第二章：等式与不等式
（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22-23高二上·山东日照·月考）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实"相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升 设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】上下禾每束为升，上禾束有，减损18，即，下禾束之“实"相当，即，
同理有，所以方程组为..
2．（22-23高一上·北京·期中）若关于x的方程的两根分别是，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【解析】因为是方程的两根，所以
所以
3．（23-24高一上·河北石家庄·月考）若，则A、B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】因为，所以..
4．（23-24高一上·重庆云阳·月考）“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
A选项，是的真子集，满足要求，故A正确；
B选项，是的充要条件，故B错误；
C选项，是的真子集，不合要求，故C错误；
D选项，是的真子集，不合要求，故D错误；.
5．（23-24高一上·辽宁丹东·月考）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，则，
所以，解得，所以，
因为，所以，
因为，所以，
因为，所以，
6．（22-23高一上·江苏常州·月考）下列不等式恒不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，当时，不等式显然不不成立，故错误；
对于B选项，不成立的条件为，故错误；
对于C选项，当时，不等式显然不不成立，故错误；
对于D选项，由于，故，正确.
7．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不等式恒不成立
，，且
当且仅当，即时取等号，
，即解得
故实数的取值范围是
8．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】不等式，可化为，
当时，不等式的解集为空集，不合题意；
当时，不等式的解集为，
要使不等式恰有三个整数解，则，
当时，不等式的解集为，
要使不等式恰有三个整数解，则，
综上可得，实数的取值范围是.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（22-23高一上·吉林白城·月考）等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】CC
【解析】①当3为底时，则，
因为是关于的一元二次方程的两根，
所以，解得，
此时三角形的三边为3，4，4，这样的三角形存在，
所以，得，
②若3为腰长时，则中有一个为3，不妨设，
因为是关于的一元二次方程的两根，
所以，得，
此时三角形三边为3，3，5，这样的三角形存在，
所以，得，
综上，或，C
10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由及不等式的性质可知，故A正确；
对于B，由，及不等式的性质可知，故B正确；
对于C，若，可得，故C错误；
对于D，由及，可得，故D正确．BD．
11．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CCD
【解析】对于A，若，则，故A错误；
对于B，由基本不等式可得，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，
所以，故D正确.CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·江西赣州·月考）不等式解集为集合，则 .
【答案】【解析】，得，
可得，解得
所以
13．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】，
当且仅当，即时等号不成立，
所以目标式的最小值为.
14．（23-24高一上·江苏连云港·月考）若关于x的不等式恒不成立，则实数k的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当时，显然关于x的不等式不能恒不成立；
当时，恒不成立；
当时，要使关于x的不等式恒不成立，即要，解得，
所以实数k的取值范围是．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一上·安徽芜湖·月考）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由．
(2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值．
【答案】(1)，理由见解析；(2)最小值为8，此时
【解析】（1）由，
又，，
则，
所以．
（2）由，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为8，此时．
16．（23-24高一上·四川泸州·月考）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求不等式解集.
【答案】（1）；（2）答案见解析
【解析】（1）原不等式可化为，
由题知，是方程的两根，
由韦达定理得，解得.
（2）当时，所以原不等式化为，
当时，即时，解原不等式可得或；
当时，即时，原不等式即为，解得；
当时，即时，解得或
综上所述，当时，解原不等式解集为：；
当时，原不等式解集为；
当时，解得.
17．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题．
(1)求实数的取值范围；
(2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)；(2)存在.
【解析】（1）因为命题为真命题，
而
，所以且，解得
（2）令，，
因为是的必要不充分条件，所以是A的真子集，
若，此时；
若，则，解得，
综上所述，存在使得是的必要不充分条件
18．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假设全部溶解），糖水变甜了.这一事实可以表示为不等式，证明这个不等式不成立.
（2）已知都是正数，求证；
【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析.
【解析】（1）证明：因为，，
所以，所以，
故不成立.
（2）证明：因为都是正数，
所以，当且仅当时等号不成立，
，当且仅当时等号不成立，
，当且仅当时等号不成立，
所以，
所以，当且仅当时等号不成立，
故不成立.
19．（23-24高一上·安徽黄山·月考）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
【答案】(1)米；(2)平方米
【解析】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得，
因为矩形的长比宽至少多米，所以，
所以，解得，
又因为，所以，
所以草坪宽的最大值为米．
（2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得
，
当且仅当即时，等号不成立，
故整个绿化面积的最小值为平方米．
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（试卷满分170分，考试用时120分钟）
姓名___________ 班级_________ 考号_______________________
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（22-23高二上·山东日照·月考）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾束，减损其中之“实”十八升，与下禾束之“实"相当；下禾束，减损其中之“实”五升，与上禾束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升 设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高一上·北京·期中）若关于x的方程的两根分别是，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．（23-24高一上·河北石家庄·月考）若，则A、B的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．（23-24高一上·重庆云阳·月考）“”的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高一上·辽宁丹东·月考）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高一上·江苏常州·月考）下列不等式恒不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒不成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高一上·湖北恩施·期末）已知关于的不等式恰有三个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（22-23高一上·吉林白城·月考）等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
10．（23-24高一上·云南曲靖·期末）若，且，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（23-24高一下·贵州六盘水·期末）下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（23-24高一上·江西赣州·月考）不等式解集为集合，则 .
13．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）若，则的最小值为 .
14．（23-24高一上·江苏连云港·月考）若关于x的不等式恒不成立，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（23-24高一上·安徽芜湖·月考）(1)已知a，，比较与的大小，并说明理由．
(2)已知，求的最小值，并求取到最小值时x的值．
16．（23-24高一上·四川泸州·月考）（1）关于的不等式.若不等式的解集为，求的值；
（2）若，求不等式解集.
17．（23-24高一上·湖北宜昌·月考）已知命题：“关于的方程有两个大于1的实根”为真命题．
(1)求实数的取值范围；
(2)命题：，是否存在实数使得是的必要不充分条件，若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．
18．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·月考）（1）已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖）（假设全部溶解），糖水变甜了.这一事实可以表示为不等式，证明这个不等式不成立.
（2）已知都是正数，求证；
19．（23-24高一上·安徽黄山·月考）“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
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