2.1.1 等式的性质与方程的解
课程标准 学习目标
1.掌握等式的性质并会应用； 2.掌握几个重要的恒等式 3.会用十字相乘法进行因式分解； 4.会求一元一次方程以及一元二次方程的解集. 1.理解等式的性质，体会用等式的性质解方程； 2.通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法；
知识点01等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍不成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍不成立．
注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果ab，则对任意c，都有a＋cb＋c；
(2)如果ab，则对任意不为零的c，都有acbc.
【即学即练1】（2024·高一课时练习）已知，则下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，则，
则，，故B选项正确，ACD选项错误..
知识点02 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都不成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
注：常见的代数恒等式
（1），
（2）
（3），
（4），
【即学即练2】（2024·高一课时练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】选项A，只有时，等式不成立，故不是恒等式，A错；
选项B，对任意不成立，B对；
选项C，只有时，等式不成立，故不是恒等式，C错；
选项D，，故不是恒等式，D错
知识点03十字相乘法
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．
注：(1)运用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和．
(2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
【即学即练3】（2024·高一课时练习）用十字相乘法分解因式：
（1）； （2）；
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）=；
（2）=；
知识点04 方程的有关概念
方程 含有未知数的等式叫方程．
方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
解方程 求方程的解的过程叫解方程．
【即学即练4】（2024·高一课时练习）已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】先对方程整理得，再由解集为空集可得，从而可求出实数的值
【解析】由，得，
因为关于的方程的解集为，
所以，得，
知识点05 一元一次方程
一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程．
满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1.
表示形式 ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).
【即学即练5】（2024·高一课时练习）求关于的方程的解集，其中是常数.
【答案】见解析
【解析】对分三种情况进行讨论，即或或，.
【详解】当时，方程的解集为，
当时，方程的解集为，
当时，时，方程的解集为.
【点睛】本题考查一元一次方程解的讨论，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.
难点：因式分解法解一元二次方程
求方程x2－5x＋60的解集．
【解析】因为x2－5x＋6(x－2)(x－3)，所以原方程可以化为(x－2)(x－3)0，从而可知x－20或x－30，即x2或x3，因此方程的解集为{2，3}．
方法小结：用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
[提醒] ①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
【题型1：等式的性质与应用】
例1.（2024·上海浦东）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】A
【解析】选项A，当时，显然不不成立；
选项B，如果，那么或，显然不不成立；
选项C，当时，无意义，不不成立；
选项D，如果，则，故，即，不成立，
变式1．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据等式的性质即可判断ABD，举例即可判断C.
【详解】解：对于A，若，两边平分可得，故A为真命题；
对于B，，
所以，故B为真命题；
对于C，当时，无意义，故C为假命题；
对于D，若，由等式的性质可得，故D为真命题.
.
变式2．（2024·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可
【详解】解：对于A，满足，但无意义，故错误；
对于B，两边同时加上2，该等式仍然不成立，故正确；
对于C，当，，满足，但得不到，故错误；
对于D，当时，无法得到，故错误；
变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（ ）
A．如果，则 B．如果，则
C．如果，则 D．如果，则
【答案】C
【解析】A．等式两边同时加上或减去一个相同数，等号保持不变，据此分析；
B．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；
C．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；
D．等式两边同时乘以一个数，等号保持不变，据此分析.
【详解】A、，两边都加，得，故A正确；
B、时，两边都除以无意义，故B错误；
C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；
D、两边都乘以，故D正确；
．
变式4.（2024·高一课时练习）下列变形错误的是（ ）
A．如果，则 B．如果，则
C．如果，则 D．如果，则
【答案】C
【解析】A、，两边都加，得，故A正确；
B、时，两边都除以无意义，故B错误；
C、因为，方程两边同除以，得，故C正确；
D、两边都乘以，故D正确；．
变式5．（2024·高一课时练习）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】分别利用每车坐3人，两车空出来求出总人数以及每车坐2人，多出9人无车坐求出总人数，列出方程可得答案．
【详解】根据题意可得：每车坐3人，两车空出来，可得人数为3（x-2）人；每车坐2人，多出9人无车坐，可得人数为（2x+9）人，所以所列方程为：3（x-2）=2x+9.
.
【点睛】方法点睛：本题考查方程的应用，列方程的一般步骤为：
1.审题：分析题意，弄清哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的数量关系；
2.设未知数：未知数有直接与间接两种，恰当的设元有利于布列方程和解方程，以直接设未知数居多；
3.根据已知条件找出等量关系布列方程或方程组；
4.解方程或方程组；
5.检验并写出答案．
变式6．（2024·辽宁·高一校联考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上 下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可.
【详解】解：上、下禾每束为升，上禾束有，减损18，即，
下禾束之“实"相当，即，同理有，
所以方程组为.
.
【方法技巧与总结】
等式的性质
(1)等式的性质是等式的变形依据．在运用性质1时，必须是在等式的两边同时加上(或减去)“同一个数”或“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一边．
(2)恒等式不成立的条件是等号两端式子中对应项的系数相等，这也是我们根据恒等式求值的依据．
【题型2：恒等式的化简】
例2.（2024·高一课时练习）下列各式运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项，右边左边，故A选项错误.
对于B选项，右边左边，故B选项错误.
对于C选项，根据立方和公式可知，C选项正确.
对于D选项，根据立方差公式可知，
正确的运算是，故D选项错误.故选C.
变式1．（2024·高一课时练习）若等式恒不成立，则常数 ； ．
【答案】 / /
【分析】将等式右边化简，可得出关于、的方程组，即可解得实数、的值.
【详解】因为，
所以，，解得.
故答案为：；.
变式2．（2024·上海嘉定·高三校考期中）已知等式恒不成立，则常数
【答案】4
【分析】由对应项系数相等列方程组求解．
【详解】恒不成立，
所以，解得，
所以．
故答案为：4．
变式3．（2024·全国·高三专题练习）若等式恒不成立，则常数a与b的和为 .
【答案】2
【分析】整式型函数恒为0，则各项系数均同时为零是本题入手点.
【详解】等式恒不成立，
即恒不成立，
则有，解之得，故
故答案为：2
变式4．（2024·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若恒不成立，则的值 ．
【答案】5
【解析】根据等式恒不成立，对应项的系数相等可求得结果.
【详解】因为，即恒不成立，
所以，所以.
故答案为：5
【点睛】关键点点睛：根据等式恒不成立，对应项的系数相等求解是解题关键.
变式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知等式恒不成立，其中为常数，则 ．
【答案】
【分析】首先将等式转化，然后根据等式恒不成立,即可得出结果.
【详解】因为等式恒不成立，
所以恒不成立，
则,即得
故
故答案为：.
变式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）对于任意实数，等式恒不成立，则
【答案】1
【分析】根据等式恒不成立，可求得a，b，c的值，即可得答案.
【详解】因为等式恒不成立，
所以，
所以.
故答案为：1
【方法技巧与总结】
利用恒等式化简的步骤
（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；
（2）提公因式后，看多项式的项数
①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解；
②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；
③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。
（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。
【题型3：因式分解】
例3．（2024·高一课时练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】逐项分解因式可得答案.
【详解】对于A，应该是，故A错误
对于B，应该是，故B错误；
对于C，，故C 错误；
对于D，，故D正确.
.
变式1．（2024·高一课时练习）分解因式： ； ．
【答案】
【分析】将利用“十”字相乘法求解；将转化为利用完全平方公式求解.
【详解】，
=；
，
，
，
，
故答案为：，
变式2．（2024·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
【答案】
【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式求解；（3）利用立方差公式求解；（4）利用立方和公式求解；（5）利用完全平方公式求解.
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5），
=.
故答案为：，，，，
变式3.（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：
（1）； （2）； （3）
【答案】答案见解析.
【解析】（1）；
（2）；
（3）
变式4．（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用十字相乘法逐题计算即可求出结果.
(1)
(2)
(3)
变式5．（2024·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】由十字相乘法即得.
【详解】（1）=；
（2）=；
（3）=；
（4）=．
变式6.（2024·全国·高一专题练习）把下列各式因式分解
（1）6m2－5mn－6n2；
（2）20x2＋7xy－6y2；
（3）2x4＋x2y2－3y4；
（4）.
【答案】（1）；（2）；
（3）；（4）.
【解析】（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【方法技巧与总结】
用“十字相乘法”分解因式的步骤
(1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
(2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数；
(4)写出最终结果．
【题型4：一元一次方程的解集】
例4．（2024·高一课时练习）设a、，求关于x的方程的解集．
【答案】答案见解析．
【分析】将方程转化为，分；，；，；，讨论求解.
【详解】方程转化为，
当时，解集为；
当，时，解集为R；
当，时，解集为R；
当，时，解集为．
变式1．（2024·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知，方程的解集为 .
【答案】
【分析】分、、三种情况讨论，去绝对值符号，解原方程即可.
【详解】当时，则；
当时，则；
当时，则.
综上所述，原方程的解集为.
故答案为：.
【方法技巧与总结】
解一元一次方程的策略
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．
【题型5：因式分解法解一元二次方程】
例5.（2024·高一课时练习）求下列方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
【答案】（1）（2）（3）
【解析】（1），原方程化为，
解得或，所以原方程的解集为.
（2），原方程化为，
解得或，所以原方程的解集为.
（3），原方程化为，
解得或，所以原方程的解集为.
变式1.（2024·高一课时练习）一元二次方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，即，
所以或，
解得，.故选:C.
变式2．（2024·高一课时练习）已知关于x的方程的解集为非空集合，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】分类讨论前的系数是否为0时方程的解集不为空集，即可得到的取值范围.
【详解】解：由题意
在中，解集为非空集合
当即时，，解得：，满足题意
当即时，，
解集为非空集合
∴
解得：
综上：的取值范围是
故答案为：.
变式3．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》言：“勾股以御高深广远，今有弦五尺，勾三尺，问股为几何？其中弦代表直角三角形的斜边，勾 股代表两条直角边，则股为 尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，则弦为 尺.
【答案】
【解析】利用勾股定理即可求解.
【详解】当弦五尺，勾三尺，所以股为；
当弦t尺，勾尺，股尺，
则，且
整理可得， ，
解得.
故弦为尺
故答案为：；
变式4．（2024·江西赣州·高一兴国中学校考阶段练习）若关于的方程的解集为，则实数的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意转化为和时方程两个实数根，结合韦达定理，即可求解.
【详解】关于的方程，可化为，
因为方程的解集为，
所以和时方程两个实数根，
可得，解得.
故答案为：.
变式5．（2024·高一课时练习）若关于x的方程的实数解集为，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】分和两种情况求解
【详解】当时，方程化为，等式不不成立，方程无解，即解集为，
当时，由，得，由于，所以当时，方程无解，即解集为，
综上，当或时，方程的实数解集为，
即实数a的取值范围是，
故答案为：
【方法技巧与总结】
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
注：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．在等式两边同除以，可得
B．在等式两边同除以2，可得
C．在等式两边同除以，可得
D．在等式两边同除以，可得
【答案】A
【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于A，在等式两边同乘以，可得，故A错误；
对于B，在等式两边同除以2，可得，故B错误；
对于C，若，则不一定相等，故C错误；
对于D，在等式两边同除以，可得，故D正确.
.
2．（2024高一·全国·课后作业）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差,即为，边长分别为和 ,其面积为，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式.
【详解】图甲中阴影部分的面积为，图乙中阴影部分面积为，
因为两个图形中阴影部分的面积相等，
所以.
3．（2024·广东·模拟预测）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，设出宫音的律管长度，表示出羽音的律管长度，作比即可.
【详解】设以宫音为基音的律管长度为，则徵音的律管长度为，
商音的律管长度为，羽音的律管长度为，
所以，羽音律管长度与宫音律管长度之比是.
.
4．（2024高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】逐项分解因式可得答案.
【详解】对于A，应该是，故A错误
对于B，应该是，故B错误；
对于C，，故C 错误；
对于D，，故D正确.
.
5．（2024高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（ ）
A．，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【分析】根据等式的性质，逐项验证即可.
【详解】对于选项，两边同时减，得到，故正确；
对于选项，没有说明，故不正确；
对于选项，在等式两边同时乘以，得到，故正确；
对于选项，在等式两边同时乘以5得到，故正确；
故选：.
6．（2024高三下·安徽·阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】原方程可化为，所以即，再列举每种情况即可.
【详解】设此方程的解为有序数对，
因为
所以
当或时，等号是不能不成立的，
所以即，
（1）当时，即
（2）当时，即或
（3）当时，即
综上所述，共有四组解
二、多选题
7．（2024高一上·江苏南通·开学考试）若x2＋xy－2y20，则的值可以为（ ）
A．－ B．－ C． D．
【答案】CD
【分析】由x2＋xy－2y20得或，分别代入原式可得结果.
【详解】由x2＋xy－2y20得，得或，
当时，；
当时，.
D.
【点睛】本题考查了分解因式，属于基础题.
8．（2024高一上·辽宁·阶段练习）方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】将所求方程化为，由分类讨论求出的值，再解原方程即可.
【详解】由题意可知且，则原方程可化为，得，
若方程有一根为0，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意；
若方程有一根为，则，此时原方程的解为，（舍去），符合题意；
若，解得，故原方程为，解得.
BC.
三、填空题
9．（2024高一·上海·专题练习）方程的解集是
【答案】
【分析】将方程通分化简整理后可得，即可求得方程得解集.
【详解】方程可化为,
去分母可得,
整理可得，解得；
所以该方程的解集为.
故答案为：
10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ．（填序号）
①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故；
②解方程时，对比方程两边知，，故；
③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得；
④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根．
【答案】④
【分析】①②③在解方程的过程中产生失根，所以判断它们是错误的；④根据二次方程的解法可判断.
【详解】①在解方程的过程中，两边同时除以，就产生失根：即，所以原方程的根为：或.故①错误；
②对方程，对比方程可知：或，可得或，故②错误；
③对方程，两边开平方，可得，解得或，故③错误；
④一元二次方程的常数项为0，则方程为或，可知必为方程的一个根，故④不成立.
故答案为：④
11．（24-25高一上·上海·课后作业）若多项式与互为相反数，则 ．
【答案】1
【分析】根据相反数的性质列式即可求解.
【详解】由题意，解得.
故答案为：1.
12．（2024高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= .
【答案】3
【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解.
【详解】由题意结合韦达定理有，所以.
故答案为：3.
四、解答题
13．（2024高一上·全国·课后作业）将下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】利用十字相乘法逐题计算即可求出结果.
【详解】（1）
（2）
（3）
14．（2024高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则或；
(4)若，且，则.
【答案】(1)假命题
(2)真命题
(3)真命题
(4)真命题
【分析】结合真假命题的定义，根据等式的性质逐一判断，即可得出结果.
【详解】（1）若，则，假命题；
（2）由，且，所以，真命题；
（3）若，则或，真命题；
（4）设，则，
所以，又，所以，真命题.
15．（2024高一·全国·课后作业）已知等式对任意实数m恒不成立，求所有满足条件的实数对的集合.
【答案】.
【分析】根据恒不成立，将式子变形为对任意实数m恒不成立，即可由且求解.
【详解】由于对任意实数m恒不成立，
则对任意实数m恒不成立，因此且，
所以，
当，当，
故满足条件的实数对的集合为
16．（2024高一·全国·课后作业）已知等式．
（1）若，请写出一组满足等式的值；
（2）若对任意的实数，等式恒不成立，求所有实数对的集合．
【答案】（1），（答案不唯一）；（2）．
【分析】（1）由题得取区间内的任意一个值时，都可以求得相应的值，即得解；
（2）解方程组即得解.
【详解】（1）答案不唯一，时，，
所以，
所以的取值范围为.
当取区间内的任意一个值时，都可以求得相应的值．
例如，当时，或2，因此，（0，1），（2，1）都满足等式．
（2）由题得对于对任意的实数，等式恒不成立，
所以，所以
所以所有实数对的集合为．
17．（2024高一上·上海·期中）设，则方程的解集为 .
【答案】
【分析】按题意分类讨论即可求解
【详解】时，原式，不合题意
时，原式
时，原式即恒不成立
时，原式，不合题意
故
故答案为：
18．（2024高一上·江苏·专题练习）若，，b，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求出a，b，c的值，即可求解．
【详解】解：因为，，b，，
所以联立方程组，求得，，，从而，，，
所以当a，b异号时，取最小值为．
．
19．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根.
(1)求的值；（用表示）
(2)是否存在实数，使不成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；
(3)求使的值为整数的实数的整数值.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见详解
(3)
【分析】（1）通分后，利用韦达定理代入可得；
（2）利用韦达定理代入后解方程可得k，然后可判断；
（3）利用韦达定理化简，然后根据k和分式都为整数值验证可得.
【详解】（1）因为一元二次方程，
所以，解得
由韦达定理可得
当时，，无意义；
当时，
综上，的值为
（2）由韦达定理可知
，
令，整理得，，
由（1）可知，
所以不存在实数，使不成立.
（3）
因为为整数，所以必为整数，所以，即
又，所以，
因为为整数，所以，经检验时，为整数，
所以使的值为整数的实数的整数值为.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1.1 等式的性质与方程的解
课程标准 学习目标
1.掌握等式的性质并会应用； 2.掌握几个重要的恒等式 3.会用十字相乘法进行因式分解； 4.会求一元一次方程以及一元二次方程的解集. 1.理解等式的性质，体会用等式的性质解方程； 2.通过类比推理形式，掌握等式推理的基本形式和规则，探索出解方程的核心方法；
知识点01等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍不成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍不成立．
注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果ab，则对任意c，都有a＋cb＋c；
(2)如果ab，则对任意不为零的c，都有acbc.
【即学即练1】（2024·高一课时练习）已知，则下列比例式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
知识点02 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都不成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．
注：常见的代数恒等式
（1），
（2）
（3），
（4），
【即学即练2】（2024·高一课时练习）下列等式中，属于恒等式的是（ ）
A． B． C． D．
知识点03十字相乘法
对于ax2＋bx＋c，将二次项的系数a分解成a1·a2，常数项c分解成c1·c2，并且把a1，a2，c1，c2排列如图：，按斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2＋a2c1，如果它正好等于ax2＋bx＋c的一次项系数b，那么ax2＋bx＋c就可以分解成(a1x＋c1)(a2x＋c2)，其中a1，c1位于上图中上一行，a2，c2位于下一行．
注：(1)运用x2＋(a＋b)x＋ab(x＋a)(x＋b)进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和．
(2)对于x2＋Cx＋D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
【即学即练3】（2024·高一课时练习）用十字相乘法分解因式：
（1）； （2）；
知识点04 方程的有关概念
方程 含有未知数的等式叫方程．
方程的解(或根) 能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
方程的解集 把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
解方程 求方程的解的过程叫解方程．
【即学即练4】（2024·高一课时练习）已知关于的方程的解集为，则实数的值（ ）
A．0 B．1 C． D．
知识点05 一元一次方程
一元一次方程 方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程．
满足的条件 ①必须是整式方程； ②只含有一个未知数； ③未知数的次数都是1.
表示形式 ax＋b0(a≠0)或axb(a≠0).
【即学即练5】（2024·高一课时练习）求关于的方程的解集，其中是常数.
难点：因式分解法解一元二次方程
求方程x2－5x＋60的解集．
【题型1：等式的性质与应用】
例1.（2024·上海浦东）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
变式1．（2024·上海浦东新·高一校考阶段练习）设，下列命题中为假命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
变式2．（2024·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·全国·高一专题练习）下列变形错误的是（ ）
A．如果，则 B．如果，则
C．如果，则 D．如果，则
变式4.（2024·高一课时练习）下列变形错误的是（ ）
A．如果，则 B．如果，则
C．如果，则 D．如果，则
变式5．（2024·高一课时练习）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐. 问人数和车数各多少？设车辆，根据题意，可列出的方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2024·辽宁·高一校联考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实”相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上 下禾每束之实各为多少升？设上下禾每束之实各为升和升，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
等式的性质
(1)等式的性质是等式的变形依据．在运用性质1时，必须是在等式的两边同时加上(或减去)“同一个数”或“同一个代数式”，不要漏掉等号的任何一边．
(2)恒等式不成立的条件是等号两端式子中对应项的系数相等，这也是我们根据恒等式求值的依据．
【题型2：恒等式的化简】
例2.（2024·高一课时练习）下列各式运算正确的是
A． B．
C． D．
变式1．（2024·高一课时练习）若等式恒不成立，则常数 ； ．
变式2．（2024·上海嘉定·高三校考期中）已知等式恒不成立，则常数
变式3．（2024·全国·高三专题练习）若等式恒不成立，则常数a与b的和为 .
变式4．（2024·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考阶段练习）若恒不成立，则的值 ．
变式5．（2024·上海崇明·高三上海市崇明中学校考阶段练习）已知等式恒不成立，其中为常数，则 ．
变式6．（2024·河南周口·高一周口恒大中学校考阶段练习）对于任意实数，等式恒不成立，则
【方法技巧与总结】
利用恒等式化简的步骤
（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；
（2）提公因式后，看多项式的项数
①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解；
②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；
③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。
（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。
【题型3：因式分解】
例3．（2024·高一课时练习）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（2024·高一课时练习）分解因式： ； ．
变式2．（2024·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） .
变式3.（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：
（1）； （2）； （3）
变式4．（2024·高一课时练习）将下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
变式5．（2024·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
变式6.（2024·全国·高一专题练习）把下列各式因式分解
（1）6m2－5mn－6n2；
（2）20x2＋7xy－6y2；
（3）2x4＋x2y2－3y4；
（4）.
【方法技巧与总结】
用“十字相乘法”分解因式的步骤
(1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
(2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数；
(4)写出最终结果．
【题型4：一元一次方程的解集】
例4．（2024·高一课时练习）设a、，求关于x的方程的解集．
变式1．（2024·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知，方程的解集为 .
【方法技巧与总结】
解一元一次方程的策略
解一元一次方程时，有些变形的步骤可能用不到，要根据方程的形式灵活安排求解步骤．(1)在分子或分母中有小数时，可以化小数为整数．注意根据分数的基本性质，分子，分母必须同时扩大同样的倍数．(2)当有多层括号时，应按一定的顺序去括号，注意括号外的系数及符号．
【题型5：因式分解法解一元二次方程】
例5.（2024·高一课时练习）求下列方程的解集：
（1）；
（2）；
（3）；
变式1.（2024·高一课时练习）一元二次方程的解集是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·高一课时练习）已知关于x的方程的解集为非空集合，则的取值范围是 .
变式3．（2024·全国·高三专题练习）《九章算术》言：“勾股以御高深广远，今有弦五尺，勾三尺，问股为几何？其中弦代表直角三角形的斜边，勾 股代表两条直角边，则股为 尺，若今有弦t尺，勾尺，股尺，则弦为 尺.
变式4．（2024·江西赣州·高一兴国中学校考阶段练习）若关于的方程的解集为，则实数的值为 ．
变式5．（2024·高一课时练习）若关于x的方程的实数解集为，则实数a的取值范围是 ．
【方法技巧与总结】
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
注：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应灵活根据方程的特点分解因式．
一、单选题
1．（24-25高一上·上海·课后作业）下列说法正确的是（ ）
A．在等式两边同除以，可得
B．在等式两边同除以2，可得
C．在等式两边同除以，可得
D．在等式两边同除以，可得
2．（2024高一·全国·课后作业）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）.
A． B．
C． D．
3．（2024·广东·模拟预测）曾侯乙编钟现存于湖北省博物馆，是世界上目前已知的最大、最重、音乐性能最完好的青铜礼乐器，全套编钟可以演奏任何调性的音乐并做旋宫转调．其初始四音为宫、徵、商、羽．我国古代定音采用律管进行“三分损益法”．将一支律管所发的音定为一个基音，然后将律管长度减短三分之一（即“损一”）或增长三分之一（即“益一”），即可得到其他的音．若以宫音为基音，宫音“损一”得徵音，徵音“益一”可得商音，商音“损一”得羽音，则羽音律管长度与宫音律管长度之比是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一·全国·课后作业）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一·上海·专题练习）下列式子中变形错误的是（ ）
A．，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．（2024高三下·安徽·阶段练习）不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支，其内容极为丰富，西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图．请研究下面一道不定方程整数解的问题：已知则该方程的整数解有（ ）组．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
7．（2024高一上·江苏南通·开学考试）若x2＋xy－2y20，则的值可以为（ ）
A．－ B．－ C． D．
8．（2024高一上·辽宁·阶段练习）方程解集为单元素集，那么该方程的解集可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2024高一·上海·专题练习）方程的解集是
10．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列说法正确的是 ．（填序号）
①解方程时，可以在方程两边同时除以，得，故；
②解方程时，对比方程两边知，，故；
③解方程时，只要将两边开平方，方程就变形为，从而解得；
④若一元二次方程的常数项为0，则0必为它的一个根．
11．（24-25高一上·上海·课后作业）若多项式与互为相反数，则 ．
12．（2024高三上·上海静安·阶段练习）已知方程的两个根为，则= .
四、解答题
13．（2024高一上·全国·课后作业）将下列各式因式分解：
(1)；
(2)；
(3).
14．（2024高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d是实数，判断下列命题的真假，并说明理由：
(1)若，则；
(2)若，则；
(3)若，则或；
(4)若，且，则.
15．（2024高一·全国·课后作业）已知等式对任意实数m恒不成立，求所有满足条件的实数对的集合.
16．（2024高一·全国·课后作业）已知等式．
（1）若，请写出一组满足等式的值；
（2）若对任意的实数，等式恒不成立，求所有实数对的集合．
17．（2024高一上·上海·期中）设，则方程的解集为 .
18．（2024高一上·江苏·专题练习）若，，b，，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024高一上·上海浦东新·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个实数根.
(1)求的值；（用表示）
(2)是否存在实数，使不成立？若存在，求出的值，若不存在，请你说明理由；
(3)求使的值为整数的实数的整数值.
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