不等式的解法
1．（23-24高一上·辽宁抚顺·月考）的解集为
【答案】
【解析】因为，所以，
故答案为：
2．（23-24高一上·上海虹口·月考）关于x的不等式的解集为 .
【答案】
【解析】当，即时，原不等式等价于，解得，所以；
当，即时，原不等式等价于，解得，所以.
综上，原不等式的解集为.
3．（22-23高一上·四川巴中·月考）不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
当时，，则不等式可化为，解得，故；
当时，，则不等式可化为，解得，故；
当时，，则不等式可化为，解得，故；
综上：或，即不等式的解集为或..
4．（22-23高一上·湖南常德·期末）不等式的解集为 ．
【答案】
【解析】原不等式等价于，对于，
当时，，则此时不等式无解.
当时，.
则原不等式解集为：.
故答案为：
题型七 一元二次不等式的解法
1．（23-24高一上·贵州安顺·月考）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，即，解得或，
所以不等式的解集为.
2．（23-24高一上·重庆·月考）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
当时，不等式的解集为，不符合题意，舍去；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需；
当时，不等式的解集为，此时若有个整数解，
此时，解集中的三个整数分别为、、，则需
综上：所以或，．
3．（23-24高一上·湖北孝感·月考）设，解关于的不等式：．
【答案】答案见解析
【解析】由可得.
（1）当时，原不等式即为，解得；
（2）当时，解方程可得或.
①当时，，解原不等式可得或
②当时，则，解原不等式可得；
③当时，原不等式即为，解得；
④当时，，解原不等式可得.
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
4．（23-24高一上·四川宜宾·月考）已知关于x的不等式.
(1)若，求该不等式的解集；
(2)若，求该不等式的解集.
【答案】(1)；(2)答案见解析
【解析】（1）当时，，即，解得，
故该不等式的解集为.
（2）.
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
题型八 分式/高次不等式的解法
1．（23-24高一上·安徽六安·期中）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由不等式，可化为，解得，即不等式的解集为..
2．（23-24高一上·四川成都·月考）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
【答案】A
【解析】由，得，即，
即，解得，D正确.
3．（22-23高一上·安徽安庆·月考）不等式的解集为 .
【答案】
【解析】由得：，
令，解得：，，，，
采用根轴法可得图象如下图所示，
由图象可得：的解集为.
故答案为：.
4．（22-23高一上·重庆九龙坡·月考）求下列不等式的解集
(1)；
(2)．
【答案】(1)；(2)或
【解析】（1）已知，移项得，
通分化简得，等价于，即，
解得：，故不等式的解集为.
（2）已知，等价于且，
即且，
根据穿根法，如图可知不等式的解集为或
题型九 三个“二次”的应用
1．（23-24高一上·陕西西安·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
【答案】ABD
【解析】关于的不等式的解集为或，
则和是方程的二根，且
则，解之得，
由，可得选项A判断正确；
选项B：不等式可化为，
解之得，则不等式解集为.判断正确；
选项C：.判断错误；
选项D：不等式可化为，
即，解之得或.
则不等式的解集为或.判断正确.BD
2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是
【答案】ABC
【解析】因为关于x的不等式的解集是或，
所以有，因此选项A正确；
，因此选项B正确；
，因此选项C正确；
，因此选项D不正确，BC
3．（23-24高一下·云南·月考）（多选）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．的最小值为
【答案】CC
【解析】根据题意，关于的不等式的解集为，
所以的两根为，
则，解得，
所以，即A错误，B正确；
且为，解得或，
所以的解集为，C正确；
，
所以的最大值为，D错误.C
4．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．的最小值为
【答案】AB
【解析】因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两根，且，故A正确；
所以，解得，
所以，即，则，解得，
所以不等式的解集为，故B正确；
而，故C错误；
因为，所以，
则，
当且仅当，即或时，等号不成立，
与矛盾，所以取不到最小值，故D错误.B.
题型十 一元二次不等式恒不成立
1．（22-23高一上·云南保山·月考）若不等式对任意实数均不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当，即时，恒不成立，
当，即时，
则，解得，
综上所述，实数的取值范围是..
2．（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知关于的不等式对恒不成立，则实数的可取值是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．7
【答案】CCD
【解析】当时，恒不成立，满足要求，
当时，需满足，解得，
故实数的取值范围是，故A错误，BCD正确.
CD
3．（23-24高一上·重庆·月考）（多选）若“”为假命题，则的值可能为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】CC
【解析】“”为假命题，则“”为真命题，
当时，，符合题意，
当时，，解得
，故的值可能为，C.
4．（23-24高一上·河北·月考）若命题“”为假命题，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知命题“”是真命题．
因为，所以．
当时，函数的最大值为6，
则的最小值为，所以，即的最大值为．.
题型十一 一元二次方程根的分布
1．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知一元二次方程的两根为，
要使得方程有一个正实根和一个负实根，需，
结合选项知，只有，
即一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是，
2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据题意得到，即，解得.
故答案为：.
3．（22-23高一上·辽宁丹东·月考）关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】
．
故答案为：.
4．（23-24高一上·江苏南京·月考）已知关于x的方程，在下列两种情况下分别求实数a的取值范围.
(1)有两个大于1的不等实数根；
(2)至少有一个正实数根.
【答案】(1)；(2)
【解析】（1）关于x的方程有两个大于1的不等实数根，
等价于二次函数的图象与轴有2个大于1的不同实根，
可得，解得；
（2）关于x的方程无实数根时，，
解得，
关于x的方程有两个负实数根时，
，解得，
所以关于x的方程无实数根时或有两个负实数根时，
可得关于x的方程至少有一个正实数根，则.
题型十二 利用均值不等式求最值
1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）若都是正数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】因为都是正数，则，
所以，
当且仅当，即时，等号不成立.
则的最小值为..
2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知，，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因为，，，则，，
可得，当且仅当，即时，等号不成立，
所以的最大值是..
3．（23-24高一下·浙江·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】AB
【解析】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确；
对于B，，
当且仅当，即，时取等号，故B正确；
对于C，由，得，
所以，
当且仅当，即，即时取等号，故C错误；
对于D，有
而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误.B.
4．（23-24高一下·四川仁寿·期末）（1）若，求的取值范围；
（2）已知，求的最小值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的取值范围为；
（2）由，得，
则
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
题型十三 均值不等式恒不成立问题
1．（23-24高一上·山东淄博·月考）当时，不等式恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，只需在时即可，
又，则，故，
当且仅当时等号不成立，故，
所以，即.
2．（23-24高一上·湖南·月考）已知，且，若恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知，，，
当且仅当且时取等号，即，时取等号，
所以，
由恒不成立可得，
即，
解得.
故实数的取值范围为..
3．（23-24高一上·福建龙岩·月考）已知，且，若恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，且，
则，
当且仅当，即时，等号不成立，
即，
因为恒不成立，可得，解得，
所以实数的取值范围是..
4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知且恒不成立，实数的最大值是 ．
【答案】/
【解析】由题意，，
所以转化为，
可得，即，
因为，当且仅当时等号不成立，
所以实数的最大值是.
故答案为：
题型十四 均值不等式的实际应用
1．（23-24高一上·福建泉州·月考）用长度为24米的材料围城一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
【答案】A
【解析】设隔墙长度为，场地面积为，
则，
∴当且仅当时，有最大值18，.
2．（23-24高一上·山东菏泽·月考）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克 B．小于克
C．大于等于克 D．小于等于克
【答案】D
【解析】设天平左、右两边臂长分别为，小明、小芳放入的药品的克数分别为，，
则由杠杆原理得：，于是，
故，当且仅当时取等号. .
3．（23-24高一上·江苏镇江·月考）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
【答案】(1)100；(2)存在，
【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元,
则,
整理得, 解得 ,
因为 且 , 所以 , 故 ,
所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资,
调整后的研发人员的人数最少为 100 人.
（2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资，
得,
整理得 ;
由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得
假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件,
即 恒不成立，
因为 ,
当且仅当 , 即 时等号不成立, 所以 ,
又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以
所以 , 即 ,
即存在这样的 满足条件, 其范围为 .
4．（23-24高一上·河北廊坊·月考）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米．
(1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和 并求出此时的售价．
【答案】(1)40；(2)102万平方米，30欧元/平方米
【解析】（1）设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米，
由题知，即，解得，
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.
（2）由题意得，整理得，
两边同除以得，
又，当且仅当，即时取等号，
所以，故该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到102万平方米时，
才可能使 年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和，
此时的售价为欧元/平方米.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第二章：等式与不等式章末重点题型复习
题型一 一元二次方程根与系数关系
1．（23-24高一上·北京·月考）已知方程的两根为和，则
2．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）设一元二次方程的两个实根为，（），则当时，a的取值集合是 ．
3．（23-24高一上·安徽铜陵·月考）（多选）已知二次函数有两个零点，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（22-23高一上·浙江台州·月考）已知一元二次方程的两根分别是，求下列各式的值.
(1)； (2)； (3) (4)
题型二 多元方程组的解集
1．（22-23高一上·辽宁沈阳·月考）方程组的解集为 .
2．（23-24高一上·北京石景山·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
3．（23-24高一上·北京·月考）求下列关于的方程（方程组）的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
4．求下列方程组的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
题型三 不等式的性质及应用
1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）已知，且，，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·北京·期中），则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一下·湖北·月考）（多选）若实数满足，且，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一下·浙江·期中）（多选）已知，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A． B．
C． D．
题型四 作差法与作商法比较大小
1．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）已知，，，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
2．（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知，且，，则、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
3．（23-24高一上·新疆·月考）（1）比较与的大小：
（2）已知，都是正实数，比较与的大小．
4．试比较下列组式子的大小：
(1)与，其中；
(2)与，其中，；
(3)与，．
题型五 利用不等式求取值范围
1．（23-24高一上·云南·月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）若实数满足：，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·河北保定·月考）（多选）已知，则（ ）
A． B．
C． D．的最大值为24
题型六 含绝对值不等式的解法
1．（23-24高一上·辽宁抚顺·月考）的解集为
2．（23-24高一上·上海虹口·月考）关于x的不等式的解集为 .
3．（22-23高一上·四川巴中·月考）不等式的解集是（ ）
A．或 B．
C． D．
4．（22-23高一上·湖南常德·期末）不等式的解集为 ．
题型七 一元二次不等式的解法
1．（23-24高一上·贵州安顺·月考）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·重庆·月考）若关于的不等式的解集中恰有个整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一上·湖北孝感·月考）设，解关于的不等式：．
4．（23-24高一上·四川宜宾·月考）已知关于x的不等式.
(1)若，求该不等式的解集；
(2)若，求该不等式的解集.
题型八 分式/高次不等式的解法
1．（23-24高一上·安徽六安·期中）不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·四川成都·月考）不等式的解集为（ ）
A．或 B．
C．或 D．
3．（22-23高一上·安徽安庆·月考）不等式的解集为 .
4．（22-23高一上·重庆九龙坡·月考）求下列不等式的解集
(1)；
(2)．
题型九 三个“二次”的应用
1．（23-24高一上·陕西西安·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则以下选项正确的有（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为或
2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集是或，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集是
3．（23-24高一下·云南·月考）（多选）若关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的解集为
D．的最小值为
4．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．的最小值为
题型十 一元二次不等式恒不成立
1．（22-23高一上·云南保山·月考）若不等式对任意实数均不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江苏淮安·月考）（多选）已知关于的不等式对恒不成立，则实数的可取值是（ ）
A．-2 B．0 C．3 D．7
3．（23-24高一上·重庆·月考）（多选）若“”为假命题，则的值可能为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
4．（23-24高一上·河北·月考）若命题“”为假命题，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十一 一元二次方程根的分布
1．（23-24高一上·河南南阳·期末）一元二次方程有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ．
3．（22-23高一上·辽宁丹东·月考）关于的方程有两个不相等的实根，且两个根均大于3，则实数的取值范围为 ．
4．（23-24高一上·江苏南京·月考）已知关于x的方程，在下列两种情况下分别求实数a的取值范围.
(1)有两个大于1的不等实数根；
(2)至少有一个正实数根.
题型十二 利用均值不等式求最值
1．（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）若都是正数，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24高一上·江苏镇江·月考）已知，，，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
3．（23-24高一下·浙江·月考）已知，，且，则下列说法正确的是（ ）
A．有最小值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值
4．（23-24高一下·四川仁寿·期末）（1）若，求的取值范围；
（2）已知，求的最小值.
题型十三 均值不等式恒不成立问题
1．（23-24高一上·山东淄博·月考）当时，不等式恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·湖南·月考）已知，且，若恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·福建龙岩·月考）已知，且，若恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·江西南昌·月考）已知且恒不成立，实数的最大值是 ．
题型十四 均值不等式的实际应用
1．（23-24高一上·福建泉州·月考）用长度为24米的材料围城一矩形场地，中间加两道隔墙（如图），要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（ ）
A．3米 B．4米 C．5米 D．6米
2．（23-24高一上·山东菏泽·月考）在实验课上，小明和小芳利用一个不等臂的天平秤称取药品. 实验一：小明将克的砝码放在天平左盘，取出一些药品放在右盘中使天平平衡；实验二：小芳将克的砝码放在右盘，取出一些药品放在天平左盘中使天平平衡，则在这两个实验中小明和小芳共秤得的药品（ ）
A．大于克 B．小于克
C．大于等于克 D．小于等于克
3．（23-24高一上·江苏镇江·月考）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元.
(1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由.
4．（23-24高一上·河北廊坊·月考）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为 欧元/平方米，销售量为万平方米．
(1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和 并求出此时的售价．
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