2.1.3方程组的解集
课程标准 学习目标
1、掌握解方程组的方法. 2、判断方程组解集是有限集还是无限集. 3、解读古代数学语境，能正确列出方程组. 学会消元法解方程组的思想方法。 在实际情景中分析问题，构建方程组模型，计算结果，检验结果实际性。 理解集合运算对象，在方程组中有的放矢选择运算法则。 根据方程组未知数的个数和方程的个数，判断方程组的解集为有限解还是无限解。
知识点01 方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．
（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
【即学即练1】判断正误
(1)方程组的解集为{2,1}． ( )
(2)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素． ( )
【答案】(1)× (2)√
知识点02 二元一次方程组
方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．例如，
都是二元一次方程组．
【即学即练2】（2024·高一课时练习）方程组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】方程组的解为,
所以方程组的解集为，.
知识点03 三元一次方程组
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．例如，都是三元一次方程组．
【即学即练3】（2024·江苏·高一专题练习）方程组的解集可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由得，
将代入得，所以，
知识点04 二元二次方程组
二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程．
二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型．
(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次．
【即学即练4】（2024·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】两式作差消元得：，
反代回去得：，
同理可得：，由同构及韦达定理有：
继而有：.
难点：“二·二”型的二元二次方程组
例题：解方程组
【解析】 由①得(x－4y)(x＋y)0，
所以x－4y0或x＋y0，
由②得(x＋2y)21，
所以x＋2y1或x＋2y－1.
原方程可化为以下四个方程组：
解这四个方程组，得原方程组的四个解是： ,,
所以方程组的解集为.
方法小结：解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
【题型1：求二元一次方程组的解集】
（一）不含参二元一次方程组
例1．（2024·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）方程组的解集是
【答案】
【分析】通过解方程组和集合的概念即可求解.
【详解】方程组可知，，
从而方程组的解集为.
故答案为：.
变式1．（2024·上海普陀·高一校考阶段练习）用列举法表示方程组的解集为 ．
【答案】
【分析】解方程组，并用列举法表示解集.
【详解】，则，两式相减得，解得，故，
∴方程组的解集为.
故答案为：.
变式2.（2024·全国·高一课时练习）求下列方程组的解集：
（1）；（2）.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），由①得，③
把③代入②得，解得，把代入③得，.
所以，方程组的解集是；
（2）原方程组化为，
①②，整理得，解得，把代入①并整理，得.
所以，方程组的解集为.
（二）含参二元一次方程组
例2.（2024·高一课时练习）关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（ ）
A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是
【答案】A
【分析】由方程组的计算将式子转化为，即可分类讨论求解方程的根.
【详解】由得从而得，即
若，则可取任意实数，此时解有无数个，故B正确，
若,则，故CD正确，
解集不可能是空集，所以A错误，
变式1．（2024·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于，的方程组：．
【答案】见解析
【分析】分别讨论、、时的解即可.
【详解】（1）当时，，方程组解为；
（2）当时，，方程组无解；
（3）当时，两式相加得，两式相减得，方程组解为.
变式2.（2024·高一课时练习）设，求关于x、y的方程组的解集.
【答案】答案见解析
【解析】
由①得，将其代入②得.
当且时，该方程有唯一解，则，
故原方程组的解集为；
当时，该方程无解，故原方程组的解集为；
当时，该方程有无穷多个解，且，
故原方程组的解集为
【方法技巧与总结】
1、用代入消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为yax＋b(或xay＋b)(a，b是常数，a≠0)的形式．
(2)代入 把yax＋b(或xay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值．
(4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个未知数．
(5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式．
2、用加减消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数．
(2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减．
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值．
(4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值．
(5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式．
注意：(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
(3)当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单．
(4)当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元法．
【题型2：求三元一次方程组的解集】
例3．（2024·全国·高一专题练习）方程组的解集的是（ ）
A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)}
【答案】A
【分析】将第一个式子分别与第二、第三个式子相加消去，可得，求解可得，再代入第一个式子，即得解
【详解】由题意
将第一个式子分别与第二、第三个式子相加得：
代入第一个式子，可得
故方程组的解集为：{(1，－2，3)}
变式1．（2024·辽宁大连·高一大连市第二十高级中学校考阶段练习）（1）求方程组的解集；
（2）求三元一次方程组的解集.
【答案】（1），（2）
【分析】（1）将第2个方程化简变形后，利用代入法求解，
（2）给第2个方程两边同乘以3，再第3个方程相加，消去，得到关于的方程，再与第1个方程联立求解即可
【详解】（1）由，得，得，代入中得，
，得，
所以，
所以方程组的解集为
（2）给两边同乘以3，得，再与相加，
得，
由，得，
把代入中，解得，
所以原方程组的解集为
变式2．（2024·高一课时练习）已知非零实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由方程组即可求解的关系，进而可求解.
【详解】由两式子相加可得，所以，所以，
变式3．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）已知方程组，则 ．
【答案】
【分析】根据题目中等量关系代入即可求解
【详解】令，
解得，
所以.
故答案为：.
变式4.（2024·高一课时练习）方程组的解集为 .
【答案】
【解析】由，联立求解得，
故方程组的解集为
故答案为：
变式5．（2024·上海·高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是
【答案】
【分析】由①×3﹣②得到2x+y0，结合x、y是非负整数，得到xy0，z10，进而计算结果.
【详解】∵
①×3﹣②得：
2x+y0，
∵x、y是非负整数，
∴xy0，z10，
∴x+5y+3z30，
故答案为：．
【方法技巧与总结】
1.解三元一次方程组的基本思路
2.消元法解三元一次方程组的两个注意点
(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的．
【题型3：求二元二次方程组的解集】
（一）“二·一”型的二元二次方程组
例4．（2024·全国·高一专题练习）方程组的解集是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解方程组，再将方程组的解用集合表示.
【详解】由，解得，
所以方程组的解集是，
变式1．（2024·高一课时练习）方程组的解集为 .
【答案】
【分析】利用代入消元法，求解方程组的解集即可．
【详解】
由②得代入①，得，
整理得，
因为，所以此方程无实数解，
故方程组的解集为．
故答案为：．
变式2。（2024·高一课时练习）求方程组的解集.
【答案】
【解析】由得，
代入得：，解得或，
当时，；当时，.
所以方程组的解为或，
其解集为.
变式3．（2024·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）（1）求方程的解集；
（2）求方程组的解集.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）原方程可化为，即可求解集；
（2）由方程组可得，即可求y值，再代入求x值，即可得解集.
【详解】（1）由题设，，解得或，
∴原方程的解集为.
（2）由题设，，整理有，可得，
代入，可得，
∴方程组的解集为.
变式4．（2024·北京·高一校考期中）求下列方程组的解集：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用加减消元法求得正确结果.
（2）利用代入消元法求得正确结果.
(1)
，
①得：③，
③②得：，
代入①，
，
所以方程组的解集为.
(2)
由①得代入②，
，
，
或，
当时，，
当时，，
所以方程组的解集为.
变式5．（2024·高一课时练习）求方程组的解集.
【答案】
【分析】利用消元法即可解出方程组.
【详解】由得，代入得：
，解得或，
当时，；当时，.
所以方程组的解为或，其解集为.
变式6．（2024·全国·高一专题练习）求下列方程组的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）中由第一个式子可得代入第二个、第三个式子，再作差求解即可；
（2）中由第一个式子可得代入第二个式子求解即可；
（3）由第一个式子可得代入第二个式子求解即可.
【详解】（1）由第一个式子可得
代入第二个、第三个式子可得：
，两个式子作差可得
代入可得
故方程组的解集为
（2）由第一个式子可得
代入第二个式子可得
解得
代入，可得
故方程组的解集为
（3）由第一个式子可得
代入第二个式子可得
即
解得
代入可得
故方程组的解集为
【方法技巧与总结】
1.“二·一”型的二元二次方程组的基本思想
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．
2.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：
（二）“二·二”型的二元二次方程组
例5．（2024·高一课时练习）已知矩形的面积为，对角线长，则该矩形的周长为 .
【答案】34
【分析】设出矩形的长与宽，由题意列出等量关系求解即可.
【详解】设矩形的长为，宽为.
由题意可得：，则，
所以，所以该矩形的周长为.
故答案为：34.
变式1．（2024·高一课时练习）解方程组
【答案】{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.
【分析】化简可得x＋y0或x－y－50，然后分别与联立解方程即可.
【详解】由x2－y2－5(x＋y)0 (x＋y)(x－y)－5(x＋y)0 (x＋y)(x－y－5)0，
所以x＋y0或x－y－50，
所以原方程组可化为两个方程组：
或
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
或或或，
所以原方程组的解集为{(－1，－6)，(6，1)，(，－)，(－，)}.
【点睛】本题主要考查解方程组，重在考查计算，属基础题.
变式2.（2024秋·高一课时练习）解方程组
【答案】.
【解析】①－②×3得x2＋xy－3(xy＋y2)0，
即x2－2xy－3y20 (x－3y)(x＋y)0，
所以x－3y0或x＋y0，
所以原方程组可化为两个二元一次方程组：
或
用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：
或
所以该方程组的解集为.
变式3．（2024·高一课时练习）已知实数，满足，，则 ．
【答案】或2或
【分析】对分，两种情况讨论得解.
【详解】当时，由题得所以或，所以或2；
当时，实数，是方程的两个实数根，
所以，
综合得或2或.
故答案为：或2或
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】根据已知条件求得，由此求得所求表达式的值.
【详解】两式作差消元得：，反代回去得：
，同理可得：，由同构及韦达定理有：
继而有：
.
【方法技巧与总结】
解“二·二”型方程组的基本思想
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
【题型4：已知解集求参数】
例6．（2024·高一课时练习）若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由解得，再把代入，求解即可.
【详解】由题意联立方程为：，解得，
把代入得，解得.
变式1．（2024·高一课时练习）关于 的方程组的解集为，则 .
【答案】4
【分析】根据集合的定义解方程组即可求解.
【详解】因为关于 的方程组的解集为，
所以，解得，
故答案为：4.
变式2．（2024·高一课时练习）关于x，y的方程组的解集为，则（ ）
A．1 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】将代入方程组，可得的关系式，求解即可.
【详解】由题意，将代入方程组得，
则，故.
.
变式3．（2024·全国·高一专题练习）若关于，的方程组的解集为，则（ ）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
【答案】A
【分析】由题可得，即得.
【详解】∵关于，的方程组的解集为，
∴，解得，，
∴.
.
变式4．（2023春·山东东营·高一东营市第一中学统考阶段练习）若，则的值为 .
【答案】-1
【分析】将的值代入方程得到关于a、b的方程组,再将所得两个方程相加即可得出答案.
【详解】，
两式相加可得：，
故答案为：-1
变式5．（2024·高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
【答案】2
【分析】将二元一次方程组转化为一元一次方程，根据根的特点，即可得出答案．
【详解】解：由题意得，即，
关于，的二元一次方程组的解集为，
关于的方程的无解，
，即，
故答案为：2．
变式6．（2024·山东潍坊·高一寿光市第一中学校考阶段练习）已知关于，的方程组，甲因看错了，求得解集为，则 ，甲把错看成了 .
【答案】 1 8
【分析】把代入方程组即可得解.
【详解】解：
甲看错，满足方程②，代入得：
解得.
再把代入.
故答案为：1；8.
变式7.（2024·高一课时练习）方程组的解集中含有两个元素，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】将代入得，
由题意可知，关于的一元二次方程有两个实数解，
，解得.
故答案为：.
【题型5：方程组在实际问题中的应用】
例7．（2024·全国·高一专题练习）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
【答案】A
【解析】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，根据题意得，解得8xa－32，由此得解.
【详解】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，
则，
两式相加得8x＋8y2a，∴x＋ya，
∵5x＋3ya－8，∴2x＋(3x＋3y)a－8，
∴2x＋3×aa－8，∴2xa－8，∴8xa－32，
即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，
.
变式1．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是 ，物价是 （钱）．
【答案】
【分析】设人数为，物价是（钱），根据已知条件可得出关于、的方程组，即可得解.
【详解】设人数为，物价是（钱），则，解得.
故答案为：；.
变式2．（2024·全国·高一专题练习）某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人，即可列出两个方程，即可得答案.
【详解】根据组数×每组7人总人数－3人，得方程；
根据组数×每组8人总人数＋5人，得方程 ，
列方程组为
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用.找出本题中的等量关系是解题的关键，属于基础题.
【方法技巧与总结】
1、列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出题目中的两个相等关系；
（3）列：根据两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；
（4）解：借这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解作出是否合理的判断的基础上，写出答案。
2、目前高考中常见的问题有：生产问题、市场营销问题、方案选择问题、数字问题、利润问题、配套问题、行程问题、工程问题等。
一、单选题
1．（2024高一·全国·课后作业）关于x、y的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数m的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．无数个
【答案】A
【分析】根据二元一次方程组的解法可得，再根据解为整数，逐个列出能整除4的数即可求解.
【详解】解方程组
得到
因为方程组的解为整数，所以m可以为0、1、3、4，
所以满足条件的m的整数有4个，
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，考查了运算求解能力，属于基础题.
2．（2024高一上·云南昆明·开学考试）若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【分析】消元可得二元方程组，再消元可得的值.
【详解】由方程组，①②得，代入③得 ，
再代入①得 ，即原方程组得解为:
或，
故选: C
【点睛】代入消元是解方程组得基本方法，此题为基础题.
3．（2024高一上·全国·单元测试）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
【答案】A
【解析】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，根据题意得，解得8xa－32，由此得解.
【详解】设方形巧克力每块x元，圆形巧克力每块y元，小明带了a元钱，
则，
两式相加得8x＋8y2a，∴x＋ya，
∵5x＋3ya－8，∴2x＋(3x＋3y)a－8，
∴2x＋3×aa－8，∴2xa－8，∴8xa－32，
即他只购买8块方形巧克力，则他会剩下32元，
.
4．（2024高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由于集合分别表示抛物线、直线的点集，联立两方程，求出交点个数，即可得出结论.
【详解】联立，解得或，
所以.
.
5．（2024高一上·北京·阶段练习）方程组解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解方程组，用列举法表示解集 .
【详解】方程组，解得或，
所以方程组解集是.
6．（2024高一·全国·课后作业）下列各组数是二元一次方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用加减消元法解二元一次方程组；
【详解】，
②-①得：x=4，
把x=4代入①得：y=-3，
∴方程组的解为，
故选:D.
【点睛】本题考查方程组的解法，属于基础题.
7．（2024·四川凉山·一模）已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用立方和与完全平方公式计算即可.
【详解】由已知可知，
所以.
8．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列关于方程的解的说法中正确的是（ ）．
A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解
C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解
【答案】A
【分析】分类讨论的值，再分别判断线性方程组解的情况即可.
【详解】由题意得，，
即，
当时，不不成立，方程组无解；
当时，，方程组有唯一解.
.
二、多选题
9．（2024高一·全国·课后作业）对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据解集为有序实对，可利用列举法和描述法分别表示出来得到结果.
【详解】方程组的解集为有序数对，列举法表示为，描述法表示为或.
故选
【点睛】本题考查方程组解集的集合表示，易错点是忽略可用列举法和描述法表示集合，造成结论缺失.
10．（2024高一上·辽宁·阶段练习）方程组的解集为，若x1+x2﹣3，则（ ）
A．k1或
B．y1+y2﹣3或y1+y2﹣1
C．y1+y21或y1+y23
D．x12+x2212或x12+x2215
【答案】AC
【分析】条件转化为（x1，y1），（x2，y2）为直线kx﹣y+20与圆x +y +2x﹣80的两个交点坐标，将直线方程代入圆方程，利用韦达定理得到x1+x2﹣﹣3，解出k，进而逐一判断即可．
【详解】由题可知（x1，y1），（x2，y2）为直线kx﹣y+20与圆x +y +2x﹣80的两个交点坐标，
由kx﹣y+20得ykx+2，代入圆方程可得（1+k ）x +（2+4k）x﹣40，
则x1+x2﹣﹣3，解得k1或，故A正确；
因为y1+y2kx1+2+kx2+2k（x1+x2）+4﹣3k+4，所以k1或时，y1+y21或3，故B错误，C正确；
又有x1x2﹣，则，则当k1或时，x12+x2213或，故D错误；
C．
三、填空题
11．（2024高一·全国·课后作业）关于 的方程组的解集为，则 .
【答案】4
【分析】根据集合的定义解方程组即可求解.
【详解】因为关于 的方程组的解集为，
所以，解得，
故答案为：4.
12．（2024高一·全国·课后作业）请写出方程的一组整数解 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据题意列出方程组求解.
【详解】由可得，，
因为取整数，所以可以取，解得，
故答案为: （答案不唯一）
13．（2024高一·全国·课后作业）已知两数之和为10，积为24，则这两数之差的绝对值为 .
【答案】2
【分析】根据题意列出方程，结合完全平方和与完全平方差公式求解.
【详解】设这两个数为，则有，
则有，
所以，
故答案为：2.
14．（2024高一上·北京·期中）方程组的解集是 ．
【答案】
【分析】解方程求方程组的解，进而写出解集.
【详解】由，可得或，
当时，，即；
当时，，即；
所以原方程的解集为.
故答案为：
15．（2024高一下·北京海淀·开学考试）已知方程组，则 ．
【答案】
【分析】根据题目中等量关系代入即可求解
【详解】令，
解得，
所以.
故答案为：.
四、解答题
16．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组，甲因看错了a，求得解集为.
(1)求b的值；
(2)甲把a错看成了什么？
【答案】(1)3
(2)1
【分析】（1）（2）根据方程组的解，代入原方程中即可求解.
【详解】（1）将代入方程组中②式中可得
，
（2）将代入得
故甲把a错看成了1.
17．（2024高一上·北京·阶段练习）求下列关于的方程（方程组）的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）化简方程，即可求解；
（2）化简方程，即可求解；
（3）化简方程，求得，即可求解；
（4）根据方程组的解法，利用消元法，即可求解；
（5）联立方程组，结合一元二次方程的解法，即可求解.
【详解】（1）解：由方程，即，
解得或，即方程的解集为.
（2）解：由方程，即
解得或，即方程的解集为.
（3）解：由方程，即，解得，即，
所以方程的解集为.
（4）解：由不等式组，
①+②，可得，②-③，可得，
联立方程组，解得，代入①式，可得，
所以不等式组的解集为.
（5）解：由方程组，整理得，解得或，
当时，可得；时，可得，
所以方程组的解集为.
18．（2024高一·上海·课堂例题）设，求关于x与y的二元一次方程组的解集．
【答案】当时，解集为；当时，解集为
【分析】整理得到，讨论和两种情况，解得答案.
【详解】因为方程组，则，即，
当时，等式不不成立，即方程组无解；
当时，解得，，即方程组的解集为，
综上所述：当时，解集为；当时，解集为.
19．（2024高一下·全国·课堂例题）求三元一次方程组的解集.
【答案】
【分析】给第2个方程两边同乘以3，再与第3个方程相加，消去，得到关于的方程，再与第1个方程联立求解即可.
【详解】给两边同乘以3，得，再与相加，
得，
由，得，
把代入中，解得，
所以原方程组的解集为.
20．（2024高一·全国·课后作业）方程组的解集可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由方程组的求解可得的关系，即可求解.
【详解】由得，
将代入得，所以，
21．（2024高一上·北京·阶段练习）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 700 800
(1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数.
【答案】(1)甲车型8辆，乙车型10辆
(2)甲，乙，丙三种车型分别为或
【分析】（1）分别设出需甲车型辆，乙车型辆，再根据条件得到方程组，解方程组即可得出结果；
（2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，根据条件得到，再利用均为整数这一条件即可求出结果.
【详解】（1）设需甲车型辆，乙车型辆，
由题得，解得，
所以需甲车型8辆，乙车型10辆.
（2）设需甲车型辆，乙车型辆，丙车型辆，
由题得，，消得到，所以，
又均为正整数，得到或，
当时，，当时， ，
所以，甲，乙，丙三种车型分别为或.
22．（2024高一上·北京西城·期中）已知关于，的方程组其中.
(1)当时，求该方程组的解；
(2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解；
(3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
【答案】(1)和
(2)证明见解析
(3)是定值，定值为4
【分析】（1）消去求出所对应的一元二次方程的解，从而求出方程组的解；
（2）消去，判断所对应的一元二次方程的解的情况，即可判断；
（3）利用韦达定理得到，，即可求出、，从而得解.
【详解】（1）当时，消去得，
解得，，
因此，方程组的解为和.
（2）消去整理得，
显然，且，
因此，该方程有两个不同的解，该方程组也对应有两组不同的解.
（3）由韦达定理得，，
所以，
，
所以，
因此，是定值，且定值为4.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.1.3方程组的解集
课程标准 学习目标
1、掌握解方程组的方法. 2、判断方程组解集是有限集还是无限集. 3、解读古代数学语境，能正确列出方程组. 学会消元法解方程组的思想方法。 在实际情景中分析问题，构建方程组模型，计算结果，检验结果实际性。 理解集合运算对象，在方程组中有的放矢选择运算法则。 根据方程组未知数的个数和方程的个数，判断方程组的解集为有限解还是无限解。
知识点01 方程组的解集
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
注意：（1）解方程组常用的方法：消元法．
（2）当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
【即学即练1】判断正误
(1)方程组的解集为{2,1}． ( )
(2)当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能含有无穷多个元素． ( )
知识点02 二元一次方程组
方程组含有两个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．例如，
都是二元一次方程组．
【即学即练2】（2024·高一课时练习）方程组的解集为（ ）
A． B． C． D．
知识点03 三元一次方程组
方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．例如，都是三元一次方程组．
【即学即练3】（2024·江苏·高一专题练习）方程组的解集可表示为（ ）
A． B．
C． D．
知识点04 二元二次方程组
二元二次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数为2，像这样的方程叫做二元二次方程．
二元二次方程组：方程组中含有两个未知数，含有未知数的项的最高次数为2，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
注：(1)二元二次方程组有两种类型：一是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成；二是由两个二元二次方程组成，我们主要学习第一种类型．
(2)解二元二次方程组的思路是消元和降次．
【即学即练4】（2024·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
难点：“二·二”型的二元二次方程组
例题：解方程组
【题型1：求二元一次方程组的解集】
（一）不含参二元一次方程组
例1．（2024·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考阶段练习）方程组的解集是
变式1．（2024·上海普陀·高一校考阶段练习）用列举法表示方程组的解集为 ．
变式2.（2024·全国·高一课时练习）求下列方程组的解集：
（1）；（2）.
（二）含参二元一次方程组
例2.（2024·高一课时练习）关于x，y的方程组的解集，不正确的说法是（ ）
A．可能是空集 B．可能是无限集 C．可能是单元集 D．可能是
变式1．（2024·上海黄浦·高二格致中学校考阶段练习）解关于，的方程组：．
变式2.（2024·高一课时练习）设，求关于x、y的方程组的解集.
【方法技巧与总结】
1、用代入消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形 选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为yax＋b(或xay＋b)(a，b是常数，a≠0)的形式．
(2)代入 把yax＋b(或xay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值．
(4)回代 把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个未知数．
(5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式．
2、用加减消元法解二元一次方程组的步骤
(1)变形 根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程中同一个未知数的系数相等或互为相反数．
(2)加减 两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减．
(3)求解 解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值．
(4)回代 把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值．
(5)写解集 用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式．
注意：(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
(3)当两个方程中，同一个未知数的系数相等或互为相反数时，用加减消元法较简单．
(4)当两个方程通过变形用含有一个未知数的式子来表示另一个未知数比较复杂时，往往选用加减消元法．
【题型2：求三元一次方程组的解集】
例3．（2024·全国·高一专题练习）方程组的解集的是（ ）
A．{(1，－2，3)} B．{(1，0，1)} C．{(0，－1，0)} D．{(0，1，－2)}
变式1．（2024·辽宁大连·高一大连市第二十高级中学校考阶段练习）（1）求方程组的解集；
（2）求三元一次方程组的解集.
变式2．（2024·高一课时练习）已知非零实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2023春·北京海淀·高一校考开学考试）已知方程组，则 ．
变式4.（2024·高一课时练习）方程组的解集为 .
变式5．（2024·上海·高一专题练习）已知是非负整数，且，则的范围是
【方法技巧与总结】
1.解三元一次方程组的基本思路
2.消元法解三元一次方程组的两个注意点
(1)在确定消去哪个未知数时，要从整体考虑，一般选择消去后可以使计算量相对较小的未知数．
(2)消去的未知数一定是同一未知数，否则就达不到消元的目的．
注；解三元一次方程组时，先观察三个方程中各未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定先要消去的未知数，再灵活选择代入消元法或加减消元法将三元化为二元，达到消元的目的．
【题型3：求二元二次方程组的解集】
（一）“二·一”型的二元二次方程组
例4．（2024·全国·高一专题练习）方程组的解集是（ ）.
A． B． C． D．
变式1．（2024·高一课时练习）方程组的解集为 .
变式2。（2024·高一课时练习）求方程组的解集.
变式3．（2024·山东日照·高一山东省日照实验高级中学校考阶段练习）（1）求方程的解集；
（2）求方程组的解集.
变式4．（2024·北京·高一校考期中）求下列方程组的解集：
(1) ；
(2)．
变式5．（2024·高一课时练习）求方程组的解集.
变式6．（2024·全国·高一专题练习）求下列方程组的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
【方法技巧与总结】
1.“二·一”型的二元二次方程组的基本思想
“二·一”型的二元二次方程组的实数解有三种情况：有一解、两解和没有解．把二元一次方程代入二元二次方程，消去一个未知数之后，得到一个一元二次方程．由根的判别式可知，解的情况可能是有两个不相等的实数解，两个相等的实数解或无实数解，这样的二元二次方程组的解也就相应地有三种情况．简言之，有一个二元一次方程的二元二次方程组的实数解的情况，一般可通过一元二次方程的根的判别式来判断．
2.解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：
（二）“二·二”型的二元二次方程组
例5．（2024·高一课时练习）已知矩形的面积为，对角线长，则该矩形的周长为 .
变式1．（2024·高一课时练习）解方程组
变式2.（2024秋·高一课时练习）解方程组
变式3．（2024·高一课时练习）已知实数，满足，，则 ．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若相异两实数x，y满足，则之值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【方法技巧与总结】
解“二·二”型方程组的基本思想
解“二·二”型方程组的基本思想仍是“转化”，转化的方法是“降次”“消元”．它的一般解法是：
(1)当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组．解这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解．
(2)当方程组中两个二元二次方程都可分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程分别与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解．
【题型4：已知解集求参数】
例6．（2024·高一课时练习）若关于x，y的方程组与的解集相等，则a、b的值为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·高一课时练习）关于 的方程组的解集为，则 .
变式2．（2024·高一课时练习）关于x，y的方程组的解集为，则（ ）
A．1 B．5 C．6 D．7
变式3．（2024·全国·高一专题练习）若关于，的方程组的解集为，则（ ）
A．4 B．-4 C．6 D．-6
变式4．（2023春·山东东营·高一东营市第一中学统考阶段练习）若，则的值为 .
变式5．（2024·高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组的解集为，则实数 ．
变式6．（2024·山东潍坊·高一寿光市第一中学校考阶段练习）已知关于，的方程组，甲因看错了，求得解集为，则 ，甲把错看成了 .
变式7.（2024·高一课时练习）方程组的解集中含有两个元素，则的取值范围是 .
【题型5：方程组在实际问题中的应用】
例7．（2024·全国·高一专题练习）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
变式1．（2024·辽宁朝阳·高一建平县实验中学校考阶段练习）我国古代书籍《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法，其中有一题为：“今有（人）共买物，（每）人出八（钱），盈（余）三（钱），人出七（钱），不足四（钱），问人数、物价各几何”，请你回答本题中的人数是 ，物价是 （钱）．
变式2．（2024·全国·高一专题练习）某校运动员分组训练，若每组7人，余3人；若每组8人，则缺5人.设运动员人数为x人，组数为y组，则列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧与总结】
1、列方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知量和未知量，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出题目中的两个相等关系；
（3）列：根据两个相等关系列出代数式，从而列出方程组；
（4）解：借这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解作出是否合理的判断的基础上，写出答案。
2、目前高考中常见的问题有：生产问题、市场营销问题、方案选择问题、数字问题、利润问题、配套问题、行程问题、工程问题等。
一、单选题
1．（2024高一·全国·课后作业）关于x、y的方程组的解为整数，则满足这个条件的整数m的个数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．无数个
2．（2024高一上·云南昆明·开学考试）若，则（ ）
A．2 B． C． D．3
3．（2024高一上·全国·单元测试）某商店有方形、圆形两种巧克力，小明如果购买3块方形和5块圆形巧克力，他带的钱会差8元，如果购买5块方形和3块圆形巧克力，他带的钱会剩下8元．若他只购买8块方形巧克力，则他会剩下多少钱（ ）
A．8元 B．16元 C．24元 D．32元
4．（2024高一上·北京·阶段练习）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·北京·阶段练习）方程组解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高一·全国·课后作业）下列各组数是二元一次方程组的解的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·四川凉山·一模）已知，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列关于方程的解的说法中正确的是（ ）．
A．该方程一定有唯一解 B．该方程没有解
C．时，方程有无数解 D．时，方程有唯一解
二、多选题
9．（2024高一·全国·课后作业）对于二元一次方程组的解用集合表示正确的为
A． B． C． D．
10．（2024高一上·辽宁·阶段练习）方程组的解集为，若x1+x2﹣3，则（ ）
A．k1或
B．y1+y2﹣3或y1+y2﹣1
C．y1+y21或y1+y23
D．x12+x2212或x12+x2215
三、填空题
11．（2024高一·全国·课后作业）关于 的方程组的解集为，则 .
12．（2024高一·全国·课后作业）请写出方程的一组整数解 .
13．（2024高一·全国·课后作业）已知两数之和为10，积为24，则这两数之差的绝对值为 .
14．（2024高一上·北京·期中）方程组的解集是 ．
15．（2024高一下·北京海淀·开学考试）已知方程组，则 ．
四、解答题
16．（2024高一·全国·课后作业）已知关于x，y的方程组，甲因看错了a，求得解集为.
(1)求b的值；
(2)甲把a错看成了什么？
17．（2024高一上·北京·阶段练习）求下列关于的方程（方程组）的解集：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
18．（2024高一·上海·课堂例题）设，求关于x与y的二元一次方程组的解集．
19．（2024高一下·全国·课堂例题）求三元一次方程组的解集.
20．（2024高一·全国·课后作业）方程组的解集可表示为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2024高一上·北京·阶段练习）水果市场将120吨水果运往各地商家，现有甲，乙，丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载）
车型 甲 乙 丙
汽车运载量（吨/辆） 5 8 10
汽车运费（元/辆） 400 700 800
(1)若全部水果都用甲，乙两种车型来运送，需运费8200元.问分别需甲，乙两种车型各几辆？
(2)市场可以调用甲，乙，丙三种车型参与运送（每种车型至少1辆），已知它们的总辆数为16，分别求出三种车型的辆数.
22．（2024高一上·北京西城·期中）已知关于，的方程组其中.
(1)当时，求该方程组的解；
(2)证明：无论为何值，该方程组总有两组不同的解；
(3)记该方程组的两组不同的解分别为和，判断是否为定值.若为定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.
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