2.2.1 不等式及其性质
课程标准 学习目标
1、掌握不等式5个性质与5个推论. 2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式. 3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式. 掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法. 反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法. 灵活选用不等式5个性质与5个推论。
知识点01不等式的定义
我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式不成立.
【答案】，证明见解析
【分析】将不等关系表示为不等式，进而由作差法证明即可.
【详解】解： .
证明: ，
，，.
知识点02实数大小比较
符号表示
a－b>0 a>b，
a－b0 ab，
a－b<0 a【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，，，.又，故．
综上可得：．故选：.
知识点03不等式的性质
性质1(可加性) 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质2(可乘性) 如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性质3(可乘性) 如果a>b，c<0，那么ac性质4(传递性) 如果a>b，b>c，那么a>c.
注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然不成立？
(1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中ac时必有ab且bc.
推论1(移项法则) 如果a＋b>c，那么a>c－b.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
我们把a>b和c>d(或a推论3(同向同正可乘性) 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
推论4(可乘方性) 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果a>b>0，那么>.
注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，cb＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c－d，又a>b，所以a－c>b－d.
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，不等式两边同时减去得，D正确，
若，则AB错误，若，C错误．．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.
【答案】，，
【解析】∵，，
∴，，，，
∴，，
∴.
故，，．
知识点04综合法、分析法与反证法
（1）综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．
（2）分析法
从待证结论出发，一步一步地寻求结论不成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法．
（3）反证法
首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．
注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．
(1)综合法中，最重要的推理形式为p q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然不成立的结论．
(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论不成立的充分条件．
【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知，求证：．
【答案】见解析
【解析】．
，，，，，，．
，同理得，，．
又，．
难点：用反证法证明命题
示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，
①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A∠B90°.
其正确顺序为________．
【解析】用反证法证明命题的步骤是：先假设命题不不成立，然后通过推理得出矛盾，最后否定假设，从而得到正确的命题．故填③①②.
【题型1：比较大小】
（一）作差法
例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知，，则a，b的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】A
【分析】利用作差法并结合不等式的性质，可得答案.
【详解】因为
所以，所以，即.
.
变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】用作差法结合配方法比较大小．
【详解】，所以．
．
变式2.（2024·高一校考课时练习）已知，试比较与的值的大小．
【答案】时，；时，．
【解析】，可得，
当时，，，则，即；
当时，，则，即．
综上可得时，；时，．
变式3．（2024·高一校考课时练习）比较与的大小，其中.
【答案】
【分析】两式作差，因式分解变形，根据已知确定差的符号，即可判断两式大小.
【详解】
因为，所以，
所以，
即.
变式4．（2024·全国·高一假期作业）比较大小：
(1)和；
(2)和，其中．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用做差法比较大小即可；
（2）利用做差法比较大小即可．
【详解】（1）因为，所以；
（2）因为，所以
，
所以.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M，N，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M【答案】C
【分析】平方后作差比较大小即可.
【详解】，
∴M.
（二）作商法
例2．（2024·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x－，y－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．xy
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
【答案】D
【分析】应用作商法比较的大小关系即可.
【详解】由题设，易知x，y＞0，又，
∴x＜y.
.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】，
，
，
.
变式2.（2024·全国·高三专题练习）已知，，试比较与的大小；
【答案】（当且仅当时取等号）
【解析】由
，当且仅当时等号不成立，
所以（当且仅当时取等号）.
变式3．（2024·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解.
【详解】（方法1）因为，所以.
所以.
因为，所以，即；
（方法2）所以，
又，
所以 , 所以.
【方法技巧与总结】
1、比较两数大小
比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．
2、用作差法比较两个实数大小的四步曲
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．
【题型2：不等式的性质应用】
例3.（2024·高一校考课时练习）已知，则下列不等关系中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析：因为，所以，故A正确；
对于B：当时，故B错误；
对于C：当，，显然满足，但是，故C错误；
对于D：当，，显然满足，但是，故D错误；
变式1．【多选】（2024·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】举反例排除BC，利用不等式的性质判断AD，从而得解.
【详解】对于A选项，由不等式的同向可加性可知，该不等式不成立，所以A正确；
对于B选项，例如：，，但是，所以B错误；
对于C选项，当时，，所以C错误；
对于D选项，因为，所以，又，所以，所以D正确.
D．
变式2．（2024·辽宁·高二校联考期末）已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质判断C、D，利用特殊值判断A、B.
【详解】因为，所以，故D正确；
对于A：若，，满足，此时，故A错误；
对于B：若，，满足，此时，故B错误；
对于C：因为，所以，故C错误；
变式3．（2024·高一校考课时练习）对于实数a，b，c，有下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是 (填序号)
【答案】②③④
【分析】利用不等式的性质可逐一判定.
【详解】当时，可以判定①错误；
因为，所以故不等式两边可同时除以，不变号，故②正确；
因为，所以对于不等式两边同时乘以，不等式变号，故，不等式两边同时乘以，不等式变号，故，所以不成立，故③正确；
因为，，所以，故，故④正确.
故答案为：②③④.
变式4．【多选】（2024·山东滨州·高二统考期末）已知实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】CC
【分析】根绝不等式的基本性质逐一进行判断，要注意不等式性质不成立的条件.
【详解】对于选项A，当时，若，则，错误；
对于选项B，若，故，则，正确；
对于选项C，若则，
所以，正确；
对于选项D,，
当时，，但是的符号与的符号不确定，
所以与大小关系不确定，错误.
C.
变式5．【多选】（2024·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据不等式的基本性质，结合作差比较法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，可得，所以，所以A正确；
对于B中，若，，
则，
所以，所以B不正确；
对于C中，若，则，
所以C正确；
对于D中，若，则，
所以D正确．
CD.
变式6．（2024·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质，结合举反例的方法，可得答案.
【详解】对于A，若，则，故A错误；
对于B，若，，则，故B错误；
对于C，若，，可得，故C正确；
对于D，若，，，则，故D错误.
．
变式7．【多选】（2024·广西玉林·高二统考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
【答案】CC
【分析】根据不等式的性质，结合作差法即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A,由,若时，不一定，故A错误，
对于B，若，所以故，所以，故B正确，
对于C,由得，又，所以，故C正确，
对于D，由于，无法确定的正负，所以的正负无法确定，故与的大小无法确定，故D错误，
C
变式8．【多选】（2024·福建三明·高二统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质,结合作差法逐个判断各个选项即可．
【详解】对于A，，，，，
，即，故A正确；
对于B，，，，故B正确；
对于C，取，，，则，故C错误；
对于D，，，，
，即，故D正确．
BD．
变式9．【多选】（2024·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若，则下列不等式不不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】举特例即可否定选项A，B，D，利用不等式的性质判断C，从而得解.
【详解】当，时，满足，但，故A错误；
当，时，满足，但，故B错误；
因，，由不等式性质得，故C正确；
当时，不不成立，故D错误.
BD.
变式10．【多选】（2024·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】AB
【分析】根据不等式性质及特值法即可作出判断
【详解】对于，因为，，所以，故正确；
对于，因为，所以，
又，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，
又，所以，故C错误；
对于D，当时，满足，
但，此时，故D错误，
B
变式11．【多选】（2024·江西九江·高二统考期末）已知，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式性质判断各个选项即可.
【详解】因为，所以正确；
由不等式的倒数法则可知，两边同乘以，得，C错误；
由，得，D正确，
BD.
变式12.（2024·广西）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】为正数，为负数，所以，，
，
所以.
【方法技巧与总结】
不等式性质的应用
(1)首先要注意不等式不成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
【题型3：利用不等式性质求范围】
例4．（2024·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性质即可求得答案
【详解】因为,所以,
由,得,
变式1．（2024·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，解得，根据不等式性质求出.
【详解】设，
则，解得，
因为，，
所以，
所以，即.
变式2．（2024·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由不等式的基本性质求解即可
【详解】解：，，
则，，
故由不等式的可加性可知，，
故的取值范围是．
故答案为：．
变式3.【多选】（2024·湖南长沙）已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为，，
所以，，
则，，，
即，，，则；
故AB正确，CD错.
变式4．（2024·河北保定·高二校联考期末）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由待定系数法确定其系数，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】设，则，所以，因为，
所以．因为，所以，
故．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．
【答案】详见解析.
【分析】根据不等式的基本性质和反比例函数特点即可求解.
【详解】因为，，
所以，
即的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
由，，
得，
所以的取值范围是．
易知，
而
则，
所以的取值范围是．
变式6．【多选】（2024·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD；
【详解】由，两式相加得，即，故A正确；
由，得，又，两式相加得，即，故B正确；
设，
所以，解得，则，
因为，所以，
又因为，所以，
所以，即，故C正确，D错误.
BC.
变式7.（2024·全国·高三专题练习），，则的最小值是___________.
【答案】
【解析】设，
则，解得，
所以，，
因此，的最小值是.
【方法技巧与总结】
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解．
【题型4：证明不等式】
例5．（2024·全国·高一假期作业）用综合法证明:如果，那么
【答案】证明见解析
【分析】根据综合法的要求执因索果，逐步推导证明即可.
【详解】证明:
，即
显然
，即.
（2024·全国·高一假期作业）已知，证明：.
【答案】证明见解析.
【解析】∵，
，
， ，
.
变式1．（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）若，，，求证：.
【答案】证明见解析.
【分析】因为，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同号可乘性即可证明.
【详解】证明：因为，所以，
又因为，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得，
所以，
所以，
因为，，
所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得.
又，所以，
所以
由不等式的同号可乘性可得.
变式2．（2024·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）（1）已知，，．求证：；
（2）已知，，求证：．
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析
【分析】（1）利用不等式的性质证明即可；
（2）利用作差法证明即可．
【详解】（1）因为，所以
又因为，所以
所以
又因为，所以．
（2）
因为，，所以，
因此，从而，即．
变式3．（2024·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
【分析】（1）作差后，根据条件结合不等式的性质证明；
（2）先用作差法证明，然后根据不等式的性质证明即可得到.
【详解】（1）证明：，
因为，，所以，，
又bd＞0，所以，，
即.
（2）证明：因为a＞b＞c＞0，
所以有，，，，
则，，
即有，不成立；
因为，，所以，，
又，所以，不成立.
所以，有.
变式4．（2024·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)等价于证明++，对不等式两边同时平方后只需证明，再平方即可证明.
【详解】证明：（1）由，且，
所以，且
所以，所以，
即；所以，即．
（2）要证，
只需证，
即证；
即证，
即证；即证，显然不成立；
所以．
变式5．（2024·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）（2）利用不等式的基本性质即可证明．
【详解】（1）证明：，，
，，
又因为，即，
所以.
（2）证明：，，；
又，，；
.
【方法技巧与总结】
1、证明不等式的解题策略
(1)简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
(2)对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
2、不等式的证明方法
(1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小；
(2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法
(3)反证法：首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立；
(4)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它不成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显不成立的事实，从而得出要证的命题不成立。
一、单选题
1．（2024高二下·福建龙岩·阶段练习）若，且，则下列各式中，恒不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式性质推理判断即得.
【详解】由，得，而，则，C错误，D正确；
取，满足，且，而选项AB中不等式无意义，AB错误.
2．（2024高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】由，可得：
若，则，当时，，故不能推出；
若，则当时，，可得，也不能推出．
综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件．
．
3．（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.
【详解】当时，，且，故，C项错误；
因为，，所以，故B项错误；
，故D项正确.
.
4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质计算可得.
【详解】由题意可知，,
所以.
.
5．（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．取值范围为
【答案】C
【分析】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得答案.
【详解】因为，，
所以，，，
所以的取值范围为，的取值范围为，故A正确，B错误；
因为，，
所以，，，
所以的取值范围为，的取值范围为，故C正确，D正确.
6．（2024高二下·安徽·学业考试）若，，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取特殊值作反例，可判断A、B、C项；根据不等式的性质可判断D项.
【详解】对于A，取，，则，，显然，但是，A项错误；
对于B，取，，，满足，，
，，但，B项错误；
对于C，取，，但，故C项错误；
对于D，若，，则，故D正确.
.
7．（2024高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意,将所给等式变形,得到,推导出,然后利用作差法比较大小,结合二次函数的性质证出,从而得出正确结论.
【详解】因为,
移项得,
所以,
可得,
由,得,
可得,
可得.
综上所述,不等式不成立,
故选:B.
二、多选题
8．（2024高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知，则
D．为互不相等的正数，且，则
【答案】ACD
【分析】利用不等式的性质，逐个进行判断即可.
【详解】对于A，由，知，由不等式的性质可得，，因此A正确；
对于B，令，则，，
显然，因此B错误；
对于C，由，又，，
则，即，因此C正确；
对于D，由为互不相等的正数，则，又，，
即，，即，，
又，
，即，因此D正确；
CD.
9．（2024高一下·广西南宁·期末）已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】利用不等式的性质进行分析即可.
【详解】由，知必有，所以两边同乘以a，得，故A正确；
因为b的符号不能确定，所以不一定正确，故B错误；
由两边同乘以c，得，故C正确；
当，时，满足且，但，故D错误．
C．
10．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（ ）
A．，当时，
B．，当时，
C．，当时，
D．，当时，
【答案】DD
【分析】对于ABD选项，取特殊值进行判断；对于C选项，利用作差法比较大小.
【详解】对于A，取，满足，且，
此时，，故A错误；
对于B，取，满足，
此时，则，故B错误；
对于C，因为，当时，，
所以，则，故C正确；
对于D，存在，，满足，故D正确.
D.
三、填空题
11．（24-25高一上·上海·随堂练习）某种服装，平均每天可以销售20件，每件获利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，每天可多卖出5件，如果每天获利1800元，每件应降价 元．
【答案】4
【分析】设每件应降价元，然后求出每件获得利润和平均每天可以销售件数可得答案.
【详解】设每件应降价元，则每件获利元，
平均每天可以销售件，所以
，解得．
故答案为：4.
12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中不成立的是 （填上正确的序号）．
①；②；③；④．
【答案】③
【分析】先给出，，作为①，②，④的反例，然后根据不等式的性质即可证明③正确.
【详解】当，，时，有，但，，，故①，②，④错误；
由于，，故，故③正确.
故答案为：③.
13．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由不等式的性质可得，取绝对值即可求解.
【详解】，
，则，
将不等式的两边同时乘以，可得，
，
故答案为：.
14．（2024高二下·湖南张家界·期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 .
【答案】
【分析】假设最小值为t然后得到2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z，三式相加，得出t≤，最后判断即可.
【详解】设t=min{y-x,z-y,1-z},
则t≤y-x, 即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z,
三式累加可得：4t≤1+(y-2x) ≤1,所以t≤.
取显然满足且,此时t=
所以
故答案为：
四、解答题
15．（2024高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且.
【答案】证明见解析
【分析】根据不等式的性质求证即可.
【详解】由于实数a、b、c满足，且，
所以，即，
，即，
综上，且
16．（2024高一·全国·课后作业）若，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴，且．
∴作商得：．
∴．
17．（2024高一·上海·课堂例题）已知，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】结合立方和公式及，利用作差法即可证明.
【详解】，
因为，所以，又，所以，
所以.
18．（2024高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得.
（2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得.
【详解】（1），
因为，，，则，当且仅当时等号不成立，
所以；
（2）
，
由（1）有，有，，有，，
有，当且仅当时等号不成立，
所以．
19．【多选】（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
【答案】ABCD
【分析】由运算“”的定义分别计算判断A、B、C，用分析法分别从条件和结论出发证明得到D.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，
，
所以，故C正确；
对于D，若，则，，
要证，只需要证，即证，
即证，即证，即证，
因为，，所以上式不成立，所以，故D正确.
BCD.
20．（2024高一上·全国·专题练习），，，，设，证明：.
【答案】证明见解析
【分析】直接将每个分式缩小，即可证明；通过可得，且类似可以得到其它三个不等式，然后相加即可证明.
【详解】因为，故，，，.
故有
；
由于
，
故，同理还有
，
所以.
这就证明了.
21．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：
(1)若、、.
①求证：；
②求证：；
③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
(2)设，求证：不成立的充要条件是.
【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析；③能找到，
(2)证明见解析
【分析】（1）①根据的符号去绝对值即可证不等式不成立；②根据同向不等式相加和同向同正的不等式可相乘的性质可证明不等式不成立；③在的两边同时乘以得，在的两边同时乘以得，即可证明.
（2）证明充分性：如果，则有和两种情况，分别证明即可；证明必要性：若且，则，化简即可.
【详解】（1）①∵，且、，
∴，∴；
②∵，∴，
又，∴，
∴，
∴，
∵、，
∴，由（1）知，
∴，
∴；
③∵，，
∴或（只要写出其中一个即可）；
（2）①充分性：如果，则有和两种情况，
当时，当时，则、，等式不成立，
当时，则、，等式不成立，
当时，等式不成立，
当时，即、或、，
当、时，、，等式不成立，
当、时，、，等式不成立，
∴当时，等式不成立，
∴当时，不成立，
②必要性：若且，则，
即，则，故，
综上所述，是等式不成立的充要条件.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2.2.1 不等式及其性质
课程标准 学习目标
1、掌握不等式5个性质与5个推论. 2、掌握用配方法、作差法、综合法、反证法、分析法证明不等式. 3、熟练灵活运用不等式性质、推论、思想方法证明不等式. 掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法. 反证法是一种间接证明的方法，如推论5中用到的方法. 灵活选用不等式5个性质与5个推论。
知识点01不等式的定义
我们用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，称为不等式．
【即学即练1】（2024·全国·高三专题练习）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式不成立.
知识点02实数大小比较
符号表示
a－b>0 a>b，
a－b0 ab，
a－b<0 a【即学即练2】（2024·全国·高一专题练习）设，则的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
知识点03不等式的性质
性质1(可加性) 如果a>b，那么a＋c>b＋c.
性质2(可乘性) 如果a>b，c>0，那么ac>bc.
性质3(可乘性) 如果a>b，c<0，那么ac性质4(传递性) 如果a>b，b>c，那么a>c.
注：如果性质4中的不等式带有等号，那么结论是否仍然不成立？
(1)如果性质4中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若a≥b且b≥c，则a≥c，其中ac时必有ab且bc.
推论1(移项法则) 如果a＋b>c，那么a>c－b.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.
我们把a>b和c>d(或a推论3(同向同正可乘性) 如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
推论4(可乘方性) 如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果a>b>0，那么>.
注：(1)推论2可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向．推论2是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特别注意的是，由a>b，cb＋d，但可以得到a－c>b－d.这是因为若c－d，又a>b，所以a－c>b－d.
【即学即练3】（2024·全国·高一专题练习）如果那么下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练4】（2024·全国·高一专题练习）设，，求，，的范围.
知识点04综合法、分析法与反证法
（1）综合法
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法，在数学中通常称为综合法．
（2）分析法
从待证结论出发，一步一步地寻求结论不成立的充分条件，最后得到题设的已知条件或已被证明的事实，这种证明问题的方法通常称为分析法．
（3）反证法
首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立．这种得到数学结论的方法通常称为反证法．
注：综合法与分析法都是直接证明的方法，反证法是一种间接证明的方法．
(1)综合法中，最重要的推理形式为p q，其中p是已知或者已经得出的结论，所以综合法的实质就是不断寻找必然不成立的结论．
(2)分析法中，最重要的推理形式是“要证p，只需证明q”，这可以表示为p q，其中p是需要证明的结论，所以分析法的实质就是不断寻找结论不成立的充分条件．
【即学即练5】（2024·全国·高一专题练习）已知，求证：．
难点：用反证法证明命题
示例：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤，
①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．
②所以一个三角形中不能有两个直角．
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A∠B90°.
其正确顺序为________．
【题型1：比较大小】
（一）作差法
例1．（2024·青海西宁·高二统考期末）已知，，则a，b的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定
变式1．（2024·湖北武汉·高一华中师大一附中期中）已知a为实数，，，则M，N的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
变式2.（2024·高一校考课时练习）已知，试比较与的值的大小．
变式3．（2024·高一校考课时练习）比较与的大小，其中.
变式4．（2024·全国·高一假期作业）比较大小：
(1)和；
(2)和，其中．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知a>0，b>0，M，N，则M与N的大小关系为（ ）
A．M>N B．M（二）作商法
例2．（2024·全国·高一假期作业）已知c＞1，且x－，y－，则x，y之间的大小关系是（ ）
A．x＞y B．xy
C．x＜y D．x，y的关系随c而定
变式1．（2024·全国·高三专题练习）设，比较与的大小
变式2.（2024·全国·高三专题练习）已知，，试比较与的大小；
变式3．（2024·江苏·高一假期作业）已知，试比较和的大小.
【方法技巧与总结】
1、比较两数大小
比较两实数a，b的大小，只需确定它们的差a－b与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a，b的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a－b的符号，变形的常用方法有配方、分解因式等．
2、用作差法比较两个实数大小的四步曲
注意：上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．
【题型2：不等式的性质应用】
例3.（2024·高一校考课时练习）已知，则下列不等关系中一定不成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．【多选】（2024·贵州贵阳·高二统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
变式2．（2024·辽宁·高二校联考期末）已知，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·高一校考课时练习）对于实数a，b，c，有下列说法①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的是 (填序号)
变式4．【多选】（2024·山东滨州·高二统考期末）已知实数，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
变式5．【多选】（2024·河北保定·高二校联考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
变式6．（2024·云南玉溪·高一统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
变式7．【多选】（2024·广西玉林·高二统考期末）下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，，则 D．若，则
变式8．【多选】（2024·福建三明·高二统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式9．【多选】（2024·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知实数a，b，c，若，则下列不等式不不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式10．【多选】（2024·福建厦门·高一厦门市海沧中学校考期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
变式11．【多选】（2024·江西九江·高二统考期末）已知，则下列不等式一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式12.（2024·广西）已知，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧与总结】
不等式性质的应用
(1)首先要注意不等式不成立的条件，不要弱化条件，尤其是不凭想当然随意捏造性质．
(2)解决有关不等式选择题时，也可采用特值法进行排除，注意取值一定要遵循以下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算．
【题型3：利用不等式性质求范围】
例4．（2024·陕西咸阳·高二武功县普集高级中学校考阶段练习）已知,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·宁夏中卫·高二中宁一中校考阶段练习）已知实数x﹐y满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·上海黄浦·高一上海市光明中学校考期中）已知，，则的取值范围是 ．
变式3.【多选】（2024·湖南长沙）已知，，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·河北保定·高二校联考期末）已知，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围．
变式6．【多选】（2024·四川成都·高一石室中学校考阶段练习）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的取值范围是
变式7.（2024·全国·高三专题练习），，则的最小值是___________.
【方法技巧与总结】
利用不等式性质求范围的一般思路
(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；
(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；
(3)结合不等式的传递性进行求解． 【题型4：证明不等式】
例5．（2024·全国·高一假期作业）用综合法证明:如果，那么
（2024·全国·高一假期作业）已知，证明：.
变式1．（2024·湖南长沙·高一校考阶段练习）若，，，求证：.
变式2．（2024·江苏连云港·高一赣榆一中校考阶段练习）（1）已知，，．求证：；
（2）已知，，求证：．
变式3．（2024·内蒙古呼和浩特·高一统考期中）证明不等式．
(1)，bd＞0，求证：；
(2)已知a＞b＞c＞0，求证：．
变式4．（2024·全国·高一假期作业）（1）已知，且，证明：．
（2）证明：．
变式5．（2024·全国·高一假期作业）证明下列不等式：
(1)已知，求证
(2)已知，求证：．
【方法技巧与总结】
1、证明不等式的解题策略
(1)简单不等式的证明可直接由已知条件并利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
(2)对于不等号两边都比较复杂的式子，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．
2、不等式的证明方法
(1)作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小；
(2)综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法
(3)反证法：首先假设结论的否定不成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不不成立；
(4)分析法：从要证的结论出发，逐步寻找使它不成立的充分条件，直至所需的条件为已知条件或一个明显不成立的事实，从而得出要证的命题不成立。
一、单选题
1．（2024高二下·福建龙岩·阶段练习）若，且，则下列各式中，恒不成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·北京·期末）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·河南驻马店·二模）已知，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高一上·山东·专题练习）已知 ，则下列结论错误的是（ ）
A．的取值范围为 B．的取值范围为
C．的取值范围为 D．取值范围为
6．（2024高二下·安徽·学业考试）若，，则下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·安徽芜湖·开学考试）已知实数m，n，p满足，且，则下列说法正确的是（）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2024高一上·江苏常州·期中）在下列四个命题中，正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．已知，则
D．为互不相等的正数，且，则
9．（2024高一下·广西南宁·期末）已知实数满足，则（ ）
A． B． C． D．
10．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（ ）
A．，当时，
B．，当时，
C．，当时，
D．，当时，
三、填空题
11．（24-25高一上·上海·随堂练习）某种服装，平均每天可以销售20件，每件获利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，每天可多卖出5件，如果每天获利1800元，每件应降价 元．
12．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中不成立的是 （填上正确的序号）．
①；②；③；④．
13．（2024高三·全国·专题练习）已知，则的取值范围为 ．
14．（2024高二下·湖南张家界·期末）记为，，中最小的数.已知，且，则的最大值为 .
四、解答题
15．（2024高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且.
16．（2024高一·全国·课后作业）若，求证：．
17．（2024高一·上海·课堂例题）已知，求证：.
18．（2024高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：
(1)；
(2)．
19．【多选】（2024·新疆乌鲁木齐·三模），运算“”为，则（ ）
A． B．
C． D．若，则
20．（2024高一上·全国·专题练习），，，，设，证明：.
21．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）根据要求完成下列问题：
(1)若、、.
①求证：；
②求证：；
③在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足所求式？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.
(2)设，求证：不成立的充要条件是.
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